О многопериодных опционах американского типа
До сих пор речь шла исключительно об опционах европейского типа, т.е. таких, исполнение которых могло происходить только при истечении срока – последний момент рассматриваемого горизонта времени (в момент n для n-периодных опционов). Интересно было бы распространить предлагаемую методику на опционы и американского типа, исполнение которых допускается в произвольный момент в течение жизни опциона по желанию его владельца. Однако на этом пути возникают трудности. Поясним это некоторыми рассуждениями.В случае опционов американского типа инструмент D (d-функция) следует задавать не одной, а n платежными функциями, размерности которых последовательно возрастают – {dk}k=1,…,n. При этом возможны разновидности этого инструмента в зависимости от вариантов платежных функций. Рассмотрим сначала разновидность инструмента, когда эти функции фактически зависят лишь от последнего аргумента. Тогда dk(x1, x2,…, xk) = d(xk–Ek) (одномерная d-функция), и для любого k имеет место
Действительно, при n=2 мы имеем дело с набором (x0, x1, x2), образованным последовательными ценами базового актива. Обозначим через t момент исполнения опциона. Очевидно, что исполнение опциона произойдет в момент t = 1, если выполнится условие d(x1–E1) > D(E2x1)/r2 = f(E2x1)/r2, т.е. если x1 = E1, иначе t = 2. (Здесь под D(E2x1) следует понимать инструмент, который можно назвать "условной d-функцией"; его платежная функция строится очевидным образом.) Поэтому доход в момент t = 1 будет равен max{d(x1–E1), f(E2x1)/r2}. И, следовательно, в момент t = 0 стоимость рассматриваемого инструмента определяется равенством
Для проверки выполнимости (19) для произвольного n применяется индукция.
Теперь рассмотрим другую разновидность инструмента "d-функция" (за ним сохраним прежнее обозначение), когда k-мерные платежные функции существенно зависят от всех переменных. В этом случае функции {dk}k=1,…,n задаются равенствами dk(x1, x2,…, xk) = d(x1–E1)d(x2–E2)…d(xk–Ek). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что
Далее, можно рассмотреть и вопросы ценообразования для инструментов типа колл и пут. Однако проблема в том, что цены этих инструментов не удается выразить через стоимости инструментов типа "d-функций" – в случае опционов американского типа нарушается свойство аддитивности цен. Так, для первой разновидности инструментов D, когда справедливы соотношения (19), а не (20), инструмент C (колл) должен будет задаваться системой функций ck(x1, x2,…, xk) = (xk–Ek)+ = max(xk–Ek, 0) для всех k = 1, 2,…, n.
Для такого опциона ценообразование при n = 2 проводится на основе следующего рассуждения. В момент t = 1 доход от опциона равен max{(x1–E1)+, C(E2x1)/r2}. Поэтому исполнение опциона произойдет в момент t = 1, если максимален первый аргумент, и в момент t = 2, если – второй. Критическое (пограничное) значение x* находится из условия равенства обоих аргументов, т.е. из соотношения x*–E1 = C(E2x*)/r2. Окончательно, в момент t = 0 стоимость инструмента C равна
Очевидно, эту процедуру можно продолжить для нахождения стоимости колла для произвольного n. Кроме того, аналогичную процедуру можно применить и для определения стоимости пута. Но также очевидно и то, что эти стоимости (в отличие от случая опционов европейского типа) нельзя получить подходящим взвешенным интегрированием стоимостей "d-функций". Потому для опционов американского типа и не удается построить процедуру нахождения "оптимального" портфеля инвестора методом, аналогичным рассмотренному в данной работе. И в этом смысле вопрос остается открытым.
В заключение отметим, что, используя цены "d-функций", можно восстанавливать вероятностные распределения для цен базового актива. Однако если на рынке торгуются "d-функции", удовлетворяющие соотношению (19), то восстанавливаются лишь маргинальные плотности вероятности. При этом
Если же на рынке присутствуют "d-функции", цены которых определяются равенствами (20), то можно восстановить и совместные плотности вероятности по формуле
Содержание раздела
