Буренин А. Н. - Управление портфелем ценных бумаг

В книге рассматриваются вопросы управления портфелем ценных бумаг, основные концепции и финансовые стратегии, используемые в этой области деятельности. В книге широко представлен материал по использованию программы Excel для финансовых расчетов и построения моделей.

Рекомендуется студентам, аспирантам, преподавателям ВУЗов и работникам финансовой сферы.

Вы держите в руках второе издание учебного пособия «Управление портфелем ценных бумаг». Это одна из самых востребованных книг признанного участниками финансового рынка России автора учебной литературы, заведующего кафедрой Фондового рынка МГИМО МИД России, доктора экономических наук Буренина Алексея Николаевича.

Учебник будет полезен широкому кругу лиц: студентам экономических факультетов, сотрудникам организаций, работающих на финансовом рынке: риск-менеджерам, трейдерам, управляющим инвестиционными портфелями, и всем тем, кто хочет инвестировать денежные средства в ценные бумаги.

Книга «Управление портфелем ценных бумаг» раскрывает вопрос оценки риска и доходности инвестиционных портфелей, рассказывает о разнообразных стратегиях управления портфелями ценных бумаг. Отдельно в учебнике представлены рекомендации по автоматизации финансовых расчетов и построении моделей.

Знания, полученные в процессе прочтения книги, помогут при работе с различными инструментами, обращающимися на фондовом рынке России.

Фондовая биржа «Российская Торговая Система»

ГЛАВА 1. ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И РИСК ПОРТФЕЛЯ

В настоящей главе рассматриваются вопросы, связанные с расчетом ожидаемой доходности и риска портфеля ценных бумаг. Вначале мы остановимся на определении ожидаемой доходности портфеля, после этого перейдем к определению ожидаемого риска. Раскрывая последний вопрос, последовательно рассмотрим риск портфеля, состоящего из двух активов для различных вариантов корреляции их доходности, и риск портфеля, в который входит несколько ценных бумаг. В заключение рассмотрим эффективную границу Г. Марковца, кредитный и заемный портфели.

Портфель - это набор финансовых активов, которыми располагает инвестор. В него могут входить как инструменты одного вида, например, только акции или облигации, так и разные активы: ценные бумаги, срочные контракты, недвижимость. Цель формирования портфеля состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого риска. Она достигается, во-первых, за счет диверсификации портфеля по составу инструментов, т. е. распределения средств инвестора между различными активами, и, во-вторых, тщательного подбора финансовых инструментов. В теории и практике управления портфелем существуют два подхода: традиционный и современный. Традиционный основан на фундаментальном и техническом анализе. Он делает акцент на широкую диверсификацию ценных бумаг по отраслям. В основном приобретаются бумаги известных компаний, которые имеют хорошие производственные и финансовые показатели. Кроме того, учитывается более высокая ликвидность таких бумаг, возможность приобретать и продавать их в больших количествах и экономить на комиссионных.

Развитие широкого и эффективного рынка', статистической базы, а также быстрый прогресс в области вычислительной техники привели к возникновению современной теории и практики управления портфелем ценных бумаг. Она основана на использовании статистических и математических методов подбора финансовых инструментов в портфель, а также на ряде новых концептуальных подходов.

Главными параметрами при управлении портфелем, которые необходимо определить менеджеру, являются его ожидаемая доходность и риск. Формируя портфель, менеджер не может точно определить будущую динамику его доходности и риска. Поэтому свой инвестиционный выбор он строит на ожидаемых значениях доходности и риска. Данные величины оцениваются, в первую очередь, на основе статистической информации за предыдущие периоды времени. Поскольку будущее вряд ли повторит прошлое со стопроцентной вероятностью, то полученные оценки менеджер может корректировать согласно своим ожида-' Определение термина “эффективный рынок” и характеристику эффективного рынка см. в книге А.Н. Буренина “Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов”, М., “Научно-техническое общество им. академика С.И.Вавилова”, 2002, глава 8.1.

ниям развития конъюнктуры. Рассмотрим, каким образом рассчитываются отмеченные параметры.

1.1. Ожидаемая доходность портфеля

1.1.1. Ожидаемая доходность актива

Ожидаемая доходность портфеля рассчитывается на основе ожидаемой доходности активов. Каким образом определяется ожидаемая доходность актива? В этом вопросе можно воспользоваться двумя приемами. Первый состоит в том, чтобы на основе прошлых данных статистики доходности актива рассчитать ее среднеарифметическое значение по формуле:

П ожидаемая доходность актива;

fj - фактическая доходность актива в / -м периоде;

п - число периодов наблюдения; все периоды имеют одинаковую продолжительность.

Пример.

Данные о доходности актива за прошедшие 9 лет представлены в таблице:

Месяцы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Доход

ность

(%) 4 -1 2 5 -2 -1 3 2 6 Ожидаемая доходность актива в расчете на год равна:

Е(г)

4-₁₊₂₊5-2-₁₊3₊2₊6_=2%

9

Второй подход заключается в учете возможного будущего вероятностного распределения доходности актива. Ожидаемая доходность актива в этом случае определяется как среднеарифметическая взвешенная, где весами выступают вероятности каждого события. В сумме все возможные варианты событий должны составлять 100% вероятности. Формулу ожидаемой доходности актива можно записать в следующем виде:

П

?(г) = 2>(г,>г_(> 0.1)

/ = 1

где Е(гі) - ожидаемая доходность актива для і -го события; п_і - вероятность наступления / -го события.

Пример.

Инвестор полагает, что в будущем году можно ожидать следующего вероятностного распределения доходности акции.

Доходность (%) Вероятность (%) -10 10 0 20 10 25 15 20 20 15 25 10 Ожидаемая доходность бумаги равна:

-10-0,1+ 0-0,2 +10-0,25 +15-0,2 + 20 0,15 + 25 0,1 = 10%

1.1.2. Ожидаемая доходность портфеля при невозможности заимствования средств или осуществления коротких продаж

Портфель, формируемый инвестором, состоит из нескольких ценных бумаг, каждая из которых обладает своей ожидаемой доходностью. Каким окажется значение ожидаемой доходности портфеля в результате их объединения? Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него бумаг, а именно:

Е(г_р) = ?_хЕ{г_х) + ?₂Е(г₂ ) + ... + ?_пЕ(г_п), (1 -2)

где E(r_p ) - ожидаемая доходность портфеля;

Е(г_ху,Е(г₂);Е(г_п) - ожидаемая доходность соответственно первой, второй ии-й бумаги;

?_х;?₂;?_п - удельный вес в портфеле первой, второй ии-й бумаги.

Запишем формулу (1.2) в более компактном виде, воспользовавшись знаком суммы, тогда:

^?('>)=1/№) (і.з)

І=\

Удельный вес бумаги в портфеле рассчитывается как отношение ее стоимости к стоимости всего портфеля:

р,

?, =

(1.4)

где 0, -удельный вес /-Й бумаги;

P_t - стоимость і -ой бумаги в портфеле;

Р_р - стоимость портфеля.

Сумма всех удельных весов входящих в портфель активов равна единице.

Пример 1.

Портфель состоит из двух бумаг А и В. Е(г_Л) = 20%, Е(г_в) = 30%. Стоимость бумаги А составляет 300 тыс. руб., В - 700 тыс. руб. Определить ожидаемую доходность портфеля.

Решение.

Стоимость портфеля равна:

300тыс. + ЮОтыс. = 1000тыс.руб.

Удельные веса бумаг в портфеле составляют:

?_л =-³-2°^=0,3 ; ?, = ™2^L ₌ o,7 1000тыс. ХОООтыс.

Ожидаемая доходность портфеля равна:

Е(_Гр) = 0,3 • 20% + 0,7 • 30% = 27%

Таким образом, если инвестор объединяет в портфель две бумаги, то ожидаемая доходность портфеля будет располагаться между значениями ожидаемых доходностей первой и второй бумаг.

1.1.3. Ожидаемая доходность портфеля при возможности заимствования средств

Инвестор может купить актив не только на собственные средства, но в дополнение к ним занять деньги и приобрести дополнительное количество рискованного актива. Цель инвестора состоит в увеличении ожидаемой доходности по своей операции. Деньги занимаются под более низкую процентную ставку и размещаются в потенциально более доходный актив. В результате возникает эффект финансового рычага. Поэтому чем большую сумму денег он займет, тем более высокой ожидаемой доходностью будет характеризоваться операция.

При заимствовании денег и покупке на них дополнительного количества ценной бумаги у инвестора возникает портфель, состоящий фактически из двух активов. Первый представляет собой приобретаемую бумагу (она покупается как на собственные, так и заемные средства), второй - заимствованную сумму денег. Ожидаемая доходность портфеля рассчитывается по формуле (1.2).

Пример 2.

Инвестор приобретает рискованный актив? на 100 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает 50 тыс. руб. под 10% и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 20%. Определить ожидаемую доходность сформированного портфеля.

Решение.

В портфель входит актив А на 150 тыс. руб. и кредит на 50 тыс. руб. Поскольку взятые в кредит средства не являются собственностью инвестора, то в стоимости портфеля они учитываются со знаком минус. Стоимость портфеля равна:

150 тыс + (-50) тыс. = 100 тыс.руб.

Согласно формуле (1.4) уд. вес актива Л в портфеле составляет:

150 тыс. руб.

?_А 1) 5

100 тыс. руб.

Уд. вес заемных средств в портфеле равен:

_п -50тыс.руб.

и, =-= —0,5

100 тыс. руб.

Ожидаемая доходность портфеля составляет:

1,5 • 20% + (- 0,5)10% = 25%

Таким образом, заимствование денег и инвестирование их в более доходный актив по сравнению с процентом по кредиту позволяет инвестору увеличить значение ожидаемой доходности портфеля сверх ожидаемой доходности входящих в него активов.

1.1.4. Ожидаемая доходность портфеля при возможности коротких продаж

Инвестор может использовать короткую продажу актива в качестве альтернативы заимствованию денег. Допустим, имеется два актива - А и В. Ожидаемая доходность актива А выше ожидаемой доходности актива В. Тогда можно на собственные средства купить актив А, занять актив В и продать его. На полученные от короткой продажи актива В деньги покупается дополнительное количество актива А. Чем больше актива В заимствовано, тем более высокой ожидаемой доходностью будет характеризоваться портфель. Следует подчеркнуть, что для короткой продажи подходит не только актив, для которого ожидается падение цены. Курс его также может расти. Главное, чтобы его ожидаемая доходность была ниже ожидаемой доходности актива, в который планируется инвестировать полученные деньги. Проиллюстрируем сказанное на примерах. Для простоты рассмотрим случай, когда можно занять акции у брокера для короткой продажи без процентов и без резервирования средств под обеспечение короткой продажи.

Пример 3.

Инвестор приобретает рискованный актив А на 100 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает актив В, продает его на сумму 50 тыс. руб. и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 20%, актива В - 10%. Ожидаемая доходность сформированного портфеля равна:

1,5 • 20% + (- 0,5)10% = 25%

Пример 4.

Инвестор приобретает рискованный актив А на 100 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает актив В, продает его на сумму 50 тыс. руб. и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 20%, актива В - минус 10%. Ожидаемая доходность сформированного портфеля равна:

1,5 • 20% + (- 0,5Х-10%) = 35%

В примере 4 по сравнению с примером 3 ожидаемая доходность портфеля выше за счет того, что инвестор ожидает падения цены актива В.

В рассмотренных случаях предполагается, что инвестор покупает другую бумагу на все средства от короткой продажи акции. На практике данная сумма может быть ограничена с целью создания у брокера гарантийного залога по короткой продаже. Кроме того, возможно требование внесения дополнительной гарантийной суммы в обеспечение операции.

1.1.5. Ожидаемая доходность портфеля при использовании только заемных средств

Допустим, инвестор берет кредит в банке и покупает на них более доходный актив. Поскольку используются только заемные деньги, то уд. вес собственных средств равен нулю, а заемных средств - минус единица. Уд. вес в портфеле покупаемого актива равен единице. Поэтому сумма уд. весов активов в портфеле равна нулю.

Пример 5.

Инвестор занимает в банке 100 тыс. руб. под 10% годовых и приобретает рискованный актив А с ожидаемой доходностью 20%. Ожидаемая доходность портфеля равна:

1-20% +(-1)10% = 10%,

однако ожидаемая доходность для инвестора равна бесконечности, поскольку он использовал только заемные средства.

Представленная ситуация имеет только теоретическое значение, поскольку получение кредита связано с определенным обеспечением полученных средств со стороны инвестора, например, залогом имущества. Поэтому ожидаемый результат необходимо оценивать относительно тех средств, которые в этом случае блокируются.

1.1.6. Использование программы Excel для расчета ожидаемой доходности портфеля

Программа Excel позволяет легко осуществлять финансовые и статистические расчеты, которые возникают в процессе управления портфелем ценных бумаг. Прежде чем рассмотреть вопрос вычисления доходности портфеля, скажем несколько слов о том, как начать работу с программой.

Для запуска Программы Excel необходимо навести курсор на кнопку “Пуск” и нажать (щелкнуть) левую клавишу мыши. В появившемся меню наводим курсор на категорию “Программы”. Появилось меню программ. Наводим курсор на строчку Microsoft Excel и щелкаем левой клавишей мыши. На экране появилось окно программы Excel (см. рис. 1.1). В нем автоматически возник файл под названием “Книга” (на рис. 1.1 это файл “Книга-1”). Книга состоит из листов. На рис. 1.1 книга состоит из одного листа - на это указывает надпись “Листі” (закладка) в нижнем левом углу окна Excel. Каждый лист представляет собой электронную таблицу, состоящую из строк и столбцов. Столбцы обозначаются по верхнему краю таблицы латинскими буквами - А, В, С и т.д., а строки по левому краю таблицы цифрами - 1, 2, 3 и т.д. На пересечении столбцов и строк располагаются ячейки. Их обозначают с помощью сочетания букв и цифр, например, А1, А2, В1 и т.п. - это адреса ячеек. Необходимая для расчетов информация печатается в ячейках. Для того чтобы напечатать информацию в ячейке, например, требуемую цифру, необходимо выделить ячейку, т.е. активизировать ее. Для этого наводим курсор на выбранную ячейку и щелкаем левой клавишей мыши. Ячейка выделяется жирной рамкой. На рис. 1.1 выделена ячейка с адресом А1. После этого печатаем в ячейке требуемую информацию. Для перехода к другой ячейке можно навести на нее курсор, и щелкнуть левой клавишей мыши, или использовать на клавиатуре компьютера клавиши с изображением стрелок. Для перемещения по строке таблицы можно использовать и клавишу Tab. Дальнейшие пояснения работы с Excel будем давать в процессе рассмотрения расчетных примеров.

Пример 1.

Портфель состоит из акций трех компаний. Ожидаемая доходность первой равна 20%, второй - 30%, третьей - 35%. Уд. вес первой бумаги 40%, второй -35% и третьей - 25%. Определить ожидаемую доходность портфеля.

О Microsoft Excel - Книгаі

-Idl xl удельные веса бумаг: 0,4, 0,35 и 0,25 (см. рис. 1.2). Выделяем ячейку С1, т.е. наводим на нее курсор и щелкаем левой клавишей мыши. После этого печатаем в ней формулу:

=А1 *В 1 + А2 *В2+АЗ *ВЗ

Формула появляется также в строке формул над электронной таблицей (см. рис. 1.2). Нажимаем клавишу Enter. В ячейке С1 появилась цифра 27,25. Это и есть ожидаемая доходность портфеля.

б) Если портфель насчитывает большое количество активов, то для расчета ожидаемой доходности портфеля в ячейке С1 придется печатать длинную формулу. Поэтому удобнее воспользоваться следующим алгоритмом. В ячейке С1 печатаем:

=СУ ММПРОИЗВ( А1 :АЗ;В1:ВЗ)

и нажимаем клавишу Enter. В ячейке С1 появится цифра 27,25. В приведенной формуле запись номеров ячеек осуществляем через двоеточие, например, А1:А3. Это означает, что при расчетах учитываются все ячейки из указанного диапазона, т.е. от А1 до АЗ.



Наводим курсор на ячейку С1 и выделяем ее, щелкнув левой клавишей мыши, поскольку в ней мы хотим получить решение задачи. Затем наводим курсор на значок и щелкаем левой клавишей мыши. Появилось окно “Мастер функций”. В окне два поля. Левое называется “Категория”. В нем дан перечень областей, в рамках которых можно производить расчеты. Наводим курсор на строку “Математические” и щелкаем левой клавишей мыши. Строка высвечивается синим цветом, а в правом поле окна под названием “Функция” появился перечень математических функций. Наводим курсор на строку “СУММПРОИЗВ” и щелкаем левой клавишей мыши. Строка высветилась синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “СУММПРОИЗВ”. В окне три строки, которые называются “Массив 1”, “Массив 2” и “Массив 3”. В первую строку заносим номера ячеек с А1 по АЗ. Для этого поступаем следующим образом. С правой стороны первой строки расположен знак 3. Наводим на него курсор и щелкаем левой клавишей мыши. Окно “СУММПРОИЗВ” превращается в поле первой строки. Наводим курсор на ячейку А1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, доводим курсор вниз до ячейки АЗ и отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись А1:АЗ. Вновь наводим курсор на знак Ш и щелкаем мышью. Появляется окно “СУММПРОИЗВ”. Теперь заносим номера ячеек с В1 ПО вз в поле “Массив 2”. Наводим курсор на знак 3 во второй строке и щелкаем мышью. Наводим курсор на ячейку В1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, доводим курсор вниз до ячейки ВЗ, отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись В1:ВЗ. Наводим курсор на кнопку ЗІ и щелкаем мышью. Появилось окно “СУММПРОИЗВ”. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. В ячейке С1 появилась цифра 27,25.

Завершив расчеты, можно сохранить полученные таблицы для дальнейшего использования через меню “Файл” и команду “Сохранить как”.

1.2. Ожидаемый риск портфеля

1.2.1. Риск актива

Основополагающими мерами риска финансового актива являются такие показатели как стандартное отклонение и дисперсия его доходности. В качестве синонима понятия стандартное отклонение используют также термин “волатильность”. Стандартное отклонение и дисперсия доходности актива говорят о степени возможного разброса его фактической доходности вокруг его средней доходности. Данные меры риска можно определить на основе прошлых данных статистики доходности актива. Рассмотрим технику определения дисперсии и стандартного отклонения доходности на примере акции.

Пусть имеются значения доходности акции за п лет. За первый год она составила величину г_х, за второй - г₂, третий - г₃ и т.д., за п -й год - г_п. Разобьем расчеты на несколько шагов.

ШАГ 1. Определяем среднее значение доходности акции за п лет. Это просто среднее арифметическое значений ее доходности за этот период:

П

где г - средняя доходность акции;

п - количество лет, за которые наблюдались значения доходности;

ШАГ 2. Определяем для каждого года отклонение фактического значения доходности от ее средней доходности, и возводим полученные данные в квадрат. Для первого года получаем: (/; -г)², для второго года - (r₂ -F)², и т. д.,

для п -го года - (г_п-7)².

ШАГ 3. Суммируем квадраты отклонений:

-г)² +(г₂-г)² +... + {г„-г)² = ^-г)²

/=1

ШАГ 4. Делим полученную сумму на количество лет:

&^{1 =}—- (1.5)

п

Величина а¹ является дисперсией доходности акции в расчете на год. Как уже отмечалось, дисперсия является показателем рассеяния фактических значений доходности акции вокруг ее средней доходности. Размерность дисперсии представляет собой квадрат доходности акции. Если в формуле мы учитываем доходность в процентах, то размерность дисперсии - это процент в квадрате. Показателем такой размерности не всегда удобно пользоваться, поскольку сама доходность акции измеряется в процентах. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень и получают стандартное отклонение доходности:

<Г = ?о^Т, (1.6)

где <7 - стандартное отклонение доходности акции.

Стандартное отклонение измеряется уже в процентах, т.е. в тех же единицах, что и сама доходность.

Если предположить, что при расчете дисперсии и стандартного отклонения мы учли все существующие значения доходности, т. е., как говорят, всю генеральную совокупность случайной переменной, то полученная по формуле (1.5) дисперсия называется генеральной дисперсией, а стандартное отклонение в формуле (1.6) - генеральным стандартным отклонением. Однако на практике невозможно учесть все фактические значения доходности акции, так как это непрерывная случайная величина. Поэтому оценку данных показателей проводят на основе только части их значений, т.е. на основе некоторой выборки данных. Тогда в результате расчета по формуле (1.5) получают так называемую выборочную дисперсию.

Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то она будет приводить к систематическим ошибкам, занижая значение генеральной дисперсии. Это происходит потому, что при расчете отклонения его считают не от истинного среднего значения переменной, а от выборочного. Выборочное же среднее непосредственно находится в центре выборки и поэтому отклонения от него выборочных данных в среднем меньше, чем от действительного среднего значения переменной в генеральной совокупности. Чтобы скорректировать данную погрешность переходят к так называемой исправленной дисперсии. Она определяется по формуле:

2>,-г)¹

<г²=--:- (1.7)

п -1

Формула (1.7) отличается от формулы (1.5) только знаменателем. Данная корректировка осуществляется для того, чтобы получить несмещенную оценку генеральной дисперсии. Корректировка является существенной, если оценку дисперсии проводят на основе небольшого количества данных. При большом объеме выборки различие в расчетах будет незначительным. На практике пользуются исправленной дисперсией, если количество наблюдений примерно меньше 30. Соответственно исправленное стандартное отклонение определяется по формуле:

Ifc-F)²

(1.8)

/=1_

п — 1

Пример.

Определить выборочное стандартное отклонение доходности акции, если ее доходность за первый год составила 20%, второй - 35% , третий - минус 2%, четвертый - 15% , пятый - 10%.

Решение.

ШАГ 1. Определяем среднюю доходность акции:

15,6%

_ 20 + 35-2 + 15 + 10

г =-

5

ШАГ 2. Определяем дисперсию доходности согласно формуле (1.5):

_ (20-15,б)²+(35-15,б)²+(-2-15,б)²+(15-15,б)²+(10-15,б)² _^ ^

ШАГ 3. Определяем выборочное стандартное отклонение доходности акции:

о- = 7147,44=12,14%

Рассматривая технику определения стандартного отклонения и цифровой пример, мы оперировали временным периодом равным году. На практике возникает задача определения стандартного отклонения для других временных периодов.

Если имеется значение стандартного отклонения за год, то для определения его за один день надо стандартное отклонение в расчете на год разделить на корень квадратный из количества торговых дней в году. В году насчитывается порядка 252 дней. Поэтому стандартное отклонение доходности актива за день получим по формуле:

_ ^год

~ у/252 ’

где сг, - стандартное отклонение в расчете на один день;

сг_год- стандартное отклонение в расчете на год.

Так, стандартное отклонение доходности акции за один день в приведенном выше примере равно:

0,765%

12,14

V252

Если мы определяем стандартное отклонение за некоторый период на основе годичного стандартного отклонения, то в общем виде формула имеет следующий вид:

(1.9)

^а‘ ^агод? 252 ’

где сг, - стандартное отклонение за период t;

t - период времени, для которого определяется стандартное отклонение. Пусть в нашем примере требуется определить стандартное отклонение доходности акции за 50 дней. В соответствии с формулой (1.9) оно составляет:

I 50 252

*30 =12,и.

5,41%

Если известно стандартное отклонение за один день, то определить его в расчете на год можно по формуле:

^ л/252 (1.10)

Соответственно стандартное отклонение за любой другой период времени (<т,) определяется по формуле:

а, =сг,?7

Получить стандартное отклонение за год на основе его значения за некоторый период t можно с помощью следующей формулы:

252

t

= СГ,

год

На практике волатильность часто определяют на основе данных о ежедневной доходности акции. Доходность акции за один день определяется по формуле:

^ги = доходность акции за і -й день;

*/

S_t - цена акции при закрытии на і -й день;

₍ - цена акции при закрытии на і — 1 -й день.

Например, берут цену акции при закрытии вчера {s, ) и цену акции при закрытии сегодня (s,). Доходность акции за первый день равна:

может принимать любые значения в рамках некоторого диапазона.

