ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ ГРАНИЦЫ И ОПТИМАЛЬНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ

Настоящая глава посвящена способам определения оптимальных портфелей и эффективной границы. Вначале мы рассмотрим графический подход определения эффективной границы, предложенный Г.Марковцем, после этого приведем метод множителей Лагранжа определения эффективной границы Г.Марковца и рыночного портфеля при возможности коротких продаж. В заключение остановимся на использовании метода линейного программирования.

4.1. Определение эффективной границы с помощью кривых изосредних и изодисперсий

4.1.1. Эффективная граница при невозможности коротких продаж

Метод нахождения эффективной границы был предложен Г.Марковцем в статье “Portfolio Selection”.¹ Он представил графическую иллюстрацию метода для портфелей, состоящих из трех активов, для условий, когда короткие продажи невозможны. Рассмотрим рассуждения Г.Марковца.

Ожидаемая доходность портфеля из трех активов равна:

уд. вес і -го актива;

r_t - ожидаемая доходность і -го актива.

Короткие продажи невозможны, поэтому ?_і > 0 для / = 1, 2, 3. Выразим уд. вес третьего актива из формулы (4.3):

(4.4)

?_г = \-?₁-?₂

и подставим его в формулу (4.1):

Е{г_р)=?,г_х+ ?₂г₂ +(і-6> -?₂)r₃

Н.Markowitz. - Portfolio Selection.// The Journal of Finance, December, 1952.

или

е{г_р)= г₃ + ?_х{г_х -г_ъ)+?₂{г₂ -F₃) (4.5)

Формула (4.5) показывает, что ожидаемая доходность портфеля является функцией двух переменных: ?_х и ?₂. Если подставить значение ?_ъ из формулы (4.4) в

формулу (4.2), то риск портфеля также будет функцией двух переменных: ?_х и ?₂. Поэтому графически решение задачи определения эффективной границы можно представить в двухмерном пространстве.

второго. Все возможные комбинации портфелей представлены в рамках треугольника abc. Если все средства инвестированы в первый актив, то портфель расположен в точке Ь, если во второй, - в точке а. На прямой ab находятся портфели, состоящие только из первого и второго активов. Например, в точке d 50% средств инвестировано в первую бумагу и 50% во вторую, в точке е 75% средств приходится на первую бумагу и 25% на вторую. В точке с портфель состоит только из третьей бумаги. В точке g в него входит на 50% первая бумага и на 50% третья. В точке h он состоит на 50% из второй и на 50% из третьей бумаги. В точке п 50% средств приходится на первую бумагу, 25% на вторую и 25% на третью. Портфели, которые располагались бы ниже горизонтальной оси недоступны инвестору, так как нарушается условие ?₂ > 0, недоступны портфели и левее вертикальной оси, поскольку это противоречит условию ?_х > 0. Соответственно недоступны портфели, расположенные выше и правее прямой ab, которая задается уравнением 1 — ?_х — ?₂ — 0, так как должно выдерживаться ограничение ?_ъ = \-?_х-?₂ > 0, т.е. уд. вес третьей бумаги не может быть отрицательным. Таким образом, все возможные комбинации портфелей с использованием всех средств инвестора и невозможности коротких продаж располагаются в рамках треугольника аЪс.

Кривую, на которой расположены портфели с одинаковой ожидаемой доходностью, Г.Марковец называет изосредней кривой доходности (isomean curve); кривую для портфелей с одинаковой дисперсией - линией изодисперсии (isovarience line). Графически изосредние кривые представляют собой набор параллельных прямых линий. Данный вывод можно получить на основе уравнения (4.5). Выразим из данного уравнения уд. вес второй бумаги при г₂Фг₃\

?₂ =Ь?і,

?(0-

где а - точка, в которой график функции (4.6) пересекает горизонтальную ось, и

Г 2 -Г₃

угловой коэффициент наклона графика функции к горизонтальной оси, г,-п

Угол наклона функции (4.6) есть величина постоянная. Поэтому, если изменять ожидаемую доходность портфеля [ Е(г_р) ], то график функции будет смещаться параллельно вверх или вниз. В результате получим карту изосредних кривых как показано на рис. 4.2.

Пример 1.

Ожидаемая доходность первой бумаги равна 10%, второй - 16%, третьей 22%. Инвестор хотел бы сформировать портфель с ожидаемой доходностью 19%. Угол наклона изосредней линии равен:

_{6 =} _1^ ₌ _₂ 16-22

Коэффициент а составляет:

= 0,5

19-22

16-22

Формула изосредней линии для портфеля с ожидаемой доходностью 19% имеет вид:

?₂ = 0,5 - 20,

2 • 0,1 = 0,3 или 30%

Уд. вес третьей бумаги в портфеле согласно уравнению (4.4) составит:

?_ъ = 1 - 0,1 - 0,3 = 0,6 или 60%

Ожидаемая доходность портфеля равна:

Е(г_р) = 0,М 0% + 0,3 • 16% + 0,6 • 22% = 19%

Портфель с доходностью 19% можно получить и на основе других сочетаний уд. весов. Пусть первую бумагу инвестор включает в портфель в уд. весе 25%. Тогда уд. вес второй бумаги составит:

0₂=О,5-2-О,25 = О%

Это означает, что вторая бумага в портфель не включается. Оставшаяся сумма средств инвестируется в третью бумагу. Ожидаемая доходность такого портфеля равна:

Е(г_р ) = 0,25 • 10% + 0,75 • 22% = 19%

На рис. 4.2 карта изосредних кривых является не чем иным как проекцией линий уровня. Они изображены на рис. 4.3. Данный рисунок представляет собой трехмерное пространство. В горизонтальной плоскости расположены оси ?_х и ?₂, т.е. уд. веса первого и второго активов. Вертикальная ось - это ось ожидаемой доходности портфеля. Ожидаемая доходность портфеля есть функция переменных ?, и ?_г. Разные сочетания уд. весов активов дают плоскость xyz. Если разрезать ее параллельными плоскостями, перпендикулярными оси Е(г_р),

то получим на данной плоскости параллельные линии, которые соответствуют определенной фиксированной ожидаемой доходности портфеля для разных комбинаций уд. весов в портфеле. Проекции данных линий на горизонтальную плоскость ?_]с?₁ и представляют собой изосредние кривые. На графике они изображены толстыми пунктирными линиями.

На рис. 4.2 и 4.3 изосредние кривые имеют отрицательный наклон. Однако он может быть и положительным, как представлено на рис. 4.4. Динамика роста ожидаемой доходности портфеля также может идти в любом направлении, например, на рис. 4.2 как от точки с к прямой ab так и наоборот. На рис. 4.4 это может быть как направление от точки а к точке Ь, так и наоборот. Наклон графика, а также направление роста ожидаемой доходности зависят от значений ожидаемой доходности активов, которые располагаются в точках а и Ь. Поясним сказанное на цифрах из примера 1.

2.

“-!«. 1

10-16

График изосредних соответствует рисунку 4.4, и доходность изосредних возрастает в направлении от а к Ь.

Если же доходности бумаг равны: первой 10%, второй 22% и третьей 16%, то на рис. 4.4 доходность возрастает от b к а при угловом коэффициенте равным единице.

запада на юго-восток. Однако, как и в случае с изосредними кривыми, они могут принять и другие направления. Это зависит от расположения на графике бумаг, входящих в портфель.

Кривую изодисперсии для каждого данного уровня дисперсии портфеля можно найти на основе формулы (4.7):

а² = ?²а² + ?₂o'² + (і ?_х ?₂) сх₃ +2?,?₂ cov 12 Г

(4.7)

+ 2?_Х (l - ?_х - ?₂ )со?, з + 2?_г (і - 0, - ?₂ )со?_{2 3}

Она получается подстановкой в формулу (4.2) формулы (4.4). Задавая разные уд. веса в формуле (4.7) для данного уровня дисперсии, можно построить эллипс изодисперсии, на котором расположены портфели одинакового уровня риска.

