Юрий Толочко - Value-at-Risk: методика расчета рыночного риска
Главный экономист Главного управления международных операций Национального банка
В управлении финансами значительную роль играет правильно построенная система риск-менеджмента. Ее целью являются ограничение возможных убытков от осуществления деятельности и недопущение превышения убытками критических значений, которые могут значительно затруднить или не позволить банку, финансовой компании продолжать свою деятельность.
При проведении риск-менеджмента сначала производится анализ видов рисков, оказывающих влияние на деятельность компании или банка. В зависимости от целесообразности учета в работе этих рисков по возможности проводится количественная оценка их влияния на финансовый результат. На основе данных оценок или исходя из иных обоснованных предположений осуществляется определение уровней допустимых потерь, которые приводят к установлению ограничений в деятельности банка или компании. С целью контроля за соблюдением установленных ограничений производится постоянный мониторинг рисковой деятельности финансовой компании или банка.
Описание различных видов рисков, возникающих при осуществлении финансовой деятельности, можно найти в разных источниках [1, 2]. Следует отметить, что в практической деятельности одними из наиболее значимых видов риска являются те, которые связаны с неопределенностью изменений рыночных котировок (валютный, ценовой и процентный риски). Так, валютный риск связан с потерями при неблагоприятном изменении валютных курсов; ценовой — с неблагоприятным изменением цен на финансовые инструменты (традиционно с изменениями цен на акции); процентный — с неблагоприятным изменением процентных ставок по процентным финансовым инструментам (например, облигации). Эти виды рисков можно анализировать как отдельно, так и вместе, однако их рассмотрение по отдельности позволяет точнее определять источники риска.
На практике при анализе данных видов риска наиболее предпочтительной является их количественная оценка. То есть целесообразно получение оценок возможных потерь от использования соответствующих финансовых инструментов и их комбинаций в течение определенного инвестиционного горизонта. Во-первых, это позволяет отразить риск каждой позиции и риск портфеля в целом. Во-вторых, на основе таких оценок возможна классификация по степени риска, что помогает принимать те или иные решения.
С точки зрения получения данных оценок целесообразно рассмотреть методику VAR (Value-at-Risk — стоимость, подверженная риску). Она появилась сравнительно недавно (в 90-х годах ХХ века) и первоначально использовалась только в финансовой сфере. В настоящее время методика применяется и в управлении деятельностью компаний из других отраслей
[3].
Суть методики VAR состоит в ответе на вопрос, какую величину не превысят максимальные потери по окончании инвестиционного горизонта со степенью уверенности, равной заданной вероятности. То есть результаты расчетов по данной методике могут представляться следующим образом. При вложении в евро одного миллиона долларов США на период, равный одному месяцу, потери свыше 49,2 тысячи долларов США могут реализоваться с вероятностью менее 5 процентов. Сами расчеты заключаются в вычислении суммы максимальных потерь при остальных параметрах, задаваемых извне (в том числе и на основании дополнительных расчетов с использованием исторических рядов данных о котировках финансовых инструментов). При этом под значением VAR понимается рассчитанная сумма максимальных потерь (в приведенном примере — 49,2 тысячи долларов США).
Общий подход к расчету значения VAR состоит из следующих шагов.
1. Должна быть определена позиция, расчет значения VAR кото-
рой производится. Она может представлять собой как размещение средств в один вид финансовых инструментов, так и в несколько (в портфель финансовых инструментов). При этом необходимо определить инвестиционный горизонт, на который предполагается размещение средств, а также базовую валюту для расчета финансового результата инвестиций. Кроме того, выбирается уровень вероятности а, допустимый для расчета VAR (обычно используются значения 5 процентов или 1 процент).
2. Вычисления базируются на оценке изменения текущей рыночной стоимости позиции, поэтому ее значение рассчитывается в единицах базовой валюты So.
3. На основе исторических данных о доходностях использования в прошлом аналогичной позиции или на основе иных обоснованных предположений делаются выводы о виде статистического распределения вероятностей и, соответственно, функции распределения вероятностей доходности позиции по окончании инвестиционного горизонта:
F(x) = P(%< х), -ж < x < + ж
где % — случайная величина — доходность позиции по окон-чании инвестиционного горизонта;
р(% < х) — вероятность события %< х.
4. На основе полученной функции распределения, во-первых, рассчитывается ожидаемая доходность M позиции по окончании инвестиционного горизонта (математическое ожидание или среднее значение случайной величины). Во-вторых, определяется квантиль уровня а, то есть значение х, при котором P(%< х) = а (обозначается F
l(a)). Исходя из представленного соотношения, все уровни доходности меньше критического значения х будут наблюдаться с вероятностью не более а.