Значения одной переменной могут изменяться только в определенные моменты времени, другой - в любое время. Поэтому выделяют соответственно дискретный и непрерывный стохастические процессы.

Доходность актива является непрерывной случайной величиной и подчиняется некоторому вероятностному распределению. Наиболее часто в жизни встречается нормальное распределение. Оно возникает в том случае, когда на случайную величину оказывает влияние множество факторов, каждый из которых не имеет определяющего значения. График кривой нормального распределения (его еще называют графиком плотности вероятности) случайной величины приведен на рис. 1.3. По оси абсцисс представлена область возможных значений случайной величины X, по оси ординат - плотность распределения вероятностей случайной величины X. В самом общем виде можно дать следующее определение плотности вероятности: это вероятность, приходящаяся на единицу длины отрезка, на котором может принимать значения случайная величина. Если быть более точным, то она характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.

Плотность распределения f{x) является одной из форм закона распределения случайной величины, но существует только для непрерывных случайных величин.

f(x) ; либо интервал оси абсцисс, то она будет равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения, снизу - осью абсцисс, по бокам - перпендикулярами, проходящими через концы интервала. Так, вероятность попадания случайной величины X на отрезок (х₂х, ) (см. рис. 1.3) равна площади фигуры, заштрихованной косыми пунктирными линиями. Нормальное распределение полностью определяется двумя характеристиками случайной величины - ее математическим ожиданием и стандартным отклонением. Таким образом, зная математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины, мы имеем полную картину вероятностного распределения ее возможных значений.

Стандартное отклонение характеризует степень рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Кроме этого, оно говорит о вероятности того, что значение случайной переменной окажется в некотором интервале. Для нормально распределенной случайной величины полезно запомнить так называемое “правило трех сигм”. Оно говорит о том, что вероятность получить значение случайной переменной в диапазоне одного стандартного отклонения от ее средней величины равно 68,3%, в диапазоне двух стандартных отклонений - 95,4%, трех стандартных отклонений - 99,7%. Остается еще 0,3% вероятности того, что случайная величина примет любое другое значение, выходящее за рамки отмеченных границ.

Проиллюстрируем данное правило на основе примера по расчету волатильности, который был приведен выше. Среднее значение, т.е. математическое ожидание доходности акции равнялось 15,6%, а стандартное отклонение доходности в расчете на год - 12,14%. Согласно правилу трех сигм, инвестор вправе ожидать, что с вероятностью 68,3% доходность акции через год будет располагаться в интервале от 15,6%±12,14%, т.е. от 3,46% до 27,74%. С вероятностью 95,4% этот интервал составит 15,6% ±2x12,14%, т.е. от -8,68% до 39,88%. С вероятностью 99,7% интервал возможной доходности будет равен 15,6% ±3x12,14% или от -20,82% до 52,02%. Остаются еще 0,3% вероятности того, что акция принесет как гораздо более высокую так и низкую доходность.

Таким образом, стандартное отклонение доходности актива выступает мерой степени и вероятности разброса ее возможных значений вокруг ее средней доходности.

Стандартное отклонение является мерой риска изменения доходности актива. Зная данную величину, инвестор может выбирать между более или менее рискованными бумагами. Например, имеются две акции - А и В. Их средняя доходность одинакова и равна 30%, так как это просто средняя арифметическая их доходностей за определенный период времени. В то же время, стандартное отклонение в расчете на год акции А равно 10%, акции В - 15%. Это означает, что акция В рискованнее бумаги А. Учитывая правило трех сигм, инвестор вправе ожидать, что с вероятностью 68,3% через год он может получить по бумаге А доходность в диапазоне от 20% до 40%, а по бумаге В - от 15% до 45%. Поэтому более консервативный вкладчик выберет бумагу А, а более склонный к риску - бумагу В.

Дисперсию как меру риска ввел в теорию портфеля ценных бумаг основоположник современной теории портфеля Г.Марковец. Определенным недостатком данной меры риска является то, что она одинаково учитывает отклонения в доходности актива от его средней доходности как в сторону увеличения, так и снижения. В то же время инвестора, купившего финансовый актив, беспокоит именно снижение его доходности. Рост доходности по сути не является для него риском.¹¹ Поэтому позже Г.Марковец предложил в качестве меры риска показатель полудисперсии. Выборочная полудисперсия определяется по формуле:

прогноз доходности актива для і -го сценария будущей конъюнктуры;

р. - вероятность наступления і -го сценария будущей конъюнктуры;

F - средняя доходность актива, рассчитанная по формуле (1.1).

1.2.2. Определение дисперсии и стандартного отклонения доходности актива с помощью программы Excel

Программа Excel позволяет легко рассчитать дисперсию и стандартное отклонение доходности финансового актива. Рассмотрим технику расчета дисперсии и стандартного отклонения на примерах.

Пример 1.

Определить выборочное стандартное отклонение доходности акции компании А, если ее доходность за первый год составила 20%, второй - 35% , третий - минус 2%, четвертый - 15% , пятый - 10%.

Решение.

Приведем решение задачи двумя способами.

а) Печатаем в хронологическом порядке в ячейках с А1 по А5 значения доходности бумаги А. Решение получим в ячейке В1, поэтому наводим на нее курсор и щелкаем мышью. Печатаем в ячейке В1 формулу:

= ДИСПР(А1 :А5)

и нажимаем клавишу Enter. В ячейке В1 появилось решение задачи - цифра 147,44.

б) Выборочную дисперсию можно рассчитать с помощью программы “Мастер функций”. Решение получим в ячейке В1, поэтому наводим на нее курсор и щелкаем мышью. Затем наводим курсор на значок а на панели инструментов и щелкаем мышью. Появилось окно “Мастер функций”. В левом поле (“Категория”) наводим курсор на строку “Статистические” и щелкаем мышью. Строка высветилась синим цветом, а в правом поле окна (“Функция”) появился перечень статистических функций. Наводим курсор на строку “ДИСПР” и щелкаем левой клавишей мыши. Строка высветилась синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “ДИСПР”. В окне две строки, которые называются “Число 1” и “Число 2”. В первую строку заносим номера ячеек с А1 по А5. Для этого наводим курсор на знак 13, расположенный с правой стороны первой строки и щелкаем мышью. Окно “ДИСПР” превратилось в поле строки. Наводим курсор на ячейку А1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, доводим курсор вниз до ячейки А5 и отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись А1:А5. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “ДИСПР”. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. В ячейке В1 появилась цифра 147,44.

Исправленная дисперсия рассчитывается таким же образом как и выборочная дисперсия, только для этого служит функция “ДИСП”.

Пример 2.

Определить выборочное стандартное отклонение доходности акции компании А для условий примера 1.

Решение.

Приведем решение задачи двумя способами.

а) Печатаем в хронологическом порядке в ячейках с А1 по А5 значения доходности бумаги А. Решение получим в ячейке В1, поэтому наводим на нее курсор и щелкаем мышью. Печатаем в ячейке В1 формулу:

= СТАНДОТКЛОНЩА1 :А5)

и нажимаем клавишу Enter. В ячейке В1 появилось решение задачи - цифра 12,14.

б) Выборочную дисперсию можно рассчитать с помощью программы “Мастер функций”. Решение получим в ячейке В1, поэтому наводим на нее курсор и щелкаем мышью. Затем наводим курсор на значок а на панели инструментов и щелкаем мышью. Появилось окно “Мастер функций”. В левом поле (“Категория”) наводим курсор на строку “Статистические” и щелкаем мышью. Строка высветилась синим цветом, а в правом поле окна (“Функция”) появился перечень статистических функций. Наводим курсор на строку “СТАНДОТ-КЛОНП” и щелкаем левой клавишей мыши. Строка высветилась синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “СТАН-ДОТКЛОНП”. В окне две строки, которые называются “Число 1” и “Число 2”. В первую строку заносим номера ячеек с А1 по А5. Для этого наводим курсор на знак 3, расположенный с правой стороны первой строки и щелкаем мышью. Окно “СТАНДОТКЛОНП” превратилось в поле строки. Наводим курсор на ячейку А1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, доводим курсор вниз до ячейки А5 и отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись А1:А5. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “СТАНДОТКЛОНП”. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. В ячейке В1 появилась цифра 12,14.

Исправленное стандартное отклонение рассчитывается таким же образом как и выборочное стандартное отклонение, только для этого служит функция “СТАНДОТКЛОН”.

1.2.3. Показатели тесноты связи между доходностями

ценных бумаг

Риск ценной бумаги измеряется такими показателями как дисперсия или стандартное отклонение. Поэтому ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стандартных отклонений (дисперсий) входящих в него бумаг. Однако в отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений (дисперсий) доходностей бумаг. Дело в том, что разные активы могут не одинаково реагировать на изменение конъюнктуры рынка. В результате стандартные отклонения (дисперсии) доходности различных бумаг в ряде случаев будут погашать друг друга, что приведет к снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком направлении изменяются доходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка и в какой степени. Поэтому при формировании портфеля ценных бумаг инвестору необходимо знать, каким образом будет изменяться доходность одного актива при изменении доходности другого актива.

Между доходностями ценных бумаг может наблюдаться функциональная зависимость. Это означает, что существует строгое правило, которое связывает значения их доходностей. Наиболее простой является линейная зависимость. Ее можно представить в следующем виде:

r_Y=a + br_x, (1.12)

где r_Y - доходность бумаги Y;

г_х - доходность бумаги X;

а и b - некоторые постоянные величины (константы).

При линейной зависимости одному значению доходности бумаги X соответствует строго одно значение доходности бумаги Y. Уравнение (1.12) представляет положительную зависимость между X и F. Об этом говорит знак плюс перед коэффициентом Ъ. Графически данная зависимость представлена на рис. 1.4.

Как видно из графика на рис. 1.4, при росте доходности бумаги X доходность бумаги F также возрастает, и наоборот. Константа а представляет собой значение точки, в которой график функции пересекает ось OY (ось ординат). Константа b показывает угловой коэффициент наклона графика к оси ОХ (оси абсцисс) и равна тангенсу данного угла.

Если зависимость задана уравнением:

Гу = о Ьг_х, (1.13)

(перед коэффициентом b стоит знак минус), это означает, что она отрицательная. График функции (1.13) представлен на рис. 1.5. Как из него следует, при росте доходности бумаги X доходность бумаги Y падает, и наоборот.

На финансовом рынке зависимость между доходностями ценных бумаг часто бывает не функциональной, т. е. не жесткой. В этом случае одному значению доходности одной бумаги могут соответствовать разные значения доходности другой бумаги. Таким образом, не наблюдается строгого закона, который бы связывал значения их доходностей. Зависимость подобного рода называют стохастической или вероятностной, или статистической. Это означает, что при изменении доходности одной бумаги можно говорить лишь о том, какие значения доходности может принять другая бумага и с какой вероятностью. Такое положение вещей объясняется существованием большого количества факторов, влияющих на доходности конкретных активов и тем, что все их сложно учесть.

г_х^,..., п-й - г_х . Соответственно доходность бумаги Yза первый год составила г , второй - г ,..., п-й - г_у . Необходимо рассчитать ковариацию доходностей бумаг. Разобьем расчеты на несколько шагов.

ШАГ 1. Определяем среднюю доходность бумагой Yза п лет. Это просто средняя арифметическая доходности по каждой бумаге. Соответственно:

п средняя доходность бумаги X; г_у - средняя доходность бумаги Y.

ШАГ 2. Находим отклонения фактической доходности бумаг для каждого периода от средней доходности. Для бумаги X:

для бумаги Y:

к -»>)к ~^ТЛ-;к ~^ту)-

ШАГ 3. Перемножаем отклонения доходностей бумаг для каждого периода и суммируем их:

(1.16)

fc, ~^ГЛ^Гу, -^ГуЫ^Гх₂ ~^ГЛ^Гу, ~^ГУ)+••• + ⁺ (r_Xm -r_x\r_K -r_y)= Х(г, -Г_х\г_у -г_у)

1=1

ШАГ 4. Делим полученную сумму на количество наблюдений. Это и будет ковариация доходностей бумаг:

Е(г,,-rj

COV =

ху

(1.17)

где со? - ковариация доходностей бумаг Хи F.

Пример.

Доходность бумаги X за пять лет составила соответственно 20%, 25%, 22%, 28%, 24%. Доходность бумаги Y: 24%, 28%, 25%, 27%, 23%. Определить ковариацию доходностей бумаг.

Решение.

Определяем среднюю доходность бумаг по формулам (1.14) и (1.15):

23,8%,

25,4%

20 + 25 + 22 + 28 + 24 5

24 + 28 + 25 + 27 + 23 5

В соответствии с формулой (1.16) находим отклонения доходностей бумаг для каждого периода, перемножаем их и суммируем:

(20 - 23,8X24 - 25,4) + (25 - 23,8X28 - 25,4) +

+ (22 - 23,8X25 - 25,4) + (28 - 23,8X27 - 25,4) +

+ (24 - 23,8X23 - 25,4) = 15,4 Определяем ковариацию по формуле (1.17):

со? = —= 3,08

ху ^ ’

При расчете ковариации используется только выборка из генеральных совокупностей доходностей ценных бумаг, поскольку невозможно учесть все их значения. Поэтому по формуле (1.17) получают ковариацию, которая называется выборочной. В этом случае оценка ковариации будет иметь отрицательное смещение, так как отклонения считаются не от истинного среднего значения переменных, а от выборочных средних. Выборочные средние непосредственно находятся в центре выборки и поэтому отклонения от них в среднем меньше, чем от действительных средних значений переменных. Оценка ковариации будет несмещенной, если в формуле (1.17) в знаменателе величину п заменить на

(и-1):

коэффициент корреляции переменных X и Y;

<7_Х - стандартное отклонение переменой X;

<г_у - стандартное отклонение переменой Y.

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости двух переменных и является безразмерной величиной. Тенденция к линейной зависимости двух переменных может иметь более или менее выраженный характер. Поэтому значения коэффициента изменяются в диапазоне от -1 до +1. Если коэффициент равен +1, между доходностями двух бумаг существует положительная функциональная зависимость, соответ-ствующая формуле (1.12). График ее представлен на рис. 1.4. В таком случае одному значению доходности бумаги X строго соответствует одно значение доходности бумаги Y. Таким образом, все возможные значения доходностей X и Y располагаются на прямой восходящей линии. Знак плюс указывает на то, что доходности изменяются в одном направлении: или обе растут, или обе падают.

Рис. 1.6. Положительная корреляция, меньше чем +1

Если коэффициент корреляции положительный, но меньше чем +1, между доходностями двух бумаг также существует зависимость, но менее строгая. На рис. 1.6 представлен случай положительной корреляции между доходностями бумаг Хи F, но меньшей чем +1. Конкретные значения доходностей бумаг даны на графике отдельными точками и представляют собой некоторое рассеяние. Несмотря на отсутствие строгой зависимости между переменными, наглядно видно, что в целом выполняется закономерность: большему значению X соответствует большее значение F. Поскольку корреляция меньше чем +1, то в отдельных случаях при росте доходности бумаги X доходность Y может и падать. Таким образом, положительная корреляция означает, что при возрастании одной из переменных другая имеет тенденцию в среднем возрастать.

Если коэффициент корреляции равен -1, между доходностями бумаг существует отрицательная функциональная зависимость, соответствующая формуле (1.13). Ее график представлен на рис. 1.5. В этом случае при росте доходности бумаги X доходность Y падает, и наоборот. Все возможные значения X и F располагаются на нисходящей прямой линии. Случай отрицательной корреляции, но большей чем минус один, представлен на рис. 1.7. По форме рассеяния значений X и F можно сделать вывод о том, что в целом между переменными наблюдается закономерность: большему значению X соответствует меньшее значение F, и наоборот. Однако, поскольку зависимость не строгая, в динамике значений переменных могут иногда наблюдаться движения и в одном направлении. Таким образом, при отрицательной корреляции при возрастании доходности одной бумаги доходность другой имеет тенденцию в среднем убывать.

Рис. 1.7. Отрицательная корреляция, больше чем -1

При коэффициенте корреляции равном нулю никакой зависимости между переменными нет. Картина значений переменных X и Y будет представлять некоторое рассеяние, по которому нельзя обнаружить какое-либо подобие нисходящей или восходящей закономерности. Такая ситуация представлена на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Нулевая корреляция

Вернемся к примеру с доходностями бумаг X и Y и рассчитаем для них коэффициент корреляции. Полученная ковариация равнялась 3,85. Стандартные отклонения доходностей бумаг X и Y соответственно составляют:

25,4)² + (28 - 25,4)² + (25 - 25,4)² + (27 - 25,4)² + (23 - 25,4)² _

2,074%

Коэффициент корреляции равен:

3,85

= 0,612

согг =

^ХУ

3,033-2,074

1.2.4. Использование программы Excel для расчета ковариации и коэффициента корреляции доходностей ценных бумаг

Рассмотрим технику расчета ковариации и корреляции доходностей бумаг на примере.

Пример 1.

Доходность бумаги X за пять лет составила соответственно 20%, 25%, 22%, 28%, 24%. Доходность бумаги Y: 24%, 28%, 25%, 27%, 23%. Определить ковариацию доходностей бумаг.

Решение.

Приведем решение задачи двумя способами.

а) Печатаем в хронологическом порядке в ячейках с А1 по А5 значения доходности бумаги X, а в ячейках с В1 по В5 - доходности бумаги Y. Решение получим в ячейке С1, поэтому наводим на нее курсор и щелкаем мышью. Печатаем в ячейке С1 формулу:

=КОВАР(А1: А5;В 1 :В5)

и нажимаем клавишу Enter. В ячейке С1 появилось решение задачи - цифра

з, 08, т.е. выборочная ковариация для нашего примера.

б) Ковариацию можно рассчитать с помощью программы “Мастер функций”. Для этого наводим курсор на значок а на панели инструментов и щелкаем мышью. Появилось окно “Мастер функций”. В левом поле (“Категория”) наводим курсор на строку “Статистические” и щелкаем мышью. Строка высветилась синим цветом, а в правом поле окна (“Функция”) появился перечень статистических функций. Наводим курсор на строку “КОВАР” и щелкаем левой клавишей мыши. Строка высветилась синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “КОВАР”. В окне две строки, которые называются “Массив 1” и “Массив 2”. В первую строку заносим номера ячеек с А1 по А5. Для этого наводим курсор на знак 3, расположенный с правой стороны первой строки и щелкаем мышью. Окно “КОВАР” превратилось в поле первой строки. Наводим курсор на ячейку А1, нажимаем левую клавишу мыши

и, удерживая ее в нажатом положении, доводим курсор вниз до ячейки А5 и отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись А1:А5. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “КОВАР”. Заносим номера ячеек с В1 по В5 во вторую строку. Для этого наводим курсор на знак 51 во второй строке и щелкаем мышью. Наводим курсор на ячейку В1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, доводим курсор вниз до ячейки В5, отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись В1:В5. Наводим курсор на кнопку 5? и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “КОВАР”. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. В ячейке С1 появилась цифра 3,08.

Пример 2.

Определить коэффициент корреляции доходностей бумаг для условий примера 1.

Решение.

Приведем решение задачи двумя способами.

а) Печатаем в хронологическом порядке в ячейках с А1 по А5 значения доходности бумаги X, а в ячейках с В1 по В5 - доходности бумаги Y. Решение получим в ячейке С1, поэтому наводим на нее курсор и щелкаем мышью. Печатаем в ячейке С1 формулу:

=КОРРЕЛ(А 1: А5 ;В 1 :В5)

и нажимаем клавишу Enter. В ячейке С1 появилось решение задачи - цифра 0,612114.

б) Корреляцию можно рассчитать с помощью программы “Мастер функций”. Для этого выбираем курсором на панели инструментов значок и щелкаем мышью. Появилось окно “Мастер функций”. В левом поле (“Категория”) выбираем курсором строку “Статистические” и щелкаем мышью. В правом поле окна (“Функция”) появился перечень статистических функций. Выбираем курсором строку “КОРРЕЛ” и щелкаем мышью. Строка высветилась синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “КОРРЕЛ”. В окне две строки, которые называются “Массив 1” и “Массив 2”. В первую строку заносим номера ячеек с А1 по А5. Для этого наводим курсор на знак Ж справа от первой строки и щелкаем мышью. Окно “КОРРЕЛ” превратилось в поле первой строки. Наводим курсор на ячейку А1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, проводим курсор вниз до ячейки А5 и отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись А1:А5. Вновь наводим курсор на знак Ж и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “КОРРЕЛ”. Заносим номера ячеек с В1 по В5 во вторую строку. Для этого наводим курсор на знак Ш во второй строке и щелкаем мышью. Наводим курсор на ячейку В1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, доводим курсор вниз до ячейки В5, отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись В1:В5. Наводим курсор на кнопку 11 и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “КОРРЕЛ”. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. В ячейке С1 появилась цифра 0,612114.

В примерах 1 и 2 мы рассчитали ковариацию и корреляцию доходностей двух бумаг в портфеле. Если в портфель входит большее количество бумаг, то ковариации и корреляции их доходностей можно рассчитывать попарно изложенным выше способом, однако это трудоемкий вариант решения задачи. В Excel имеется специальный пакет “Анализ данных”, который позволяет быстро решить такую задачу для большого количества бумаг. Рассмотрим расчет ковариаций и корреляций с его помощью.

“Пакет анализа” может быть не установлен. Тогда его необходимо установить. Для этого наводим курсор на меню “Сервис” и щелкаем левой клавишей мыши. Появилось выпадающее меню. Курсором выбираем в нем команду “Надстройки” и щелкаем левой клавишей мыши. Появилось окно диалога “Надстройки”. Наводим курсор на окошко слева от строки “Пакет анализа” и щелкаем левой клавишей мыши. В окошке появился флажок (галочка). Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. “Пакет анализа” установлен. Рассмотрим определение ковариаций и корреляций для нескольких бумаг на примере.

Пример 3. Расчет ковариаций

Имеется выборка данных по доходностям бумаг В, С и D за десять периодов. Печатаем значения доходности для бумаги В в ячейки от В1 до В10, бумаги С от С1 до СЮ и бумаги D от D1 до D10, как показано на рис. 1.8. Наводим курсор на меню “Сервис” и щелкаем левой клавишей мыши. Появилось выпадающее меню. Наводим курсор на строку “Анализ данных” и щелкаем левой клавишей мыши. Появилось окно“ Анализ данных”. Наводим курсор на строку “Ковариация” и щелкаем левой клавишей мыши. Строка высвечивается синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “Ковариация”, (см. рис. 1.10).

U II 1 1 Книга! J Lj L_A_I B 1 c l \ 0 l 071 I F ! Файл Правка Вид Вставка Формат Сервис Данные d в; а в\ш1 х %і т, ? * А і Aria) Суг * 10 * ж к 3 \ш ill 8? % ооо 10 5 15 15 10 16 14 5 5 13 3 2 5 10 -5 -10 -5 -15 -5 -10 15 3 5 20 10 8 18 15 10 15 Ковариация

Входные данные . Входной интервал:

\ ГруппироёЫие;

І

Г Метки в первой строке

Отмена | Оржка 1







Параметры вывода

j & Вводной интервал: Г.............~............'......................................"У |

J С Новый рабочий анст: | і

С Новая рабочая ?рига

Рис. 1.10. Окно “Ковариация”

Наводим курсор на знак 3 справа от поля строки “Входной интервал” и щелкаем мышью. Окно “Ковариация” свернулось в поле строки. Наводим курсор на ячейку В1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, проводим до ячейки D10. В строке появилась запись $B$1:$D$10. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “Ковариация”. Группировку данных проводим по столбцам. Поэтому, если в круглом окне слева от надписи “по столбцам” не стоит точка, то наводим на нее курсор и щелкаем левой клавишей мыши. В окне появится точка. Ниже расположена строчка “Выходной интервал”. В круглом окне слева от надписи должна стоять точка. Если ее нет, то наводим курсор на данную строчку и щелкаем левой клавишей мыши. В окне появится точка. Наводим курсор на знак 3 справа от поля строки “Выходной интервал” и щелкаем мышью. Окно “Ковариация” превратилось в поле строки. В качестве начала выходного интервала возьмем ячейку А12. Поэтому наводим на нее курсор и нажимаем левую клавишу мыши. В поле строки появилась запись $А$12. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Окно “Ковариация” развернулось. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. На листе появилось решение задачи как показано на рис. 1.11. В блоке от В13 до D15 представлена ковариационная матрица. По ее диагонали, т.е. в ячейках В13, С14 и D15 расположены дисперсии соответственно бумаг В, Си/), в остальных ячейках - ковариации доходностей бумаг: в ячейке В14 ковариация доходностей бумаг В и С, в В15 - бумаг В и D, в С15 - бумаг Си/).