0,056, второй и третьей - 0,108. Инвестор хотел бы определить уд. веса второй и третьей бумаг в портфеле с дисперсией 0,1225, если уд. вес первой бумаги равен нулю.

Решение.

Запишем уравнение (4.7):

0,1225 = О • 0,2 + 0О,3 + (і - 0 -0₂)О,4 +

+ 2 • 0 • 6?₂ • 0,048 + 2 • 0• (і -0-6?₂)0,056 +

+ 20₂(і-О —0₂)О,1О8

ИЛИ

0,1225 = ?\ 0,3 + (1 - ?₂ J 0,4 + 1?₂ (і - ?₂ )0,108

ИЛИ

О,О340 -0,1046>₂ +0,0375 = 0

Решение данного уравнения дает значения ?₂:³

1) ?₂ =0,4176;

2) ?₂ =2,6412;

В первом случае, чтобы получить портфель с дисперсией 0,1225, необходимо купить вторую бумагу в уд. весе 41,76% и третью в уд. весе 58,24%. Таким образом уд. веса активов в портфеле равны: ?_х = 0; ?₂ =41,76%; ?_ъ = 58,24%.

Второе значение ?_г предполагает необходимость купить ее в уд. весе 264,12%. Чтобы получить такой уд. вес следует финансировать покупку второй бумаги за счет продажи третьей. Уд. веса активов в портфеле равны: ?_х =0; ?₂ = 264,12%; 0₃ =-164,12%.

В примере 2 мы определили два портфеля с дисперсией 0,1225 и получили таким образом две точки эллипса изодисперсии. Подставив другое значение уд. веса первой бумаги, получим уд. веса еще для двух портфелей и, соответственно, еще две точки данного эллипса изодисперсии. Повторив данную операцию много раз, построим эллипс для портфелей с дисперсией 0,1225. Аналогичным образом найдем эллипсы изодисперсий и для портфелей с другими дисперсиями.

Аналогично рис. 4.3 можно изобразить дисперсии портфелей в трехмерном пространстве. Тогда по вертикальной оси вместо ожидаемой доходности следует отложить дисперсию. В результате получим некоторую поверхность - эллиптический параболоид, на котором расположены дисперсии портфелей. Если провести плоскость перпендикулярную вертикальной оси, то она разрежет данную поверхность. Проекция полученной фигуры на горизонтальную плоскость будет не чем иным как эллипсом изодисперсии. Таким образом, эллипсы изодисперсии как и изосредние кривые являются линиями уровня.

Чтобы определить эффективную границу, необходимо на одном графике совместить изосредние кривые и эллипсы изодисперсий (см. рис. 4.8). Для каждого данного уровня ожидаемой доходности портфели с минимальной дисперсией должны располагаться в точках касания соответствующей изосредней кривой и эллипса изодисперсии.

Вначале Г.Марковец рассматривает случай, когда портфель с минимальной дисперсией лежит внутри треугольника abc. На рис. 4.8 доходность изосредних кривых возрастает слева направо, поэтому эффективными являются портфели е, k, I, т. Портфель е - это портфель с минимальной дисперсией. Портфели к, I, т расположены в точках касания эллипсов изодисперсии и соответствующих изосредних линий. На данном рисунке эффективные портфели расположены вправо, считая от портфеля е, поскольку доходность изосредних возрастает слева направо. Портфели, расположенные в точках касания изосредних и изодисперсий левее точки е, не могут быть эффективными, так как для каждого уровня дисперсии их ожидаемые доходности меньше соответствующих эффективных портфелей. Например, портфель h не является эффективным, поскольку его дисперсия равна дисперсии портфеля к, (они расположены на одном эллипсе изодисперсии), но ожидаемая доходность ниже. Эффективные портфели расположены на линии еп. Г.Марковец назвал ее критической линией (critical line). Она проходит через точки касания изосредних и изодисперсий и представляет собой прямую. Критическая линия является прямой, так как для всех эллипсов издисперсий точкой симметрии является точка е, т.е. портфель с минимальным риском, и все они расположены симметрично относительно друг друга в одном направлении. Тот факт, что критическая линия является прямой, приводит к следующему выводу: объединение любого количества эффективных портфелей в один портфель вновь даст эффективный портфель.

прежнему располагаются уд веса бумаг для условия 0, >0, і = 1, 2, 3. При короткой продаже первой бумаги она будет находится левее оси ?_г. При короткой продаже второй бумаги она займет место ниже оси ?_х. При короткой продаже третьей бумаги она расположится правее линии L. Например, в точке d портфель инвестора включает короткую продажу первой бумаги, покупку второй и третьей бумаг. Точку е получаем за счет короткой продажи второй бумаги, покупки первой и третьей. В точке g инвестор продает первую и вторую бумаги и покупает третью. В точке h продана третья бумага и куплены первая и вторая бумаги. В точке т продана вторая бумага и куплена первая.

Эффективную границу определяем совмещением графиков изсредних и изодисперсий. На рис. 4.11 она представлена критической линией ed. Поскольку разрешены короткие продажи, то критическая линия выходит за границы треугольника аЪс вправо.

функция Лагранжа;

G - целевая функция;

Я₁, І2 - множители Лагранжа для первого и второго ограничений;

С,, С₂ — первое и второе ограничения.

Целевая функция представлена функцией (4.8), Первое ограничение - равенством (4.9), второе - (4.10). В функцию Лагранжа первое и второе ограничения включаем в следующей форме :

^^?і^Гі~^Гр =°>

/=1

Х9-і=°

В общем виде функция Лагранжа запишется как:

(4.11)

L = ^со?и⁺ 4 -^?р\ ^{+ Л}і Іи^?і ~¹

і-1 1 = 1 \І=\ J \і=1

Найдем частные производные функции (4.11) по ?_і9 Л₂ и приравняем их к нулю:

ді

д?,

dL

дЛ,

dL

дЛ₂

(4.12)

= 0, г =1,2..., и

= 0

= 0

Решение системы уравнений (4.12) дает ответ на вопрос, в каких уд. весах необходимо включить бумаги в портфель, чтобы он являлся эффективным, т.е. имел минимальную дисперсию для заданного уровня ожидаемой доходности. Следует подчеркнуть, что в рассмотренном виде решение дается для ситуации, когда короткие продажи разрешены.

Поясним представленный алгоритм определения эффективного портфеля на примере для трех бумаг.

Пример.

Стандартное отклонение доходности первой акции (в десятичных значениях) равно 0,2, второй - 0,3, третьей - 0,4. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 0,0018, первой и третьей - 0,002, второй и третьей - 0,008. Доходность первой бумаги (в десятичных значениях) составляет 0,12, второй - 0,16, третьей - 0,22. Определить уд. веса бумаг в портфеле с доходностью 0,18.

Решение.

