В отсутствие непосредственной информации о распределении вероятностей будущих цен базового актива для его оценки можно использовать сами рыночные цены опционов. Как уже отмечалось, из теоретических соображений эти цены должны быть согласованы. Остановимся на этом подробнее и введем необходимые определения по аналогии с однопериодным случаем.
Итак, предположим, что на теоретическом
style='font-family:Arial;font-style:italic;language:EN'>n-периодном рынке для любой пары векторов (E; a) котируются A-опционы A(E, a) (хотя бы один из них). Введем наведенную рынком (точнее, ценами зависящих от пути опционов) совместную плотность вероятности fm(x), x = (x1, x2,…, xn), для цен базового актива в моменты времени t = 1, 2 ,…, n, определяемую равенством
,
где A(E; a) = A(E; a) – цена A-опциона с параметрами (E; a), а коэффициент
вновь, как и в однопериодном случае, интерпретируется как наведенный рынком безрисковый относительный доход с тем уточнением, что теперь этот относительный доход приходится на весь горизонт инвестирования – n периодов.
Введенные определения корректны. Действительно, поскольку A"(E, a) = D(E), а платежная функция инструментов D(E) при всех EÎRn неотрицательна, то из условия недопущения арбитража A"(E; a) ³ 0, EÎRn, и потому fm(x) ³ 0. Нормировочный коэффициент делает интеграл от функции fm(x) по пространству Rn равным 1.
Остается вспомнить, что в силу обоснованно предполагаемой согласованности цен A-опционов (в случае, если области существования котировок разных A-опционов перекрываются) и функция fm(x), и параметр 
в сочетании с формулой (12) дает соотношение
означающее, что нормировочный коэффициент
Далее, зависящие от пути опционы со сроками действия меньше n, которые также могут присутствовать на рынке (и такую возможность мы будем предполагать), определяют свои наведенную рынком совместную плотность вероятности fm(x), x = (x1, x2,…, xk), k<n, и наведенный рынком безрисковый относительный доход 
, но они ничего не говорят о распределении наращивания этого дохода по периодам. Поэтому для полноты n-периодного рынка следовало бы потребовать, чтобы на нем котировались A-опционы всех сроков действия k £ n.
По совокупности наведенных рыночных спотовых безрисковых относительных доходов 
за интервал длительности k периодов через i периодов от начального момента времени t = 0 (т.е. отсчитывая интервал от момента t = i) составит
Отметим, что наведенные совместные плотности вероятности, соответствующие различным временным горизонтам, должны быть согласованы между собой. Именно из условия невозможности арбитража вытекает, что должно быть выполнено рекуррентное по k < n соотношение
Действительно, как следует из соотношения (16), обе наведенные плотности, входящие в эту формулу, означают стоимость инструмента D(E1, E2,…, Ek), помноженную на 1, E2,…, Ek+1), помноженную на 
k+1 дает стоимость первого инструмента, но с отсрочкой платежа по нему на один период. Условие недопущения арбитража требует, чтобы эти стоимости различались множителем 
. Последнее обстоятельство и подтверждает справедливость предположения (18).
Соотношение (18) означает, что система наведенных совместных плотностей вероятности обладает свойством согласованности, присущим системам обычных совместных плотностей. Кроме того, оно же говорит о том, что в n-периодных зависящих от пути опционах содержится почти вся информация относительно распределения вероятностей для последовательности цен базового актива длины n, за исключением лишь информации о последовательности безрисковых относительных доходов за отдельные периоды всего интервала инвестирования. Кстати, очевидно также, что для полноты рынка вовсе не нужно требовать наличия на рынке зависящих от пути опционов сроков действия меньше n – достаточно обычных k-периодных опционов для всех k<n, поскольку из них также можно получить все ставки – как спотовые, так и форвардные. Более того, эти опционы (если рассуждать чисто теоретически) нужны лишь как источник информации о процентных ставках по периодам.
Безопасность жизнедеятельностиСодержание раздела
