| 
|
|
|
|
Опишем модели оптимального многоэтапного планирования инвестиции в различные проекты. Индекс риска, связанного с реализацией каждого из проектов, оценивается экспортно по десятибалльной шкале. Каждому допустимому проекту отвечает свой заданный индекс риска. Общий подход к построению моделей в форме линейного программирования демонстрируется на задачах 5.1 и 5.2.
Задача 5.1. Акционерное общество (АО) закрытого типа заключило контракт на покупку нового оборудования для производства железобетонных блоков стоимостью 750 000 дол. В соответствии с условиями контракта 150 000 дол. в качестве аванса необходимо уплатить через 2 месяца, а остальную сумму - через 6 месяцев, когда оборудование будет установлено. Чтобы расплатиться полностью и в указанные сроки, руководство АО планирует создать целевой фонд, предназначенный для инвестиций. Поскольку инвестиционная деятельность принесет дополнительную наличность к моменту расчета за приобретенное оборудование, отложить следует не всю сумму в 750 000 дол., а меньшую. Сколько именно, зависит от имеющихся возможностей и правильности организации процесса инвестирования. Акционерное общество решило сосредоточиться на 4 направлениях (12 возможностях) использования средств целевого фонда. Данные для задачи финансового планирования приведены в табл. 5.1.
Руководство АО ставит перед собой три основные цели:
1) при данных возможностях инвестирования и утвержденного графика выплат должна быть разработана стратегия, минимизирующая наличную сумму денег, которые АО направляет на оплату оборудования по контракту;
2) при разработке оптимальной стратегии средний индекс риска инвестиционных фондов в течение каждого месяца не должен превышать 6. Этот показатель индекса риска, как предполагается, отвечает возможностям менеджера фирмы по управлению проектами;
3) в начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестиционных фондов не должна превышать 2,5 месяца. Причины те же, что и в п. 2.
Таким образом, среди потенциально реализуемых проектов выбираются наиболее экономически эффективные, при этом проекты повышенной рисковости должны компенсироваться менее рисковыми, а очень длинные проекты должны выполняться одновременно с более краткосрочными. Для решения данной задачи необходимо, во-первых, подготовить и систематизировать имеющуюся исходную информацию и, во-вторых, построить адекватную сформулированным целям экономико-математическую модель. Динамика возможных вложений и условий возврата денежных средств отражена в табл. 5.2.
Обозначения в модели:
Аi - объем инвестиций в направление (проект) А в начале месяца i (i = 1,2,...,6);
Вi - объем инвестиций в направление (проект) В в начале месяца i (i = 1,3,5);
Таблица 5.2
Сi - объем инвестиции в направление (проект) С в начале месяца i (i = 1,4);
Di - объем инвестиций в направление (проект) D в начале месяца i (i = 1);
К - объем инвестиций в начале первого месяца.
Цели, на достижение которых направлена инвестиционная деятельность АО, а также необходимые ограничения формализуются следующими соотношениями:
1. Начальная сумма инвестиций К должна быть минимальной:
К min.
2. Согласно табл. 5.2 балансовые ограничения на структуру инвестиций для каждого месяца имеют вид:
3. Ограничения на средневзвешенные риски проектов (для каждого месяца)*:
4. Ограничения на средний срок погашения инвестиционного фонда (для каждого месяца):
* Запись А
Таким образом, задача описывается моделью линейного программирования, имеющей 19 ограничений в форме равенств и неравенств и 13 переменных.* Оптимальное решение, найденное с помощью специальной компьютерной программы на ПК IBM PC/AT, имеет вид:
* Последние два ограничения в блоке 4 в силу неотрицательности искомых переменных выполняются всегда, и их можно не учитывать.
Благодаря полученному оптимальному решению удалось обеспечить уплату в срок обусловленных контрактом 150 000 дол. и вместо необходимых для конечных расчетов 600 000 дол. (750 000 - 150 000 = 600 000 дол.) заработать К = 683 176,44 дол., часть из которых способствовала уменьшению долговых обязательств по контракту (на 13,86 %).
Оптимальное решение показывает, каким неочевидным заранее, но эффективным способом распределяются инвестиционные ресурсы по месяцам реализации проекта.
Это демонстрирует возможности линейного программирования, обусловливая эффективность того, что на первый взгляд таковым не казалось.
Задача 5.2. В табл. 5.3 отражены пять проектов, которые конкурируют между собой за получение инвестиционных фондов компании. Мы видим, какие наличные деньги будут получены на вложение одного доллара.