Составим функцию Лагранжа:

і = 2Е^^со?,М

(-1 (=1

^+Я2 1,0-1

(4.13)

»=1

V /=1

Запишем ее в развернутом виде:

L = 0²<т² + ?₂сг₂ + ?\о\ + 2?_Х?₂ cov_l2 + 2<9,<9₃ cov, ₃+

2?₂?₂ со?_2>3 +Л, [?_хг_х +?₂г₂+?₃г₂ -г_р} + Л₂{?_х+?₂+?_г-\)

Найдем частные производные функции Лагранжа согласно системе (4.12):

dL

д?_х

дЬ_

д?₂

дЬ

= 2 ?_ха] + 2?₂ со?, ₂+ 2?_Ъ со?₁₃+ Л₁г_і+Л₂= 0

= 2?₂сг₂ + 2?₁ со?, ₂+ 2^₃ со?_{2 3} + Л,г₂ + Л₂ = 0

— 20₃<7² + 2?_Х со?, з+ 1?₂ со?₂ з+ Л,/з Л₂ — 0

(4.14)

д?*

дЬ <9 Л, dL

= ?_хг_х+?₂г₂+?_гг₂-г_р=0

— ?_х + ?₂ + ?₂ — 1 — о

^дЛ2

Подставим в систему уравнений (4.14) цифровые значения задачи:

20,0,2² + 20₂О,ОО18 + 20₃ 0,002 + Л, 0,12 + Я₂ = 0

2?₂ 0,3² + 20,0,0018 + 20₃ 0,008 + Я, 0,16 + Я₂ = 0

⁴ 20₃О,4² + 20,0,002 + 20₂ 0,008 + Я, 0,22 + Я₂ = 0

0,0,12 + 0₂ 0,16 + 0₃ 0,22 - 0,18 = 0

0, + 0₂ + 0₃ — 1 ⁼ О

или

0,046?! + 0,0018 6?₂ 0,002 6?₃ + 0,06^ + 0,5^ ⁼ О 0,00186?! + 0,096?₂ + 0,008 6?₃ + 0,08 + 0,5 Д₂ ⁼ О

< 0,0026?! + 0,0086?2 + 0,1 б^з + 0,11 Я_{ + 0,5Л₂ = 0 (4.15)

0,126?! + 0Д66?2 + 0,226?₃ =0,18

0,+0₂ + 0₃ =1

Решая систему уравнений (4.15) получим:

0, =0,186678 или 18,67%;

0₂ = 0,355553; или 35,56%

0₃ = 0,457769 или 45,77%

Таким образом, портфель с минимальной дисперсией для ожидаемой доходности 18% должен состоять на 18,67% из первой бумаги, 35,56% второй бумаги и 45,77% третьей бумаги.

4.3. Определение удельных весов активов в оптимальных портфелях и эффективной границы с помощью программы Excel

Программа Excel позволяет решать оптимизационную задачу определения оптимальных портфелей из данного количества ценных бумаг для заданного уровня риска. Соответственно она дает возможность определить и эффективную границу портфелей. Для этого служит команда Поиск решения в меню Сервис. Если она отсутствует, ее необходимо установить. Для этого курсором выбираем меню Сервис и щелкаем мышью, чтобы появилось выпадающее меню. В нем присутствует команда Надстройки. Выбираем ее курсором и щелкаем мышью. Появляется окно с перечнем надстроек. Против команды Поиск решения в окошке переключателя курсором, нажав левую клавишу мыши, ставим флажок. Выбираем курсором кнопку ОК и нажимаем левую клавишу мыши. Надстройка Поиск решения установлена.

Рассмотрим использование Excel для определения оптимального портфеля на примере.

Пример 1.

Стандартное отклонение доходности первой акции (в десятичных значениях) равно 0,2, второй - 0,3, третьей - 0,4. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 0,0018, первой и третьей - 0,002, второй и третьей -0,008. Ожидаемая доходность (в десятичных значениях) первой бумаги равна 0,12, второй - 0,16, третьей - 0,22. Определить уд. веса бумаг в портфеле с риском 0,35, если уд. веса бумаг не могут принимать отрицательные значения.

Решение.

Расположим в ячейках А1, А2 и АЗ значения ожидаемых доходностей соответственно первой (0,12), второй (0,16) и третьей (0,22) акций; в ячейках В1, С2, D3 - значения дисперсий первой (0,04), второй (0,09) и третьей (0,16) акций; в ячейке В2 - значение ковариаций доходностей первой и второй бумаг (0,0018), в ВЗ - первой и третьей (0,002), в СЗ - второй и третьей (0,008).

Необходимо задать уд. веса акциям для некоторого начального портфеля. Задаем их произвольно. Это необходимо для того, чтобы связать все уд. веса бумаг в портфеле в единую формулу и приравнять их к единице. В последующем при задании разного уровня риска портфеля уд. веса в данных ячейках будут изменяться, показывая решение задачи. Пусть уд. вес первой бумаги в десятичных значениях 0,2, второй - 0,3, третьей - 0,5. Соответственно расположим их в ячейках Е1-ЕЗ. В ячейке Е4 представим сумму ячеек с Е1 по ЕЗ. Это можно сделать, напечатав в ячейке Е4 следующую формулу:

=Е1+Е2+Е3,

и нажав клавишу Enter. Поскольку сумма всех весов акций в портфеле должна равняться единице, то в данной ячейке появится единица. В ячейку F1 помещаем значение ожидаемой доходности портфеля, т.е. печатаем:

=А1 *Е 1 + А2 *Е2+АЗ *ЕЗ

В результате должны получить цифру 0,182. В ячейку F2 помещаем формулу риска портфеля, т.е. печатаем:

= Bl*El^A2 + C2*E2^A2 + D3*E3^A2 + 2*El*E2*B2 +

+ 2* El* ЕЗ* ВЗ + 2* Е2* ЕЗ*СЗ

Нажимаем клавишу Enter. В данной ячейке должна появиться цифра 0,052716. Это риск портфеля, представленный дисперсией. (Стандартное отклонение доходности портфеля равно 0,2296).

Рассчитаем уд. веса активов в оптимальном портфеле с риском 0,35 (т.е. 35%). Для этого выбираем курсором меню Сервис и щелкаем мышью. Появилось выпадающее меню. Курсором выбираем команду Поиск решения и нажимаем левую клавишу мыши. Появляется окно диалога “Поиск решения” (см. рис. 4.12).

1І*1

Выполнить"]

Закрыть

Параметры

Поиск решения

Установить целевую ячейку: |

Равной; (* максимальному значению С значению: (о~

' минимальному значению f Изменая ячейки; --------- ---------------

31 Предположить 1

[ ^граничения: —

3 _ Добавить

d -

Рис. 4.12. Окно диалога “Поиск решения ”

вменить

Удалить

I Восстановить і \

Справка

Первая строчка в окне называется “Установить целевую ячейку”. В качестве целевой задаем ячейку F1. В ней отражается доходность портфеля. Для этого наводим курсор на знак 3 в поле данной строки и щелкаем мышью. Окно “Поиск решения” превращается в поле строки. Наводим курсор на ячейку F1 и нажимаем левую клавишу мыши. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Окно “Поиск решения” появляется целиком. В следующей строке окна стоит слово “Равной”. Напротив него два круглых поля с надписями “максимальному значению” и “минимальному значению”. Выбираем поле “максимальному значению”. Если оно уже активизировано, то в нем стоит точка. Если поле является чистым, то наводим на него курсор и нажимаем левую клавишу мыши. В поле появилась точка. Следующая строка называется “Изменяя ячейки”. В поле под данной строкой вводим ячейки от Е1 до ЕЗ. Делаем это следующим образом. Наводим курсор на знак 3 в поле данной строки и щелкаем мышью. Окно “Поиск решения” превращается в поле строки. Наводим курсор на ячейку Е1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, доводим до ячейки ЕЗ, отпускаем клавишу. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Окно “Поиск решения” появляется целиком. Ниже расположена надпись “Ограничения”. В поле под этой надписью вводим ограничения модели. Первое ограничение заключается в том, что сумма всех уд. весов активов должна равняться единице. Ограничения задаем следующим образом. Наводим курсор на кнопку “Добавить” и нажимаем левую клавишу мыши. Появляется окно диалога “Добавление ограничения” (см. рис. 4.13). В нем три прямоугольных

UxJ

Добавление ограничения

Ссылка на ачейку: Ограничение:

р-3F зг-э

OK 1 Отмена | До§рвить | Справка j

Рис. 4.13. Окно диалога ‘‘Добавление ограничения”

поля. В левое поле под строкой “Ссылка на ячейку” вносим адрес Е4. Для этого наводим курсор на знак 3 в поле этой строки и щелкаем мышью. Окно “Добавление ограничения” превращается в поле строки. Наводим курсор на ячейку Е4 и щелкаем мышью. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Окно “Добавление ограничения” появляется целиком. В среднем поле наводим курсор на треугольник с правого края и нажимаем левую клавишу мыши. Открывается выпадающее меню. Выбираем в нем знак “=”, т.е. наводим на него курсор и нажимаем левую клавишу мыши. В правом поле “Ограничение” печатаем цифру 1. Наводим курсор на команду “Добавить” и нажимаем левую клавишу мыши. Поля окна диалога “Добавление ограничения” вновь становятся свободными для внесения нового ограничения. Следующее ограничение состоит в том, что уд. веса акций в портфеле не должны быть отрицательными. В поле “Ссылка на ячейку” наводим курсор на знак 3 в поле этой строки и щелкаем мышью. Окно “Добавление ограничения” превращается в поле строки. Наводим курсор на ячейку Е1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, доводим до ячейки ЕЗ, щелкаем мышью. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Окно “Добавление ограничения” появляется целиком. В среднем поле наводим курсор на треугольник с правого края и нажимаем левую клавишу мыши. Открывается выпадающее меню. В среднем поле нажимаем на треугольник справа. В выпадающем меню курсором выбираем символ “>=” и щелкаем мышью. В правом поле печатаем цифру 0. Наводим курсор на команду “Добавить” и щелкаем мышью. Поля окна диалога “Добавление ограничения” вновь становятся свободными. Вводим третье ограничение: риск портфеля равен 0,35. Риск вводим как значение дисперсии доходности портфеля. Дисперсия портфеля представлена в ячейке F2. В поле “Ссылка на ячейку” наводим курсор на знак 3 в поле этой строки и щелкаем мышью. Окно “Добавление ограничения” превращается в поле строки. Наводим курсор на ячейку F2 и щелкаем мышью. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Окно “Добавление ограничения” появляется целиком. В среднем поле наводим курсор на треугольник с правого края и щелкаем мышью. Открывается выпадающее меню. Выбираем в нем курсором символ “=” и щелкаем мышью. В правом поле печатаем цифру 0,1225 (это дисперсия портфеля: 0,35² =0,1225). Все ограничения введены, поэтому курсором выбираем команду ОК и щелкаем мышью. Появляется окно диалога “Поиск решения”. В правом верхнем углу диалога “Поиск решения”. В правом верхнем углу находится команда “Выполнить”. Наводим на нее курсор и нажимаем левую клавишу мыши. В ячейках Е1-ЕЗ появилось решение, т.е. уд. веса акций в портфеле с риском 35%. В ячейке F1 появилось значение ожидаемой доходности данного портфеля.

Появилось окно “Результаты поиска решения”. В нем предлагается на выбор два действия “Сохранить найденное решение” и “Восстановить исходные значения”. Круглое окно “Сохранить найденное решение” помечено точкой. Если мы заинтересованы сохранить полученное решение, то наводим курсор на команду ОК и щелкаем мышью. Если мы хотим вернуться к предыдущим значениям, то наводим курсор на круглое поле слева от надписи “Восстановить исходные значения” и щелкаем мышью. В поле появляется точка. После этого наводим курсор на команду ОК и щелкаем мышью. В ячейках Е1-Е4, FI, F2 появятся начальные значения.

В результате решения задачи в ячейках Е1-ЕЗ, FI, F2 были получены соответственно следующие цифры: 0; 0,138018; 0,861982; 0,211719; 0,1225. Это значит, что уд. вес первой бумаги в портфеле должен составить 0%, второй -13,8%, третьей - 86,2%. При этом ожидаемая доходность портфеля составит 21,17%, а риск будет 35%.

Мы нашли ожидаемую доходность и уд. веса оптимального портфеля для одного значения риска. Если повторить решение для разных уровней риска, то получим ряд значений ожидаемой доходности, которые позволят построить эффективную границу для данного набора бумаг. Чтобы определить доходность портфеля для нового уровня риска, например, 0,36 (т.е. 36%) надо поступить следующим образом. Выбираем курсором меню Сервис и щелкаем мышью. Появляется выпадающее меню. Курсором выбираем команду Поиск решения и щелкаем мышью. Открывается окно “Поиск решения”. В данном окне сохранились все параметры, которые были введены ранее. Поэтому, для определения состава портфеля для нового уровня риска необходимо изменить в поле “Ограничения” только последнюю строку, которая относится к риску портфеля. Для этого наводим на нее курсор и нажимаем левую клавишу мыши. Строка выделяется синим цветом. После этого наводим курсор на команду “Изменить” и нажимаем левую клавишу мыши. Появилось окно “Изменение ограничения”. В правом поле “Ограничение” печатаем новую цифру дисперсии. Для риска 0,36 это 0,1296. Наводим курсор на команду ОК и щелкаем мышью. Появляется окно диалога “Поиск решения”. Наводим курсор на команду “Выполнить” и щелкаем мышью. В ячейках Е1-ЕЗ появились новые уд. веса акций в портфеле с риском 36%, а в ячейке F1 - значение ожидаемой доходности портфеля. Появилось окно “Результаты поиска решения”. В нем выбираем команду “Сохранить найденное решение”, наводим курсор на команду ОК и щелкаем мышью. Аналогичным образом, изменяя только одно ограничение - риск портфеля, находим оптимальные портфели для других значений стандартных отклонений.

В задаче одним из ограничений выступала не отрицательность уд. весов акций в портфеле. Если данное условие не вводить, т.е. исключить второе ограничение Е1:ЕЗ >=0, то получим решение оптимизационной задачи, допускающей короткие продажи акций.

Если портфель насчитывает большое количество бумаг, то в рамках представленного выше алгоритма решения задачи не очень удобно вводить в ячейку F2 формулу риска портфеля. Однако эту проблему легко снять, если воспользоваться матричным исчислением для определения риска портфеля, которое было представлено в примере 2 главы 1.2.5. Дополним текущий пример данным алгоритмом.

Заносим в ячейки с А1 по АЗ ожидаемые доходности бумаг, в блок ячеек B1:D3 - ковариационную матрицу, в ячейки с Е1 по ЕЗ - уд. веса акций, в ячейку F1 - формулу ожидаемой доходности портфеля. В ячейках с А5 по С5 расположим транспонированную матрицу столбец уд. весов бумаг. Для этого выделяем блок А5:С5, т.е. наводим курсор на ячейку А5, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, доводим до ячейки С5, отпускаем клавишу. Печатаем здесь формулу:

=ТР АНСЩЕ1 :ЕЗ)

После этого одновременно нажимаем клавиши Ctrl, Shift и Enter. В ячейках А5, В5 и С5 соответственно появятся цифры 0,2, 0,3 и 0,5. Теперь перемножим матрицу-строку А5:С5 и ковариационную матрицу B1:D3. Поэтому выделим для получения ответа интервал А7:С7. Для этого наводим курсор на ячейку А7, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, доводим мышь до ячейки С7, и отпускаем клавишу. В выделенной строке печатаем формулу:

=МУМНОЖ(А5:С5;В1 :D3)

и одновременно нажимаем клавиши Ctrl, Shift и Enter. В ячейках получаем цифры 0,00954, 0,03136, 0,0828. Теперь перемножим полученную в ячейках А7:С7 матрицу строку на матрицу столбец в ячейках Е1:ЕЗ. Умножение дает одну цифру, поэтому для ответа уже известным способом выделяем ячейку F2 и печатаем в ней формулу:

=МУМНОЖ(А7 :С7 ;Е 1 :ЕЗ)

и нажимаем Enter, получаем цифру 0,052716. После этого переходим к использованию команды “Поиск решения”. Все действия выполняются аналогично выполненным ранее. В результате для риска портфеля, представленного дисперсией 0,1225 получаем результат как показано на рис. 4.14.