Книга I 1 10 5 15 2 15 10 16 3 14 5 5 4 13 3 2 ' б" 5 10 -5 6 -10 *5 -15 7 -5 -10 15 8 3 5 20 9 10 8 18 10 15 10 15 11 12 Столбец Ктапбец <0топ6?ц 1 13 Столбец 1 88Д Г- 14 Столбец 2 41,7 40.49 15 Столбец Э 119,44 Пример 4. Расчет корреляций

Имеется выборка данных по доходностям трех бумаг - В, С и D - за десять периодов. Как и в задаче 3, печатаем значения доходности для бумаги В в ячейки от В1 до В10, бумаги С от С1 до СЮ и бумаги D от D1 до D10 (рис. 1.9). Наводим курсор на меню “Сервис” и щелкаем левой клавишей мыши. Появилось выпадающее меню. Наводим курсор на строку “Анализ данных” и щелкаем левой клавишей мыши. Появилось окно“ Анализ данных”. Наводим курсор на строку “Корреляция” и щелкаем левой клавишей мыши. Строка высвечивается синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно корреляция (по структуре оно аналогично окну “ковариация)”. Наводим курсор на знак 3 справа от поля строки “Входной интервал” и щелкаем мышью. Окно “Корреляция” свернулось в поле строки. Наводим курсор на ячейку В1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, доводим курсор до ячейки D10. В строке появилась запись $B$1:$D$10. Вновь наводим курсор на знак 51 и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “Корреляция”. Группировку данных проводим по столбцам. Поэтому, если в круглом окне слева от надписи “по столбцам” не стоит точка, то наводим на нее курсор и щелкаем левой клавишей мыши. В окне появится точка. Ниже расположена строчка “Выходной интервал”. В круглом окне слева от надписи должна стоять точка. Если ее нет, то наводим курсор на данную строчку и щелкаем левой клавишей мыши. В окне появится точка. Наводим курсор на знак 51 справа от поля строки “Выходной интервал” и щелкаем мышью. Окно “Корреляция” превратилось в поле строки. В качестве начала выходного интервала возьмем ячейку А12. Поэтому наводим на нее курсор и нажимаем левую клавишу мыши. В поле строки появилась запись $А$12. Вновь наводим курсор на знак 51 и щелкаем мышью. Окно “Корреляция” развернулось. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. На листе появилось решение задачи как показано на рис 1.12. В блоке от В13 до D15 представлена корреляционная матрица. По ее диагонали, т.е. в ячейках В13, С14 и D15 расположены единицы, в остальных ячейках - корреляции доходностей бумаг: в ячейке В14 корреляция доходностей бумаг В и С, в В15 - бумаг В и D, в С15 - бумаг Си/).

?Ц Книга 1 .Ковариация.хІз 1 10 5 15 2 15 10 16 3 14 5 5 4 13 3 2 5 5 10 -5 6 -10 -5 -15 7 -5 -10 15 8 і I 3 5 20 9 ^4; 10 8 18 1СН 15 10 15 11 12 Отопб?ц Ютопб&ц 20толбец J 13 Столбец 1 йііШ 14 Столбец 2 0,792381 1 15 СШбіц 3 0262287 16 1.2.5. Риск портфеля, состоящего из двух активов

Риск портфеля, состоящего из двух активов, рассчитывается по формуле:'⁷

сг² = ?_х<т²х + ?уСТу + 2?_х?у со\ху, (1-20)

где о-p - риск (дисперсия) портфеля;

?_х - уд. вес актива X в портфеле;

?у - уд. вес актива Y в портфеле;

со?^у - ковариация доходностей активов Хи F.

По формуле (1.20) получаем риск портфеля, измеренный дисперсией. Риск портфеля, измеренный стандартным отклонением доходности (_Стр), определяется по формуле:

20² +0,7² -30² + 2-0,3-0,7-120 = 527,4 Риск портфеля равен:

а_р = д/527,4 = 22,97%

С°У ху

Выше мы записали, что соггху =-. Поэтому формулу (1.20) можно

<У_хо_у

переписать, воспользовавшись коэффициентом корреляции, а именно:

<7 р ⁼ ?_х(Тх + ?уСТу +2.?х?у<5 x&Y^corrXY (1-22)

1.2.5.1. Риск портфеля из двух активов с корреляцией доходностей +1

При корреляции +1 переменные находятся в прямой функциональной зависимости. Графически она показана на рис. 1.4. Для такого случая формула (1.22) превращается в формулу квадрата суммы, так как согг^ = 1:

(ур = ?_ха_х л-?уСТу + 2?_х?у<7х<7уСоггупу = {?_х<7х +?у<Ту)² (1-23)

или

°р=^?х°х+^?г°г (1.24)

Таким образом, если доходности активов имеют корреляцию +1, риск портфеля - это средневзвешенный риск входящих в него активов. Объединение таких активов в один портфель не позволяет воспользоваться возможностями диверсификации для снижения риска. При изменении конъюнктуры доходности активов будут изменяться в прямой зависимости в одном и том же направлении, как показано на рис. 1.13. В этом случае диверсификация не приводит к сокращению риска, т.е. уменьшению дисперсии доходности портфеля, а только усредняет его. Уменьшить риск можно только одновременно с сокращением и значения ожидаемой доходности, т.е. подбирая в портфель менее рискованные бумаги. Сочетая в портфеле активы X и Y в различных пропорциях, инвестор имеет возможность с точки зрения риска и доходности сформировать любой портфель, который будет лежать на прямой XY (см. рис. 1.14). На данном графике по вертикальной оси откладывается ожидаемая доходность, по горизонтальной - риск, представленный стандартным отклонением доходности.

доходность 1

При корреляции -I переменные находятся в отрицательной функциональной зависимости. Графически она показана на рис.1.15. Для такого случая формула (1.22) превращается в формулу квадрата разности:

<г² = ?²х<т²х +?²сГу - 2?_х?у&_хОуСогГху — (?_хо_х - ?_уа_у )² (1.25)

или

<7р — \?_хО_х — ?у(7у I (1-26)

Объединение в портфель активов с корреляцией доходностей -1 позволяет уменьшить риск портфеля по сравнению с риском каждого отдельного актива, поскольку, как показано на рис. 1.15, при изменении конъюнктуры разнонаправленные движения доходностей активов X и Y будут погашать друг друга. При этом ожидаемая доходность портфеля останется неизменной и будет зависеть от ожидаемой доходности каждого актива с учетом его удельного веса в портфеле. Объединяя в портфеле активы X и Y в различных пропорциях, инвестор имеет возможность, с точки зрения риска и доходности, сформировать любой портфель, который будет лежать на прямых ZX и ZY, как показано на рис. 1.16. В точке Z портфель инвестора является безрисковым. Чтобы сформировать такой портфель, необходимо найти соответствующие удельные веса активов Хи Y. Для этого приравняем уравнение (1.26) к нулю и определим ?_х и ?_у:

(Гр =?_хсг_х -?уСГу =0

Поскольку

то

Пример.

Корреляция доходностей бумаг равна -1. Инвестор формирует из них портфель без риска на сумму 100 тыс. руб. Риск бумаги X равен 20%, Y - 30%. Определить, сколько средств он должен инвестировать в каждую из бумаг. Решение.

Найдем уд. веса для каждой из бумаг в портфеле:

0,6

Бумагу Y инвестор должен купить на сумму:

ЮОтыс. • 0,4 = 40тыс.руб.,

а бумагу X на сумму:

100 тыс. ¦ 0,6 = 60 тыс. руб.

1.2.5.3. Риск портфеля из двух активов с некоррелируемыми доходностями

При нулевой корреляции между доходностями активов формула (1.22) принимает вид:

30%, коэффициент корреляции доходностей бумаг равен нулю.

Решение.

Дисперсия портфеля составляет:

сг² =0,3² -20² +0,7² -30² =477

Риск портфеля, представленный стандартным отклонением, равен:

о-_р=?477 =21,84%

1.2.5.4. Риск портфеля из двух активов с минимальной

дисперсией

Найдем уд. веса активов для портфеля с минимальной дисперсией. В таком портфеле ?_х=\-?_у. Учитывая это, выразим равенство (1.22) через уд. вес ?_у:

a р = (l - ?_? )² cr²x + ?у<?у + 2(l - ?у У)усг _х<ТуСоггху

Продифференцируем полученное выражение по ?_у:

' — 2(і ?у ^о"д' -ь ^>2$у@у 2?уО'хО'уСОгі_Ху -ь 2^1 ?_у уСТуСогіу

dcrt

’XY

d0v

Раскроем скобки и приравняем производную к нулю, чтобы найти минимум функции:

-2о\ +2?у<т_х + 2?у<Ту -2?у<7хСГуСоггху + ¦f 2(7у (7уСОГГху 2?у (7у (7уСОГГуу — О

Отсюда:

(1.28)

a _ ^aX -<?x^aY^corrXY

Uy ~ 2 2

<7_X +СГу -2(7x <7у СОГГху

Выражение (1.28) представляет собой минимум функции, поскольку вторая производная сг² по ?у является величиной положительной.

Пусть сг_х < cry, и корреляция доходностей активов А" и У равна:

СОГГ ХУ =-

. Подставив это значение в (1.28), получим:

°X ~^<7x^<7y

?у=-

(1.29)

д у "Ь Су 2с уС

X^UY

портфель с минимальной дисперсией должен

Таким образом, при

СОГГ ху =

быть представлен только бумагой X.

°х

-1< СОГГху <

, тогда числитель и знаменатель выражения (1.28)

Пусть

будут величинами положительными, и при этом знаменатель больше числителя. Отсюда следует, что для отмеченного условия портфель с минимальной дисперсией формируется без осуществления короткой продажи одного из акти-

сг_х

вов. Если ¹ - соггху > _> числитель равенства (1.28) меньше нуля, т.е. уд. вес

бумаги Г является отрицательной величиной. Поэтому портфель с минимальной дисперсией включает короткую продажу этого актива.

При нулевой корреляции доходностей двух активов из равенства (1.28) получим уд. вес бумаги Y в портфеле с минимальной дисперсией как:

?у=-

а х +сгу

При соггху = из (1.29) следует, что дисперсия портфеля с минималь-

ным риском равна дисперсии активах, поскольку уд. вес актива Yдолжен быть

равен нулю. Тогда при согг^ <— дисперсия портфеля меньше риска актива

СХу

X. Таким образом, объединение двух активов с данной характеристикой позволяет получить дисперсию портфеля, которая меньше дисперсии каждого из входящих в него активов. Данный результат достигается без короткой продажи

одного из активов. Если соггху > , дисперсия портфеля будет больше дис-

a_Y

Персии актива X. Для того, чтобы дисперсия портфеля оказалась меньше дисперсии актива X необходимо осуществить короткую продажу актива Y. Так, при соггху = 1 формула (1.28) дает результат:

_ g_x-g_xg_y _ g_x(^ах ~^aY)

^UY — 2 2 ^— \2

G X ⁺ Gy ~ 2 G_xGy [g_x - Gy)

ИЛИ

?у =—— . Поскольку g_х < g_y , то формирование

^ах ~^ау

портфеля с минимальной дисперсией требует короткой продажи актива F. Дисперсия портфеля с такими уд. весами активов будет минимальной и равной нулю.

* * *

Мы рассмотрели риск портфеля для случаев корреляции доходностей активов +1, -1 и нулевой корреляции. Как следует из рассуждений, риск портфеля тем меньше, чем меньше корреляция доходностей входящих в него активов. Поэтому инвестору следует объединять в портфель бумаги с наименьшей корреляцией. В этом случае он может снизить ожидаемый риск портфеля, не уменьшая его ожидаемой доходности. Поясним сказанное на примере.

Пример.

Имеются бумаги А и В с одинаковой ожидаемой доходностью 20% и бумаги С и D с доходностью 30%. Корреляция доходностей бумаг А и С равна 0,8, бумаг В и Z) составляет 0,4. Инвестор может сформировать первый портфель из бумаг А и С и второй портфель из бумаг В и D. Бумаги с доходностью 20% он включает в портфели в уд. весе 0,3, а бумаги с доходностью 30% в уд. весе 0,7. Ожидаемая доходность и первого и второго портфеля одинакова и согласно формуле (1.1) равна:

0,3-20 + 0,7-30 = 27%

Риск первого портфеля составляет:

сг, = ?о,3² • 20² + 0,7² • 30² + 2 • 0,3 • 0,7 • 20 • 30 • 0,8 = 26,05%

Риск второго портфеля равен:

о2 = ?о,3² • 20² + 0,7² • 30² + 2 • 0,3 • 0,7 • 20• 30 • 0,4 = 24,04%

Таким образом, рациональный инвестор в нашем случае остановится на втором портфеле, так как он предлагает такой же уровень ожидаемой доходности, что и первый портфель, однако его риск меньше риска первого портфеля.

Чтобы лучше представить идею и эффект диверсификации портфеля при различной корреляции доходностей активов, мы рассмотрели риск портфеля, состоящего только из двух бумаг. Общие выводы, которые можно сделать по результатам вышесказанного состоят в следующем:

1) если в портфель объединяются активы с корреляцией +1, достигается только усреднение, а не уменьшение риска;

2) при объединении в портфель активов с корреляцией меньше, чем +1, его риск уменьшается; чем меньше корреляция доходностей активов, тем меньше риск портфеля; уменьшение риска достигается при сохранении неизменного уровня ожидаемой доходности портфеля;

3) если в портфель объединяются активы с корреляцией -1, можно сформировать портфель без риска;

4) при формировании портфеля необходимо объединять в него активы с наименьшей корреляцией.

Основоположником современной теории портфеля является Г.Марковиц. Именно он предложил объединять активы с наименьшей корреляцией, чтобы снизить риск портфеля. Согласно Марковцу, чем меньше корреляция доходностей бумаг в портфеле, тем больше степень его диверсификации. Следует отметить, что диверсификация позволяет снизить риск портфеля для обычной конъюнктуры рынка. В условиях финансовых крахов сложившиеся корреляции между доходностями активов нарушаются, и динамика их доходностей будет такова, как если бы они имели корреляцию +1.

1.2.6. Риск портфеля, состоящего из нескольких активов

Выше мы рассмотрели портфель, состоящий из двух бумаг, и сделали общие выводы относительно его формирования. Данные выводы верны и для портфеля, объединяющего большее количество активов.

Рассмотрим, как определяется риск портфеля, состоящего из нескольких бумаг. Он рассчитывается по формуле:

(і.зо)

,=1 j=\

где <г²р - риск портфеля;

?_і - уд. вес /-го актива в портфеле;

?_} - уд. вес j -го актива в портфеле;

cow у - ковариация доходностей і -го и j -го активов.

п п

В формуле (1.30) стоит знак двойной суммы II . Это означает, что,

'=1 і=1

раскрывая его, мы должны вначале взять значение / = 1 и умножить на него все значения j от 1 до п. Затем повторить данную операцию, но уже для і = 2, и т.д. В итоге получим п² слагаемых. Чтобы проиллюстрировать использование данной формулы, рассчитаем риск портфеля, состоящего из трех бумаг. Если портфель будет состоять из большего количества активов, техника расчета останется такой же.

Пример 1.

Портфель состоит из трех бумаг - А, В, С. Уд. вес бумаги А равен 0,2, бумаги В - 0,3, бумаги С - 0,5; а_А = 30%; а_в = 20%; ст_с = 10%; со?_АВ = 3,8; со?_АС = 2,5; со?_ВА = 3,8; со?_вс = 5,5; со?_СА = 2,5; со?_св = 5,5.

Определить риск портфеля.

Решение.

Дисперсия портфеля равна:

а\ = 0,2 • 0,2 • 30•30 + 0,2 • 0,3 • 3,8 + 0,2 • 0,5 • 2,5 +

+ 0,3-0,2-3,8 +0,3-0,3-20-20 + 0,3-0,5-5,5 +

0,5 • 0,2 • 2,5 + 0,5 • 0,3 • 5,5 + 0,5 • 0,5 • 10 • 10 = 99,606 Стандартное отклонение портфеля составляет:

<7 р = -у/99,606 = 9,98%

Как было отмечено выше, для портфеля, состоящего из двух активов с корреляцией доходностей +1, риск представляет собой средневзвешенный риск входящих в него активов. Поэтому для такого случая не наблюдается уменьшение риска, т.е. уменьшение его дисперсии, а происходит только его усреднение. Данный принцип сохраняется и для портфеля, насчитывающего много бумаг с корреляцией доходности +1.

Если портфель состоит из активов с корреляцией равной нулю, его риск рассчитывается по формулам:

п — сг² + У¹--со?„

или

(1.36)

где--удельный вес бумаги в портфеле;

п

п = <у - средняя дисперсия активов в портфеле.

п

Умножим и разделим второе слагаемое формулы (1.36) на (и -1) и преобразуем его:

АА 1 1 п-Iff 1 1

—^covu =—rLL—^С0Л/и

ым^пп "-Іи"»»

j*‘ i*j

ЕЕ^со?* (і.з7)

^w~lyy ^coyu ₌ⁿ~^{x ,=1} ?¦

n n n{n-1)

j*i

n n

EZ^cov»-

i=l 7=1

j*i ^

В выражении (1.37) величина pj представляет собой среднюю ко

вариацию доходностей активов, входящих в портфель, так как в ее числителе стоит сумма ковариаций, а в знаменателе - их число. Обозначим среднюю ковариацию через со?... Тогда формулу (1.35) можно записать как:

<7

2

Р1-

-со?. (1.38)

При увеличении количества активов в портфеле значение первого слагаемого в формуле (1.38) будет уменьшаться и при большом значении п оно при-

п — 1

близится к нулю. У второго слагаемого выражение - будет стремиться к

п

единице. Поэтому формула (1.38) принимает вид:

су² * со?

Р У

Таким образом, при включении в портфель большого количества бумаг и при условии, что их уд. веса приблизительно одинаковы, риск портфеля по своей величине близок к значению средней ковариации доходностей входящих в него активов.

В настоящей главе мы рассчитывали риск портфеля на основе формулы (1.30). Однако следует отметить, что в современной литературе вместо данной формулы часто используется ее аналог, записанный в матричной форме. Поэтому рассмотрим вопрос расчета риска портфеля с помощью матриц. Необходимые сведения из матричного исчисления приведены в приложении 4 к настоящей главе.

Риск портфеля ценных бумаг, представленный дисперсией его доходности, с помощью матриц можно записать как:

<г²р=?^ТО?, (1.39)

где а²р - риск портфеля;

? - матрица-столбец уд. весов активов в портфеле;

?^г - транспонированная матрица-столбец уд. весов активов в портфеле, т.е. матрица-строка уд. весов;

Q - матрица ковариаций доходностей активов в портфеле.

В качестве иллюстрации использования формулы (1.39) возьмем условия примера 1 настоящего параграфа. Запишем состав каждой матрицы:

0,2'

0,3

0.5

?^г = (о,2 0,3 0,5), ? =

30² 3,8 2,5

3,8 20² 5,5

2,5 5,5 ІО²

)

В матрице Q по диагонали расположены дисперсии доходностей активов, а оставшиеся элементы представляют собой ковариации доходностей бумаг между собой. Риск портфеля равен:

/ \ ЗО² 3,8 2,5 ^0,2" <Т²Р=\0,2 0,3 0,5 3,8 20² 5,5 0,3 2,5 5,5 ІО² J (1.40)

Осуществим вычисления в формуле (1.40) последовательно:

Г \ ЗО² 3,8 2,5 0,3 N

0,5

⁹ J 3,8 20² 5,5 2,5 5,5 10^: V •ЗО² + 0,3 • 3,8 + 0,5 •2,5 \ 2,5+ 0,3 •5,5- f 0,5- ІО² J

\ ,39 123 ,51 52,15 ^0,2"

182,39 123,51 52,15

0,3

_?0,5_у

^: (182,39 • 0,2 +123,51 • 0,3 + 52,15 • 0,5) = 99,606

Таким образом, сг² = 99,606 Стандартное отклонение составляет:

сг_р = -у/99,606 = 9,98%

Матрица ковариаций Q равна ЕРЕ, где Р - корреляционная матрица размера п х п ; Е - матрица стандартных отклонений размера п х п; п - количество активов в портфеле. Поэтому формулу (1.39) можно представить еще следующим образом:

<г\ = ?^ГІРІ?

Данная формула для двух активов раскрывается следующим образом:

\^?и

уд. веса первого и второго активов;

сг,, ст2 — стандартные отклонения первого и второго активов;

/7,2, р₂\ ~ коэффициенты корреляции доходностей первого и второго акти

вов.

В заключение следует сказать, что матрицу столбец также часто называют

\^?и

вектором. Поэтому можно сказать, что в формуле (1.41) выражение

пред

ставляет собой вектор удельных весов активов в портфеле, а (і9, ?₂) - транс

понированный вектор уд. весов.

1.2.7. Использование программы Excel для расчета риска портфеля ценных бумаг^¹

Рассмотрим использование программы для расчета риска портфеля на примерах.

Пример 1.

Определить риск портфеля, состоящего из двух бумаг X и F, если ?_х = 0,3 ; ?_г = 0,7; <т_х = 20,8%; (Ту = 25,4% ; со?^у = 3,08.

Решение.

Печатаем в ячейке А1 уд. вес бумаги X (0,3)» в ячейке А2 - бумаги Y (0,7), в ячейках В1 и В2 соответственно - стандартные отклонения доходностей бумаг X (20,8) и Y (25,4). В ячейке С1 печатаем ковариацию доходностей бумаг (3,08). Решение получим в ячейке С2, поэтому наводим на нее курсор и щелкаем мышью. Печатаем в ячейке С2 формулу риска портфеля, представленную дисперсией:

=А1^Л2*В1^Л2+А2^Л2*В2^Л2+2*А1*А2*С1

и нажимаем клавишу Enter. В ячейке С2 появилось решение задачи - цифра 356,3596. Данный ответ является дисперсией портфеля. Найдем стандартное отклонение доходности портфеля в ячейке СЗ. Это можно сделать двумя способами. а) Если ячейка СЗ не выделена, то наводим на нее курсор и щелкаем мышью. После этого печатаем в ней формулу:

=КОРЕНЬ(С2)

и нажимаем клавишу Enter. В ячейке СЗ появилась цифра 18,8749. Таким образом, стандартное отклонение портфеля составляет 18,8749%.

б) Извлечь квадратный корень из числа можно с помощью программы “Мастер функций”. Для этого выбираем курсором на панели инструментов значок ЦІ и щелкаем мышью. Появилось окно “Мастер функций”. В левом поле (“Категория”) выбираем курсором строку “Математические” и щелкаем мышью. В правом поле окна (“Функция”) курсором выбираем строку “КОРЕНЬ” и щелкаем мышью. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “КОРЕНЬ”. В строку “Число” заносим номер ячейки С2. Для этого наводим курсор на знак 3| справа от строки и щелкаем мышью. Окно “КОРЕНЬ” превратилось в поле строки. Наводим курсор на ячейку С2 и щелкаем мышью. В поле строки появился номер ячейки. Вновь наводим курсор на знак as и щелкаем мышью. Появилось окно “КОРЕНЬ”. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. В ячейке СЗ появилась цифра 18,8749.

Пример 2.

Портфель состоит из трех бумаг - X, Y, Z. Уд. вес бумаги X равен 0,2, бумаги Y - 0,3, бумаги Z - 0,5; а_х = 30%; оу = 20%; <r_z = 10%; со?^ = 3,8; со?_ж = 2,5; cov_rz= 5,5.

Определить риск портфеля.

Решение.

Данную задачу можно решить таким же способом как и задачу в примере 1. Однако неудобство такого подхода состоит в том, что придется печатать в целевой ячейке длинную формулу риска портфеля, состоящего из трех активов. В случае большего количества бумаг в портфеле расчеты станут еще более неудобными. Чтобы упростить решение задачи, используем матричные вычисления в Excel.

