Пусть портфель содержит N типов ценных бумаг (ЦБ), каждая из которых характеризуется пятью параметрами:
начальной ценой Wi0 одной бумаги перед помещением ее в портфель;
- числом бумаг ni в портфеле;
- начальными инвестициями Si0 в данный портфельный сегмент, причем
Si0 = Wi0 ´ ni; (8.1)
среднеожидаемой доходностью бумаги ri;
ее стандартным отклонением si от значения ri.
Из перечисленных условий ясно, что случайная величина доходности бумаги имеет нормальное распределение с первым начальным моментом ri и вторым центральным моментом si. Это распределение не обязательно должно быть нормальным, но из условий винеровского случайного процесса нормальность вытекает автоматически.
Сам портфель характеризуется:
- суммарным объемом портфельных инвестиций S; - долевым ценовым распределением бумаг в портфеле {xi}, причем для исходного портфеля выполняется
корреляционной матрицей {rij}, коэффициенты которой характеризуют связь между доходностями i-ой и j-ой бумаг.
Если rij = -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если rij = 1 - имеет место полно положительная корреляция. Всегда выполняется rii = 1, так как ценная бумага полно положительно коррелирует сама с собой.
Таким образом, портфель описан системой статистически связанных случайных величин с нормальными законами распределения. Тогда, согласно теории случайных величин, ожидаемая доходность портфеля r находится по формуле
а стандартное отклонение портфеля s -
Задача управления таким портфелем имеет следующее описание: определить вектор {xi}, максимизирующий целевую функцию r вида (8.3) при заданном ограничении на уровень риска s, оцениваемый (8.4):
где sM – риск бумаги с максимальной среднеожидаемой доходностью. Запись (8.5) есть не что иное, как классическая задача квадратичной оптимизации, которая может решаться любыми известными вычислительными методами.
Замечание.
В подходе Марковица к портфельному выбору под риском понимается не риск неэффективности инвестиций, а степень колеблемости ожидаемого дохода по портфелю, причем как в меньшую, так и в большую сторону. Можно без труда перейти от задачи вида (8.5) к задаче, где в качестве ограничения вместо фиксированного стандартного отклонения выступает вероятность того, что портфельная доходность окажется ниже заранее обусловленного уровня.
Если задаваться различным уровнем ограничений по s, решая задачу (8.5), то можно получить зависимость макимальной доходности от s вида
rmax = rmax (s) (8.6)
Выражение (8.6), именуемое эффективной границей портфельного множества, в координатах «риск-доходность» является кусочно-параболической вогнутой функцией без разрывов. Правой точкой границы является точка, соответствующая тому случаю, когда в портфеле оказывается одна бумага с максимальной среднеожидаемой доходностью.
Подход Марковица, получивший широчайшее распространение в практике управления портфелями, тем не менее имеет ряд модельных допущений, плохо согласованных с реальностью описываемого объекта - фондового рынка. Прежде всего это отсутствие стационарности ценовых процессов, что не позволяет описывать доходность бумаги случайной величиной с известными параметрами. То же относится и корелляции.
Если же мы рассматриваем нашу ценовую предысторию как квазистатистику, то нам следует моделировать ее многомерным нечетко-вероятностным распределением с параметрами в форме нечетких чисел. Тогда условия (8.3) – (8.5) запиываются в нечетко-множественной форме, и задача квадратичной оптимизации также решается в этой форме. Решением задачи является эффективная граница в виде нечеткой функции полосового вида (см. главу 2). Ее следует привести к треугольному виду по обычным правилам.
Тогда, если нам заданы контрольные нормативы по доходности и риску (бенчмарк), которые нам следует соблюсти в нашем портфеле, увеличивая доходность и одновременно снижая риск, то риск того, что мы не добъемся поставленной цели, определяется способами, изложенными в главе 4 настоящей книги.
Итак, изложение модифицированного подхода Марковица завершено. Далее по тексту главы мы считаем, что имеем дело с квазистатистикой по ценным бумагам в портфеле, которая моделируется нами посредством N-мерного нечетко-вероятностного распределения. Оценив параметры этого распределения как нечеткие числа, мы решаем задачу квадратичной оптимизации в нечеткой постановке, получая эффективную границу в форме криволинейной полосы.