Например, проект А - это инвестиции, которые можно сделать в начале первого года на два следующих года, причем в конце этого же года можно возвратить 30 центов на вложенный доллар, а в конце следующего года можно дополнительно получить еще 1 дол. Максимальная сумма, которая может быть вложена в этот проект, составляет 500 000 дол. Проект В полностью аналогичен проекту А, но вложение денег можно сделать только в начале следующего года и т.д. Деньги, полученные в результате инвестиций, можно реинвестировать в соответствии с предложенной схемой. В дополнение к этому компания может получать по 6 % годовых за краткосрочный вклад всех денег, которые не были вложены в инвестиции в данном году.
У компании имеется 1 000 000 дол. для инвестиций. Она хочет максимизировать сумму денег, накопленных к конечному периоду. Сформулируем задачу линейного программирования и получим решение на ЭВМ.
Решение. Построим экономико-математическую модель и приведем полученное на ЭВМ оптимальное решение.
Обозначения:
a1, b1, c1, d1, е1 - инвестиции в проекты А, В, С, D, Е соответственно; индексы 1,2,3 указывают первый, второй и третий годы вложения инвестиций;
s1, s2, s3 - суммы, которые можно положить под краткосрочные 6 % соответственно в первом, втором, третьем годах.
Экономико-математическая модель:
а) в проект А в первый год не может быть вложено более 500 000 дол.:
а1 500 000;
б) поскольку у компании имеется 1 000 000 дол., то во все проекты эта сумма должна быть вложена в первом году (иначе к конечному периоду компания не максимизирует своих накоплений):
a1, + с1 + d1+ s1 = 1 000 000;
в) аналогичный баланс на второй год:
0,30a1 + 1,1с1 + 1,06s1 = b1 + s2;
г) аналогичный баланс на третий год:
а1 + 0,3b2 + 1,06s2 = e3 + s3;
д) максимальный доход к конечному периоду:
b2 + 1,75d1 + 1,4e3 + 1,06s3 max.
Полученное оптимальное решение:
Максимальный доход к конечному периоду равен 1 797 600 дол., что указывает на высокую эффективность инвестиционного процесса (прирост на 79,76 %). Остальные не приведенные значения указанных переменных модели равны нулю.
5.2. ОЦЕНКА ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ ФИРМЫБудем рассматривать экономическое поведение неограниченно долго работающей акционерной фирмы в условиях неопределенности.
Покажем, что для такой фирмы, функционирующей во времени, существует простое правило, которому она должна следовать, чтобы максимизировать свою прибыль: максимизировать текугцую стоимость фирмы (включая и стоимость потенциальной возможности выполнения ею проектов).
5.2.1. ЧИСТАЯ ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ (БЕЗРИСКОВАЯ СИТУАЦИЯ)Дается ответ на вопрос: сколько вы сегодня заплатите за проект, который через год даст 100 дол. дохода? Плата составляет X дол., r - заданный процент прибыли (r % годовых - коэффициент дисконтирования):
Рассмотрим безрисковую ситуацию, которая обеспечивается государственными ценными бумагами (облигациями, сертификатами и т.д.).
Общее правило: если через t лет мы получим чистые наличные в стоимостном выражении NCF, то приведенная к начальному моменту стоимость проекта PV равна:
Величину PV можно интерпретировать как сумму ожидаемого дохода минус процент на капитал в качестве компенсации за ожидание.
Исходя из формулы (5.1) выявим некоторые практически важные закономерности.
1. Существует обратная зависимость между величиной PV и продолжительностью периода времени, через которую сумма NCF будет получена: PV для периода t будет больше, чем для периода t + i. Другими словами, сегодняшние деньги дороже завтрашних даже при отсутствии инфляции. А инфляция этот процесс только усиливает.
2. Существует обратная зависимость между величиной РV при определенном размере NCF и коэффициент дисконтировая r: чем больше r, тем значение PV меньше при NCF = const, т.е. чем больше r, тем более сегодняшние деньги дороже завтрашних.
3. Существует прямая зависимость между PV и NCF при фиксированных значениях r и периоде выплаты t.
Пусть в течение периода t мы получаем: через год NCF1 , через 2 года NCF2 ,..., через t лет NCFt и пусть rt ежегодный процент на капитал, который мы получаем через t лет (предполагается, что процент на капитал может ежегодно меняться, как это и наблюдается на практике). Тогда приведенная к начальному моменту стоимость PV равна:
Суть формулы (5.1) при различных значениях г графически отражена на 5.1.