Jj А В С D Е F G 0,12 0,04 0,0018 0,002 0 0,211719 2 0,16 0,0018 0,09 0,008 0,138018 0,1225 3 0,22 0,002 0,008 0,16 0,861982 4 1 5 0 0,138018 0,861982 6 7 0,001972- 0,019317 0,139021 8 Рис. 4.14. Определение оптимального портфеля Следует также отметить, что транспонировать и перемножить матрицы можно и с помощью программы “Мастер функций” (см. главу 1.2.5. пример 2).

Команда “Поиск решения” также позволяет определить портфель с минимальным уровнем риска для требуемого уровня доходности. Все действия выполняются аналогично тому, как было показано выше, но с двумя отличиями. Во-первых, в окне “Поиск решения” выбираем строку “минимальному значению”. Во-вторых, в строку “Установить целевую ячейку” заносим ячейку F2, поскольку наша задача состоит в минимизации дисперсии портфеля. В третьих, в качестве ограничения теперь учитываем не дисперсию портфеля, а ожидаемую доходность. Так, если мы определяем портфель с минимальной дисперсией для доходности 18%, то в окно “Ограничения” внесем запись Fl=0,18. В частности, решение примера из главы 4.2. в окне диалога “Поиск решения” будет представлено следующим образом (см. рис. 4.15):

t _Ui<l

ЙЫПОЖОТЪ~~1

Закрыть j

Поиск решения

Установить целевую ячейку: |$F$2

Равной: С максимальному значению С значению: (сГ

мижмальному значению

(• »

Изменяя ячейки: -

3J

j }$Е$1;$Е$3

I Ограничения: -

Предположить

0-зраметры

"31 Добавить j J Изменить I I

$Е$1;$Е$3 >=0 $Е$4=1 $F$1 =0,18

Восстановить [ Оравка [

Удалить

zi

Рис. 4.15. Решение задачи на минимизацию риска портфеля

Соответственно получим следующий результат:

А В С D Е F 1 | 0,12 0,04 0,0018 0,002 0,186667 0,18 2 0,16 0,0018 0,09 0,008 0,355556 0,049486 3 0,22 0,002 0,008 0,16 0,457778 4 1 5 0,186667 0,355556 0,457778 6 7 0,009022 0,035998 0,076462 8 Рис. 4.16. Результат решения задачи на минимизацию риска портфеля

4.4. Определение рыночного портфеля при возможности заимствования и кредитования

При возможности заимствования и кредитования эффективная граница превращается в прямую линию, касательную к эффективной границе Марковца, как показано на рис. 4.17. Обозначим ее через Н. Она проходит через две точки: ставку без риска и рыночный портфель М. Чтобы найти портфель М, необходимо рассчитать уд. веса входящих в него активов. Решить задачу можно следующим образом. Рыночный портфель расположен на касательной к эффективной границе Марковца. Это значит, что угол наклона линии Н к горизонтальной оси графика является наибольшим по сравнению с другими линиями, которые можно провести через ставку без риска и остальные портфели на границе Марковца. Обозначим угловой коэффициент прямой Н через <р. Он равен отношению премии за риск рыночного портфеля к его риску:

^Fm~^rf

(р--- (4.16)

<т_т

т

Чтобы найти уд. веса активов в портфеле М, необходимо максимизировать значение целевой функции (р при условии, что ^ <9, = 1 • Решим данную задачу для

/=і

случая, когда короткие продажи разрешены.



со?

IJ

i=1

/=1 j=1

i*j

Для нахождения максимума функции (4.16) необходимо учесть ограничение.

п

Поскольку оно имеет вид ^ = 1, то включим его непосредственно в числи-

/=1

тель уравнения (4.16) следующим образом:

п \

^г/= \И^?і^}

r_f=\-r_f =

V /=і

. і=і У

Также учтем, что г_т = УДг,. Функция (4.16) принимает вид:

/=і

/=1

<*>=

г/

СО?

у

і=1

/=1 у=і j*i

или

(4.17)

со?„

/=1

/=і

/=1 j=1

j*i

Чтобы определить максимум функции (4.17), надо найти ее частные производные по ?_і и приравнять их к нулю.

Найдем производную функции (р по ?_к в общем виде:

дф

2

= {^rk~^rf)

cov

у

i=1

/=1 7=1 №

I*W+II*Aoav,

(4.18)

/=1

/=1 7=1

У*¹’ У

л

^г+г^со?,

. і=1

у=1

у**

і=1 І j=1

М

±Ф,-Г,)

Умножим (4.18) на

и преобразуем:

со?„

=fe __г)—

д/1 V* 7/ я

^ +2Йсо?_д

/=1

=0

У=і

У**

/=і

/=1 7=1

м

или

3#>

3#Г

= (^г*-Гг)~

г -Гг

^т у

?і

^l+^jOOWjk

(4.19)

7=1

j*k

r_m —r_f

В равенстве (4.19) величина-j— является константой, поскольку это премия

сг

т

за риск рыночного портфеля, деленная на его риск, измеренный дисперсией. Обозначим ее через Л. Тогда:

= (^г* “ ^г/)“ ^{Я ?}к°1 + I⁹j ^со?д

д<р - ' ⁽ ^

д?_ь

7=1

7**

или

У=і

]Фк

или

= {^rk~^rf)-^Л?і ^covu - Щ cov₂ * -

дф

Ж

- Х?₃со?_зк- Х?_ка\ -... - Х?_псо?_пк = 0, ₍₄.20)

к = 1,2....,и

Обозначим величины Х?_х, X?₂,...,Х?_п через z,, z₂,...,z_n. Тогда (4.20) за

пишется как:

дф

Ж

= {^rk-^rf)~ ^zx ^covu ~ ^zi соv_2t -

(4.21)

- z₃ cov₃*... - z_k(7_k... - z„ cow_nk = 0

На основе равенства (4.21) для n бумаг составляем систему из п уравнений с п неизвестными:

z_xa\ + z₂ cov₂₁ + z₃ cov₃₁... + z„ cov_nl = r_x - r_f z, coy₁₂ + z₂<7₂² + z₃ cov₃₂... + z„ cov„₂ =r₂-r_f

(4.22)

z, cov₁₃ + z₂ cov₂₃ + z₃a₃ +... + z_n cov_n3 = r₃-r_f

z, cov,„+z₂ cov₂„+ z₃ cov₃„... + z_na² =r„-r_f

Решив данную систему уравнений получим значения z_i. Согласно определению значений z_i они пропорциональны величинам ?₁. Коэффициент пропорциональности - это X. Поэтому определить уд. веса активов в рыночном портфеле можно из отношения:

0,3 , третьей - 0,4. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 0,048, первой и третьей - 0,056, второй и третьей - 0,108. Ожидаемая доходность первой бумаги равна 12%, второй - 16%, третьей - 22%, ставка без риска - 5%. Определить уд. веса бумаг в рыночном портфеле.

Решение.