С учетом полученного критического значения и среднего ожидаемого значения доходностей можно рассчитать значение VAR. Например, если в качестве доходностей использовались обычные относительные доходности, то есть доходности вида (Pi- Po )/Po, где Po и Pi соответственно стоимости на начало и конец какого-либо расчетного периода, то значение VAR рассчитывается следующим образом:
VAR = So-(M - F
i(a)).
Рассмотрим подробнее, как был получен результат приведенного выше примера.
Задача состояла в расчете риска позиции размещения одного миллиона долларов США в евро на период в один месяц. Базовая валюта, в которой рассчитывается финансовый результат, — доллары США. Допустимый уровень вероятности — 5 процентов. Текущая дата на момент расчета —
1 декабря 2003 года. Рыночная стоимость позиции на дату расчета совпадает с инвестируемой суммой один миллион долларов США, поскольку базовой валютой является доллар США.
Основной этап в расчете значения VAR — определение распределения вероятностей доходности позиции. На основе данных за период с 1 января 1999 года по 1 декабря 2003 года (за весь период с момента ввода в обращение валюты евро) были рассчитаны ряды относительных доходностей вложений долларов США в евро на периоды, равные одному месяцу. Гистограмма полученного статистического ряда данных представлена на рисунке 1.
Рассмотрев рисунок, можно сделать допущение о нормальности распределения вероятностей доходности. Проведение дополнительных статистических тестов (Колмогорова-Смирнова и %-квад-рат теста) проверки соответствия полученного результата нормаль-
Гистограмма относительных доходностей
Рисунок 1
ному распределению вероятностей также не отвергло гипотезу о нормальности. В итоге, принимая в качестве искомого нормальное распределение вероятностей, можно переходить к расчету VAR.
Параметры полученного нормального распределения: среднее — 0,08 процента,среднеквадратическое отклонение — 2,99 процента. Таким образом, используя введенные ранее обозначения, M получилось равным 0,08 процента, а значение квантили — уровня 5 процентов, которое может рассчитываться как с использованием статистических программ, так и посредством Excel (функция NORMINV), составило -4,84 процента.
В итоге, используя приведенную выше формулу для расчета VAR, значение VAR составило 1 000 000^(0,08 процента - (-4,84 процента)) = 49 200 долларов США.
Ключевым моментом при нахождении значения VAR является определение вида распределения вероятностей доходности. Но следует отметить, что с целью решения этой задачи не менее важно выбрать вид доходности, который будет использоваться в расчетах.
В приведенном выше примере использовались относительные доходности и предполагалось, что оцениваемая доходность подчиняется нормальному закону распределения вероятностей. Нормальность распределения относительной доходности — достаточно логичное предположение, которое можно обосновать, однако применение такого подхода имеет недостатки. При использовании относительных доходностей в расчетах статистических характеристик учитываются случаи нахождения доходностей в больших отрицательных значениях. С точки зрения экономического смысла такие случаи невозможны, иначе они бы соответствовали случаям потерь инвестором средств, значительно превышающих первоначальный объем инвестиций.
Избежать данного недостатка возможно, используя кумулятивные доходности (доходности вида P1/P0, где Ро и Pi, соответственно, стоимости на начало и конец расчетного периода) в предположении логнормальности их распределения вероятностей. Другими словами, это предположение подразумевает, что натуральный логарифм кумулятивной доходности имеет нормальное распределение вероятностей. Поскольку логарифмическая функция не определена на области отрицательных значений, но может принимать любое действительное значение, названная проблема в указанном предположении отсутствует. В настоящее время такое предположение о виде распределения доходностей финансовых инструментов является наиболее типичным в практике инвестиционного анализа, поскольку обладает хорошими статистическими свойствами.
Во-первых, оно весьма близко к предположению о нормальности распределения вероятностей относительных доходностей, что следует из: если r — относительная доходность, то соответствующая логарифмическая кумулятивная доходность имеет вид ln(1+r), а при малых значениях r логарифм значения 1+r приблизительно равен г.
В частности, если использовать данные приведенного выше примера, параметры нормального распределения логарифмической кумулятивной доходности, приведенные к сопоставимому виду, то есть умноженные на 100, получаются схожими с параметрами нормального распределения относительной доходности (значения в скобках): среднее — 0,04 (0,08), среднеквадратическое отклонение — 2,96 (2,99). Для сравнения гистограмма ряда логарифмических кумулятивных доходностей представлена на рисунке 2.