Вначале введем в ячейки исходные данные. В ячейках с А1 по АЗ печатаем уд. веса бумаг (см. рис. 1.17), в ячейках В1, С2 и D3 соответственно - дисперсии доходностей бумаг X (900), Y (400) и Z (100). В ячейках В2 и С1 - ковариации доходностей бумаг X и Г, в ячейках ВЗ и D1 - ковариации доходностей бумаг X и Z, в ячейках СЗ и D2 - ковариации доходностей бумаг Y и Z. Цифры, которые расположены в три столбца в ячейках от В1 до ВЗ, С1 до СЗ и D1 до D3 представляют собой не что иное как ковариационную матрицу. По ее диагонали стоят дисперсии доходностей бумаг, на остальных местах - ковариации бумаг. Матрицу, как единый блок, для целей вычислений обозначают с помощью адресов ее угловых ячеек (верхней левой и нижней правой), разделяя их двоеточием. Поэтому ковариационная матрица в примере обозначается как B1:D3.

Уд. веса бумаг в столбце А1:АЗ представляют собой матрицу столбец. Согласно формуле (1.39) необходимо также получить матрицу строку уд. весов, т.е. транспонировать матрицу А1:АЗ. Получим транспонированную матрицу в ячейках А5:С5. Это делается следующим образом. Наводим курсор на ячейку А5, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, проводим мышью до ячейки С5 и отпускаем клавишу. Диапазон А5:С5 выделился жирной рамкой. Печатаем здесь формулу:

=ТРАНСП(А1 :АЗ)

После этого одновременно нажимаем клавиши Ctrl, Shift и Enter (удобно вначале одновременно нажать клавиши Ctrl и Shift и после этого Enter). В ячейках А5, В5 и С5 соответственно появятся цифры 0,2, 0,3 и 0,5. На рис. 1.17 представлен лист Excel с подготовленными данными для вычисления риска портфеля.

|Ц Книга 1,Риск портфеля.кІБ 182.39 ЙІІЙІІ] Рис. 1.18. Расчет риска портфеля

Теперь перемножим полученную в ячейках А7:С7 матрицу строку на матрицу столбец в ячейках А1:АЗ. Умножение дает одну цифру, поэтому для ответа уже известным способом выделяем ячейку Е7 и печатаем в ней формулу:

=МУМНОЖ(А7 :С7; А1 :АЗ)

и нажимаем Enter. Получаем ответ 99,606.

Решить данную задачу, т.е. транспонировать и перемножить матрицы, можно также с помощью программы “Мастер функций”. После того как мы ввели исходные данные по уд. весам бумаг и ковариационную матрицу, алгоритм решения является следующим. Получим ответ в диапазоне ячеек А5:С5. Поэтому наводим курсор на ячейку А5, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, доводим до ячейки С5, отпускаем клавишу. Выбираем курсором на панели инструментов значок * и щелкаем мышью. Появилось окно “Мастер функций”. В левом поле (“Категория”) выбираем курсором строку “Ссылки и массивы” и щелкаем мышью. В правом поле окна (“Функция”) курсором выбираем строку “ТРАНСП” и щелкаем мышью. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “ТРАНСП” со строкой “Массив”. Наводим курсор на значок 3 справа от строки “Массив” и щелкаем мышью. Окно “ТРАНСП” превратилось в поле строки. Наводим курсор на ячейку А1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, доводим до ячейки АЗ, отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись А1:АЗ. Вновь наводим курсор на значок 3 и щелкаем мышью. Появилось окно “ТРАНСП”. Одновременно нажимаем клавиши Ctrl, Shift и Enter. В диапазоне ячеек А5:С5 получили ответ.

Теперь перемножим транспонированную матрицу строку диапазона А5:С5 на ковариационную матрицу. Для этого выделяем интервал А7:С7 и открываем окно “Мастер функций”. В поле “Категория” мышью выбираем строку “Математические”. В поле окна “Функция” мышью выбираем строку “МУМНОЖ” и щелкаем мышью. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “МУМНОЖ” с двумя строками “Массив 1 ” и “Массив 2”. Наводим курсор на значок 3 справа от строки “Массив 1” и щелкаем мышью. Окно “МУМНОЖ” превратилось в поле строки. Наводим курсор на ячейку А5, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, доводим до ячейки С5, отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись А5:С5. Вновь наводим курсор на значок 3 и щелкаем мышью. Появилось окно “МУМНОЖ”. Наводим курсор на значок 3 справа от строки “Массив 2” и щелкаем мышью. Окно “МУМНОЖ” превратилось в поле строки. Наводим курсор на ячейку В1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, доводим курсор до ячейки D3, отпускаем клавишу. В поле строки появилась запись B1:D3. Вновь наводим курсор на значок ЗІ и щелкаем мышью. Появилось окно “МУМНОЖ”. Одновременно нажимаем клавиши Ctrl, Shift и Enter. В ячейках А7:С7 получили ответ.

Теперь перемножаем матрицу строку А7:С7 и матрицу столбец А1:АЗ. Для этого выделяем мышью ячейку Е7 и открываем окно “Мастер функций”. В поле “Категория” выбираем строку “Математические”, в поле окна “Функция” -строку “МУМНОЖ”. Щелкаем мышью кнопку ОК. В строке “Массив 1” окна “МУМНОЖ” уже известным способом записываем А7:С7, а в строке “Массив 2” - А1:АЗ. Возвращаемся к окну “МУМНОЖ”, курсором выбираем кнопку ОК и щелкаем мышью. В ячейке Е7 появился ответ. По результатам решения задачи лист Excel имеет вид как показано на рис. 1.19.

нибудь из них является доминирующим по отношению к другому, поскольку они имеют разные значения как ожидаемой доходности, так и риска. Портфель Р₄ имеет как более высокую ожидаемую доходность, так и более высокий риск по сравнению с портфелем Р₂.

Е(г)

р₂ ft ---------------•--------1 » _ _ А Pi? °1 ^аз Г.

Рис. 1.20. Доминирующий портфель

Рациональный инвестор всегда сделает выбор в пользу доминирующего портфеля, поскольку доминирующий портфель - это наилучший выбор с точки зрения доходности и риска для всех возможных альтернативных вариантов других портфелей.

1.2.9. Эффективный набор портфелей

Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов. Корреляция между доходностями активов может изменяться от -1 до +1. На рис. 1.21 все возможные комбинации портфелей, состоящих из двух бумаг с корреляцией -1, располагаются на прямых ZY и ZX. Все комбинации портфелей для корреляции +1 - на прямой XY. Комбинации портфелей для других значений корреляции доходностей

1 до+1 располагаются внутри треугольника XZY. Таким образом, пространство треугольника XZY представляет собой все возможное множество портфелей, состоящих из двух бумаг, в пределах корреляции доходности активов от -1 до +1.

На практике подавляющая часть активов имеет корреляцию отличную от -1 и +1, и большинство активов имеют положительную корреляцию. Если построить график, на котором бы располагались портфели, состоящие из бумаг X и F, при меньшей корреляции, чем +1, он примет выпуклый вид, как показано на рис. 1.22 сплошной линией.

а,.

Как показано на рис. 1.24, если активы имеют корреляцию меньше +1, инвестор может сформировать любой портфель, который бы располагался на кривой XAY. Однако рациональный инвестор остановит свой выбор только на верхней части данной кривой, а именно, отрезке А Y, поскольку на нем расположены доминирующие портфели. Они характеризуются более высоким уровнем ожидаемой доходности при том же уровне риска по сравнению с портфелями на участке АХ. Сравним для наглядности портфели ^ и Р₂. Оба портфеля

имеют риск равный сг,, но ожидаемая доходность портфеля Р₂ больше ожидае-

?_у. Вопрос определения уд. весов такого портфеля был рассмотрен в параграфе 1.2.5.4. Если объединить в портфель некоторое число активов: А, Е, D и С, корреляция доходностей которых лежит в промежутке от -1 до +1, то, в зависимости от их удельных весов, можно построить множество портфе-лей с различными параметрами риска и доходности, которые расположены в рамках фигуры ABCDE, как показано на рис. 1.25. Рациональный инвестор будет стремиться минимизировать риск и увеличить доходность, поэтому всем возможным портфелям, представленным на рис. 1.25, вкладчик предпочтет только те, которые расположены на отрезке ВС, поскольку они являются доминирующими по отношению к портфелям с тем же уровнем риска или с той же доходностью. Набор портфелей на отрезке ВС называют эффективным набором. Эффективный набор портфелей - это набор, состоящий из доминирующих портфелей. Набор портфелей на участке ВС называют еще эффективной границей или эффективной границей Марковца. Она была открыта Г. Марковцем в 50-х годах. Чтобы определить данную границу, необходимо на основе уравнения:

п п

ходимо рассчитать уже 65 данных, для 20 активов - 230 данных, а для 30 активов - 495 данных и т.д. Таким образом, большое количество вычислений делает модель Марковца не очень удобной для решения задачи определения эффективной границы. Данная проблема в более простой форме была решена в модели У.Шарпа, которая будет представлена в главе 3.

Подход Г.Марковца к выбору эффективных портфелей называют среднедисперсионным анализом, поскольку их построение основано на учете ожидаемой, т.е. средней доходности портфелей, и их дисперсий (стандартных отклонений). Так, на рис. 1.25 кривая АВС представляет собой кривую ожидаемых доходностей портфелей (в том числе отрезок ВС - эффективных портфелей). Возможные фактические результаты доходности портфелей - не равные ожидаемой - воспринимаются как отклонения от средней доходности. Таким образом, в рамках теории Г.Марковца инвесторы принимают решения на основе оценок ожидаемой доходности и дисперсии активов. Чтобы подход Г.Марковца имел практическую значимость, необходимо выполнение на практике, по крайней мере, одного из следующих двух условий, а) Доходность портфелей ценных бумаг распределена нормально. Нормальное распределение полностью определяется его математическим ожиданием и дисперсией и симметрично относительно математического ожидания. Поэтому на основе этих параметров удобно делать сравнения и выбирать между разными портфелями: наиболее привлекательным является портфель с наибольшим математическим ожиданием (ожидаемой доходностью) и наименьшей дисперсией (риском), б) Функция полезности инвестора должна быть квадратичной:

ожидаемая полезность от инвестиций;

U{г) - функция полезности инвестора; г - ожидаемая доходность инвестиций; сг² - дисперсия доходности инвестиций;

Ъ - константа.

Из формулы (1.43) следует: из двух портфелей с одинаковой ожидаемой доходностью инвестор выберет портфель с меньшей дисперсией; из двух портфелей с равной дисперсией - портфель с большей ожидаемой доходность.

В заключение данного параграфа следует остановиться на вопросе, почему форма эффективной границы выпукла вверх. Если объединить в портфель две бумаги X и F с корреляцией доходности +1, все возможные комбинации портфелей будут располагаться на прямой соединяющей их линии, как показано на рис. 1.26. В случае меньшей корреляции доходностей бумаг все возможные портфели (за исключением портфелей, состоящих только из бумаги X или бумаги Г) должны располагаться левее данной линии, поскольку их риск меньше риска любого портфеля с корреляцией +1. На рис. 1.26 при корреляции +1 доходности г, соответствует портфель Р\, для меньшей корреляции - портфель

Р{; для доходности г₂ при корреляции +1 соответствует портфель Р₂, для

меньшей корреляции - портфель Р{ и т.д. Таким образом, если рассматривать две бумаги, все возможные комбинации портфелей должны располагаться или на прямой линии - для корреляции +1, или на выпуклой - при меньшей корреляции.

гиперболу (кривая тВп на рис. 1.27).

1.3.. Портфель, состоящий из актива без риска и рискованного актива.

Кредитный и заемный портфели

Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов. Один из них является безрисковым, например, государственная облигация, другой - рискованным активом. Как было сказано выше, риск портфеля, состоящего из двух активов, определяется по формуле:

а] = ?²хсг²х +?уСГу +2?_Х?_? cov^y 0-44)

Поскольку один актив без риска, например актив X, то а_х = 0 и со?^у = 0. Поэтому формула (1.44) для отмеченного случая принимает вид:

_2 _ /)2 2 <У р — а у (Ту

<Т_Р = ?уСТу

Таким образом, риск портфеля, состоящего из актива без риска и рискованного актива, равен произведению риска рискованного актива на его удельный вес в портфеле. Ожидаемая доходность портфеля определяется по формуле

(1.2). Графически зависимость между ожидаемым риском и ожидаемой доходностью такого портфеля представляет собой прямую линию, как показано на рис. 1.28. Изменяя уд. вес бумаги Y, инвестор может построить портфели с различными характеристиками риска и доходности. Все они располагаются на отрезке XY, и их риск пропорционален уд. весу актива F. Представленный случай можно рассматривать как покупку инвестором рискованной бумаги Y в сочетании с предоставлением кредита (покупка бумаги X), поскольку приобретение актива без риска есть не что иное, как кредитование эмитента. Поэтому портфели на отрезке XY, например, А, называют кредитными портфелями.

1,5 + 10%(- 0,5) = 17,5%

Допустим, что фактическая доходность актива А оказалась равной ее ожидаемой доходности. Таким образом, инвестор, заняв дополнительные средства под 10% и разместив их в актив с доходностью 15%, получил доходность на свои инвестиции в размере 17,5%. Дополнительные 2,5% доходности возникли за счет эффекта финансового рычага, когда средства занимались под 10%, а принесли 15%. Если реальная доходность актива Л оказалась на одно стандартное отклонение больше ожидаемой доходности, т. е. 25%(= 15%+ 10%), доходность портфеля составила:

25% • 1,5 +10%(- 0,5) = 32,5%

Если инвестор займет 50 тыс. руб. под 10% и инвестирует их в еще более рискованный актив, например, с ожидаемой доходностью 30%, ожидаемая доходность такого портфеля составит:

30% • 1,5 +10%(- 0,5) = 40%

Из приведенного примера следует: формирование заемного портфеля позволяет инвестору увеличить значение ожидаемой доходности. В то же время не надо забывать о том, что заемный портфель может принести инвестору и более низкую доходность и даже привести к финансовым потерям, если реальная доходность рискованного актива окажется меньше ожидаемой. Допустим, что фактическая доходность актива Л окажется на два стандартных отклонения меньше ожидаемой, т. е. -5%(= 15% - 2 • 10%), тогда реальная доходность сформированного портфеля для инвестора будет отрицательной и составит:

(— 5%)і,5 +10%(-0,5) = -12,5%

Используя финансовый рычаг, теоретически инвестор может получить какое угодно большое значение ожидаемой доходности. Такие портфели будут располагаться на продолжении прямой ХВ (см. рис. 1.28) выше точки Y. Однако на практике вкладчик столкнется с двумя проблемами, которые ограничат ожидаемую доходность его стратегии. Во-первых, с проблемой получения кредита в больших размерах, чем позволяет его финансовое положение. Во-вторых, законодательство устанавливает верхний предел использования заемных средств при покупке ценных бумаг.

В заключение данного параграфа следует отметить, что в качестве рискованного актива Y можно представить не только актив, как некоторую единицу, например, акцию, облигацию и т.д., но и портфель, состоящий из ряда других активов, который имеет соответствующие параметры ожидаемой доходности и риска.

Краткие выводы

Портфель - это набор финансовых активов, которыми располагает инвестор. Цель его формирования состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком значении ожидаемого риска.

Ожидаемая доходность портфеля оценивается как среднеарифметическая взвешенная доходностей входящих в него ценных бумаг. Риск портфеля определяется показателями стандартного отклонения и дисперсии его доходности. Риск портфеля зависит от корреляции доходностей входящих в него активов. Формируя портфель, следует включать в него бумаги с наименьшими значениями корреляции доходностей.

Риск широко диверсифицированного портфеля с приблизительно одинаковыми уд. весами активов близок к значению средней ковариации доходностей данных активов.

Доминирующий портфель - это портфель, который имеет самый высокий уровень доходности для данного уровня риска или наименьшее значение риска для данного значения доходности. Доминирующий портфель является лучшим выбором для инвестора из числа возможных портфелей.

Эффективный набор портфелей - это набор доминирующих портфелей. Его также называют эффективной границей.

Подход Г. Марковца к выбору эффективных портфелей называют среднедисперсионным анализом. Чтобы он имел практическую значимость, необходимо выполнение на практике, по крайней мере, одного из следующих условий:

а) доходность портфелей ценных бумаг распределена нормально; б) функция полезности инвестора является квадратичной.

Граница Марковца в координатах [е’(г); <т] представляет собой гиперболу, в координатах сг²] - параболу.

Портфель, состоящий из рискованного актива и актива без риска, именуют кредитным портфелем. Если вкладчик берет заем и инвестирует средства в рискованный актив, то он формирует заемный портфель.

Приложение 1.

Вывод формулы ожидаемой доходности портфеля

Рассмотрим вопрос определения ожидаемой доходности портфеля на примере портфеля из двух бумаг. Текущий курс первой акции, ее ожидаемая доходность и количество бумаг в портфеле соответственно равны S_x, г_х и п_х , второй акции - S₂, г₂ и п₂. Текущая стоимость портфеля ^РР0 составляет:

Р_Ро - ⁿ\S\ +n₂S₂ ~?\Р_Ро⁺^2^РРо ,

где ?_х, ?₂ - уд. веса первой и второй бумаг в портфеле.

Если доходность акций будет равна их ожидаемой доходности, то стоимость портфеля в конце периода ^РР, составит:

^рР] = «і^іО + П) + n₂S₂(\ + ?₂) = ?_хР_ро (l + r,) + ?₂Р_ро (l + f₂)

Тогда доходность портфеля г_р будет равна:

_ р_р,-р_? -е₂р_?

Р Р Р

Ро Ро

Сократим числитель и знаменатель на величину V

Гр =^0 + n)+^(^{1 + ?}2)-^l -<?2 Раскрыв скобки, получим искомый результат:

г_р=?і + 6>,г, +?₂+ ?₂г₂ -?_х-?₂= ?_хг_х + ?₂г₂

Приложение 2.

Вывод формулы дисперсии портфеля, состоящего из двух активов

Введем следующие обозначения: дисперсия портфеля - ?аг(-), уд. веса активов X и Y соответственно - ?_х и ?_г, их доходности и дисперсии - r_x, r_Y, и <г^гх, <Ту, математические ожидания доходностей - ?_х, г_у, ковариация доходностей - со?^у, символ математического ожидания - El). Тогда:

а²р = ?аі(?_хг_х +?_уг_у)=4(?_хг_у+?уГ_у)-(?_хг_х +?_уг_у)]² =

Щ@Х^ГХ + (^?У^Г? ~@y*Y)] ⁼ Е{?_ХГ_Х — ?_ХГ_Х) +

+ЕІ?уГу - ?у?у У + 2Е(?_хг - ?_хг_х \?уГ_у - ?_уг_у) = (П. 1.1)

@хЕ(^гх —*"х) ⁺ ?_уЕ{г_у —Гу) + 2?_х?_уЕ(г_х — r_x \r_Y —г_у)

Величины Е{г_х-г_хУ, E{r_Y-r_Y)², Е{г_х—r_x\r_Y-r_Y) представляют собой соответственно дисперсии доходности бумаги X и F и ковариацию их доходностей. С учетом сказанного последняя строка в выражении (П.1.1) принимает вид:

<7² = ?²ха²х + ?уСГу + 2?_х?у cov^y

Приложение 3.

Множество портфелей из двух активов с корреляцией

доходностей +1

Риск портфеля из двух бумаг с корреляцией доходностей +1 равен:

стр =¦ ?_хах ?у<7у (П.1.2)

Уд. вес бумаги X составляет:

?_х=\ -?_у (П.1.3)

Подставим значение ?_х из формулы (П. 1.3) в формулу (П. 1.2):

<т_р⁼ (і — ?у)<У_х + ?уСУу

Выразим из нее значение ?_у:

°_Р ~<r_x

<7у-О_х

?у =

(П.1.4)

Подставим значение ?_у из (П. 1.4) в уравнение ожидаемой доходности портфеля:

(У — (У _х ^

I ^{Р Х}

cr_Y—a_xj

4„)=

Е(г_х)+°^г °^х Е{г_г)

а у - а_х

или

Е(_Гу )-Е{_Гх)

Е(г_г)-Е(г_х)

4>)=

Е(г_х)-

(П.1.5)

(Ту - <г_х

(Ту -<У_Х

в точке

(Ту (Т_х

ЕІі* ]—Е{т* )

(Ту - а_х

тельно оси абсцисс равен---—. Отрезок XY, на котором расположены

портфели из двух активов с корреляцией доходностей +1, является отрезком данной прямой, соответствующий уровню риска от а_х до а_у.

Приложение 4.

Основы матричного исчисления

Матрицей называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из т строк и п столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Если обозначить элемент матрицы через a_:j, то это означает, что данное число а стоит на пересечении й строки иу'-го столбца матрицы. Матрицу обозначают как:

(П.1.6)

^а2\ ^а22'"^а2п

\^аті ^ат2 ¦•¦^атп J

В матрице (П.1.6) элемент а_п согласно ее индексам / и у стоит соответственно на пересечении первой строки и первого столбца, элемент а₁₂ - на пересечении первой строки и второго столбца, элемент а₂₁ - на пересечении второй строки и первого столбца и т.д. Данная матрица насчитывает т строк и п столбцов. Поэтому скажут, что это матрица типа или размера тхп.

Матрицу как единый объект обычно обозначают заглавными латинскими буквами: А, В, С и т.д. Если матрица имеет только одну строку и п столбцов, ее называют матрицей-строкой: А = (а_и, а_]2, ...,а_]п). Поскольку матрица имеет только одну строку, то индекс / у элементов матрицы можно опустить: А = {а_х, а₂, ...,я_и). Размер такой матрицы запишут как 1х«. Если матрица имеет только один столбец и т строк, то это матрица-столбец:

а,

21

\^am\J

или, опустив индекс j, так как у матрицы один столбец:

\^ат У

Если количество строк матрицы равно количеству ее столбцов, т.е. т = п, матрицу называют квадратной. Например, матрица

^f\ 2^Л

является квадратной. Элементы квадратной матрицы а_и, а₂₂,...,а_т образуют

главную диагональ. Для матрицы В главная диагональ представлена элементами 1 и 5. Квадратная матрица может быть симметрической. В этом случае симметричные относительно главной диагонали элементы равны. Например, матрица С является симметрической:

Для квадратной матрицы выделяют такое понятие как определитель. У матрицы размера 2x2 определитель обозначают как:

12

^а2\ ^а22

Определитель равен:

^а\\ ^а\2

— ^а\\^а22 ^а\2^а22

^а2\ ^а22

Если в некоторой исходной матрице D столбцы заменить ее строками, то получится новая матрица, которую называют транспонированной к данной и обычно обозначают через D^T. Пусть исходная матрица:

/ \

2 4 8 4

13 12

Транспонированная к ней матрица имеет вид:

(2 1 5 "

_г 4 3 0 D^T =

8 1 3 ,4 2 4,

При транспонировании первая строка матрицы D: 2 4 8 4 стала первым столбцом матрицы D^T, вторая строка матрицы Z>: 13 12 — вторым столбцом матрицы D^T и т.д. Если имеется матрица-строка, то транспонированной к ней будет матрица-столбец и наоборот. Таким образом, если исходная матрица имела т строк и п столбцов, то транспонированная будет насчитывать п строк и тстолбцов.

Матрицы можно перемножать. Однако для этого необходимо выполнение следующего условия. При умножении матрицы А на матрицу В количество столбцов матрицы А должно обязательно соответствовать количеству строк матрицы В. В противном случае умножение невозможно. Квадратные матрицы перемножаются между собой, поскольку у них количество строк и столбцов одинаковое. В результате умножения матрицы А на матрицу В получается матрица С. У нее элемент с_у является суммой последовательного произведения

элементов і -й строки матрицы А на элементы /-го столбца матрицы В.

Пример.

^Г2 1 3^Л

Количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В, поэтому их можно перемножать: С = АВ = Л г \ 2-1 + 1-2 + 3-4 2-5 + М + 3-2 _ 16 17 ^4 • 1 + 5 • 2 + 2 • 4 4 • 5 + 5 • 1 + 2 • 2_ук22 29, Как видно из примера, после перемножения получается матрица, которая имеет такое же количество строк, что и первая и такое же количество столбцов, что и вторая.