5.1. Темпы спада pV в зависимости от времени и коэффициента дисконтирования
Пример 5.1. Пусть в конце 1986 г. руководству одной из фирм США предложили участвовать в строительстве и эксплуатации нового офиса в течение 6 лет. Строительство должно начаться 1 января 1987 г. и закончиться 31 декабря 1987 г. Доходы от сдачи здания в аренду и расходы известны с определенностью и представлены в табл. 5.4 (цифры условные).
Предполагается для простоты, что платежи и поступления имеют место в конце каждого гада. В конце 1992 г. стоимость здания составляла бы 1 млн дол. Какова приведенная стоимость ( к началу 1987 г.) проекта в конце 1992 г. - начале 1993 г., если процентные ставки государственных облигации, соответствующие одному, двум, ... , шести годам, будут такими, как показано в табл. 5.5?
В 1987 г. здание еще строилось и прибыли не давало. Поэтому NCF1 = 0.
С учетом данных табл. 5.4 и 5.5 приведенная к начальному моменту (1987 г.) стоимость проекта PV (строительство здания и сдача его в аренду) равна:
Пример 5.2. Рассчитаем чистую приведенную стоимость проекта NPV. Она равна разности между приведенной стоимостью всех начальных поступлений от проекта и текущей платой за проект:
NPV = PV - плата за проект. (5.3)
Пусть согласно условиям примера 5.1 фирме предложили 33%-ное участие в шестилетнем соглашении за 450 тыс. дол. Тогда для фирмы
NPV = 0,33*1 393 966 - 450 000 = 10 009 дол. (5.4)
Таким образом, с помощью формул (5.1) - (5.4) отражена экономика одного проекта фирмы. Потенциальные возможности фирмы можно охарактеризовать, по существу, портфелем ее проектов.
Ценность фирмы - это ее чистая приведенная стоимость плюс чистая приведенная стоимость портфеля проектов, т.е. сумма чистых приведенных стоимостей проектов портфеля.
Каким должно быть деловое поведение фирмы, желающей максимизировать свою приведенную стоимость?
Пусть фирма представляется совокупностью п проектов. Станет ли она богаче, приобретя еще один, (n+1)-й, проект? Очевидно, что чистая приведенная стоимость фирмы увеличивается, если предельная выгода (приведенная стоимость дополнительного проекта) будет больше предельных затрат (того, что мы заплатили за дополнительный проект), т.е. фирма станет богаче, если чистая приведенная стоимость дополнительного проекта положительна.
Фирма может выиграть от сокращения, продав проекты (капитал), которые имеют отрицательную чистую приведенную стоимость. То, что невыгодно данной фирме, может быть выгодно другой, поэтому такие проекты могут купить.
Итак, чтобы максимизировать ценность (стоимость) фирмы в условиях определенности, нужно приобретать капитал (осуществлять проекты) с положительными NPV и избавляться от капитала с отрицательным NPV.
Согласно формуле (5.4) предложенный проект имел чистую приведенную стоимость NPV=10009дол.0, однако если бы при той же (33 %) доле участия цена за это участие составляла 470 000 дол. (вместо 450 000), то NPV = 9 991 дол. 0, т.е. такой проект следовало бы отвергнуть.
Таким образом, в условиях определенности относительно малые цифры в разнице (450 000 и 470 000 дол.) затрат за участие в проекте могут решить судьбу проекта с точностью до наоборот.
5.2.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИСКОНТИРОВАНИЯ ДЛЯ РИСКОВАННОГО ПРОЕКТАКоэффициенты rt - процент на капитал, - как уже упоминалось, иначе еще называют коэффициентами дисконтирования.
Коэффициенты дисконтирования от реализации рискованного проекта должны быть выше соответствующих безрисковых (гарантированных) коэффициентов, чтобы компенсировать фирме риск:
rij =rt + премия за риск для j-го проекта,
где rt - гарантированный коэффициент дисконтирования в году t ( 5.2).
В практике экономики США премия за риск задается в виде экспертных оценок (табл. 5.6).
5.2. Гарантированный коэффициент дисконтирования в году t и с учетом риска
Чем выше степень рисковости проекта (премия за риск), тем больше значения знаменателей в формуле (5.2) и соответственно меньше значение приведенной стоимости проекта и тем менее охотно инвесторы склонны вкладывать капиталы в такие проекты. Эта ситуация характерна сейчас для России и других стран СНГ.
Отсюда вывод: если фирма хочет постоянно повышать свою стоимость, равную стоимости ведущихся ею проектов, она должна привлекать к себе доверие потенциальных инвесторов, уменьшая премию за риск и повышая тем самым стоимость приведенных к начальному моменту проектов. Привлечение доверия включает своевременную выплату дивидендов, другие акты взаимного доверия. Таким образом, постоянно действующей на рынке капитала фирме выгодно быть честной, это повышает ее прибыли за длительный период. Ведение инвестиционных проектов очень затрудняется в экономике вообще, если теряется доверие инвесторов.