Во-вторых, концепция использования логарифмических куму-
Гистограмма логарифмических кумулятивных доходностей
Значения логарифмической кумулятивной доходности (умноженные на 100)
Рисунок 2
Как видно из представленных расчетов, доходность по итогам двух удачных лет превышает ожидаемую доходность на 35,25 процента. Данное отклонение больше, чем отклонение доходности по итогам двух неудачных лет от ожидаемой доходности (30,75 процента). Следует отметить, что по итогам первого года аналогичные отклонения были одинаковыми. Это говорит о том, что при учете нескольких последовательных ин-
В практической деятельности одними из наиболее значимых видов риска являются те, которые связаны с неопределенностью изменений рыночных котировок (валютный, ценовой и процентный риски).
лятивных доходностей согласуется с предположением о случайном изменении доходности в течение последовательных периодов, составляющих инвестиционный горизонт, в условиях известного распределения вероятностей доходности. То есть она согласуется с финансовой теорией случайного блуждания, широко используемой в практике финансового анализа (например, на ней основана методология известного пакета программ для проведения риск-менеджмента Risk Metrics) [4].
Предположим, что рассматриваются инвестиции в некоторый финансовый инструмент и инвестиционный горизонт составляет два года. Как для первого, так и для второго года предполагается, что с равной вероятностью можно получить прибыль в размере 25 процентов или убыток, равный -5 процентам. Тогда после окончания первого года ожидаемая доходность инвестиций составит 10 процентов (10 процентов = 50 про-центов^25 процентов + 50 процен-тов^ (-5 процентов)). По окончании второго года возможны четыре варианта результата инвестиций (в скобках указан номер варианта): два последовательных года с прибылью (1); два последовательных года с убытками (2); первый год с прибылью, второй — с убытком (3); первый год с убытком, второй — с прибылью (4). Вероятности реализации и доходности инвестиций для каждого из вариантов представлены в таблице 1.
В итоге ожидаемая доходность инвестиций по окончании второго года составит 21 процент (21 процент = 25 процентов^56,25 процента + 25 процентов^(-9,75 процента) + 25 процентов^18,75 процента + 25 процентов^18,75 процента).
вестиционных периодов распределение относительной доходности имеет тенденцию к смещению. Распределение доходности перестает быть симметричным. И поскольку целесообразнее рассматривать только инвестиции с положительным математическим ожиданием, график плотности распределения доходности в данном случае имеет тенденцию к удлинению вправо (см. рисунок 3). При этом чем больше инвестиционных периодов включается в рассмотрение, тем больше смещение распределения вероятностей.
Таким образом, если однопериодное распределение вероятностей относительной доходности являлось нормальным, многопериодное
распределение перестает удовлетворять свойствам нормального распределения. Однако такой вывод невозможен в случае использования логарифмических кумулятивных доходностей. Логарифмические кумулятивные доходности нейтрализуют данный эффект.
Рассмотрим ранее приведенную таблицу 1 с использованием логарифмических кумулятивных доходностей (см. таблицу 2).
В этом случае ожидаемое значение логарифмической кумулятивной доходности составило 17,19 процента(17,19 процента = 25 процентов^44,63 процента + 25 процентов^(-10,26 процента) + 25 процентов^17,19 процента + 25 процентов^17,19 процента) и распределение доходностей стало
симметричным (отклонения крайних значений от ожидаемого значения составили одинаковую величину — 27,44 процента). Каким бы ни было при рассмотрении количество инвестиционных периодов, данное свойство сохраняется. Это связано с тем, что логарифмическая кумулятивная доходность представляет собой математическую модель доходности при непрерывной капитализации процентов в каждый момент времени.
Важным является вывод: если однопериодное распределение вероятностей логарифмической кумулятивной доходности было нормальным, то многопериодное распределение также будет иметь вид нормального распределения.
Таким образом, при рассмотрении процесса изменения котировок финансовых инструментов как процесса случайного блуждания (то есть при отсутствии прогнозов на будущее предполагать, что в каждый элементарный момент времени котировки ведут себя случайно в соответствии с некоторым известным законом распределения вероятностей), наиболее подходящей моделью для доходности является предположение о нормальном распределении логарифмической кумулятивной доходности.
В-третьих, продолжая рассматривать преимущества использования логарифмической кумулятивной доходности, следует отметить ее предпочтительность при анализе рисков, связанных с изменениями валютных курсов.
Изменение плотности распределения вероятностей доходности при нескольких последовательных инвестиционных периодах
пользование логарифмической кумулятивной доходности позволяет сохранить предположения о нормальности распределения для кросс-курсов валют, а также избежать так называемого парадокса Сигеля. Рассмотрим данные свойства подробнее.