Приложение 5.

Вывод уравнения линии эффективной границы при возможности заимствования и кредитования

Риск портфеля, состоящего из актива без риска и рискованного актива Y равен:

(П.1.7)

(П.1.8)

(У_р = ?усг_у

Из формулы (П.1.7) уд. вес рискованного актива составляет:

Тогда уд. вес актива без риска (0_f) равен:

риск (сг) она проходит через точки, соответствующие координатам актива без риска (ту; о) и рискованного актива

Их 1 Е(г_г)~ Гу-

Гу /, <Уу\. Величина- представляет собой тангенс угла наклона эф-

(Ту

фективной границы к оси абсцисс.

Приложение 6.

Определение геометрической формы границы Марковца

В параграфе 1.2.10. было сказано, что график общей границы Марковца в координатах [е(г\ сг] представляет собой гиперболу. Докажем данное положение на примере портфеля, состоящего из двух активов.

Ожидаемая доходность и риск портфеля равны:

г_р=?_хг_х+?₂г₂- (П.1.11)

= ?_х²а_х + ?₂а₂ + 2?_х?₂а_ха₂согг_{х1 t} (П. 1.12)

где r_p - ожидаемая доходность портфеля;

г_х, г₂ - ожидаемая доходность первого и второго активов.

Выразим уд. вес второго актива через первый:

0₂=1-0, (П.1.13)

Подставим значение ?₂ из (П. 1.13) в (П. 1.11) и найдем ?_х:

После преобразований получим:

^ЕМ~^г/

е(г_р) = _Г/ +

(П.1.10)

(П.1.14)

г - г,

?_х =^-^-

г_х -г₂

Подставим в равенство (П. 1.12) значение ?₂ из (П. 1.13) и ?_х из (П. 1.14):

(Г -F V

ір_^г±

V^"^F27

- - Л²

г_?-г₂^л r_x-r_2j

2

сг₂ +

сг_х +

1-

а_ха₂согг_Х2

г — г, ( г —г~Л + 2——- 1—

г_х-г₂

^ГХ~^Г2 J

или

(П.1.15)

переменные;

я,., - коэффициенты, а_и, а₁₂, а₂₂ одновременно не равны нулю; а_ъъ - свободный член.

В уравнении (П.1.16) первые три слагаемых имеют вторую степень относительно переменных х и у, и их сумма образует так называемую квадратичную форму:

la_xa₂corr_l2

-г₂)²(сг² + сг² -2сг,сг₂согг₁₂)

В определителе (П. 1.19) квадрат первой скобки есть число положительное. Вторая скобка при сг, Ф сг₂ или согг_{2 < 1 также дает положительное число. Поэтому определитель квадратичной формы отрицателен. Это означает, что исходное уравнение (П.1.15) является гиперболой. График гиперболы представлен на рис. П.1.2.

Е(г)

в ячейку С1. Сделаем это после того как напечатаем в таблице условия задачи. Поэтому печатаем в ячейке D1 доходность акции А (15), в ячейке Е1 - акции Y (30), в ячейках F1 и G1 соответственно - стандартные отклонения доходностей бумаг X (24) и F (40). В ячейке Н1 печатаем ковариацию доходностей бумаг (120).

Присвоим ячейкам с условиями задачи имена. Ячейку D1 назовем гх. Для этого наводим курсор на ячейку D1 и щелкаем мышью. Слева вверху листа Excel на уровне командной строки находится окно имени ячейки. После того как мы навели курсор на D1 и щелкнули мышью, в поле имени появилось обозначение. Чтобы заменить его на гх, наводим курсор на поле имени, щелкаем мышью, печатаем гх и нажимаем Enter. Аналогичным образом присваиваем имя гу ячейке El, sx ячейке FI, sy ячейке G1 и со? ячейке Ш.

Теперь с учетом введенных обозначений печатаем в ячейке В1 формулу риска портфеля, представленную дисперсией:

=(А 1 *sx)^A2+(( 1 -А 1 )*sy)^A2+2* А1 *( 1 -А1 )*со? и нажимаем клавишу Enter.

Печатаем в ячейке С1 формулу ожидаемой доходности портфеля:

=А1*гх+(1-А1)*гу

и нажимаем Enter.

Наводим курсор на ячейку В1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, протягиваем мышь до ячейки С1, отпускаем клавишу. Ячейки В1 и С1 выделились черной рамкой. Наводим курсор на квадратик (маркер заполнения) в нижнем правом углу рамки, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, доводим до ячейки СИ, отпускаем клавишу. В диапазоне В1:С11 появились значения ожидаемой доходности и дисперсии портфелей для соответствующих уд. весов активов. Диапазон В1:С11 выделен серым цветом.

Наводим на панели инструментов курсор на значок “Мастера диаграмм” -

Ш и щелкаем левой клавишей мыши. Появилось окно “Мастер диаграмм”. В правой части “Мастера диаграмм” перечисляются возможные виды графиков. Наводим курсор на строку “Точечная” и щелкаем мышью. В правой части окна появились варианты графиков. Во втором столбце выбираем верхний график, поэтому наводим на него курсор и щелкаем мышью. Поле графика стало темного цвета. Внизу окна “Мастера диаграмм” располагается кнопка “Далее”. Наводим на нее курсор и щелкаем мышью. В окне “Мастера диаграмм” возник график. Еще раз нажимаем кнопку “Далее”. Вверху “Мастера диаграмм” представлен ряд названий. Выбираем курсором крайнее левое - “Заголовки”, и щелкаем мышью.

В окне строки “Ось X” печатаем слово “дисперсия”, в окне строки “Ось Y” печатаем слово “доходность” и щелкаем кнопку “Готово”. Появился график границы Марковца как показано на рис. П.1.5.

из нее исключается отрезок ВМ, поскольку появляются новые доминирующие портфели. Эффективная граница представлена теперь линией г/М. В свою очередь это означает, что в случае инвестирования только в рискованные активы, вкладчик должен выбирать портфели только на участке МС.

Допустим, вкладчик не следует данному правилу и формирует портфель из актива без риска (Z) и рискованного портфеля, однако в качестве рискованного портфеля он выбирает не портфель М, а портфель G (см. рис. 2.2). Тогда все возможные сочетания ожидаемой доходности и риска будут располагаться на прямой TfG.

выбор и приобретение портфеля М, - отделено или не зависит от финансового решения проблемы, т. е. финансирования выбранной стратегии с помощью кредитования или заимствования. Такое положение получило название теоремы отделения. Она подразумевает, что инвестор, независимо от индивидуальных предпочтений в отношении конкретно формируемого им портфеля должен включить в него портфель М в качестве рискованного актива.

Другими словами, выбор портфеля М не зависит от выбора ожидаемой доходности и риска конкретного портфеля, который формирует инвестор, так как вкладчик, инвестировав свои средства в портфель М, получает доступ к любому наиболее эффективному варианту инвестиционной стратегии. Ожидаемая доходность и риск формируемого портфеля определяются вкладчиком путем выбора пропорций заимствования или кредитования.

риск и доходность. Вкладчики могут свободно занимать и предоставлять средства под ставку без риска. Отсутствуют трансакционные издержки, и налоги не оказывают влияния на принимаемые решения. В таком мире каждый инвестор одинаковым образом оценит ситуацию и определит единый набор эффективных портфелей. Поэтому в качестве рискованного портфеля все вкладчики будут стремиться держать один и тот же портфель. Его назвали рыночным. Рыночный портфель можно определить следующим образом: это портфель, состоящий из всех финансовых инструментов, существующих на рынке, удельный вес которых в нем равен их удельному весу в совокупной стоимости финансовых инструментов на рынке. В такой портфель входят акции, облигации, недвижимость и т.д.

Почему в описанной ситуации в данный портфель войдут активы в соответствии с их удельными весами на рынке? Такое положение возникнет в результате серии покупок и продаж каждого отдельного актива. Поскольку инвесторы будут формировать одинаковый по своему составу портфель, то в портфеле каждого вкладчика один и тот же актив должен иметь одинаковый удельный вес. Допустим, вкладчики полагают, что бумага Л должна составлять 10% от стоимости портфеля. Однако по текущей цене это более значительная величина, чем удельный вес бумаги в общей стоимости активов рынка. Так как инвесторы стремятся держать в портфеле именно указанную пропорцию бумаги А, то на нее появится активный спрос, что вызовет повышение ее цены. В результате, с одной стороны, увеличится удельный вес бумаги в стоимости активов рынка, с другой стороны, по мере роста цены привлекательность бумаги будет падать. Поэтому инвесторы пожелают иметь данную бумагу в портфеле в меньшей пропорции.

Рассмотрим другой случай. Исходя из оценок доходности и риска, вкладчики не желают включать в портфель бумагу В. Однако, если мы говорим о ней, это значит, что ее уже кто-то приобрел, так как бумаги без владельца не существует. Когда бумага не пользуется спросом, цена ее падает и, следовательно, возрастает ожидаемая доходность. Поскольку риск остается прежним, а доходность возрастает, инвесторы пересмотрят свои оценки и также пожелают включить ее в портфель. Отмеченные процессы купли-продажи будут происходить до тех пор, пока в портфеле каждого инвестора удельный вес каждого актива не станет равным его удельному весу в стоимости активов рынка, и не установится равновесие между суммами средств, которые одни лица желают взять в кредит, а другие - дать взаймы.

В реальной жизни практически невозможно сформировать действительно рыночный портфель как он понимается в теории, поскольку он должен включать в себя все финансовые активы. Поэтому на практике в качестве рыночных рассматриваются портфели, которые образованы на основе индексов с широкой базой, например, индекса S&P500.

Когда мы рассматривали эффективную границу, то выяснили, что вкладчик, независимо от его предпочтений в отношении ожидаемой доходности и риска, в качестве рискованного актива обязательно выберет портфель М. Портфель М и представляет собой рыночный портфель.

Таким образом, формирование конкретного портфеля инвестора будет включать в себя заимствование или кредитование и приобретение рыночного портфеля.

2.4. Эффективная граница при различии в ставках по займам и депозитам

Рассматривая вопрос определения эффективной границы и выбора портфеля, мы предполагали, что вкладчик мог получить заем и разместить средства на депозите или купить государственную бумагу под ставку без риска. На практике только крупные инвесторы могут занимать средства под ставку без риска или близкую к ней. Для большей части инвесторов между ставками по займам и депозитам наблюдается ощутимая разница. В связи с этим необходимо внести уточнение и по вопросу эффективной границы и рыночного портфеля.

Если ставки по займам и депозитам не равны, то эффективная граница не будет являться прямой линией, а примет форму как показано на рис. 2.7 -r,M_]M₂F. На рис. 2.7 г_ь - это ставка по займам. Вкладчик может занять под

данный процент средства для формирования заемного портфеля, г, - это ставка

Мі и М2. В связи с этим необходимо следующим образом уточнить действия инвестора при формировании портфеля в реальной ситуации. Если вкладчик желает получить кредитный портфель (т. е. ограничить свой риск в пределах от 0 до сг,), он должен приобрести актив без риска (разместить средства на депозит под ставку без риска) и купить рыночный портфель Mj, что дает ему возможность получить любой портфель на прямой г,М_у, (см. рис. 2.7). Если вкладчик желает сформировать

заемный портфель, т. е. пойти на риск больше чем сг₂, ему следует на заемные

средства приобрести рыночный портфель Мг. Это откроет ему возможность получить любой портфель на прямой М2 F. Когда он не использует ни заимствование, ни кредитование, его выбор должен ограничиться портфелями, расположенными на участке М_УМ₂. Риск, инвестора в этом случае располагается в пределах от <х, до <т₂. Для такой ситуации любой портфель на отрезке эффективной границы М_УМ₂ является для него рыночным.

В настоящем параграфе мы привели случай, когда ставки по займам и депозитам не равны. В последующем для простоты изложения теоретической концепции мы вновь будем предполагать равенство ставок по займам и депозитам.

Краткие выводы

При формировании портфеля, состоящего из актива без риска и рискованного портфеля, в качестве последнего следует выбрать портфель, который располагается в плоскости координат сг] в точке касания эффективной границы прямой, проведенной к ней из точки, соответствующей доходности актива без риска. Если инвестор имеет возможность занимать и предоставлять кредит под ставку без риска, то эффективная граница превращается в прямую линию, проходящую через точки, соответствующие ставке без риска и рыночному портфелю.

Рыночный портфель - это портфель, в который входят все существующие финансовые инструменты в пропорции равной их удельному весу в совокупной стоимости финансовых активов на рынке. Для практических целей за рыночный портфель принимают какой-либо фондовый индекс с широкой базой.

Теорема отделения говорит о том, что выбор рискованного портфеля (рыночного портфеля) не зависит от конкретного уровня риска, на который желает пойти инвестор.

Открытие эффективной границы и рыночного портфеля упростило задачу формирования портфеля, так как единственное решение, которое должен принять инвестор, сводится к тому, чтобы определить, в какой степени строить свою стратегию на заимствовании или кредитовании.

Если ставки по займам и депозитам не одинаковые, то для кредитных и заемных портфелей определяются разные рыночные портфели.

х годов У.Шарпом, Дж.Линтерном и Дж.Моссиным и получила название модели оценки стоимости активов (Capital Asset Pricing Model - САРМ).

Как известно, стоимость актива определяется путем дисконтирования будущих ожидаемых доходов, которые он принесет, под процентную ставку, соответствующую его риску. Модель оценки стоимости активов не дает непосредственного ответа на вопрос, какой должна быть цена актива. Однако она получила такое название, потому что позволяет определить ставку дисконтирования, используемую для расчета стоимости финансового инструмента.

В модели устанавливаются следующие ограничения: рынок является эффективным, активы ликвидны и делимы, отсутствуют налоги, трансакционные издержки, банкротства, все инвесторы имеют одинаковые ожидания, имеют возможность брать кредит и предоставлять средства под ставку без риска, действуют рационально, стремясь максимизировать свою полезность, доходность является только функцией риска, изменения цен активов не зависят от существовавших в прошлом уровней цен, рассматривается один временной период.

3.1.1. Линия рынка капитала

В САРМ зависимость между риском и ожидаемой доходностью активов графически можно описать с помощью линии рынка капитала (CML - Capital

Market Line), которая представлена на рис. 3.1. На графике М - это рыночный портфель, и r_f - актив без риска с доходностью r_f; r_fL - линия рынка капитала; а_т - ожидаемый риск рыночного портфеля; Е(г_т) - ожидаемая доходность

рыночного портфеля. Все возможные оптимальные (эффективные) портфели, т. е. портфели, которые включают в себя рыночный портфель М, расположены на линии r_fL. Она проходит через две точки - г_f и М. Таким образом, линия рынка капитала является касательной к эффективной границе Марковца и представляет собой не что иное как эффективную границу портфелей при возможности заимствования и кредитования. CML получила такое название именно потому, что составляющие ее портфели формируют, заимствуя средства или предоставляя кредиты под ставку без риска на рынке капитала.

r_f. Другими словами, на финансовом рынке его участники утор-

говывают между собой цену времени и цену риска.

С ML представляет собой прямую линию. Уравнение прямой можно представить следующим образом:

у = а + Ьх,

где а - значение ординаты в точке пересечения ее линией CML, оно соответствует ставке без риска г_{;

Ъ - тангенс угла наклона С ML.

Угловой коэффициент наклона определяется как отношение изменения значения функции к изменению аргумента. В нашем случае (см. рис. 3.1) он равен:

«к)-'/

Поскольку ожидаемая доходность (у) есть функция риска (х), то в принятых терминах доходности и риска уравнение CML примет вид:

'7 +

(3.1)

где <у_і - риск і -го портфеля, для которого определяется уровень ожидаемой доходности;

Е{г,) - ожидаемая доходность і -го портфеля.

Данное уравнение можно записать следующим образом:

E(n)=r_f+-[E(r_m)-r_f] (3.2)

0"

171

Таким образом, ожидаемая доходность портфеля равна ставке без риска плюс произведение отношения риска портфеля к риску рыночного портфеля и разности между ожидаемой доходностью рыночного портфеля и ставкой без риска.

Пример.

Ставка без риска равна 10%, ожидаемая доходность рыночного портфеля -25%, риск рыночного портфеля - 15%. Определить ожидаемую доходность портфеля, риск которого составляет 30%.

Решение.

Ожидаемая доходность портфеля равна:

ЕІг) = 10% + ~ [25% -10%] = 40%

^?,; 15%^{L J}

Выше мы отметили, что наклон CML следует рассматривать как вознаграждение инвестора за риск в условиях равновесия на рынке. Поэтому он является рыночной ценой риска. Таким образом, рыночная цена единицы риска (b) равна:

это рыночный риск. Его также именуют системным (систематическим) или недиверсифицируемым, или неспецифическим. Он связан с общезначимыми факторами, влияющими на все активы, например, динамикой экономического цикла, войной, революцией. Когда экономика находится на подъеме, то подавляющее большинство активов приносит более высокую доходность. Если наблюдается спад, то падает и доходность финансовых инструментов. Данный риск нельзя исключить, так как это риск всей системы. Вторая часть - нерыночный, специфический или диверсифицируемый риск. Он связан с индивидуальными особенностями конкретного актива, а не с состоянием рынка в целом. Например, владелец акции некоторого предприятия подвергается риску потерь в связи с забастовкой на данном предприятии, некомпетентностью его руководства и т.п. Данный риск является диверсифицируемым, поскольку его можно свести практически к нулю с помощью диверсификации портфеля. Как показали исследования западных ученых, анализировавших динамику доходности акций во второй половине 60-х начале 70-х годов 20-го века, портфель, состоявший из 20 активов, способен был фактически полностью исключить нерыночный риск. В случае международной диверсификации количество акций могло быть ограничено десятью. Исследования, проведенные в последние время Дж.Кампбеллом, М.Леттау, Б.Малкейлом и И.Ху' говорят о том, что по сравнению с 60-ми годами 20-го века в 80-90-е годы корреляция между акциями уменьшилась и возросла их волатильность, связанная с нерыночным риском. Это требует сейчас более широкой диверсификации портфеля по составу акций для достижения того же уровня снижения риска, что и в 60-70-е годы. Результаты исследований наглядно представлены на рис. 3.2 и 3.3. На рис. 3.2 по горизонтальной оси откладывается время, по вертикальной -превышение стандартного отклонения доходности портфеля над стандартным отклонением индекса, в который входят акции, обращающиеся на Нью-Йоркской Фондовой Бирже, Американской Фондовой Бирже и в системе НА-' J.Campbell, M.Lettau, B.Malkiel, Y.Xu. - Have Individual Stocks Become More Volatile? An Empirical Exploration of Idiosyncratic Risk.// The Journal of Finance, February 2001.

СДАК. Верхняя линия на графике (сплошная линия) характеризует портфель из двух случайно выбранных акций, верхняя пунктирная линия - портфель из 5 акций, средняя пунктирная линия - портфель из 20 акций и нижняя пунктирная линия - портфель из 50 акций. Как видно из графика, превышение стандартного отклонения доходности для портфеля из 20 акций в 60-70-е годы было меньше 10%. С 1985 по 1997 годы оно находилось в диапазоне от 15% до 20%. Одновременно, превышение стандартного отклонения доходности для портфеля из 50 акций с 1985 по 1997 годы было меньше 10%. Таким образом, чтобы получить за период с 1985 по 1997 годы такой же результат от диверсификации, какой обеспечивал портфель из 20 акций в период с 1963 по 1985 годы, необходимо было уже объединять в портфель не 20 а 50 акций.

превышение стандартного отклонения доходности портфеля над стандартным отклонением индекса. Сплошная линия характеризует период с 1963 по 1973

² Ibid, р.26.

³ Ibid, р.26.

годы, нижняя пунктирная линия - период с 1974 по 1985 годы и верхняя пунктирная линия - период с 1986 по 1997 годы.

Широко диверсифицированный портфель заключает в себе практически только рыночный риск. Слабо диверсифицированный портфель обладает как рыночным, так и нерыночным рисками. Таким образом, инвестор может снизить свой риск только до уровня рыночного, если сформирует широко диверсифицированный портфель.

Приобретая актив, вкладчик рассчитывает получить компенсацию за риск, на который он идет. Однако риск состоит из двух частей. Каким образом рынок будет оценивать компоненты риска с точки зрения ожидаемой доходности?

Как было сказано выше, инвестор способен практически полностью исключить специфический риск за счет формирования широко диверсифицированного портфеля. В рамках модели САРМ предполагается, что вкладчик может свободно покупать и продавать активы без дополнительных издержек. Поэтому формирование более диверсифицированного портфеля не ведет к увеличению его расходов. Таким образом, без затрат вкладчик может легко исключить специфический риск. Поэтому в теории предполагается, что нерыночный риск не подлежит вознаграждению, поскольку его легко можно устранить за счет диверсификации. В связи с этим, если инвестор не диверсифицирует должным образом свой портфель, он идет на ненужный риск с точки зрения той выгоды, которую он приносит обществу. В то же время, приобретая, например, акцию, инвестор финансирует производство и, таким образом, приносит обществу пользу. Покупка акции связана с нерыночным риском, который является неустранимым. Поэтому инвестор должен получить вознаграждение адекватное дан-ному риску. В противном случае он не приобретет эту бумагу, и экономика не получит необходимые финансовые ресурсы. Однако общество (рынок) не будет вознаграждать его за специфический риск, поскольку он легко устраняется диверсификацией портфеля. С точки зрения финансирования потребностей экономики данный риск не имеет смысла. Таким образом, вознаграждению подлежит только систематический риск. Поэтому стоимость активов должна оцениваться относительно величины именно этого риска. Весь риск актива (портфе-ля) измеряется такими показателями как дисперсия и стандартное отклонение. Для оценки рыночного риска служит другая величина, которую называют бета.

3.1.3. Бета

Для измерения рыночного риска актива используется величина бета. Она показывает зависимость между доходностью актива и доходностью рынка. Доходность рынка - это доходность рыночного портфеля. Поскольку невозможно сформировать портфель, в который бы входили все финансовые активы, то в качестве него принимается какой-либо индекс с широкой базой. Поэтому доходность рынка - это доходность портфеля, представленного выбранным индексом. Величина бета представляет собой не что иное как угловой коэффициент наклона линии регрессии доходности актива на доходность индекса. В связи с этим она рассчитывается по формуле:

„ со?

А =—Т~ (33)

<Т

m

ИЛИ

P_i=—_COrr_im, (3.4)

где Д - бета і -го актива;

со?_іт - ковариация доходности і -го актива (портфеля) с доходностью рыночного портфеля;

^corrim ~ корреляция доходности і -го актива (портфеля) с доходностью рыночного портфеля.

Поскольку величина бета определяется по отношению к рыночному портфелю, то бета самого рыночного портфеля равна единице, так как ковариация доходности рыночного портфеля с самим собой есть его дисперсия, отсюда:

бета рыночного портфеля.

Бета актива без риска равна нулю, потому что нулю равна ковариация доходности актива без риска с доходностью рыночного портфеля.

Величина Д ^ктива говорит о том, насколько его риск больше или меньше риска рыночного портфеля. Активы с бетой больше единицы обладают большим риском, чем рыночный портфель, а активы с бетой меньше единицы - менее рискованны чем рыночноипбртфель. Относительно величины бета активы делят на агрессивные и защитные. Бета агрессивных активов больше единицы, защитных - меньше единицы. Если бета актива равна единице, то его риск равен риску рыночного портфеля.

Бета может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Положительное значение беты говорит о том, что доходности актива и рынка при изменении конъюнктуры изменяются в одном направлении. Отрицательная бета показывает, что доходности актива и рынка меняются в противоположных направлениях.