5.3. ОЦЕНКА ПЕРСПЕКТИВНОГО ПРОЕКТАРанее мы смотрели на проблему максимизации прибыли с точки зрения динамики и неопределенности. Относительно динамики установлено, что «сегодняшние деньги дороже завтрашних». В части фактора неопределенности доказано, что коэффициент дисконтирования должен увеличиваться за счет «премии за риск» и по этой причине снижается приведенная к начальному моменту стоимость проекта.
Теперь рассмотрим, какие проекты фирме следует предпринимать.
Согласно формуле (5.3) чистая приведенная стоимость проекта равна приведенной к начальному моменту стоимости проекта минус приведенные затраты на его осуществление. Запишем формулу (5.3) по-другому:
где Е математическое ожидание.
Если E(NPV) 0, j-й проект следует принять.
Если E(NPV) 0, j-й проект следует отклонить.
Процедура реализации этого правила следующая:
1. Спрогнозировать спрос и получить ожидаемую выручку (поступления) от j-го проекта E(Rjt) в период t.
2. Спрогнозировать затраты (оценить их) и получить Е(Сjt).
3. Рассчитать E(NCFjt) = E(Rjt) Е(Сjt).
4. С использованием табл. 5.5 и 5.6 определить rjt.
5. Получить ожидаемую приведенную стоимость j-го проекта E(PVj).
6. Вычесть текущую цену j-го проекта (приведенные издержки на проект) и согласно формуле (5.3) получить E(NPVj).
Проиллюстрируем реализацию этих правил на следующем практическом примере.
Рассматривается вопрос о приобретении фирмой нового оборудования за 5,3 млн дол. (далее все цифры условные, но приближенные к реальным для фирм США) [11]. Оборудование того же типа, что и остальное на фирме. Предполагается использовать это оборудование в течение пяти лет, а затем продать. Следует осуществлять этот проект или отклонить его?
Менеджеры фирмы подготовили следующую информацию.
Затраты фирмы - средние (А - average) и общие (Т- total) на единицу продукции описываются соответственно формулами:
AVC = 20 3Q + 0,25 Q2;
TVC = AVC*Q,
где Q - выпуск продукции в млн единиц в год.
Прогноз цены (оптимистической, наиболее вероятной и пессимистической) на продукцию фирмы по годам реализации проекта с учетом вероятностей ее возникновения отражен в табл. 5.7.
* В скобках указаны вероятности соответствующих цен.
Оптимальный выпуск продукции и ожидаемая выручка по годам реализации проекта представлены в табл.5.8. Ожидаемая выручка рассчитывается как математическое ожидание с учетом вероятностей исходов согласно табл. 5.7. Например (первая цифра сверху в последней колонке табл. 5.8):
10,2 = 16 * 0,3 + 10,7 * 0,5 + 0 * 0,2.
Зная объем выпуска, можно определить полные переменные затраты и, прибавив ежегодные фиксированные затраты, определить полные ежегодные затраты. Пусть в нашем случае ежегодные фиксированные затраты составляют 3,5 млн дол.
Таблица 5.8
В табл. 5.9 приведены полные затраты при различных ценах и различных вероятностях исходов.
* В скобках указаны вероятности соответствующих цен.
Расчет ожидаемых полных затрат (верхнее число в правой колонке, см. табл. 5.9):
10,4 = 13,1 * 0,3 +11,5 * 0,5 + 3,5 * 0,2 .
Получив из табл. 5.8 и 5.9 ожидаемую выручку и ожидаемые затраты, комбинируем рассчитанные данные и получаем ожидаемые чистые поступления по годам в млн дол., т.е. E(NCFt), табл. 5.10.
Теперь определяем коэффициент дисконтирования, считая проект средним между рискованным и высокорискованным. С учетом данных табл. 5.6 примем премию за риск, равную 7,5 %. В результате получим приведенную стоимость проекта (табл. 5.11).
Таблица 5.11
Всего за 5 лет приведенная стоимость проекта составит:
-0,177 - 0,155 + 1,766 + 1,835 + 3,39 = 6,659 млн дол.
Чистая приведенная стоимость рассматриваемого j-го проекта за это же время равна:
E{NPVj) = 6,659 - 5,3 = 1,359 млн дол. 0, (5.6)
где 5,3 млн дол. - затраты на приобретение оборудования по первоначальному условию.
