Периодограмма.

Периодограмма, которая была впервые разработа­на в 1898 г. Шустером, — один из наиболее известных и наиболее важ­ных инструментов исследования цикла. Периодограмма ищет циклы, анализируя данные в табличной форме. Имеющиеся данные будут в хро­нологическом порядке разбиты на колонки, причем количество исполь­зуемых колонок равно длине цикла, который отыскивается. Для каждо­го отыскиваемого цикла определенной длины приходится строить от­дельную периодограмму. Например, если у нас есть годичные данные за 135 лет, и мы хотели бы проверить, присутствуют ли в них 9-годич-ные циклы, нам пришлось бы разбивать данные на девять колонок и пят­надцать строк. Данные в первой точке были бы помещены в первую строку первой колонки; данные во второй точке — в строку 1 и колон­ку 2; данные в девятой точке — в строку 1 и колонку 9; данные в деся­той точке — в строку 2 и колонку 1. Таблица заполняется таким обра­зом, пока данные в 135 точке ни будут помешены в 9 колонку 15 стро­ки. Затем для каждой колонки было бы выведено среднее значение. Если бы в данных присутствовал 9-годичный цикл, мы бы ожидали, что сред­нее значение для одной колонки будет показывать значительный макси­мум, а для другой колонки — значительный минимум. (Если бы 9-годич-ного цикла не было, средние значения для колонок оказались бы при­мерно совпадающими, если тренд предварительно удален из данных.) Табл. 16.1 предоставляет пример периодограммы, использующей логарифмы годичных цен на кукурузу с 1850 по 1989 г. (Логарифмы данных были умножены на 1000, чтобы избежать десятичных дробей.

Умножение всех данных на константу не будет оказывать какое-либо воздействие на анализ цикла.) Рис. 16.7 показывает диаграмму средних значений всех строк. Если бы из данных был полностью удален тренд, средние значения строк были бы примерно одинаковыми. Общий вос­ходящий тренд в диаграмме средних значений строк возникает благо­даря тому факту, что взятие логарифмов лишь частично снимает на­правленность данных.

Рис. 16.8 показывает средние значения колонок. Тот факт, что на­блюдается существенный пик в восьмой колонке и существенный спад во второй колонке, предполагает, что в данных может присутствовать 9-годичный цикл*.

Если бы, с другой стороны, диаграмма средних значений колонок была относительно плоской, возможность присутствия 9-годичного цик­ла следовало бы исключить. Например, на рис. 16.9 одновременно показаны диаграммы средних значений для периодограмм с восемью и девятью колонками. Как можно видеть, различия между средними зна­чениями в случае восьми колонок значительно меньше, чем в случае девяти колонок. Это означает, что мы можем исключить возможность восьмигодичных циклов в данных.

Главное преимущество периодограммы в том, что она предостав­ляет простой метод идентификации всех возможных циклов, присут­ствующих в данных. Основной недостаток состоит в том, что проце­дура не позволяет определить, какие из найденных возможных циклов статистически значимы (та же самая проблема, что и в случае визуаль­ной проверки). Другими словами, всегда присутствует некоторый раз­брос средних значений колонок. Как мы можем судить, является ли этот разброс статистически важным? В случае только что приведен­ного примера данных по кукурузе интуитивно ясно, что разброс сред­них значений в периодограмме, состоящей из восьми колонок, не ва­жен, но как мы можем убедиться в том, что разность между средними значениями колонок в периодограмме, состоящей из девяти колонок, статистически значима? Проверка статистической достоверности цик­лов стала возможной после разработки гармонического анализа, ко­торый использует периодограмму как базу при тестировании статис­тической значимости циклов. Позже мы вернемся к вопросу статисти­ческой проверки.

Наблюдательный читатель может поинтересоваться, не связан ли тот факт, что спад появляется в колонке с маленьким номером (2), а пик в колонке с большим номером (8), просто с тем, что в данных остался некий тренд. Хотя присутствие тренда действительно будет вести к более высоким средним зна­чениям в колонках с большими номерами, влияние тренда на эти данные явно недостаточно, чтобы объяснить значительный разброс средних значений в пе­риодограмме, состоящей из девяти колонок. Этот момент станет очевидным, как только мы рассмотрим периодограмму из восьми колонок.

Таблица 16.1. ПЕРИОДОГРАММА.

Колонка/ /строка	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Среднее значение строки
1	1571	1571	1606	1619	1690	1765	1585	1669	1667	1638,11
2	1800	1610	1394	1443	1766	2037	1796	1753	1946	1727,22
3 4	1918 1645	1826 1568	1847 1541	1684 1570	1577 1690	1559 1822	1811 1723	1793 1705	1644 1626	1739,89 1654,44
5	1560	1589	1664	1524	1587	1759	1645	1593	1626	1616,33
6	1596	1406	1397	1489	1517	1567	1677	1765	1655	1563,22
7	1680	1685	1651	1715	1825	1817	1754	1753	1822	1744,67
8	1780	1834	1855	1907	2213	2200	2195	2146	1745	1986,11
9	1784	1905	1975	2006	1866	1929	1983	1963	1907	1924,22
10	1706	1477	1593	1805	1903	1915	2006	1729	1692	1758,44
11	1793	1841	1913	2018	2050	2060	2183	2305	2301	2051,56
12	2111	2163	2246	2241	2187	2190	2134	2144	2098	2168,22
13	2082	2072	2048	2038	2037	2085	2083	2099	2121	2073,89
14	2097	2039	2075	2125	2135	2106	2333	2501	2459	2207,78
15	2430	2345	2363	2421	2478	2499	2398	2507	2510	2439,00
Среднее зна­чение колонки	1836,9	1795,4	1811,2	1840,3	1901,4	1954,0	1953,7	1961,7	1921,3

Рисунок 16.7.

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ СТРОК В ПЕРИОДОГРАММЕ С ДЕВЯТЬЮ КОЛОНКАМИ. ГОДОВЫЕ ДАННЫЕ ПО КУКУРУЗЕ

Рисунок 16.8.

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ КОЛОНОК В ПЕРИОДОГРАММЕ С ДЕВЯТЬЮ КОЛОНКАМИ. ГОДОВЫЕ ДАННЫЕ ПО КУКУРУЗЕ

СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ КОЛОНОК В ПЕРИОДОГРАММАХ С ВОСЕМЬЮ И ДЕВЯТЬЮ КОЛОНКАМИ