Операции над нечеткими числами

Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) - вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа.

Определим уровень принадлежности a как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам : [a1, a2] и [b1, b2], соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов:

 

операция "сложения":

[a1, a2]  (+)  [b1, b2] = [a1 + b1, a2 + b2],                                                   (П1.6)

 

операция "вычитания":

[a1, a2]  (-)  [b1, b2] = [a1 - b2, a2 - b1],                                                                      (П1.7)

 

операция "умножения":

[a1, a2]  (´)  [b1, b2] = [a1 ´ b1, a2 ´ b2],                                                                   (П1.8)

 

операция "деления":

[a1, a2]  (/)  [b1, b2] = [a1 / b2, a2 / b1],                                                                      (П1.9)

 

операция "возведения в степень":

[a1, a2]  (^)  i = [a1i , a2i].                                                                                               (П1.10)

 

Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):

действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;

сумма треугольных чисел есть треугольное число;

треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;

сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;

сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.

 

Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. Это прозволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности.

 

То есть, если мы вводим описание треугольного числа набором абсцисс вершин (a, b, c), то можно записать:

 

(a1, b1, c1) + (a2, b2, c2) º (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)                                                            (П1.11)

 

Это – самое распространенное правило мягких вычислений.