Бета актива показывает, в какой степени доходность актива (и соответственно его цена) будет реагировать на действие рыночных сил. Зная бету актива, можно оценить, насколько должна измениться его ожидаемая доходность при изменении ожидаемой доходности рынка. Например, бета бумаги равна +2. Это значит, что при увеличении ожидаемой доходности рыночного портфеля на 1% следует в среднем ожидать роста доходности бумаги на 2%, и наоборот, при уменьшении доходности рыночного портфеля на 1% следует в среднем ожидать снижения доходности бумаги на 2%. Поскольку бета бумаги больше единицы, то она рискованнее рыночного портфеля. Если бета бумаги равна 0,5, то при увеличении ожидаемой доходности рынка на 1% ожидаемая доходность бумаги в среднем должна возрасти только на 0,5%. Напротив, при снижении доходности рынка на 1% доходность бумаги уменьшится в среднем только на 0,5%. Таким образом, риск данной бумаги меньше риска рынка. Если бета равна -2, то при повышении доходности рыночного портфеля на 1% доходность актива снизится на 2% и наоборот. _Активы с отрицательной бетой являются ценными инструментами для диверсификации портфеля, поскольку в этом случае можно построить портфель с “нулевой бетой”, который не будет нести риска. Здесь, однако, следует помнить, что такой портфель не аналогичен активу без риска, так как при нулевом значении беты он не будет содержать только рыночного риска. В то же время данный портфель сохранит риск нерыночный.

Зная величину беты для каждого из активов, вкладчик может легко сформировать портфель требуемого уровня риска и доходности. Бета портфеля -это средневзвешенное значение величин бета активов, входящих в портфель, где весами выступают их удельные веса в портфеле. Она рассчитывается по формуле:

<³-⁵)

i=1

где р_р - бета портфеля;

Д - бета і -го актива;

?_і - уд. вес і -го актива;

п - количество активов в портфеле.

Формулу (3.5) можно получить за счет следующих преобразований. По определению бета портфеля равна отношению ковариации доходностей портфеля и рынка (со?^) к дисперсии доходности рынка:

со?

рт

(3.6)

Ковариация доходности портфеля с рынком представляет собой сумму ковариаций каждой бумаги портфеля с учетом ее уд. веса в портфеле с рынком. Поэтому формулу (3.6) можно записать как:

со?_рт cov(^q ;г_т)+со?(?₂г₂ ;г_т)+ ...со\(в_пг_п;г_т)

Pp~ 2 ~ 2

'm

'm

^?\ ^cov(^ri; ^rm )+ ^?2 ^cov(^r2 ; ¦^rm ) + - ¦+ ^?п ^cov(^r«; ^rm )

ковариация доходности і -й бумаги с рынком.

Пример.

Инвестор формирует портфель из трех активов: А, В и С. 25%. Определить ожидаемую доходность актива с бетой 1,5.

Решение.

Бета равна:

е(г_а ) = 15% +1,5(25% -15%) = 30%

Наклон SML определяется отношением инвесторов к риску в различных условиях рыночной конъюнктуры. Если у вкладчиков оптимистичные прогнозы на будущее, то наклон SML будет менее крутой, так как при хорошей конъюнктуре инвесторы согласны на более низкую премию за риск, поскольку риски, на их взгляд, менее вероятны (см. рис. 3.5, SML,). Другими словами, в единицах

ожидаемой доходности цена риска меньше. Напротив, в преддверии неблагоприятной конъюнктуры SML примет более крутой наклон, так как в этом случае инвесторы в качестве компенсации потребуют более высокую премию за риск (см. рис. 3.5, SML₂), т.е. в единицах ожидаемой доходности цена риска выше.

Такую динамику наклона SML можно объяснить и с точки зрения дисконтирования будущих доходов. Как известно, стоимость ценной бумаги определяется дисконтированием будущих доходов, которые она принесет. Представим рассуждение в общем виде на основе формулы для бумаги, по которой ожидается только одна выплата в конце периода t:

Р,

1 + г

Ро =

(3.8)

где Р₀ - курс бумаги в настоящий момент времени;

P_t - курс бумаги в момент времени t;

г - ставка дисконтирования для периода t, соответствующая риску инвестирования в данную бумагу.

вниз, как показано на рис. 3.6.

Выше мы привели формулу (3.3), которая позволяет рассчитать коэффициент бета актива на основе исторических данных. Значение беты можно также определить с помощью уравнения SML, записав его для фактически полученных данных:

r_t=r_f+P,{r_m-r_f)

Отсюда получим:

(3.9)

г_т - г, ^т J

где т*_:, г_т и r_f - фактические доходности актива, рынка и ставки без риска за прошедший период.

На основе полученного результата можно определить коэффициент корреляции между г'-м активом и рыночным портфелем. Подставим в формулу (3.9) значение беты из формулы (3.4):

СГ. г - r_f

-corr_im =-

Г_т-Г

Отсюда:

corr_im =

(3.10)

SML₂ r,

m ]

представляет собой тангенс угла наклона линии, соединяющей ставку

/ \ ^ri~^rf

без риска и рыночный портфель в плоскости координат (г; а), а - - тан-

сг,

гене угла наклона линии, соединяющей ставку без риска и і -й актив. Таким образом, корреляция равна отношению тангенсов углов наклонов данных линий. Иллюстрация представлена на рис. 3.7 для актива^. Из формулы (3.10) и из рис. 3.7 следует, что любой актив, который располагается на уровне ставки без риска, имеет корреляцию с рыночным портфелем равную нулю.

г

If ставка без риска по долгосрочным бумагам, r_fs- ставка без риска по краткосрочным бумагам

3.1.6. CML и SML

Чтобы лучше понять CML и SML, сравним их характеристики. В состоянии рыночного равновесия на CML располагаются только эффективные портфели. Все прочие портфели и отдельные активы находятся под С ML. Единицей риска для CML выступает стандартное отклонение.

В состоянии равновесия на SML расположены все портфели, как эффективные, так и не эффективные и отдельные активы. SML учитывает только рыночный риск портфеля (актива). Единицей риска является величина бета. В состоянии равновесия не эффективные портфели и отдельные активы располагаются ниже CML, но лежат на SML, так как рынок оценивает только не диверсифицируемый риск данных портфелей (активов).

На рис. 3.9а представлен эффективный портфель В, который располагается на CML. Риск портфеля равен а_в, ожидаемая доходность — г_в. На этом же рисунке представлена бумага А. Она имеет такую же ожидаемую доходность, что и портфель В, однако ее риск <т_А больше риска портфеля В. Так как бумага А -это отдельный актив, то она лежит ниже линии CML. Бета портфеля В и бета бумаги А равны, поэтому и портфель В и бумага А располагаются на SML в одной точке (см. рис. 3.96). Так получается потому, что рынок оценивает портфели (активы) не с точки зрения их общего риска, который измеряется стандартным отклонением, а только на основе их рыночного риска, измеряемого бетой. В результате актив А оценивается рынком точно также как и портфель В, хотя общий риск актива А больше риска портфеля В.

r_f ]—corr_im (3.11)

^am

Формулу (3.1) для CML также можно записать аналогичным образом:

^Е(гр)= r_f + [е(г_я )- r_f ]—corr_pm (3.12)

Однако в случае CML коэффициент корреляции равен +1, что говорит о полной корреляции эффективных портфелей с рынком. Не эффективные портфели и отдельные активы не имеют полной корреляции с рынком, что и нашло отражение в уравнении SML.

САРМ ничего не говорит о взаимосвязи ожидаемой доходности отдельного актива и его полного риска, измеряемого стандартным отклонением. SML устанавливает зависимость только между ожидаемой доходностью актива и его рыночным риском.

3.1.7. Альфа

Согласно САРМ цены активов будут изменяться до тех пор, пока каждый из них не окажется на SML, т. е. пока не наступит равновесие на рынке. Поэтому на практике можно обнаружить активы, которые неверно оценены рынком относительно уровня их равновесных ожидаемых доходностей. Если эта оценка не соответствует реальному инвестиционному качеству актива, то в следующий момент рынок изменит свое мнение в направлении более объективной оценки. В результате мнение рынка будет стремиться к некоторому равновесному (т.е. верному) уровню оценки. В реальной практике периодически происходит изменение конъюнктуры рынка, что вызывает и изменение оценок в отношении ожидаемой равновесной доходности. Поэтому, если учитывать протяженный период времени, то будет пересматриваться и сам уровень равновесной ожидаемой доходности. Однако в САРМ мы рассматриваем только один временной период, поэтому и можем говорить о равновесной доходности, которая в конечном итоге должна возникнуть на рынке для данного актива. Возможные отклонения от равновесного уровня могут наблюдаться в силу каких-либо частных причин в течение коротких промежутков времени. Однако в следующие моменты должно возникнуть движение доходности актива к точке равновесного уровня.

Если актив переоценен рынком, то уровень его ожидаемой доходности ниже чем активов с аналогичной характеристикой риска, если недооценен, то выше. Показатель, который говорит о величине неверной оценки актива рынком, называется альфой. Альфа представляет собой разность между действительной ожидаемой доходностью актива и равновесной ожидаемой доходностью, т. е. доходностью, которую требует рынок для данного уровня риска. Альфа определяется по формуле:

(3.13)

<х_і=г_і-Е(г_і),

где а_і - альфа і -го актива;

е{^г1 ) - равновесная ожидаемая доходность і -го актива;

г₁ — действительная ожидаемая доходность і -го актива

На рис. 3.10 представлены два актива, которые неверно оценены рынком по отношению к уровню их риска. Актив А недооценен, В - переоценен. Согласно SML доходность А в условиях равновесия должна составлять 12,5%, фактическая оценка - 13%, т. е. актив предлагает 0,5% дополнительной доходности, поэтому его альфа равна +0,5. Противоположная ситуация представлена для актива В. Его равновесная ожидаемая доходность согласно SML составляет 17,5%, фактически он предлагает 13%, т. е. его альфа равна -4,5. Таким образом, актив недооценен рынком, если его альфа положительна, и переоценен, если альфа отрицательна. Для равновесной ожидаемой доходности альфа равна нулю.

Инвесторы, желающие получить более высокие доходы, должны стремиться приобретать активы с положительной альфой. Через некоторое время рынок заметит недооценку, и цена их повысится. Одновременно инвесторам следует продавать активы с отрицательной альфой, так как в последующем их цена понизится.

Доходность портфеля - это средневзвешенная величина доходностей входящих в него активов. Поэтому альфа портфеля также является средневзвешенной величиной и определяется по формуле:

п альфа портфеля;

?_і - уд. вес і -го актива в портфеле; a_t - альфа і -го актива.

Е(г)

13,0

17,5 А, В и С. а_А =2;а_в -1,5;а_с =-\,?_А = 0,5;?_в = 0,2; ?_с = 0,3. Определить альфу портфеля. Решение.

Альфа портфеля равна:

0,5 • 0,2 + 0,2 • 1,5 + 0,3 • (-1) = 1

3.2. Модификации САРМ

3.2.1. САРМ для случая, когда ставки по займам и депозитам

не равны

Начальная версия САРМ предполагает, что ставки по займам и депозитам одинаковы. В реальной жизни они отличаются. Напомним, что в таких условиях эффективная граница не является линейной, а представляет собой несколько отрезков, как показано на рис. 3.11. Любой рискованный портфель, расположенный на сегменте МіМь рассматривается в качестве рыночного. Для данного варианта возникают две формулы САРМ и SML, которые рассчитываются относительно двух рыночных портфелей в точках Мі и Мь‘.

+ А_т,И^Гт,)-^Г/]

для случая, когда Е(г_: ) <Е(г_щ) - (кредитный портфель), и

Е(_Гі)=г_ь+ Р_іт\Е{г_ть)-г_ь]

для случая, когда Е{ Ф е{г ) - (заемный портфель), где ft - бета, рассчитанная относительно портфеля М,: Ріт_ь ~ бета, рассчитанная относительно портфеля М_ь.

г₂],

где r_z - рискованный актив с нулевой бетой.

В качестве актива с нулевой бетой можно, например, рассматривать облигацию крупной компании. Если инвестор будет держать ее до погашения, то гарантирует себе определенный уровень процента, который не зависит уже от последующих колебаний цены этой бумаги. Единственный риск, которому подвергается вкладчик, это риск банкротства эмитента, поскольку в этом случае предприятие может и не осуществить причитающиеся ему платежи по облигациям.

В качестве актива с нулевой бетой также можно представить портфель, состоящий из рискованных бумаг. Тогда характерной чертой данного портфеля должна быть короткая позиция по части активов.

На границе Марковца в координатах [it(г), а\ можно найти портфель с нулевой бетой с минимальной дисперсией. На рис. 3.12а представлена SML для случая, когда отсутствует актив без риска. Поэтому SML проходит через рыночный портфель и актив без рыночного риска, ожидаемая доходность которого равна Е(г₂). На рис. 3.126 изображена граница Марковца. Портфель с нулевой бетой с минимальной дисперсией расположен на ней в точке Z. (Портфель А представляет собой портфель с минимальной дисперсией.) Коэффициент бета портфеля Z равен нулю. Следовательно, коэффициент корреляции доходности портфеля Z с доходностью рыночного портфеля также равен нулю. На рис. 3.126 на прямой Zh располагаются портфели с нулевой бетой. Поэтому корреляция их доходностей с рыночным портфелем равна нулю.

^r/h (3.15)

где е(г_: ) - ожидаемая доходность і -й облигации;

Е(г_т) - ожидаемая доходность рыночного портфеля облигаций;

Д - коэффициент бета і -й облигации. Он равен отношению дюрации облигации і (Z).) к дюрации рыночного портфеля облигаций (D_m).

й облигации возрастет на величину

А-

На рис. 3.13 представлена линия рынка облигаций. Как следует из формулы, в данной версии САРМ доходность облигации является линейной функцией дюрации облигации.

При использовании данной модели следует помнить, что она завышает доходность долгосрочных облигаций при повышении ставок. Так, для облигации с дюрацией 10 лет формула дает результат, который в 10 раз больше, чем для облигации с дюрацией 1 год. На практике данная разница не столь велика.

уже не влияют на доходность операции. Рыночный риск по данной бумаге возникает для инвестора только в том случае, если он решает продать ее до момента погашения.

В заключение следует сказать о результатах проверки САРМ на практике. Они показали, что эмпирическая SML или, как ее еще называют, эмпирическая линия рынка является линейной и более пологой по сравнению с теоретической SML и проходит через рыночный портфель.

Ряд исследователей подвергают САРМ сомнению. Одна из критик представлена Р.Роллом. Она состоит в том, что теоретически рыночный портфель САРМ должен включать в себя все существующие активы пропорционально их уд. весу на рынке, в том числе зарубежные активы, недвижимость, предметы искусства, человеческий капитал. Поэтому невозможно создать такой портфель на практике и в первую очередь с точки зрения определения веса активов в портфеле и оценки их доходности. Сложно оценить результаты проверки САРМ, поскольку нет определенности в отношении того, является ли выбранный для экспериментов портфель рыночным (эффективным) или нет. Фактически, проверки САРМ скорее могут сказать о том, являются ли используемые в тестах портфели (рыночные индексы), эффективными или нет, т.е. располагаются ли они на эффективной границе или нет, чем подтверждают или опровергают саму модель САРМ. Действительно, если при проверке модели выбранный рыночный индекс оказался на полученной эффективной границе, то это приведет к выводу о верности САРМ. В то же время, если он оказался не на эффективной границе, то последует вывод о неверности САРМ. Однако и в первом и во втором случаях возникает следующий вопрос, насколько точны наши оценки корреляций и ожидаемых доходностей активов и насколько верно выбран рыночный индекс. Можно предположить такие ситуации: а) получены верные оценки корреляций и доходностей, но индекс, выбранный в качестве рыночного портфеля, оказался не на эффективной границе; б) индекс, выбранный в качестве рыночного, оказался на эффективной границе, но использованные для расчета эффективной границы оценки корреляций и доходностей не являются верными, поэтому и индекс не является действительно рыночным портфелем. Тогда в первом случае САРМ будет ошибочно отвергнута, а во втором ошибочно принята.

Одно из центральных мест в модели занимает коэффициент бета, оценивающий рыночный риск актива. Бета коррелирует с доходностью актива и говорит о том, что чем больше ее величина, тем больше должна быть и доходность. В то же время исследования показывают, что данная закономерность обнаруживается не всегда. Основные результаты по этому вопросу приводит в своей статье Э.Миллер. В частности, он отмечает: Е.Фама и К.Френч еще в 1992 г. писали, что их проверки не подтверждают наиболее базовой посылки модели САРМ относительно того, что средняя доходность акции положительно связана с коэффициентами бета. С.Тиник и Р.Вест (1984 г.) показали, что положительная зависимость между бетой и доходностью наблюдалась только в январе, а для остальных месяцев года она была не значимой. К.Хававини и П.Мишель (1987 г.) также нашли, что зависимость между бетой и доходностью для рынка Великобритании была значима только для апреля. Они обнаружили, что во Франции, Бельгии и Великобритании данная зависимость статистически значима, однако она перестает быть такой, если исключить январь. Р.Хаген и Дж.Хинс показали (1975 г.), что бета и доходность не коррелировали между собой за период с 1926 по 1971 годы.

3.3. Модель У.Шарпа

3.3.1. Диагональная модель

Ожидаемую доходность актива можно определить не только с помощью уравнения SML, но также на основе так называемых индексных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и цены актива зависят от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов.

Простая индексная модель была предложена У.Шарпом в середине 60-х годов. Цель ее разработки состояла в том, чтобы упростить процесс определения эффективной границы Марковца, сократив количество необходимых вычислений. У.Шарп назвал модель диагональной. В модели представлена зависимость между доходностью актива и значением рыночного индекса. Она предполагается линейной. Уравнение модели можно записать как:

П =а_і+Ъ_іІ,

где - доходность і -го актива;

I - рыночный индекс;

а, - доходность актива, которая не зависит от рыночных факторов (доходность актива при нулевом значении рыночного индекса), она является случайной переменной;

Ьі - коэффициент, показывающий, в какой степени изменение значения рыночного индекса I отражается на доходности актива.

Случайную компоненту доходности а, можно разделить на две части:

^аі ⁼Уі ^+?і

Yi является константой и представляет собой ожидаемую доходность актива при отсутствии воздействия на него рыночных факторов. ?_і- это собственно

случайная величина со средним значением равным нулю. С учетом сказанного модель принимает вид:

г_і=У_і+Ь_іІ + ?_і , (3.16)

где е. - независимая случайная переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней равно нулю, дисперсия постоянна, ковариация со значением рыночного индекса равна нулю; ковариация с нерыночным компонентом доходности других активов равна нулю, т.е. со?(?-,.?-_у)= 0. В силу центральной предельной теоремы е. распределена нормально, поскольку на нее оказывает

влияние большое количество разных факторов.

По условиям модели ожидаемое значение величины е] равно нулю. Поэтому на основе формулы (3.16) ожидаемое значение доходности активаE{r_t) определяется как:

Е(_Гі) = _Гі+Ь,Е(і),

где Е(і) - ожидаемое значение индекса.

Модель получила название диагональной, поскольку риск портфеля можно представить с помощью ковариационной матрицы, в которой все значения равны нулю, кроме значений, расположенных на главной диагонали. Поясним сказанное.

Доходность портфеля равна:

п

(3.17)

і=і

Подставим в формулу (3.17) формулу (3.16):

^гр = (г/⁺ V+*.•)=?^?‘Г, + Z W+

1=1 i=1 /=1

или

(3.18)

'•_р=2>,г,+?⁺і>а,

/=1 /=1

п

где Ъ_р = УДД - коэффициент, показывающий, в какой степени изменение

і=і

значения рыночного индекса I отражается на доходности портфеля. На основе формулы (3.18) дисперсия доходности портфеля равна:

2Ж +? +Х⁽⁹^

Г п П \

а р = ?аг

/=1

или

(3.19)

+2<9,²сг_?² ,

/=1

где оу - дисперсия значении рыночного индекса;

а] - дисперсия значений независимой случайной переменной і -го актива.

п

/=1

Величина Ь_рсг] показывает рыночный риск портфеля, величина УД²сг² специфический риск портфеля.

Формулу (3.19) можно записать в матричной форме как:

?ь Л

О

О аі

о,

?,

4 в, ... 9,

(3.20)

доходность индекса; она рассчитывается как отношение прироста значения индекса за рассматриваемый период к его значению в начале периода;

Д - коэффициент бета, показывающий, в какой степени изменение значения доходности рыночного индекса 1 отражается на доходности актива.

Если уравнение (3.21) применить для определения ожидаемой доходности портфеля, оно примет вид:

4-,)=Г,+/?&.). (3.22)

где 4,) - ожидаемая доходность портфеля;

/З_р - бета портфеля;

у - доходность портфеля в отсутствии воздействия на него рыночных факторов.

Графически рыночная модель представлена на рис.3.14. Она показывает зависимость между доходностью рыночного индекса {г_т ) и доходностью актива

(г;) и представляет собой прямую линию. Дж. Трейнор назвал ее линией характеристики. Независимой переменной выступает доходность рыночного индекса. Наклон линии характеристики определяется коэффициентом бета, а пересечение с осью ординат - значением показателя у_і. Линия характеристики есть не что иное, как линия регрессии доходности актива на доходность рыночного индекса. Поэтому на основе метода наименьших квадратов параметры у, и Д рассчитываются как:

Yi=r_l-P,r_M, (3.23)

где со?у - ковариация доходностей і -го актива и рыночного индекса; сг^ - дисперсия доходности рыночного индекса;

r_t - средняя доходность і -го актива за предыдущие периоды времени; г_т - средняя доходность рыночного индекса за предыдущие периоды времени.

Пример.

Средняя доходность актива А равна 20%, средняя доходность рыночного индекса - 17%, ковариация доходности актива и индекса составляет 0,04, дисперсия индекса 0,09. Определить уравнение рыночной модели.

Решение.

Бета актива А равна:

0,04

0,09

Ра =

0,44 ,

у_А =20-0,44-17 = 12,52% Уравнение рыночной модели имеет вид:

г_А -12,52 + 0,44г_; + е_А Графически оно представлено на рис. 3.14.

На рис. 3.14 точками показаны конкретные значения доходности актива Л и рынка для различных моментов времени в прошлом.

На рис. 3.14 представлен случай, когда бета положительна, и поэтому график рыночной модели направлен вправо вверх, т. е. при увеличении доходности рыночного индекса доходность актива будет повышаться, при понижении -падать. При отрицательном значении беты график направлен вправо вниз, что говорит о противоположном движении доходности индекса и актива. Более крутой наклон графика говорит о высоком значении беты и большем риске актива, менее крутой наклон - о меньшем значении беты и меньшем риске. При р = 1 доходность актива соответствует доходности индекса за исключением случайной переменной, характеризующей специфический риск.

Рис. 3.14. Линия характеристики

3.4. Коэффициент детерминации

Рыночную модель можно использовать для того, чтобы разделить весь риск актива на дивесифицируемый и не диверсифицируемый. Графически специфический и рыночный риски представлены на рис. 3.14. Согласно модели Шарпа дисперсия актива равна:

а? = ?аг(г_;) = ?аг(/_; + Д r_m +е,)= Р-<г²т + 2Дсо?_от + сг² ,

где ?аг{-) - дисперсия.

Так как cov_OT = 0, то можно записать, что:

Га

Специфический рыночный риск актива; сг² - нерыночный риск актива.

Пример.

Бета актива А равна 0,44, риск рынка 0,3, риск актива - 0,32. Определить рыночный и нерыночный риск актива.

Решение.

Рыночный риск, представленный дисперсией, равен:

Рл^ат ⁼ 0,44² • 0,3² = 0,0174

Стандартное отклонение рыночного риска составляет:

д/0,0174 =0,1319 или 13,19%

Нерыночный риск, представленный дисперсией, равен:

a²-P_A(j²m =0,32² - 0,0174 = 0,085

Стандартное отклонение нерыночного риска составляет:

д/0,085 = 0,2915 или 29,15%.

Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется рынком, используют коэффициент детерминации (/?²). Он представляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его общей дисперсии:

R² =

(3.25)

fiforl

Как известно,

А =—^СОГГіт

Подставив данное значение в формулу (3.25), получим результат, который говорит о том, что коэффициент детерминации - это квадрат коэффициента корреляции:

R² =согг²т

В последнем примере /?-квадрат равен 0,1699. Это означает, что изменение доходности актива А можно на 16,99% объяснить изменением доходности рынка, а на 83,01% - другими факторами. Чем ближе значение /?-квадрат к единице, тем в большей степени движение рынка определяет изменение доходности актива. Обычное значение і?-квадрат в западной экономике составляет порядка 0,3, т.е. 30% изменения его доходности определяется рынком. R-квадрат для широко диверсифицированного портфеля может составлять 0,9 и большую величину.

