"Производные" А-опционов
На основе введенных A-опционов можно строить многие другие инструменты, определяемые произвольными платежными функциями, зависящими от траектории движения цены базового актива. При этом, вообще говоря, вовсе не обязательно для каждого EÎRn требовать присутствия на рынке всех 2n A-опционов. Как и в однопериодном случае, достаточно, чтобы множество страйков, для которых определен хотя бы один тип A-опциона, совпадало с Rn. Это позволяет отказаться от присутствия на рынке A-опционов, являющихся аналогом выигрышных опционов для однопериодного рынка, когда, например, вектора E и a таковы, что функция a, определяемая равенством (8), принимает положительные значения с близкой к 1 вероятностью.Как и для однопериодных опционов колл и пут, можно рассмотреть "первые и вторые производные" A-опционов A(E; a) для многопериодного случая. Их мы будем обозначать A'(E; a) и A"(E; a) соответственно. Однако следует иметь в виду, что такие обозначения условны. На самом деле здесь речь идет о производных A(E; a) порядка n и 2n по всем страйкам (по каждому страйку – первого и второго порядка) соответственно, т.е. под этими обозначениями понимаются соответственно
.Аналогичное соглашение действует и для обозначения стоимости "производных" A-опционов и платежных функций этих "производных".
Нетрудно проверить, что каждой "первой производной" по страйку E от A-опциона с некоторым вектором a в точке E отвечает платежная функция (по x)
Аналогично для получения "вторых производных" следует брать смешанные производные по всем страйкам, но уже по каждому – вторую. Нетрудно видеть, что платежные функции "вторых производных" всех типов A-опционов с одинаковым векторным страйком E совпадают между собой и являются n-мерными дельта-функциями относительно E, т.е. для любого вектора a инструмент "дельта-функция" определяется равенством
Отметим, что именно совпадение "вторых производных" всех типов A-опционов между собой делает необязательным их одновременное присутствие на теоретическом рынке для любого E.
С помощью "дельта-функции" D(E1, E2,…, En) формальное представление инструмента G{g(x)} с произвольной платежной функцией n переменных g(x) = g(x1, x2,…, xn) можно задать в виде
Очевидно, что обычный n-периодный опцион может быть рассмотрен как частный случай зависящего от пути n-периодного опциона и потому получен из A-опционов (например, использованием формулы (12)). Менее очевидна связь опционов с разными сроками действия. Имеет смысл сопоставить зависящие от пути n-периодные опционы с зависящими от пути k-периодными опционами, k < n, и, в частности, с обычными k-периодными опционами, для которых платежная функция определяется лишь ценой актива в момент времени t = k.
Отметим следующее. Для репликации k-периодных опционов с помощью n-периодных зависящих от пути опционов можно, исходя из платежных функций n-периодных зависящих от пути опционов, построить функции n переменных, фактически зависящие лишь от первых k переменных. Это всегда можно сделать, используя введенные "производные" от базисных n-периодных A-опционов. Поэтому может показаться, что эти функции могут служить платежными функциями k-периодных опционов и что, следовательно, задача реализации k-периодных опционов из n-периодных опционов, в принципе, разрешима.
Однако это не совсем так. Различие, и неустранимое, все же остается. Оно состоит в сроках расчета по опционам. По k-периодным опционам расчет производится в момент k, а по n-периодным – в момент n. Можно сказать, что зависящий от пути n-периодный опцион с платежной функцией, определяемой ценами актива в моменты времени t £ k, идентичен некоторому зависящему от пути (или обычному) опциону с k-периодным сроком действия, но с задержкой расчетов до окончания процесса инвестирования (t = n), и потому требует учета накопленных процентов.
Тем не менее, когда на рынке присутствуют зависящие от пути (или обычные) опционы с разными сроками действия, их стоимости должны быть некоторым образом согласованы – иначе возможен временной арбитраж! Далее эта согласованность будет уточнена.