Вывод. Проект следует принять. Все представленные расчеты выполнены на уровне математических ожиданий, поэтому действительный результат в отношении чистой приведенной стоимости проекта может отличаться и в ту, и в другую сторону. Тем не менее, несмотря на приближенность расчета, это обоснование проекта, а не принятие решения «по интуиции» или просто волевое решение - без обоснования.
5.4. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ПРОЕКТАКроме описанного наиболее точного, но и наиболее трудоемкого метода принятия инвестиционных решений используются другие методы, определяемые следующими критериями:
срок окупаемости;
прибыль на капитал;
внутренняя норма прибыли.
Рассмотрим суть этих методов.
Срок окупаемости. Это период, в течение которого фирма вернет начальные капитальные вложения. Если срок окупаемости меньше заданного нормативного срока, то проект принимается. В противном случае отвергается.
Пример 5.3. Пусть для рассмотренного в разд. 5.3 инвестиционного проекта установлен нормативный срок окупаемости капитальных вложений 3 года. Начальные капитальные вложения были определены выше и равны 5,3 млн дол.
Из табл. 5.11 очевидным образом получается табл. 5.12.
Поскольку наличные капиталовложения равны 5,3 млн дол., то проект окупится, как видно из табл. 5.12., лишь через 4 года при нормативном сроке 3 года. Поэтому проект должен быть отклонен. Таким образом, использование критерия по сроку окупаемости может привести к отклонению инвестиционного проекта с положительной ожидаемой чистой стоимостью (она у нас была равна 1,359 млн дол.). Нетрудно видеть, что при других нормативных сроках освоения капитальных вложений согласно данному критерию можно также прийти к принятию проекта с отрицательной ожидаемой чистой стоимостью E(NPVj) 0. Причина в том, что поступления от проекта в разные моменты времени не дисконтируются. Следовательно, по этому критерию слишком большой вес придается ранним поступлениям и слишком малый - более поздним. Поступления после заданного срока окупаемости не имеют ценности вообще, что противоречит здравому смыслу. Да и заданный нормативный срок окупаемости (в данном случае 3 года) субъективный. Если бы в данном примере был установлен срок 4 года, проект был бы принят.
Таким образом, метод простой, но за простотой стоит очень невысокая точность результатов, что, впрочем, логично: без серьезных научных исследований нельзя получить достаточно надежных результатов.
Прибыль на капитал. Средняя прибыль на капитал инвестиционного проекта определяется как среднегодовая прибыль, деленная на сумму инвестиций в проект. Принять или не принять проект, определяется сравнением прибыли проекта с заданной.
Пример 5.4. Пусть требуемая средняя норма прибыли проекта равна 60 %. Суммарные чистые поступления от проекта составляют 11,9 млн дол. в течение 5 лет (см. табл. 5.12), т.е. среднегодовая прибыль равна:
Инвестиции составили 5,3 млн дол., поэтому прибыль проекта будет
что меньше заданных 60 %. Таким образом, проект и по этому критерию отклоняется, хотя для него согласно формуле (5.6) положительная ожидаемая чистая стоимость E(NPV) 0, и при более точной оценке проект должен быть принят.
В отличие от критерия по сроку окупаемости здесь, наоборот, слишком большой вес придается поздним поступлениям: поскольку поступления не дисконтируются, удаленные по времени поступления рассматриваются как текущие, нарушается установленное выше правило, что «сегодняшние деньги дороже завтрашних».
Внутренняя норма прибыли. Суть этого критерия проиллюстрируем на следующем примере.
Пример 5.5. Рассмотрим однопериодный инвестиционный проект:
Инвестиции, дол. ............................................. 100 000
Чистые поступления в конце года, дол. ....... 108 000
Норма прибыли N при этом равна:
Следовательно, для одного периода критерий, эквивалентный правилу чистой приведенной стоимости проекта, был бы такой: принять проект, если коэффициент дисконтирования (процент на капитал) r меньше 8 %. Другими словами, вместо принятия проекта с инвестициями 100 000 дол. и под прибыль r = 8 % выгоднее просто положить деньги в банк под р % годовых, если рr.
По этой схеме работают фирмы по продаже автомашин, недвижимости в ряде западных стран. Машину можно купить в кредит под 6 % годовых, а деньги положить в банк под 9 % годовых. Здесь коэффициент дисконтирования r = 6 % 9 %. Если бы r стал больше 9 %, состоятельные люди покупали бы машины за наличные, а часть других, возможно, не покупала бы вообще. В результате спрос на автомашины снизился бы, что было бы невыгодно производителям автомобилей. На западном рынке так обстоит дело с приобретением многих товаров и услуг, в результате значительная часть общества живет в кредит, хотя это никак не говорит об их бедности.