3.5. Определение уравнения линии характеристики и коэффициента детерминации с помощью программы Excel

Линия характеристики представляет собой уравнение регрессии. Поэтому для ее построения необходимо оценить значения коэффициентов Уі ^и А ^в

уравнении (3.21). Найти данные коэффициенты можно несколькими способами. Рассмотрим их на примерах.

Пример 1.

Имеется выборка наблюдений доходности актива А и рыночного индекса (для примера ограничимся десятью значениями). Печатаем значения доходности актива в ячейках от А1 до А10, а индекса - от В1 до В10, как показано на рис. 3.15.



Изе_энач_уI

Константа f Стат[

Возвращает параметры линейного приближенія по методу наименьших квадратов.

Изв_энач_у множество знамений % для которых уже известно соотношение у * mx + b.

10 -5 -5 -10 3 5 10 8 15 10 -

I Входной интервал Y:

I входной интервал X:

і

! Г Метки 1 Г~ Уровень надежности: (І5 %







t f⁴ Новая рабочая книга



i j Г” Остатки Г” График остатков





j [Нормальная вероятность-----------------------------------------------------........ _j j



ОК

31

31

Отмена

!--

Г" Константа - ноль

Справка

Рис. 3.18. Расчет коэффициентов линии характеристики и коэффициента детерминации

Наводим курсор на знак 3 справа от поля строки “Входной интервал Y” и щелкаем мышью. Окно “Регрессия” свернулось в поле строки. Наводим курсор на ячейку А1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, проводим курсор вниз до ячейки А10 и отпускаем клавишу. Вновь наводим курсор на знак Ш и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “Регрессия”. Наводим курсор на знак 3 справа от поля строки “Входной интервал X” и щелкаем мышью. Окно “Регрессия” свернулось в поле строки. Наводим курсор на ячейку В1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, проводим курсор вниз до ячейки В10 и отпускаем клавишу. Вновь наводим курсор на знак Ш и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “Регрессия”. Если в круглом окне слева от надписи “Выходной интервал” не стоит точка, то надо навести курсор на данную строку и щелкнуть мышью: в окне появится точка. После этого наводим курсор на знак 3 в правой части этой строки и щелкаем мышью. Окно “Регрессия” свернулось в поле строки.

1L

!±

11

11

17_

18

И

21

21 вывод итогов

тсшшш тштшт :

Множеств ОІІІЙИ ^

R-квадрат 0?27№

Нормиров 0,581361

Стандартн 5 ?40683

Наблюден 10 21 2У 2± 2У Регрессия тщзЩв тштШ^шЩттм^

Остаток 8 254,5384 31,3173

Итого .9 т 26 ............. .....^.......^{1 ІГ}" "¦ ^{1 11111} Л ¦ 2L Колффщтдяртная Швркние Ши/нтШ.О'цт» 95J 21

21 Перемени 1Д23В84 0^)322 3.67Ж7 0,006274 0Д83459 1576309 0.383459 1.676Э09І Рис. 3.19. Расчет коэффициентов линии характеристики и коэффициента детерминации с помощью пакета “Анализ данных ”

В качестве начала выходного интервала выбираем ячейку А12, поэтому выбираем ее курсором и щелкаем мышью. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “Регрессия”. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. На листе появились данные как показано на рис. 3.19. Из таблицы нас интересуют только три параметра. В строке 16 стоит показатель R-квадрат, а в строках 28 и 29 первые цифры представляют собой соответственно коэффициенты у и /3 .

3.6. САРМ и модель Шарпа

Чтобы лучше понять САРМ и модель Шарпа, проведем между ними сравнение. САРМ и модель Шарпа предполагают наличие эффективного рынка. В САРМ устанавливается зависимость между риском и доходностью актива. Независимыми переменными выступают бета (для SML) или стандартное отклонение (для CML), зависимой - доходность актива.

В модели Шарпа доходность актива зависит от рыночного индекса (или доходности рынка в модификации Трейнора). Независимая переменная - это рыночный индекс (доходность рынка), зависимая - доходность актива.

SML, CML и линия характеристики в модели Шарпа пересекают ось ординат в разных точках. Для SML и CML - это ставка без риска, для графика Шарпа - значение у. Между значением у в модели Шарпа и ставкой без риска можно установить следующую взаимосвязь. Запишем уравнение SML и раскроем скобки:

Е(гі ) = r_f + Д [E(r_m)~ r_f]=r_f + Д Е(г_т )- Д r_f

или

E{r,) = r_f{\- Р,Е{г_т)

Поскольку слагаемое P_tE{r_m) является общим для SML и модели Шарпа, то:

Г, =т>(1-А) (3.26)

Из уравнения (3.26) следует, что для актива с бетой равной единице у будет приблизительно равна нулю. Для актива с р < 1 у > 0, а для актива с р > 1 у < 0. Если представить актив, для которого одновременно у > 0 и р > 1, это будет означает, что он практически всегда покажет результаты лучше, чем результаты рынка. Графически такая ситуация представлена на рис. 3.20. Как следует из рисунка, доходность актива А практически всегда превышает доходность рыночного индекса. Только для очень плохой конъюнктуры результаты рынка окажутся лучше бумаги А. На рис. 3.20 эта ситуация показана левее точки Е, в которой пересекаются линии характеристики бумаги и индекса. Тот факт, что актив А практически всегда показывает результаты лучше рынка, вызовет на него повышенный спрос со стороны инвесторов, и вследствие изменения его цены установится отмеченная выше закономерность.

либо рыночный индекс, и бета говорит о ковариации доходности актива с доходностью рыночного индекса. Поэтому теоретически р в САРМ не равна р в модели Шарпа. Однако на практике невозможно сформировать действительно рыночный портфель и таким портфелем в САРМ также выступает некоторый рыночный индекс с широкой базой. Если в САРМ и модели Шарпа используется один и тот же рыночный индекс, то 13 для них будет величиной одинаковой.

3.7. Модель Шарпа как мера эффективности портфеля

Выше было отмечено, что модель Шарпа позволяет разделить риск актива на рыночный и нерыночный. Аналогично формуле (3.24) выделяются рыночный и нерыночный компоненты риска для портфеля:

(3.27)

Данный факт можно использовать, чтобы оценить степень диверсификации портфеля. Эффективный, т.е. широко диверсифицированный портфель, обладает только рыночным риском. Поэтому для него уравнение (3.27) принимает вид:

Отсюда коэффициент бета равен:

Р_Р =

честве показателя степени эффективности портфеля. Если бета портфеля равна отношению его среднеквадратичного отклонения к среднеквадратичному отклонению рынка, то портфель является эффективным. Если же

— >Р_Р, (3.29)

портфель не эффективен, т.е. содержит специфический риск. Неравенство (3.29) можно пояснить следующим образом. Эффективный портфель с риском <г_эф

располагается на CML. Менее диверсифицированный портфель Р с таким же уровнем ожидаемой доходности должен располагаться правее эффективного, так как он содержит специфический риск. Поэтому его риск а больше чем

а_эф. Отсюда следует, что для не полностью диверсифицированного портфеля должно наблюдаться неравенство (3.29). Чем менее диверсифицирован ПОрТ-

СГ^

фель, тем больше разница между- и f}_p портфеля.

3.8. Определение набора эффективных портфелей

Рассматривая вопрос об эффективной границе, мы привели метод Марков-ца определения набора эффективных портфелей. Неудобство его состоит в том, что для вычисления риска широко диверсифицированного портфеля необходимо сделать большое число расчетов. Модель Шарпа позволяет сократить число единиц требуемой информации. Это достигается благодаря следующим преобразованиям. Ковариация і -го и j -го активов на основе уравнения Шарпа равна:

^С°?у = Д Д^т + °V , (3-30)

где сг. - ковариация нерыночных рисков г -го и у -го активов. Если І - j, ТО <7у = СТ*

Если іф j, то <jy = 0

Для определения риска портфеля подставим формулу (3.30) в формулу, предложенную Г.Марковцем:

*1 =ЕІ>А^со?.у +*»)=

i=\ j=1 п п

;=1 М

(3.31)

М 7=1

і=1

При расчете эффективной границы для п активов с учетом модели Шарпа необходимо рассчитать п параметров у,, п параметров Д, п дисперсий сг], а

также ожидаемое значение индекса (или его доходности) и дисперсию индекса (или его доходности). Таким образом, всего потребуется Зи + 2 исходных дан-

піп + З)

ных. Напомним, по методу Марковца требовалось —-— данных.

Формулу (3.31) можно получить и на основе простого преобразования модели Шарпа для портфеля. Представим риск портфеля как сумму рыночного и нерыночного рисков:

<г²р=РУ_т+°І_р, (3.32)

Поскольку бета портфеля определяется как средневзвешенная величина бет

п

входящих в него активов: Р_р = УДД ; а специфический риск как средневзве-

/=і

*^то ф°р-

/=і

либо из ведущих компаний, как правило, сказывается и на курсах значительного числа других компаний, и тем более тех из них, которые имеют производственные связи с данным предприятием. Поэтому происходит некоторая недооценка риска.

3.9. Прогнозирование величины бета

Выше мы привели формулу (3.3) определения беты на основе исторических данных. Однако возникает вопрос, насколько историческая бета дает правильное представление о ее значении в будущем периоде. Данную проблему исследовал М.Блюм." На основе месячных данных он определил значения коэффициентов бета обыкновенных акций, обращавшихся на Нью-Йоркской фондовой бирже с июля 1926 г. по июнь 1968 г. Весь период был разбит на шесть равных подпериодов. Были сформированы портфели, состоявшие из 1,2, 4, 7, 10, 20, 35 и 50 акций. Портфели составлялись и ранжировались по величине коэффициентов бета, начиная с более низких значений и далее в порядке их возрастания. После этого М.Блюм сравнил уровень корреляции коэффициентов бета портфелей для каждых двух следующих друг за другом периодов. Оказалось, что коэффициент корреляции для портфелей, состоявших из отдельных акций, для разных периодов был в пределах от 0,59 до 0,65. Для портфелей из 50 бумаг он находился в диапазоне 0,98-0,99. Можно также отметить, что уже для портфелей из 10 бумаг он изменялся от 0,89 до 0,95. Полученные данные говорят о том, что исторические беты для отдельных бумаг являются не точным прогнозом их значений для будущего периода. В то же время, историческая бета диверсифицированного портфеля дает хорошее представление о ее будущем значении. Уже для портфеля из 50 акций корреляция коэффициентов для соседних периодов мало отличается от единицы. Такой результат можно объяснить тем, что у диверсифицированных портфелей сглаживаются как возможные ошибки измерения, так и последующие изменения коэффициентов бета отдельных бумаг, поскольку для одних бумаг они будут увеличиваться, а для других уменьшаться, погашая таким образом друг друга.

М.Блюм также предложил метод корректировки значения беты для следующего временного периода. Он состоит в следующем. Для всех акций на основе фактических данных рассчитываются коэффициенты бета для двух последовательных периодов времени: первого и второго. Второй период времени завершается настоящим моментом. После этого рассчитываются коэффициенты уравнения регрессии значений коэффициентов бета акций второго периода на первый. На основе полученных данных записывается уравнение регрессии:

Рп=У + <РР_п, (3.34)

где Д, - значение беты і -й бумаги в первом периоде;

Д₂ - значение беты і -й бумаги во втором периоде;

у, <р - коэффициенты уравнения регрессии.

Для получения прогноза значения беты / -й бумаги в следующем периоде необходимо в уравнение (3.34) подставить фактическое значение беты данной бумаги за предыдущий период. Например, для периодов времени июль 1961 г. -июнь 1968 г. и июль 1954 г. - июнь 1961 г. Блюм получил следующее уравнение регрессии:¹³

Д₂ = 0,399+ 0,546Д,

С помощью данного уравнения можно оценить значение беты і -й бумаги для периода июль 1968 г. - июнь 1975 г. Пусть фактическая бета акции компании А за период 7/1961- 6/1968 годы равна 0,8. Тогда оценка беты для следующего семилетнего периода составит:

Р_А1 = 0,399 + 0,546 • 0,8 = 0,8358

Проверка предложенного подхода на фактических результатах показала, что он дает более точную оценку будущего значения беты по сравнению с использованием для прогноза исторической беты.

¹³ Ibid, р.8.

3.10. Многофакторные модели

3.10.1. Принципы построения многофакторной модели

Существуют финансовые инструменты, которые по-разному реагируют на изменение макроэкономических показателей. Например, доходность акций компаний, выпускающих автомобили, более чувствительна к общему состоянию экономики, а акций ссудосберегательных учреждений - к уровню процентных ставок. Поэтому в ряде случаев более точным может оказаться прогноз доходности актива на основе многофакторной модели, включающей несколько переменных, от которых зависит доходность данного актива. Выше мы представили модель Шарпа, которая является однофакторной. Ее можно превратить в многофакторную, если слагаемое Дг_т представить в качестве нескольких

слагаемых, каждое из которых является одной из макроэкономических переменных, определяющих доходность актива. Например, если инвестор полагает, что доходность акции зависит от двух составляющих - общего объема выпуска продукции и процентных ставок, то зависимость между ее доходностью и данными индексами примет вид:

^гі = Уі + PiJ 1 + Pnh + ^?і > (3.35)

где ^.-доходность i-й акции;

у. - ожидаемая доходность і -й акции при отсутствия влияния на нее рыночных факторов;

/, - индекс выпуска продукции;

/₂ - индекс процентных ставок;

Д„Д₂ - коэффициенты, которые говорят о влиянии соответственно индексов /, и /₂ на доходность акции;

е_і - случайная ошибка; она показывает, что доходность бумаги может изменяться в некоторых пределах в связи со случайными обстоятельствами, т. е. независимо от принятых индексов.

Для определения ожидаемой доходности акции модель (3.35) следует использовать в форме:

Мг,)=Г, + Д, Е(Ф Р„Е(і_гІ (3.36)

где E(r_t) - ожидаемая доходность і -й акции;

Е(і_х ), Е(і₂) - ожидаемые значения первого и второго индексов.

В модели, представленной формулой (3.35), между индексами /, и /₂ может наблюдаться некоторая корреляция. Данный факт не является помехой для использования ее в форме (3.36) при определении ожидаемой доходности акции. Однако может возникнуть необходимость получить модель (3.35) для случая не коррелируемости индексов. Это позволит, в частности, использовать более простой подход для нахождения эффективной границы портфелей, сократив число вычислений. Рассмотрим прием исключения коррелированности индексов в двухфакторной модели (3.35).

На основе прошлых данных статистики построим регрессию индекса /₂ на /,:

/₂ = + @2\І\ + ^?і_г > (3.37)

где а,₂ - ожидаемое значение индекса /₂ при отсутствии влияния на него индекса /,;

Д_2| - коэффициент, который говорит о влиянии индекса /, на /₂;

?¦, - случайная ошибка.

Выделим в уравнении (3.37) величину независимую от /,. Она представлена случайной переменной (а,₂ +?,₂)- Поэтому, если ее определить как второй индекс в уравнении (3.35), то он будет не коррелирован с индексом /,. Обозначим новый второй индекс как /₂. Он равен:

/₂ = + ?_і2 — /₂ — Д₂і^і (3.38)

Из равенства (3.38) следует, что ожидаемое значение индекса /₂ равно а, . Если

необходимо задать новый индекс с нулевым ожидаемым значением, то равенство (3.38) следует уменьшить на величину а, :

¹2 ^{= ?}і₂^{= 1}2~ Рі\І\ ~ ^аі_г

или

/₂ = /₂ — Р₂\і\ ~ ^аі₂ ’ (3.39)

где /₂° - индекс /₂ с нулевым ожидаемым значением.

Дальнейшее построение модели проведем для последнего случая, т.е. на основе равенства (3.39).

Выразим из равенства (3.39) /₂:

/₂ -І₂ + Р₂\І\ ^+аі₂

Подставим его значение в (3.35):

^Гі = Уі + fin¹1 + fill if 2 + filfi1 ^+<Я/₂)+ ^?i

или

^ri ⁼Yi ⁺ fiifi\ ⁺ fin¹2 Pi2 fi21¹1 + Рі2^аі_г^{+ ?}i ’

ИЛИ

^ri ~ІУі ⁺ fii2^ai. ) + (fin ⁺ РпРг\ )f ⁺ fin¹2 ^{+ ?}i (3.40)

В равенстве (3.40) обозначим (у, + р_па,) как а_і, (Д, +Д₂Д₂₁) как Ь_п и Д₂ как Ъ_а, и для единообразия модели /₂° как /₂. Тогда уравнение (3.40) примет вид:

Г, =а, + ?, ^+ьп^І2 ^+?і

(3.41)

В модели (3.41) индекс /, - это прежний индекс выпуска продукции, индекс /₂ представляет собой индекс разности между фактическими процентными ставками и ожидаемыми процентными ставками при данном ожидаемом значении индекса выпуска продукции /,^|5. Соответственно коэффициент Ъ_і2

показывает степень реакции доходности акции к данному индексу. Его также можно определить как степень чувствительности доходности акции к изменению процентных ставок при фиксированном значении индекса выпуска продукции.

Уравнение (3.41) позволяет упростить процесс определения ковариаций активов. Поскольку индексы не коррелированы между собой, не коррелированы значения e_t и е ¦ как между собой, так и с индексами, то ковариация і -го и у -

го активов равна:

со?.. = со?(а,. + Vi + b_i2I₂ + e_t; a_j + b_jXI_x + b_j2I₂ +e₂)=

= cov(z>„/,; b_JXI_x)+ со y(b_i2I₂; b_j2I₂) =

= ^bnbji соv(/,; /,) + b_nb_J2 coy(/₂; I₂)

ИЛИ

со?, = b_iXb_]Xa\ +b_i2b_j2crl

Соответственно риск актива как сумма независимых случайных величин составляет:

о-,² = var(a,. + b_nI_x + b_i2I₂ +?,) = Z)²cr² + b]₂a\ + a\ ,

где a*, aj₂ - дисперсии значений первого и второго индексов; а] - дисперсия нерыночного риска актива.

3.10.2. Модель Фамы и Френча

В качестве примера многофакторной модели приведем модель, которую в 1993 г. предложили Е.Фама и К.Френч. Модель является трехфакторной. Ее можно представить в следующем виде:

^Гі ~ Уі Аі (^Гт ~ ^rf) Pi2^rSMB ⁺ Аз^ГНЖ ^{+ ?}і ¦>

где r_t - доходность і -го актива; r_f - ставка без риска; г_т - доходность рыночного портфеля;

^rsm ~ разность между доходностями средневзвешенных портфелей акций малой и большой капитализаций;

^rHML ~ разность между доходностями средневзвешенных портфелей акций с большим и малым отношением балансовой стоимости к рыночной стоимости;

Аі, Аг> Аз ^_ коэффициенты, которые говорят о влиянии соответственно параметров г_т, г_шв и r_HML на доходность і -го актива;

- ожидаемая доходность актива при отсутствия влияния на него указанных выше трех факторов риска;

?¦, - ошибка.

Для использования модели в прогнозировании будущей доходности актива возьмем математическое ожидание от ее правой и левой частей:

^Е(^Гі) = Гі + Аі [^Е {^Гт ) - ¦^rf ] + Рп^Е (^rSMB ) ¦+ Ря^Е i^rHML ) .

где величины ?’(•) означают ожидаемые доходности соответствующих показателей.

Модель Фамы и Френча говорит о том, что для оценки ожидаемой доходности актива не достаточно учитывать только доходность рыночного портфеля, а следует также учесть факторы r_SMB и г_нж.

3.11. Арбитражная модель Росса

В 1976 г. С.Росс предложил модель оценки доходности активов, которая получила название “Арбитражная теория оценки стоимости” (Arbitrage pricing theory - APT). В рамках модели все инвесторы имеют одинаковые ожидания относительно ожидаемой доходности активов и вероятностных распределений значений факторов риска, отсутствуют ограничения на короткие продажи. Как отмечают Р.Ролл и С.Росс, в качестве первого принципа модели выступает линейный процесс формирования доходности активов. В отличие от САРМ, в APT не делается акцент на какой-либо особый портфель, не учитывается положение об эффективности рыночного портфеля, не делаются особые предположения о функции полезности инвестора, а лишь предполагается ее монотонность и выпуклость. Модель не ограничивается одним временным периодом.

Свои рассуждения С.Росс начинает с предположения о том, что инвесторы считают: доходности активов определяются линейной моделью с к факторами риска:

<³-⁴²)

7=1

где г, - доходность і - го актива;

Е(г_:) - ожидаемая доходность актива в условиях, когда значения всех факторов риска равны нулю;

I - j -й фактор риска, от которого зависит доходность активов, со средним значением равным нулю;

Р - коэффициент чувствительности і -го актива к j -му фактору риска;

s_t - нерыночный риск і -го актива; среднее значение ?, равно нулю, также

равны нулю корреляции нерыночных рисков активов между собой, нерыночных рисков активов и факторов риска. Равны нулю корреляции между факторами риска.

Коэффициент чувствительности /? определяется как и в модели САРМ по формуле:

ковариация доходности і -го актива и j -ого фактора риска;

а] - дисперсия j -ого фактора риска.

В модели предполагается, что количество активов на рынке намного больше количества факторов к, влияющих на доходность активов.

Модель получила название арбитражной, так как она накладывает арбитражные ограничения на доходности активов. Это означает, что в случае нарушения равновесия на рынке, т.е. возникновения нелинейных соотношений между риском и доходностью активов, можно заработать арбитражную прибыль. В свою очередь действия арбитражеров восстановят равновесие. Арбитражная прибыль получается в результате формирования арбитражного портфеля.

С.Росс рассматривает инвестора, который владеет некоторым портфелем и анализирует варианты создания различных арбитражных портфелей на его основе. Арбитражный портфель характеризуется тем, что его формирование не связано с дополнительными издержками, так как покупка одних активов финансируется за счет средств от продажи других активов в портфеле. Таким образом, в арбитражном портфеле сумма всех уд. весов активов равна нулю:

2>,=0, (3.43)

/=і

где Д0, - изменение уд. веса і -го актива в первоначальном портфеле, содержащим п активов: это также уд. вес актива в арбитражном портфеле.

На основе уравнения (3.42) дополнительный доход, который инвестор получит от арбитражного портфеля, равен:

^Лг/>⁼Е^ЛЗ^г/⁼Е^Л^^?(^г*)⁺

/=і

і=і

V /=і

(3.44)

V ;=1 ) м

В уравнении (3.44) последнее слагаемое представляет собой специфический риск. Для широко диверсифицированного портфеля его значение практически равно нулю, поэтому им можно пренебречь.

По определению арбитражный портфель не должен быть восприимчив ни к одному фактору риска. Следовательно, удельные веса активов в портфеле можно подобрать для каждого фактора /. таким образом, чтобы исключить и рыночный риск. Поэтому портфель характеризуется условием:

2>0Д=О (3.45)

;=і

В результате, доходность, которую получит инвестор от формирования арбитражного портфеля при нарушении равновесия на рынке, определяется только первым слагаемым в уравнении (3.44) и составляет:

^Агг ='Е^А?<^Е(г_І) (3.46)

1=1

В условиях равновесия доходность арбитражного портфеля должна быть равна нулю, т.е.:

(3.47)

і=і

Условия (3.47), (3.45) и (3.43) определяют следующий вид зависимости ожидаемой доходности актива от факторов риска:

Е{гі) = Л₀ + \р_п + Л₂ Д ₂ +... + X_kP_ik , (3.48)

где Л₀, 2,,...2* - некоторые константы.

Чтобы увидеть данную зависимость, умножим уравнение (3.48) для каждого актива на значение его уд. веса А?_І в арбитражном портфеле и просуммируем полученные значения для всех активов. Для наглядности проделаем это для портфеля из трех активов при существовании двух факторов риска и, соответственно, двух коэффициентов чувствительности к факторам риска. Для каждого актива получаем результат:

А?\Е{г\) = А?\Л₀ + А?₁+ АЛ₂/3^₂ ?

