Континуальный метод VaR
Недостатков можно избежать, используя континуальную версию критерия VaR. Интересы инвестора при этом описываются неубывающей функцией критических доходов B
cr(e), eÎ[0,1]. Эта функция может принимать и отрицательные значения. Более того, она может быть неограниченной в обоих концах отрезка [0,1]. Требуется построить стратегию инвестора, в соответствии с которой его доход B от инвестиции в размере A окажется не ниже B
cr(e) с вероятностью не меньше 1 – e для каждого eÎ[0,1], т.е.
. (1)
Если такая задача может быть решена полностью, то остающаяся после ее решения сумма направляется на максимизацию среднего дохода, т.е. инвестируется в инструмент D(E
max) с возможным использованием короткой позиции по инструменту D(E
min).
Каждому уровню вероятности eÎ[0,1] соответствует критическое множество X(e) вероятностной меры инвестора e и его рыночная вероятность g(e). X(e) – неубывающее по параметру e семейство множеств, g(e) – непрерывная и неубывающая функция e, g(e) > e для всех eÎ(0,1), g(0) = 0, g(1) = 1. Решение задачи дается следующей процедурой.
Рассматривается непрерывный процесс инвестирования суммы A по мере возрастания параметра e от 0 до 1. Через A(e) обозначим инвестиционную сумму, необходимую для реализации (6) до произвольной фиксированной точки e включительно (т.е. обеспечения доходов B
cr(e') на множествах
). Тогда справедлива формула (имеющая смысл при B
cr(0) > –¥)
После интегрирования по частям получаем соотношение общего вида, не требующее конечности B
cr(0),
При
причем средняя часть этого двойного равенства снова имеет смысл лишь при B
cr(0) > –¥. Процесс достигает точки e, если A(e) £ A.
Если это неравенство нарушается в некоторой точке отрезка [0,1], процесс прекращается. Если же процесс не обрывается вплоть до точки
то это значит, что ограничения (6) выполняются для всех eÎ[0,1], и тогда сумма A – A(1) направляется на максимизацию среднего дохода, т.е. вкладывается в инструмент D(E
max).
Случайный доход инвестора B может быть представлен как сумма двух случайных величин
, первая из которых фактически является вырожденной случайной величиной, принимающей бесконечно большое значение с бесконечно малой вероятностью и равной нулю с вероятностью 1, а вторая – случайная величина, отвечающая исключительно за выполнение ограничений метода VaR. При этом из неравенства (6) следует, что функция распределения случайной величины
правую часть которого образует обратная к B
cr(e) функция.
Средний доход инвестора составляет
Где
В этих соотношениях не используются короткие позиции по инструменту D(E
min), однако при желании их можно легко учесть.
Инвестор может вообще отказаться от использования вырожденной компоненты дохода. В этом случае ему свои предпочтения удобнее задавать параметрическим семейством функций B
cr(e,b), а параметр b (вообще говоря, векторный) выбирать из условия выполнения равенства в (7). Тогда весь инвестиционный ресурс направляется на выполнение ограничений (6), а вырожденная компонента дохода отсутствует.
Содержание раздела