Запишем систему уравнений (4.22):

z, 0,2² + z₂ 0,048 + z₃ 0,056 = 0,12-0,05

z, 0,048 + z₂ 0,3² + z₃ 0,108 = 0,16 - 0,05 z, 0,056 + z₂0,108 + z₃0,4² = 0,22 - 0,05

или

z, 0,04 + z₂ 0,048 + z₃ 0,056 = 0,07 z, 0,048 + z₂ 0,09 + z₃ 0,108 = 0,11 (4.23)

z, 0,056+z₂ 0,108+z₃ 0,16 = 0,17 Решая систему (4.23) получаем:

z, =0,9314; z₂ =-0,8333; z₃ = 1,2990

3

z = 0,9314 - 0,8333 +1,2990 = 1,3971

0,9314

1,3971

1,2990

1,3971

-0,8333

1,3971

= 0,6667, ?₂ =

= -0,5964 ?_г =

=0,9298

Таким образом, первую и третью бумаги следует купить в уд. весах 66,67% и 92,98%, а вторую продать в уд. весе 59,64%. Ожидаемая доходность и риск рыночного портфеля составят:

г_т = 0,6667-12% + (-0,5964) • 16% + 0,9298- 22% = 18,9136%

ст² =(0,6667 -0,5964 0,9298) X

0,6667 " -0,5964 0,9298 ,

' 0,2² 0,048 0,056V

= 0,0996

0,048 0,3² 0,108

0,056 0,108 0,4² Y

сг_т = д/0,0996 = 0,3156 или 31,56%.

4.5. Определение удельных весов активов в рыночном портфеле при возможности заимствования и кредитования с помощью программы Excel

Программа Excel позволяет определить уд. веса активов в рыночном портфеле для условий заимствования и кредитования. Для этого служит команда Поиск решения. Рассмотрим технику решения задачи на примере 1 из параграфа 4.4. Она будет представлена в кратком виде, поскольку все действия, которые будут перечислены, соответствуют действиям параграфа 4.3.

Расположим в ячейках А2:А4 доходности активов, в диапазоне С2:Е4 - ковариационную матрицу, в ячейках G2:G4 - уд. веса активов, в ячейке 12 -ставку без риска как показано на рис. 4.18.

............>.................А..........і.._.....в. .........I............с '; 0 I в. ; F ! G L Л_ J__!_____!___4___I 1 Ідох. активов ковариационная матрица уд. веса активов ставка без риска ~2І 0,12 0,04 0,048 0,056 0,2 0,05 ^: .....з.....; 0,16 0,048 0,09 0,108 0,3 .......4 ¦ 0,22

5 0,056 0,108 0,16 0,5 Рис. 4.18. Исходные данные для определения уд. весов активов В ячейке G5 представим сумму ячеек с G2 по G4, напечатав в ячейке G5 формулу:

= G2 + G3 + G4

и нажав клавишу Enter. В ячейке G5 появится единица.

В ячейке 15 найдем ожидаемую доходность портфеля с помощью функции “СУММПРОИЗВ”. В ячейках А6:С6 транспонируем уд. веса активов из ячеек G2:G4. В диапазоне А8:С8 получим результат перемножения матрицы строки (А6:С6) и ковариационной матрицы (С2:Е4). В ячейке Е8 получим дисперсию портфеля, умножив матрицу строку (А8:С8) на матрицу столбец уд. весов (G2:G4). В ячейке G8 найдем стандартное отклонение портфеля, взяв корень квадратный из ячейки Е8.

Для определения уд. весов активов в портфеле воспользуемся формулой (4.16). Поэтому в ячейке J8 печатаем формулу:

= (/5-/2)/G8)

и нажимаем клавишу Enter.

Выбираем курсором меню Сервис и щелкаем мышью. В выпадающем меню курсором выбираем команду Поиск решения и щелкаем мышью. Появляется окно диалога “Поиск решения”. В окне “Установить целевую ячейку” в качестве целевой задаем ячейку J8. Далее выбираем окно “максимальному значе-

нию”, в нем необходимо поставить точку. В поле “Изменяя ячейки” вводим диапазон G2:G4.

А 1 в 0 I і ,е тт F I G, ...... Н I......і..........i _.j i т........ дох. активов ковариационная матрица уд. веса активов ставка без риска 2 0,12 0,04 0,048 0,056 0,666741 0,05 3 0,16 0,048 0,09 0,108 -0,59671 4 0,22 0,056 0,108 0,16 0,929966 дох. портфеля ГёГ 1 0,189128 6 0,666741 -0,59671 0,929966 7 дисп. портфеля ст. откл. портфеля угловой коэф. 8 ~

о 0,050106 0,078736 0,121688 0,099591 0,31558 0,440866 У __ . ____ Рис. 4.19. Решение задачи определения уд. весов активов в рыночном портфеле В поле “Ограничения” вводим ограничение модели: сумма всех уд. весов активов должна равняться единице. Далее наводим курсор на команду “Выполнить” и щелкаем мышью. В ячейках G2:G4 появилось решение, т.е. уд. веса акций в рыночном портфеле. Общий вид решения представлен на рис. 4.19.

4.6. Определение оптимального портфеля при возможности формирования заемных и кредитных портфелей

В предыдущем параграфе мы определили рыночный портфель при возможности формирования заемных и кредитных портфелей. На основе данного портфеля инвестор может сформировать конкретный портфель требуемого уровня риска. Допустим, формируется кредитный портфель. Как известно из главы 1.3, риск кредитного портфеля равен риску рискованного актива с учетом его уд. веса. Поскольку в качестве рискованного актива кредитного портфеля выступает рыночный портфель, то риск портфеля составляет:

(4.24)

сг - <9 сг

р т т

Из формулы (4.24) можно найти долю рыночного портфеля в конкретном портфеле, который формирует инвестор:

<9

сг

Она показывает ту долю средств, на которую следует купить рыночный портфель в пропорциях по изложенному в параграфе 4.4 алгоритму. Поясним сказанное на примере.

Пример 2.

(Сохраняются условия примера 1 параграфа 4.4).

Инвестор хотел бы сформировать кредитный портфель со стандартным отклонением 15,78%. В примере 1 мы определили, что стандартное отклонение рыночного портфеля равно 31,56%. Поэтому уд. вес рыночного портфеля в портфеле инвестора должен составить:

? _ J_5/78 _ _или 50%. ^m 31,56

Инвестор формирует портфель на общую сумму 200 тыс. руб. Тогда на рыночный портфель приходится:

200000 • 0,5 = 100000руб.

В примере 1 рыночный портфель состоял из длинных позиций по первой и третьей бумагам в уд. весах 66,67% и 92,98%, и короткой позиции по второй бумаге в уд. весе 59,64%. Поэтому следует купить первую и третью бумаги соответственно на:

100000 • 0,6667 = 66670руб. и

100000 • 0,9298 = 92980руб.,

Вторую бумагу надо продать на:

100000 • 0,5964 = 59640руб.

Пусть первая бумага стоит 66 руб., вторая 100 руб., третья 90 руб. Тогда инвестор покупает первую и третью бумаги в количествах:

66670РУб. _{=Ш0Х5 или 1010штук}

И

92980руб. ,_п

-= Ш33,і 1 или 1033 штуки.

90 руб.

Вторую бумагу занимает и продает в количестве:

59640руб.

-= 596,4руб. или 596 штук.

100 руб.

Бумага без риска приобретается на 100 тыс. руб.

Найдем ожидаемую доходность портфеля. Она равна:

0,5 • 5% + 0,5 • 18,9136 = 11,9568%

Пример 3.

(Сохраняются условия примера 1 параграфа 4.4).

Формируется заемный портфель со стандартным отклонением 47,34%. Уд. вес рыночного портфеля относительно собственных средств инвестора составляет:

^?т = TT7Z ^{= 1,5 ш 150%}-

31,56

Инвестор располагает 200 тыс. руб. собственных средств и занимает еще 100 тыс. руб. Он покупает первую и третью бумаги на суммы:

150000 • 0,6667 = 100005руб.

и

150000 • 0,9298 = 139470руб.

