| 
|
|
|
|
Задача 7.1. Необходимо построить в регионе электростанцию большой мощности. В данном регионе имеются возможности:
а1 - построение большого водохранилища и гидроэлектростанции;
a2 - сооружение тепловой электростанции на основном (газовом) топливе и резервном (мазуте);
a3 - сооружение атомной электростанции.
Возможные решения А = {а1, а2, а3}. Экономическая эффективность каждого варианта рассчитана проектным институтом, который учитывал затраты на строительство и эксплуатационные расходы.
На эксплуатационные расходы гидроэлектростанции влияют климатические условия, например, такие, как погодные условия, определяющие уровень воды в водохранилищах.
Большое число случайных факторов воздействует на экономическую эффективность тепловой станции: цены на мазут и газ, срывы поставок мазута из-за неритмичности работы транспорта в зимнее время, особенно во время снегопадов и продолжительных морозов.
Экономическая эффективность атомной электростанции будет зависеть от больших затрат на строительство и устойчивости агрегатов и системы управления во время эксплуатации.
Таким образом, погодные условия будут в основном сказываться на расходах по эксплуатации гидроэлектростанции и тепловой электростанции. Следовательно, на эффективность тепловой электростанции будут влиять как погодные условия, так и цены на газ и мазут.
Случайные факторы, от которых зависит экономическая эффективность вариантов капиталовложении, объединим в четыре возможных состояния природы - = (1, 2, 3, 4) с учетом окупаемости:
1 - цены на газ и мазут низкие и климатические условия благоприятные;
2 - цены на газ и мазут высокие и климатические условия благоприятные;
3 - цены на газ и мазут низкие и климатические условия неблагоприятные;
4 - цены на газ и мазут высокие и климатические условия неблагоприятные.
Решение. Представим в табл. 7.1 полученные расчеты эффективности W(, a).
Таблица 7.1
В стратегической игре (, A, W) игрок 1 - статистик, а игрок 2 - природа.
Матрица игры имеет седловую точку, равную 30 ед.:
Если бы не было дополнительной статистической информации, то на этом игра закончилась бы решением a3 - строить атомную электростанцию. Это было бы осторожным решением.
С помощью имеющихся временных рядов можно получить апостериорную информацию, поскольку о влиянии на цены за газ, мазут таких состоянии, как наводнения, засухи, морозы, сильные снегопады и т.п., существует статистическая информация.
По данным многолетней статистики цен и состояний получены оценки апостериорного распределения состояний природы. Данные непосредственного наблюдения состояний природы позволили получить апостериорное распределение состояний природы:
P(1) = 0,15; Р(3) = 0,20;
P(2) = 0,30; P(4) = 0,35.
Имея апостериорное распределение состояний природы, можно преобразовать стратегическую игру (, A, W) в статистическую, в которой платеж игроку (статистику) будет определен как математическое ожидание в данном распределении состояний природы M[W(, a)].
Математическое ожидание максимизирует оптимальная байесовская стратегия статистика, что эквивалентно минимизации байесовского риска в статистической игре, в которой функция потерь L(, a) = -W(, a).
Для отдельных решений получим математические ожидания M[W(Q, a)]:
M[W(, a1)] = 50*0,15 + 50*0,30 + 25*0,20 + 25*0,35 = 36,25;
M[W(, а2)] = 40*0,15 + 25*0,30 + 35*0,20 + 20*0,35 = 27,50;
M[W(, a3)]=30*0,15+30*0,30+30*0,20+30*0,3 5=30,00;
max M[W(, a)]=M[W(, a1)]=36,25.
Вывод. Оптимальным решением будет инвестирование средств в проект а1 - строительство гидроэлектростанции.
Задача 7.2. Разведка недр в регионе показала наличие месторождений серы. Требуется решить, разрабатывать месторождение, т. е. инвестировать строительство комплекса (а1), или воздержаться (a2). Таким образом, множество решений А= {а1, а2}. Проведенные геологические исследования позволили открыть месторождение, но не дали ответа, строить или не строить комплекс.