Нетрудно проверить, что если, например, Rgbp/usd логарифмическая кумулятивная доходность валютного курса фунта стерлингов по отношению к доллару США, Reur/usd логарифмическая кумулятивная доходность валютного курса евро по отношению к доллару США, то логарифмическая кумулятивная доходность кросс-курса фунта стерлингов по отношению к евро будет равняться:
Rgbp/eur = Rgbp/usd - Reur/usd. Если логарифмические кумулятивные доходности валютных курсов были нормально распределенными, то и логарифмическая кумулятивная доходность кросскурса также будет нормально распределенной. Однако этот вывод нельзя считать правильным при использовании относительных доходностей. В таком случае соотношение между доходностями имеет вид:
_ Fgbp/usd - Feur/usd rgbp/eur = -—j-.
Feur/usd + 1
Данный вид нелинейный, и при нормальности распределения относительных доходностей валютных курсов нельзя сделать вывод о нормальности распределения относительной доходности кросскурса.
Парадокс Сигеля (Siegel’s paradox) можно проиллюстрировать на следующем примере. Предположим, что текущий курс доллара США 1,15 за один евро. Есть два инвестора: один — американский, другой — европейский, и у обоих одинаковые ожидания относительно будущего значения курса. Например, они предполагают изменение курса до значения 1,20. Тогда
США составит -4,17 процента (-4,17 процента = (1/1,20)/(1/1,15) - 1). Парадокс состоит в том, что указанные доходности не компенсируют друг друга. Легко проверить, что при использовании логарифмических кумулятивных доходностей данный парадокс не возникает.
Таким образом, логарифмические кумулятивные доходности — удобное средство для анализа, операции с ними более просты, чем с другими видами доходностей, и при типичных преобразованиях они сохраняют статистические свойства. В случае практического внедрения анализа рисков в виде программных продуктов эти доходности в целом способствуют упрощению реализации методики VAR.
Касаясь реализации методики VAR, следует отметить, что после выбора используемой в расчетах доходности и определения вида распределения вероятностей доходности существенным является подход к оцениванию параметров распределения вероятностей. В частности, для нормального распределения логарифмической кумулятивной доходности необходима оценка параметров среднего значения и среднеквадратического отклонения доходности.
Если для финансовых инструментов имеются в наличии исторические ряды котировок, то оценивание параметров может осуществляться на их основе с помощью статистических выборочных оценок. В частности, для логарифмической кумулятивной доходности могут использоваться значения выборочного среднего и выборочного среднеквадратического от-
Суть методики VAR состоит в ответе на вопрос, какую величину не превысят максимальные потери по окончании инвестиционного горизонта со степенью уверенности, равной заданной вероятности.
клонения. В этом случае важен выбор периода исторических данных, на основании которого рассчитываются оценки, поскольку выбор различных исторических периодов будет приводить к различным значениям оценок пара-
относительная доходность американского инвестора при вложении долларов США в евро составит 4,35 процента (4,35 процента = 1,20/1,15 - 1). Относительная доходность европейского инвестора при вложении евро в доллары
метров. В связи с этим целесообразно порекомендовать следующий подход к выбору исторического периода для оценивания. Наиболее предпочтительным является использование самых свежих последних данных об изменениях котировок (то есть выбор периода, затрагивающего время непосредственно перед проведением анализа). Тем самым данные будут содержать в себе последние тенденции развития рынка анализируемого финансового инструмента. При этом длина исторического периода должна выбираться исходя из соображений продолжения тенденций на будущее, сложившихся в течение этого периода. Альтернативен подход, при котором предполагается, что в будущем произойдет изменение сложившихся тенденций. В таком случае для оценивания может использоваться определенный период в прошлом, тенденции в котором соответствовали текущему прогнозу.
Если для анализируемого финансового инструмента отсутствуют или недоступны исторические ряды данных изменения котировок, то выбор распределения и оценка его параметров производятся на основе специально разрабатываемых математических моделей либо исходя из иных обоснованных предположений. Например, в качестве параметров могут приниматься соответствующие параметры аналогичных финансовых инструментов, выпущенных эмитентами, которые близки или схожи с эмитентом, выпустившим анализируемый финансовый инструмент.
Следует отметить, что в случае оценивания по рядам исторических данных параметра среднеквадратического отклонения возможно учитывать информацию только об отрицательных изменениях доходности. Это связано с тем, что методика VAR направлена на оценку потенциальных убытков. В случае же обычного использования выборочного среднеквадратического отклонения в его расчет попадают как отрицательные, так и положительные изменения доходности. Тем самым оценка потенциальных потерь становится загроможденной исторической информацией, связанной со случаями получения прибыли, что не вполне обоснованно.