Вторую бумагу продает на:

150000 • 0,5964 = 89460руб.

Первая бумага стоит 66 руб., вторая 100 руб., третья 90 руб. Тогда инвестор покупает 1515 штук первой и 1550 штук третьей бумаг и продает 895 штук второй бумаги.

В примерах 2 и 3 инвестор делал выбор на основе стандартного отклонения формируемого портфеля. При выборе конкретного портфеля можно исходить также из желаемого значения ожидаемой доходности. В этом случае уд. вес рыночного портфеля можно определить из формулы его ожидаемой доходности:

Он равен:

Е(г_р)-г,

E(r_m)-r_f

Найти оптимальный портфель для требуемого уровня риска при возможности заимствования и кредитования можно также с помощью множителей Лагранжа, как было показано в параграфе 4.2. Приведем пример.

Пример 4.

Пусть все множество рискованных активов представлено только тремя бумагами. Стандартное отклонение доходности первой (в десятичных значениях) равно 0,2, второй - 0,3 , третьей - 0,4. Ковариация первой и второй бумаг составляет 0,048, первой и третьей - 0,056, второй и третьей - 0,108. Ожидаемая доходность первой бумаги (в десятичных значениях) равна 0,12, второй - 0,16, третьей - 0,22, ставка без риска - 0,5. Определить уд. веса бумаг в кредитном портфеле с ожидаемой доходностью 0,119568.

Решение.

Общее количество бумаг, входящих в портфель, равно четырем: три рискованных и одна без риска. Портфель с требуемым уровнем ожидаемой доходности находим, решая следующую оптимизационную задачу:

^⁼Е Z ^?і^?і ^со?у ^min (⁴-²⁵>

;=і у=1

Ограничения: 1) ожидаемая доходность портфеля{г_р) равна:

з 0,119562 = 0

0Q + 0, + 0₂ + 0₃ - 1—0

или

0,05Л, + Л2 ⁼ 0

0,040, + О,О480₂ + О,О560₃ + 0,06Л, + 0,5^ ⁼ 0 0,0480, + О,О90₂ + О,1О80₃ + 0,08А, + 0,5^ = 0 0,0560, + О,1О80₂ + 0,160₃ + 0,11+ 0,5-^ ⁼ 0

О,О50_о + 0,120, + 0,160₂ + О,220₃ = 0,11962

0Q + 0, + 0₂ + 0₃ ⁼ 1

Решив систему, получаем: 0_О = 0,5; 0, = 0,3333; 0₂ = -0,2982; 0₃ = 0,4692.

4.7. Определение оптимального портфеля с помощью линейного программирования

Задача линейного программирования возникает при линейности целевой функции и ограничений. Линейное программирование можно использовать для определения оптимального портфеля, если задать риск активов и портфеля коэффициентами бета и поставить задачу максимизировать доходность портфеля при данном уровне риска. В этом случае как целевая функция, так и ограничения линейны. Рассмотрим использование метода линейного программирования на примере формирования оптимального портфеля из трех акций.

Пример 1.

Ожидаемая доходность первой бумаги равна 16%, второй - 20%, третьей -22%. Бета первой бумаги составляет 0,6, второй - 1, третьей - 1,2. Определить уд. веса бумаг в портфеле, чтобы его ожидаемая доходность была максимальной и бета не превышала 1,1. Веса бумаг в портфеле могут быть только неотрицательными. Заимствование средств не разрешено.

Решение.

Ожидаемая доходность портфеля равна:

г_р=160,+2О0_г+220₃ (4.29)

Бета портфеля не должна превысить значение 1,1. Поэтому риск портфеля запишем как неравенство:

Р_р = 0,6(9, + 10₂ + 1,20₃ < 1,1 (4.30)

Сумма всех уд. весов в портфеле равна единице:

0,+0₂ +0₃ =1 (4.31)

Уд. вес каждой бумаги должен быть не меньше нуля и не больше единицы:

О<0, <1; 0<<9₂ <1; 0<?_г <1 (4.32)

В задаче функция (4.29) является целевой. Она подлежит максимизации. Ограничениями выступают условия (4.30)-(4.32). Таким образом, постановку задачи можно записать как:

16$, + 2О0₂ + 220₃ —^ пэах,

0,60, + 0₂ +1,20₃ — 1Д >

О<0, <1; О<0₂ <1; О<0₃ <1,

0, + 0₂ + 0₃ ⁼ 1

Решим задачу графически. Чтобы представить решение на плоскости, выразим уд. вес первой бумаги из ограничения (4.31):

в,=1-в₂-в,

и подставим его в целевую функцию и другие ограничения:

16(1 - 0₂ - 0₃ )¦+2О0_г+220₃ —> max,

0,6(1 - 0₂ - 0₃) + 0₂ +1,20₃ < 1,1,

0 < 1 - 0₂ - 0₃ < 1; 0 < 0₂ < 1; 0 < 0₃ < 1

или

16 + 40₂ + 60₃ —» шах,

О,40₂+О,60₃ <0,5,

0 < 0₂ + 0₃ < 1; 0 < 0₂ < 1; 0 < 0₃ < 1

В целевой функции присутствует константа - число 16. Она не влияет на получение оптимального решения, поскольку прибавление константы к функции не изменяет точку ее максимума. Поэтому исключим ее из целевой функции. Условия задачи запишутся как:

40₂ + 60₃ -» шах, (4.33)

О,40₂+О,60₃ <0,5, (4.34)

0 < 0₂ + 0₃ < 1; 0 < 0₂ < 1; 0 < 0₃ < 1

это симплекс-метод. Он имеет итерационный характер. Определяются значения неизвестных и подставляются в целевую функцию. Если значения целевой функции можно улучшить, то вычислительные действия повторяют и находят новые значения неизвестных. Их вновь подставляют в целевую функцию. Действия повторяются до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение, т.е. когда уже нельзя улучшить значение целевой функции.

Пример 2.

Решим задачу в примере 1 симплекс-методом. Как и примере 1 постановка задачи имеет вид:

160, + 2О0₂ + 22^ —^ шах,

0,60, + ?₂ +1,20₃ < 1,1, (4.35)

0 < 0, < 1; 0 < ?₂ < 1; 0 < 0₃ < 1,

0, + 0₂ + 0j ⁼ 1

В симплекс-методе от условий неравенств переходят к равенствам, вводя добавочные переменные. Введем добавочную переменную у > 0 и запишем условие (4.35) как равенство:

0,60, + 0₂ +1,20₃ + у — 1,1 Тогда имеются два ограничивающие равенства:

0,60, + 0₂ +1,20₃ + у = 1,1, (4.36)

0, + 0₂ + 0₃ = 1 (4.37)

Все переменные делят на базисные и свободные. Базисные переменные выражают через свободные. Количество свободных переменных равно разности между общим числом переменных и числом ограничивающих уравнений. Общее число переменных в задаче равно четырем - 0,, 0₂, 0₃, у, - а ограничивающих уравнений два. Поэтому получаем две свободные и две базисные переменные. Выберем в качестве базисных переменных 0₃ и у ^|3. Тогда свободными переменными будут 0, и 0₂.

