Под доходностью акции (пая) в мировой практике принято понимать относительное приращение цены акции (пая) за расчетный период времени.
Одна из характерных вероятностных моделей цены акции является модель винеровского случайного процесса c постоянными параметрами m (коэффициент сноса, по смыслу – предельная курсовая доходность) и s (коэффикциент диффузии, по смыслу – стандартное уклонение от среднего значения предельной доходности). Аналитическое описание винеровского процесса:
где z(t) – стандартный винеровский процесс (броуновское движение, случайное блуждание) с коэффициентом сноса 0 и коэффициентом диффузии 1.
В приращениях запись (5.1) приобретает вид
Из (5.1) – (5.2) следует, что доходность, как мы ее понимаем, имеет нормальное распределение с матожиданием m и среднеквадратическим отклонением s.
Обозначим плотность этого распределения
j(r,m,s),
где r – расчетное значение доходности.
Однако, если пронаблюдать фактическое ценовое поведение акций и паев взаимных фондов, то мы увидим, что доходность этих активов не колеблется вокруг постоянной случайной величины, но образует динамический тренд. Поэтому винеровская модель в чистом виде применяется крайне редко и на временных интервалах малой длительности.
Применим соображения, которые мы выдвинули в главе 2 книги, для приведения винеровской модели к нечетко-множественному виду.
Пусть у нас есть квазистатистика доходностей (r1, …rN) мощности N и соответствующая ей гистограмма (n1,...,nM) мощности M. Для этой квазистатистики мы подбираем двупараметрическое нормальное распределение, руководствуясь критерием правдоподобия
где ri – отвечающее i-му столбцу гистограммы расчетное значение доходности,
Dr – уровень дискретизации гистограммы.
Задача (5.3) – это задача нелинейной оптимизации, которое имеет решение
причем m0, s0 – аргументы максимума F(m,s), представляющие собой контрольную точку.
Выберем уровень отсечения F1 < F0 и признаем все вероятностные гипотезы правдоподобными, если соответствующий критерий правдоподобия лежит в диапазоне от F1 до F0. Тогда всем правдоподобным вероятностным гипотезам отвечает множество векторов À’, которое в двумерном фазовом пространстве представляет собой выпуклую область с нелинейными границами.
Впишем в эту область прямоугольник максимальной площади, грани которого сориентированы параллельно фазовым осям. Тогда этот прямоугольник представляет собой усечение À’ и может быть описан набором интервальных диапазонов по каждой компоненте
À’’ = (mmin, mmax; smin, smax) Î À’. (5.5)
Назовем À’’ зоной предельного правдоподобия. Разумеется, контрольная точка попадает в эту зону , то есть выполняется
mmin< m0 <mmax, smin < s0 < smax (5.6)
что вытекает из унимодальности и гладкости функции правдоподобия.
Тогда мы можем рассматривать числа m = (mmin, m0, mmax), s = (smin, s0, smax) как треугольные нечеткие параметры плотности распределения j(·), которая и сама в этом случае имеет вид нечеткой функции.