Особенности плотности распределения логарифмической кумулятивной доходности
При оценивании по историческим данным распределения логарифмических кумулятивных доходностей следует учитывать, что такое распределение имеет некоторые отличия от предполагаемого нормального распределения. Можно обнаружить, что оно обычно обладает так называемым лептокур-тозисом. То есть по сравнению с нормальным распределением более вероятно получение значительных отрицательных или положительных значений. Это выражается в наличии у плотности распределения “тяжелых хвостов”, “тонкой талии” и более высокого пика (см. рисунок 4). Если при проведении анализа названные особенности будут ярко выраженными, то требуется расчет VAR не через нормальное распределение, а с помощью более точных методов расчета квантили по имеющемуся распределению.
операций на основе характеристик доходности и риска. Преимущество использования методики VAR для расчета лимитов на операции, связанные с риском неблагоприятного изменения котировок, заключается в том, что основным параметром для расчета и контроля лимитов становится значение ожидаемых потерь. В этом случае четко обосновывается выделение определенных объемов средств на определенные виды операций.
Процесс определения лимитов можно представить следующим образом. По предполагаемым направлениям размещения рассчитываются характеристики VAR. На их основе определяются допустимые для финансовой компании или банка потери по направлениям размещения и, исходя из данных значений, рассчитываются лимиты выделения средств на ви-
Основной этап в расчете значения VAR — определение распределения вероятностей доходности позиции.
Из наиболее типичных случаев применения методики VAR можно выделить, во-первых, расчет лимитов на операции, связанные с риском неблагоприятного изменения котировок; во-вторых, оценку эффективности осуществления
ды операций. Также в качестве альтернативы возможно установление лимитов напрямую на значения VAR позиций. Тем не менее как в том, так и в другом случае основным параметром, контролируемым в процессе осуществления
деятельности, становится значение VAR. При этом в проведении расчетов целесообразно основываться на критерии покрытия значений VAR собственными средствами финансовой компании или банка.
Следует отметить, что VAR не является аддитивной мерой риска (то есть значение VAR совокупной позиции, как правило, меньше суммы значений VAR, рассчитанных по составляющим позиции).
Это связано со свойством диверсификации, заключающимся в том, что неблагоприятное изменение котировок по одному финансовому инструменту может в определенной степени компенсироваться благоприятным их изменением по другому финансовому инструменту, что уменьшает риск совокупной позиции. Поэтому лимиты значений VAR по совокупным позициям могут быть меньше, чем суммы лимитов по их составляющим (см. рисунок 5).
Еще один пример типичного применения методики VAR относится к оценке эффективности управления средствами. Обычно критерием эффективности является доходность операций. Тем не менее существенную дополнительную пользу несет информация о риске операций. Если такой же уровень доходности получен при меньшем риске операций, то при прочих равных условиях такая информация свидетельствует о более качественном управлении средствами.
Для такой оценки возможно использование показателя эффективности, представляющего собой отношение доходности от операций к доле VAR от общего объема инвестированных средств. Этот показатель будет характеризовать доходность на единицу VAR, а также отражать эффективность операций в терминах доходности и риска. Чем больше значение данного показателя, тем более качест-
венно производилось управление средствами с точки зрения доходности и риска.
Методика Value-at-Risk применяется и в других случаях при проведении финансового анализа (один из примеров ее применения [5]). Ее использование является достаточно удобным, поскольку значение VAR имеет понятную экономическую интерпретацию и дает количественную оценку рыночного риска, что может широко использоваться на практике. Внедрение данной методики позволяет более обоснованно принимать финансовые решения, а также оценивать их эффективность. Следует также отметить, что при профессиональной работе с рыночными финансовыми инструментами ее применение наиболее предпочтительно при осуществлении риск-менеджмента.
Пример иерархической структуры лимитов значений VAR
Рисунок 5
Источники:
1. Фабоцци Ф. Управление инвестициями. — М.:ИНФРА-М. 2000. С. 932.
2. Рэдхэд К., Хьюс С. Управление финансовыми рисками. — М.:ИНФРА-М. 1996. С. 288.
3. Бартон Т., Шенкир У., Уокер П. Комплексный подход к риск-менеджменту. — М.:Издательский дом “Вильямс". 2003. С. 208.
4. RiskMetrics — Technical Document. — Fourth Edition / J.P.Morgan, Reuters. 1996. Р. 284.
5. Толочко Ю., Мирончик Н. Валютный риск и оптимальная валютная структура // Банкауск весшк. 2002. № 10. С. 25 —29.
Содержание раздела