Из целевой функции необходимо исключить базисные переменные, выразив их через свободные. Тогда:

160, + 2О0₂ + 22(і - 0, - 0₂) —мпах

или

- 60, - 2?₂ + 22 —> max

Выразим базисные переменные через свободные:

у = 1,1-0,60, - ?₂ - 1,20₃, (4.38)

0₃=1-0,-0₂ (4.39)

или, подставив значение 0₃ из (4.39) в (4.38):

у = —0,1 + 0,60, + О,20₂, (4.40)

0₃=1-0,-0₂ (4.41)

На каждом шаге поиска решения значения свободных переменных принимают равными нулю и определяют значения базисных переменных. Поэтому положим значения свободных переменных равными нулю: 0, = 0; 0₂ = 0 Тогда из равенств (4.40) и (4.41): у = —0,1; 0₃ =1. Таким образом, получаем первое возможное решение:

0, =0; 0₂ =0; 0₃ =1; у = -0,1

Однако данное решение является недопустимым, так как величина у получилась отрицательной, что противоречит введенному условию ее не отрицательности. Следовательно, ее необходимо перевести в разряд свободных переменных, взяв вместо нее новую базисную переменную: 0, или ?₂. Какую из них следует перевести в разряд свободных? В равенстве (4.40) большую угрозу для получения отрицательности величины у представляет 0₂, поскольку ее коэффициент меньше чем у 0,. Это значит, что, при текущем значении 0, = 0 при увеличении значения ?₂ величина у будет с меньшей скоростью уходить от отрицательности, чем в случае увеличения 0, приняв 0₂ = 0. Поэтому новой свободной переменной делаем 0₂. Выражаем новые базисные переменные из равенств (4.40) и (4.41) через свободные:

0₂ = 5у + 0,5 - 30,, (4.42) 1

ОТ

1

II (4.43) или, подставив (4.42) в (4.43): 0₂ = 5у + 0,5 — 30,, (4.44) 0₃ = 0,5 + 20, - 5у (4.45) Исключаем из целевой функции базисные переменные, выразив их через сво- бодные: 160, + 20(бу + 0,5 - 30,)+ 22(о,5 + 20, - 5у) —> max

или

21 -10у -* max (4.46)

Положим значение свободных переменных равными нулю. Из (4.44) и (4.45) получаем решение:

0, =0; ?₂ =0,5; 0₃ =0,5; у = 0

При этих значениях переменных значение целевой функции равно:

21-10 0 = 21

В максимизируемой функции (4.46) нет переменных с положительным знаком. Следовательно, решение нельзя улучшить. Поэтому, для получения максимальной доходности портфеля при введенных ограничениях необходимо купить только вторую и третью бумаги в равных уд. весах. При этом ожидаемая доходность портфеля составит 21%.

Краткие выводы

Кривую, на которой расположены портфели с одинаковой ожидаемой доходностью, Г.Марковец назвал изосредней кривой доходности (isomean curve); кривую для портфелей с одинаковой дисперсией - линией изодисперсии (isovari-ence line). Графически изосредние кривые представляют собой набор параллельных прямых линий, линии изодисперсии - набор эллипсов.

Линию, на которой расположены эффективные портфели, Г.Марковец назвал критической (critical line). Она проходит через точки касания изосредних и изодисперсий и представляет собой прямую.

Для случая, когда короткие продажи активов разрешены, аналитически эффективную границу можно найти с помощью метода множителей Лагранжа.

Задача линейного программирования возникает при линейности целевой функции и ограничений. Линейное программирование можно использовать для определения оптимального портфеля, если задать риск активов и портфеля коэффициентами бета.

Приложение 1.

Определение вида поверхности второго порядка

Общее уравнение поверхности второго порядка относительно переменных х, у, z имеет вид:

а, _Хх^г + а₂₂у^г + а_ъъг² + 2 а_]2ху + 2 a_nxz + 2a₁₃yz +

+ 2а, ₄х + 2а₂₄у + 2a₃₄z + а_и = 0 ¹)

Чтобы определить форму поверхности, надо найти параметры D и А, которые рассчитываются следующим образом:

*11 «12 «13 *21 «22 «23 *31 «32 «33 11 «12 «13 «14 21 «22 «23 «24 31 «32 «33 «34 41 «42 «43 «44 Если D-0 и А <0, то уравнение (П.4.1) характеризует эллиптический параболоид.

Необходимо определить вид поверхности, задаваемой уравнением:

^а1 = ^С0?(/ (П.4.2)

/-I і=і

Выразим уд. вес третьей бумаги как:

?_г=\-?_х-?₂ (П.4.3)

Подставим значение ?_ъ из (П.4.3.) в равенство (П.4.2):

сг² = ?_хст² + ?₂ а 2 + (і-?_х-?₂ )² сг₃² + 2?_Х?₂ со?_і2 +

+ 2?_Х (l - ?_х - ?₂ )со?, з + 2?_г (і - ?_х - ?₂ )со?_{2 3} После преобразования получим:

= (^і² " ^{2 С0?}13 + ^з² М² + (°2 - ² со?₂₃ + О-² )?₂ +

+ 2(со?₁₂ - со?_ІЗ - со?₂₃ + а] )?_х?₂ + (_П.4.4)

+ 2(со?₁₃ - сг² )#, + 2(со?₂₃ - сг² )#₂ + сг₃

Уравнение (П.4.4) аналогично уравнению (П.4.1) относительно переменных ?_х, ?₂ и а²р с коэффициентами:

°\ 1 ⁼ (°f “ ^{2 С0?},3 + <*\ } ^а22 ⁼ (о’г ~ ^{2 СО?}23 ^{+ а}2 } ^а23 = 0; «12 = (^С0?12 - ^С0?13 - ^СО?23 + )

«із = 0; а₂₃=0; а₃₄=0; а_Х4 = (со?₁₃-<7₃)

«24 ⁼ (со?₂з-о-₃ ^ а_и = сг₃ Найдем для уравнения (П.4.4) параметры D и А.

так как матрица с нулевым столбцом является нулевой. В свою очередь матрица А < 0. Поэтому уравнение (П.4.2) в трехмерном пространстве характеризует эллиптический параболоид.

Приложение 2.

Алгоритм решения оптимизационной задачи в матричной форме

Введем следующие обозначения:

со?_ІЗ - со?₂₃ 4

матрица (вектор) уд. весов активов в портфеле;

<?„) - транспонированная матрица (вектор) уд. весов;

(г\

ч

R = - матрица (вектор) ожидаемых доходностей активов;

ковариационная матрица. Она является

ковариации доходностей активов;

единичная матрица (вектор) из п -элементов;

/=(і 1 ... О - транспонированная единичная матрица (вектор).

Условия оптимизационной задачи при возможности коротких продаж составляют:

п п ₂² . .. cov,„" .. cov₂„ ?^со?«1 cov_n2 . •• v²n , ГрЛ (в, - в.)

Й вг ?_я)

\^rnJ

rn

1

или в краткой записи:

а²р=?^ТО?,

?^гД = г„,

?^те = 1

Запишем функцию Лагранжа:

L = ?^тО? + А_Л (?^ТЯ - f_p )+ Л₂ (?^ге -1) ,

(П.4.8)

(П.4.9)

(П.4.10)

где А, и Л. - множители Лагранжа.

Продифференцируем (П.410) по ?, и приравняем вектор производных к нулю:

— — 2Q& + A^R + Л₂е — О сІ?

или

2QQ = -Л,/? - А^е,

или

Q® = -^R-^e 2 2

Отсюда вектор уд. весов равен:

? = (П.4.11)

где Q' - обратная ковариационная матрица.

Для определения значений Л, и подставим ? из (П.4.11) в (П.4.8) и (п.4.9):

или соответственно

-уR^TQr^xR-^-e^rQ-^lR = r_p (П.4.12)

-^-R^TQ~^le-^-e^TQ-'e= 1 (П.4.13)

(В преобразованиях данных формул были использованы свойства: а) для симметрической матрицы (q~¹ У = Q~^x; б) для матриц А и В (ABf = В^ГА^Т.)

Решая систему уравнений (П.4.12) и (П.4.13), находим значения \ и 2^. После этого подставляем их в (П.4.11), и определяем вектор уд. весов активов в оптимальном портфеле.



Содержание раздела

---