Одним из первых, описавшим раздвоения, был австралийский биолог Роберт Мэй. В начале 70х гг. Мэй разработал математическую модель развития в популяции рыб. Когда он вводил наименьшие значения для одной из переменных формулы — тренда репродукции рыб, — модель показывала определенную экологическую точку равновесия для определенных размеров популяции. Если популяция с самого начала находилась за пределами этой точки равновесия, она постепенно могла вернуться к этой точке посредством "подавляющих осцилляции". Этот результат был именно таким, каким и должен быть. Однако если Мэй вводил наивысшие значения, то размер популяции начинал постоянно колебаться то вверх, то вниз и никогда не мог достичь устойчивости. Таким образом, модель при отличающихся вводных данных демонстрировала прогнозы абсолютно разного характера: она демонстрировала хаос.
Он нашел, что это очень загадочное явление, и стал изучать финальную модель для всех значений репродуктивного тренда. Результат оказался поразительным. При самых минимальных значениях популяция рыб естественным образом приходила к вымиранию. Если Мэй увеличивал значение репродуктивного тренда до определенного уровня, популяция могла выжить, и плавная кривая отражала ее уровни равновесия: чем выше значение репродуктивного тренда, тем сильнее оказывалась равновесная популяция.
Но он обнаружил, что на определенном уровне плавная кривая неожиданно раздваивалась на две части. Это означало, что популяция могла колебаться между двумя различными уровнями равновесия. Такое явление названо "раздвоением" и полностью противоречило традиционным представлениям. После того как Мэй еще больше увеличил величину репродуктивного тренда, картина стала еще более странной: два уровня равновесия перешли уже в 4, затем в 8, 16, 32 и в конце концов привели к хаосу.
Явление раздвоения имеет место не только в экологических моделях. В статье 1964 года "Проблема вывода климата из основного уравнения" (The Problem of Deducing the Climate from Governing Equations.), в Tellus, Лоренц представил теорию существования более чем одного равновесного климата для Земли. Факт состоял и состоит в том, что математические модели метеорологов изредка имеют возобновляющуюся тенденцию, внезапно начинающую колебаться от сегодняшнего климата до всемирного обледенения, — состояния, несомненно, такого же устойчивого, как и современная ситуация. Лоренц определял систему, обладающую более чем одним устойчивым состоянием равновесия, как "непереходную". Если он был прав, то известный ледниковый период мог быть последствием раздвоений или проявлением непереходных свойств, содержащихся в принадлежащей Богу формуле. Интересная мысль…
Причина раздвоений в том, что существует внезапное и существенное изменение в преобладании различных контуров положительно воздействующих обратных связей. Возвращаясь к экономическим системам, подобная теоретическая структура выдвинута ученым Эрвином Лазло в 1987, который разделил параметры, способные воздействовать на преобладание тех или иных контуров в экономических системах, на три категории:
Технологические инновации
Конфликты и завоевания
Дисбаланс социального и экономического характера,
а именно: дефицит товаров, финансовые кризисы и так далее.
На основе модели Лазло экономическая система может двигаться от простого состояния, например, от простых циклических колебаний до более сложных осцилляции, скажем, до двухуровневого равновесия. Такое происходит, когда параметр стимулируется выше определенного критического уровня. Представьте себе картель поставщиков товаров. При формировании картельной цены ценовые движения могут сдвигаться от уровня, определяемого осцилляциями традиционного экономического цикла, до величины, диктуемой изменчивыми колебаниями между годами, различающихся предельно высокими ценами (жесткость цен), и годами с предельно низкими ценами (упадок и конкуренция). Другими альтернативными вариантами равновесия одной и той же системы могут быть инфляция и гиперинфляция или, скажем, низкое и высокое налогообложение.
Чем сильнее давление на критический параметр, тем больше возникнет раздвоений. Этот процесс нестабильных раздвоений называется каскадом Фейгенбаума3 (рис. 5), по имени математика того времени. В конечном счете, такой процесс ведет к хаосу.
3 Feigenbaum cascade.
Рисунок 5 Каскад Фейгенбаума. Диаграмма показывает, как простое равновесие множится все больше и больше, приводя, в конце концов, к хаотическому поведению. Раздвоения создаются простым уравнением: (Хп+1=г«Хп«(1Хп)), где параметр R (горизонтальная ось) постепенно увеличивается от 1.68 до 4.00. (Источник: Е. Моускилд и Дж. Томсен, Датский Технический университет.)
Содержание раздела