Состоянием природы в данном случае будет глубина залегания, так как истинное залегание пластов неизвестно. Если глубина небольшая, то экономическая эффективность разработки будет высокой. Если глубина большая, то эффективность может оказаться низкой и добыча серы может не окупиться.
Введем обозначения для состояний природы:
1 - месторождение находится на глубине, благоприятной для разработки;
2 - месторождение находится как на малой, так и на большой глубине;
3 - месторождение находится в основном на большой глубине.
Решение. Проведем экономический расчет эффективности и результаты расчета в рублях представим в табл. 7.2.
Таблица 7.2
Нулевая эффективность относится к случаю отказа от разработки, a1 = 30 означает, что разработка и добыча месторождений серы не оправдают затрат, а, наоборот, приведут к убыткам в 30 тыс. руб.
Полную неопределенность можно уменьшить благодаря дополнительной статистической информации. Тогда задача станет не стратегической, а статистической. Эту информацию можно получить, проведя сейсморазведку и поисковое бурение, что позволит более точно, чем при разведочных работах, определить среднюю глубину Залегания пластов серы, так как станут известны вероятности залегания. Это несколько снизит эффективность, но оправдает дополнительные затраты. По результатам дополнительных исследований получим множество
Х = {х1, х2, x3},
где х1, х2, x3 - малая средняя, умеренная средняя и большая средняя глубина залегания пластов соответственно.
По данным дополнительных исследований были оценены условные вероятности получения отдельных результатов хi Х для соответствующих состояний природы :
От стратегической игры (, A, W) переходим к задаче в условиях риска (, D, R).
При этом игроком 1 будет природа, а игроком 2 - статистик. Обозначим D - множество стратегий статистика, т. е. множество функций d, отображающих множество Х во множество А.
Функцией платежей будет функция риска R(, d) = M[L(, а)], где функция потерь принимает значения L(, a) = W(, а) (табл. 7.3).
Таблица 7.3
Составим таблицу множества возможных нерандомизированных функций d (dD; 23 = 8) решений при разных хi (табл. 7.4). Рассчитаем по табл. 7.4 значения риска. Воспользуемся данными вероятностей состояний природы и получим на основании функции потерь их математические ожидания, т. е. функции риска:
Таблица 7.4
Продолжая далее расчеты, получим таблицу значении риска. Матрица (табл. 7.5) имеет седловую точку, равную нулю. Но это решение нельзя отнести к разумной стратегии. С учетом чрезмерной осторожности всегда предполагается принятие решения a2 - не разрабатывать месторождение, не инвестируя - не рискуешь, но и прибыли не получишь.
Таблица 7.5
Оптимальной стратегией статистика, представляющего инвестиционную организацию, будет байесовская функция решения, которую можно оценить с использованием функции распределения вероятностей залегания серы на разной глубине, полученной на основе полных, достаточно обширных геологических исследований и равной: P(1) = 0,2; P(2) = 0,5; P(3) = 0,3.
С учетом априорного распределения r(, d) можно определить оптимальную байесовскую функцию, минимизируя риски.
Для этого вычислим все восемь значений и возьмем минимальное из них:
Из полученных данных заключаем, что
Итак, оптимальной байесовской стратегией статистика в статистической игре (, D, R), которая моделирует эксплуатацию месторождений, будет функция решения d2, в которой d2(x1) = a1; d2(x2)=a1; d2(x3)=a2.
Вывод. Инвестиции оправдывают затраты и могут дать прибыль 27,3 тыс. руб., если дополнительные исследования дали результат x1 - малая глубина или х2 - средняя глубина залегания серы.
Только в случае, если геологические исследования дадут результаты x3 (в среднем глубокое залегание), нужно принять решение а2: в связи с экономической неэффективностью разработки месторождения воздержаться от его инвестирования.