А?₂Е(г₂^ ⁼ A6?2^o ^^2^2022 9

А0₃Е(г₃) = А?₃Л₀ + А?₃\Р_3{ + А?₃Л₂/3₃₂ ;

Суммируем:

А?₁Е{г₁)+ А?₂Е(г₂) + А?₃Е(г₃) = А?_{Л₀ + А?_хЛ₁Д₁ +

+ А ?_ХЛ₂/3_Х2 + А?₂А₀ + /Sk6₂X_xP_lx + А ?₂ Л₂ Р22. “*~

+ А#₃Д₀ + А^₃Я|У^₃₁ + А0₃Д₂/?₃₂

или

(3.49)

2д^)=4і⁴^]^+л.[і^д^_І]⁺4і^4й«А

1=1 V /=1 У V 1=1 У V 1=1 У

Если выполнены условия (3.43) и (3.45), то слагаемые в правой части (3.49) равны нулю, и, следовательно, выполняются зависимости (3.47) и (3.48). Зависимость (3.48) является центральным выводом модели APT.

Зависимость (3.48) можно получить и на основе стандартных рассуждений, не допускающих арбитражных ситуаций на рынке. Между риском и доходностью активов должна выдерживаться определенная закономерность. Поскольку нерыночный риск устраняется за счет диверсификации, то зависимость будет отражать только рыночный риск. Если зависимость между риском и доходностью активов не линейна, открывается возможность получить арбитражную прибыль. Проведем рассуждения для случая, когда доходности активов зависят только от одного фактора риска. Допустим, между доходностями активов и их рыночным риском, представленным коэффициентом бета, не выдерживается линейная зависимость. Пусть фактическая ситуация представлена на рис. 3.21, т.е. бумаги располагаются на некоторой кривой. Ожидаемые доходности портфелей и их риски, измеренные коэффициентом бета, являются средневзвешенными величинами. Поэтому инвестор может образовать два портфеля. Он осуществит короткую продажу бумаги С и купит бумагу В таким образом, чтобы доходность первого портфеля составила величину Е(г_х). Он также осуществит короткую продажу бумаги D и купит бумагу А таким образом, чтобы доходность второго портфеля составила величину Е(г₂). После этого инвестор продаст менее доходный второй портфель и купит более доходный первый портфель. Арбитражная прибыль составит разницу между Е(г;) и Е(г₂). Для корректности рассуждений необходимо учесть еще один момент. Если каждый портфель построен только из двух бумаг, то он характеризуется высоким нерыночным риском. Поэтому в рассмотренной ситуации следует формировать широко диверсифицированные портфели. Это можно сделать следующим образом.

Е(г)

Е(г,)

Е(г₂)го актива должна быть представлена следующим уравнением:

E{r_t) = Л₀ + А, Дч ,

где Л₀ - доходность актива при отсутствии влияния на него рыночного фактора;

Я, - угловой коэффициент наклона графика зависимости ожидаемой доходности от рыночного риска.

уд. вес актива в портфеле.

Умножим правую и левую части равенства (3.51) для каждого актива на его уд. вес актива в портфеле:

?.ЕІг) = <9_;r_f +0ДД

Просуммируем все равенства:

?₁Е(г,)+?₂Е(г₂)+... + ?„Е{г_п ) =

= 0_xr_f +<9,/1₁Д + <?_/ +?₂Л_ЛР₂ +..?_nr_f +?_п\{З_п

или

это премия за риск для фактора риска / .

С учетом равенства (3.53) формула (3.50) принимает вид:

ожидаемая доходность фактора риска / .

С помощью формулы (3.54) можно определить ожидаемую доходность актива.

Пример.

Инвестор определяет ожидаемую доходность актива с помощью APT, в которую он включил два фактора. Ставка без риска равна 10%. Ожидаемая доходность первого фактора риска составляет 14%, второго фактора риска - 12%. Коэффициенты чувствительности к факторам риска актива 1,2 и 1,4, Тогда ожидаемая доходность актива равна:

?(г,) = 10+1,2(14 -10)+1,4(12 -10) = 17,6%

Как было отмечено выше, если на рынке активы не получают оценки адекватной факторам риска, то можно заработать арбитражную прибыль, сформировав арбитражный портфель. Для этого необходимо найти удельные веса активов в портфеле. Их можно определить на основе условий (3.43) и (3.45), которые должны выполняться одновременно:

І*4А,=о

П

П количество факторов риска, учитываемых в модели.

Определив удельные веса, их следует подставить в уравнение (3.46). Если получен положительный результат, то найденный портфель является арбитражным.

Пример.

Портфель инвестора состоит из трех активов, которые восприимчивы к двум факторам риска. Ожидаемая доходность первого фактора риска 15%, второго - 12%, ставка без риска - 10%. Коэффициенты чувствительности к факторам риска для первого актива равны соответственно 2 и 1,5, второго актива -1,25 и 0,6, третьего актива - 1,5 и 0,9. Ожидаемая доходность первого актива равна 18%, второго - 16%, третьего - 12%. Определить, можно ли получить арбитражную прибыль.

Решение.

Найдем уд. веса каждого актива в арбитражном портфеле, решив следующую систему уравнений:

(3.56)

+ Д$2 Щ — 0 < 2А#, +1,25Д0₂ + 1,5Д0₃ =0 1,5Д0, +О,6Д0₂ + О,9Д0₃ -0

Определитель матрицы линейных уравнений (3.56) равен нулю:

1

2

1,5

1

1,5

0,9

1,25

0,6

Поскольку матрица является однородной, то равенство ее определителя нулю говорит о том, что данная система имеет бесконечно много решений. Ранг матрицы равен 2, а порядок 3. Для решения такой системы выбирают количество независимых переменных, которое равно разности между порядком матрицы и ее рангом. Остальные переменные являются зависимыми и находятся на основе произвольно задаваемых значений независимых переменных. В нашем примере независимой переменной выступает соответственно только одна переменная. Пусть это будет значение А?_{. Зададим его равным 0,2. Тогда получим одно из возможных решений системы (3.56): А?_] =0,2; А?₂= 0,4; Д0₃=-О,6 Определим ожидаемую доходность арбитражного портфеля:

0,2 • 18% + 0,4 • 16% - 0,6 • 12% = 2,8%

Поскольку получен положительный результат, то данный портфель является арбитражным.

Допустим, что общая стоимость портфеля инвестора составляет 10 млн. руб., в том числе первого актива - 1 млн. руб., второго - 2 млн. руб., третьего -7 млн. руб. Для формирования арбитражного портфеля инвестору необходимо купить дополнительно первого актива на сумму:

10 млн.руб. ¦ 0,2 = Імлн.руб.,

второго актива на сумму:

10 млн. руб. ¦ 0,4 = А млн. руб.

и продать третий актив (об этом говорит знак минус) для финансирования данной стратегии на сумму:

10 млн. руб. • (- 0,б) = -6 млн. руб.

Доходность первоначального портфеля инвестора составляла:

0,1 • 18% + 0,2-16% + 0,7-12% = 13,4%

Доходность нового портфеля равна:

0,3 • 18% + 0,6-16% + 0,1-12% = 16,2%,

т.е. на 2,8% больше, как и было определено выше.

Таким образом, если инвестор полагает, что нерыночный риск портфеля будет незначительным, то он может повысить ожидаемую доходность портфеля за счет определения арбитражных возможностей. В результате возникшего дополнительного спроса на первый и второй активы их цены должны вырасти и, следовательно, ожидаемые доходности упасть. Напротив, цена третьего актива снизится вследствие увеличения его предложения на рынке, и его ожидаемая доходность возрастет.

Инвесторы будут стремиться воспользоваться арбитражными возможностями, поэтому вскоре цены и доходности финансовых активов установятся на равновесном уровне. Например, ожидаемая доходность первого актива согласно APT составит:

10 + 2(і 5 — 10)+1,5(і 2 — 10) = 23%

В заключение решения данной задачи вернемся еще раз к системе уравнений (3.56). Она являлась квадратной, так как количество уравнений соответствовало количеству неизвестных. Арбитражная модель предполагает формирование широко диверсифицированного портфеля. Поэтому количество неизвестных, т.е. уд. весов бумаг в арбитражном портфеле, будет превышать количество уравнений, которое, согласно системе (3.55), определяется количеством факторов риска плюс еще одно уравнение. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Поэтому алгоритм ее решения такой же как и системы (3.56), т.е. определяется количество независимых переменных. Им задаются произвольные значения, и на их основе вычисляются значения зависимых переменных. Поскольку независимым переменным можно задавать любые веса, то, как было отмечено, возможно бесчисленное множество решений. Какое из них предпочесть. Так как задача состоит в максимизации ожидаемой доходности портфеля,

то, согласно формальному подходу, следовало бы выбрать наибольшие положительные веса для активов с более высокой ожидаемой доходностью и наибольшие отрицательные веса для активов с наименьшей ожидаемой доходностью, чтобы за их счет приобрести первые активы. Например, если бы в нашей задаче инвестор полностью продал менее доходный третий актив, т.е. задал его

уд. вес равным минус один, то первый актив следовало бы купить в уд. весе 0,33, а второй 0,67. Тогда ожидаемая доходность арбитражного портфеля составила бы 4,67%. Является ли такое решение оптимальным. Разумеется нет. По условиям модели портфель должен быть максимально диверсифицирован, чтобы исключить специфический риск. Если мы уменьшаем степень диверсификации, то увеличиваем нерыночные риски. В последнем случае мы исключили третью бумагу и добавили первую и вторую. В результате возросли связанные с ними диверсифицируемые риски. Поэтому при корректировке состава первоначального портфеля существуют ограниченные возможности варьирования уд. весами активов, чтобы портфель не стал обладать существенным специфическим риском.

Определенным недостатком модели является то, что в ней не выделены конкретные риски, которые необходимо учитывать. Р.Ролл и С.Росс провели проверку модели на основе ежедневных данных для акций, обращавшихся на Нью-Йоркской и Американской фондовых биржах за период с июля 1962 по декабрь 1972 года. Акции были объединены в алфавитном порядке в группы из 30 штук. Всего было образовано 42 группы. Они определили, что большая часть совместного изменения доходностей акций определяется четырьмя или пятью факторами риска.

В другом исследовании Н.Чен, Р.Ролл и С.Росс предположили, что на доходности бумаг должны влиять факторы, от которых зависят будущие доходы компаний, и факторы, определяющие ставку дисконтирования данных доходов. На этой основе они выделили четыре фактора: темп прироста ВНП, темп инфляции, спрэд между доходностями кратко- и долгосрочных облигаций США, спрэд между доходностями корпоративных облигаций с низким и высоким рейтингом.

Росс утверждает, что APT и САРМ- это разные по своему принципу модели. Однако можно сказать, что САРМ представляет собой частный случай APT. Это можно показать следующим образом. Если предположить, что доходности бумаг зависят только от одного фактора - рыночного портфеля, то уравнение (3.50) примет вид:

?((•) = г,+ІД (3.57)

Умножим правую и левую части уравнения (3.57) для каждой бумаги на ее уд. вес в рыночном портфеле и суммируем уравнения для всех бумаг. Получим: +

II ИЛИ * = E(r_m)-r_f (3.58) Подставим значение Л из уравнения (3.58) в (3.57): Е{г.) = Г/+р.[Е{г_т)-Г/] (3.59) Уравнение (3.59) есть не что иное как уравнение SML модели САРМ. С точки зрения теоретического подхода APT дает ключ к объяснению аномалий, которые были обнаружены на рынке в связи с проверкой САРМ, т.е. при оценке стоимости активов следует учитывать не просто доходность рынка, как предлагается САРМ, а ряд факторов.

APT дает инструментарий для определения арбитражных возможностей при формировании портфеля. Однако САРМ также обладает арбитражным потенциалом, который представлен величиной альфа. Если альфа активов в рамках модели САРМ не равна нулю, то существует потенциальная возможность заработать арбитражную прибыль.

Практическая значимость APT возникает в случае формирования портфеля, ориентированного на какие-либо определенные факторы риска, поскольку модель позволяет лучше учесть их в прогнозах и действиях инвестора. Например, в преддверии изменения некоторого макроэкономического фактора можно в большей степени сделать акцент на операции с активами, которые характеризуются более высоким коэффициентом чувствительности к этому фактору риска. В целом, однако, можно сказать, что APT не получила широкого распространения на практике.

Краткие выводы

Модель САРМ устанавливает зависимость между риском актива и его ожидаемой доходностью. Линия рынка капитала (CML) показывает зависимость между риском широко диверсифицированного портфеля, измеряемым стандартным отклонением, и его ожидаемой доходностью. Линия рынка актива (SML) говорит о зависимости между риском актива, измеряемым величиной бета, и его ожидаемой доходностью.

Весь риск актива можно разделить на рыночный и нерыночный. Рыночный риск измеряется величиной бета. Она показывает зависимость между доходностью актива и доходностью рынка. Специфический риск можно полностью устранить за счет диверсификации портфеля. В 60-70-е годы 20-го века для исключения нерыночного риска достаточно было сформировать портфель из 20 акций, в современных условиях для получения такого же результата необходимо составить портфель из 50 акций.

Альфа - это показатель, который говорит о величине неверной оценки доходности актива рынком по сравнению с равновесным уровнем его доходности. Положительное значение альфы свидетельствует о его недооценке, отрицательное - переоценке.

В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка.

Коэффициент детерминации позволяет рассчитать долю риска, определяемого рыночными факторами.

Исторические беты для отдельных бумаг являются не точным прогнозом их значений для будущего периода. Историческая бета диверсифицированного портфеля дает хорошее представление о ее будущем значении. Уже для портфеля из 50 акций корреляция коэффициентов для соседних периодов времени мало отличается от единицы.

Многофакторные модели устанавливают зависимость между ожидаемой доходностью актива и несколькими переменными, которые оказывают на нее влияние.

Н.Чен, Р.Ролл и С.Росс выделили четыре фактора, которые должны влиять на доходности бумаг: темп прироста ВНП, темп инфляции, спрэд между доходностями кратко- и долгосрочных облигаций США, спрэд между доходностями корпоративных облигаций с низким и высоким рейтингом.

Можно утверждать, что САРМ представляет собой частный случай APT.

Приложение 1.

Вывод уравнения SML

Уравнение SML можно вывести на основе максимизации функции полезности инвесторов в условии равновесия на финансовом рынке при данном бюджетном ограничении. Условие равновесия означает, что спрос на ценные бумаги равен их предложению по существующим ценам с учетом риска бумаг, и инвесторы могут занимать и размещать средства под ставку без риска. Сумма всех занимаемых и предоставляемых в кредит средств равна нулю, поскольку в условиях равновесия количество капиталов, которые хотят занять инвесторы и предоставить в кредит, одинаково.

В рамках САРМ функция полезности к -го инвестора зависит от ожидаемой доходности и риска его портфеля, т.е. ее можно записать как:

v_i=u_t(r_ft, <). (п.з.і)

где U_к - функция полезности к -го инвестора;

г _к - ожидаемая доходность портфеля к -го инвестора;

<г²рк - риск портфеля к -го инвестора.

Бюджетное ограничение сводится к использованию им всех собственных и доступных средств с учетом заимствования и кредитования.

Стандартным методом решения оптимизационной задачи на максимизацию является метод множителей Лагранжа. Искусственно создается и максимизируется функция Лагранжа вида:

L_t=U_t+\B_k, (П.3.2)

где L_k - функция Лагранжа к -го инвестора;

В_к - бюджетное ограничение к -го инвестора;

Л_к - множитель Лагранжа к -го инвестора.

На рынке действует п инвесторов, обращается т рискованных ценных бумаг и безрисковый долг, обозначим его как /. Общая капитализация рынка равна Р_т, стоимость портфеля к -го инвестора - Р_к, стоимость і -й бумаги в портфеле к -го инвестора - Р._к, стоимость безрискового долга к -го инвестора в

форме заимствования или кредитования - Pjk-

Обозначим уд. вес і -й бумаги к -го инвестора в общей капитализации рынка через ?_ік, уд. вес безрискового долга к -го инвестора в форме заимствования

или кредитования в общей капитализации рынка через ?_д и уд. вес портфеля

к -го инвестора в общей капитализации рынка через g_k. Тогда:

Рік ~@ікР_т > Pjk ~ QjkPm >

Рк ~ ёкРщ

Отсюда уд. веса / -й бумаги и безрискового долга в портфеле к -го инвестора равны:

Pjk _ @ik Pm _ ®ik Рк ёк^Рт Sk

Pjk _ ®jkP_m _ ®jk

Рк ёк^Рт ёк

Ожидаемая доходность портфеля к -го инвестора составляет:

(П.3.3)

- XT' @ik — .

^rpk=L ^ri⁺—^rf ыёк ёк

где r_i - ожидаемая доходность і -й бумаги;

r_f - ставка без риска;

Риск портфеля к -го инвестора равен:

т т П f)

TL--

/=1 j=1 ёк ёк

2

рк

(П.3.4)

СОУу

где со?_у - ковариация доходностей і -й и j -й бумаг.

Бюджетное ограничение инвестора состоит в использовании им всех доступных средств с учетом заимствования и кредитования, т.е. сумма всех уд. весов активов в портфеле должна быть равна единице:

т П А

У —+ —= 1 (П.3.5)

і=1 ёк ёк

Составим функцию Лагранжа:

w.fc. «*)+

\ *=1 ok ok

Найдем частные производные уравнения (П.3.6) по ?_ік:

л

dL_k_dU_k дг,

д?_:,

_Pk ₊ dU_k да

дг_рк д?_ік да²рк ?_ік

* + А,— = 0

Sk

(П.3.6)

(П.3.7)

дг, да.

На основании равенств (П.3.3) и (П.3.4) найдем производные и

до,, до,.

дг_рк 1 _

—— = —Г

д?.

ік

Sk

(П.3.8)

да

рк

д?_;,

Г1Y^m

= 2 — ^jkCOWy, для і = ²¹.

\SkJ j=i

(П.3.9)

Подставим значения производных из (П.3.8) и (П.3.9) в (П.3.7):

dU dU, 1 _ dU,

-к+-

т 1

^₄^со?+4 —=° VSkJ м Sk

д?,_к дг_рк g_k ' да_рк

для і = 1

Найдем частные производные уравнения (П.3.6) по ?^ :

(П.3.10)

ди ди, дг_рк ди, да

?_я

дг_рк д?_А да²рк ?_А

^ + /L —_{= 0}

Sk

(П.3.11)

²¹ Производную (П.3.9) удобно найти, представив равенство (П.3.4) следующим образом: 2 ?_ік @ jk ^ ?_ік ? _к ^ х^\ ?_ік ? j_k

^со?і/ ⁼ Х —^со?п⁺ХХ ^со?і/ ⁼

Ы\ j=\g_k gk Т=1g_k g_k li^gk gk

i*j

\gk J

Отсюда:

I^^cov„+ —

\gk J <=1 7=1 i*j

'^Л2

д?.,

\gk J

1 ⁿ²

Sk

?_ік cov,, + 2

U cov„ + ^(9_yt cov..

— I^cov,=

\gk J 7=1

7=1

j*i

(\ V ^w

7=1

dr к да².

На основании равенств (П.3.3) и (П.3.4) найдем производные —;— и

д?

Jk

д?

Jk

^дгРк 1 —— = —Г

д?, g_k

(П.3.12)

(П.3.13)

да².

д?

—^ = 0

Jk

Подставим производные из (П.3.12) и (П.3.13) в (П.3.11):

dL_k ди_к 1 д?, дг_рк g_k⁴

(П.3.14)

⁷ fk ^wr pk & к Sк

Вычтем из уравнения (П.3.10) уравнение (П.3.14):

dU, 1 _ dU,

•²|—

\SkJ Н

Г; +-

S^r„t g, ' За

рк

₃¹ QU к ¹ - 1 _л

g_k дг_рк g_k

+ Л_к------г, -Л_к — = 0

g_k

или

оу

K.gk J

1 ди к (- \ —-zr(^r-^rfh

dU_k

^5

?*дСо?, =0

j=1

•2

(П.3.15)

g_k ^дг,

рк

для |' = 1,...,/и.

Уравнение (П.3.15) должно выдерживаться в условиях равновесия для всех бумаг и всех инвесторов, поскольку оно определено на основе максимизации их функции полезности.

Уравнение (П.3.15) можно записать как:

dU_t

'dr.

gk

рк

(П.3.16)

= -i

²( yJ?'

dU„

jk

'^d(Tlkj

ДЛЯ / = 1,...,ОТ .

Равенство (П.3.16) выполняется для каждой бумаги, поэтому для каждой пары бумаг і и с справедливо соотношение:

й бумаги в капитализации рынка. Обозначим

п

его через a_j, т.е. ^?,_к = C0j. После суммирования получим:

*=і

(^-^r/]Z^^C0Vc7

(^rc~^rf\ Z^^C0V„

(б)

Поскольку для каждой бумаги выражения (^-лу) и -лу) являются константами, то вынесем

их за знаки суммы:

(^г/ ~^Г/)І?^?Л ^С0?<7 = fc-^Г/)Ц^?А ^С0?„

(в)

*=1 j=1

*=1 j=1

п m

Покажем результат суммирования выражения ^С0?с/ в левой части равенства (в). Для пра-

к-\ j=1

вой части он будет аналогичен. Для простоты примера предположим, что имеется только две бумаги - 1 и 2 и три инвестора - q, s и z. Обозначим бумагу с как 1.

3 2

^С0?С7 =3* ^С0?Н ^{+ (9}ІЛ ^со?м + ^ со?_и + 6»₂₉ со?_п+?_ъ СО?_]2+?_ъ со?₁₂ =

к=1 У=1

СО?_и(б»,₉ +?_и + 6>J + COV_|2(<9_2? +6*2, +6»J=cov_ll&>_l +cov_l2«₂ =?йТ, со?_1у =Х^со?_ч

7=1 7=1

r,-r_{f =}^rc~^rf

(П.3.18)

т т

2>./ ^со?</ Z^/^covcy

7=1 7=1

Умножим числитель и знаменатель правой части формулы (П.3.18) на <у_с:

kc-^rf)

r_cCO_c-r_fCO_c

(О,

^rc~^rf

(П.3.19)

z

7=1

Z^COV, (oj^COj СОУ_?

(O_c(Oj cov.

7=1 7=1

Просуммируем правую часть равенства (П.3.19) по всем бумагам:

^т /

Zd

^rf(O_c

Г_сСО_с - г/СОс

с=1

_ с=1

с=1

(П.3.20)

ZZ ^со? • ZZ

с=1 У=1 С=1 У=1

69 69 СО?

с j CJ

Значение дроби

ш ш

Zw~Z

с=1

с=1

(П.3.21)

ZZ

с=1 У=1

69 69 СО?

С J CJ

.23

после суммирования осталось таким же как и дроби

r,-r_f

(П.3.22)

2>/^со?і/

№

Поэтому приравняем их друг к другу:

^ri~^rf .7=1

с=1

(П.3.23)

cov„

₄0)j со?

7=1

c=l y=l

гп

В выражении (П.3.23) ^J_rco_r = r_m , т.е. равно ожидаемой доходности ры-

С=1

гп гп

ночного портфеля, а величина У/у<а>, =ту 2* =ту, поскольку сумма всех уд.

с=1

С=1

/ m Л

V с=\ J

весов ценных бумаг в экономике

равна единице. Величина

гп гп

'У^Л^У со_гсо_i cov_cj есть не что как дисперсия рыночного портфеля <г²т. Поэтому:

с=1 7=1

гп гп

J

Г,(О_с

, ^rm~^rf

с=1_ _ ^т 7

с=1

(П.3.24)

^СО?С7

с=1 7=1

Подставим правую часть формулы (П.3.24) в формулу (П.3.23):

_П-_Г/

(П.3.25)

ГП

2>,

со?,

7=1

В формуле (П.3.25) со?, есть не что иное как ковариация доходности і -й

7=1

бумаги с доходностью рынка²⁴, т.е. со?_і/и. Подставим это значение в равенство (П.3.25):

²⁴ Покажем, что выражение ^со?у представляет собой ковариацию і -й бумаги с рынком. Пусть в

У=і

экономике имеется только три бумаги. Будем считать, что і-я бумага имеет номер 1. Тогда:

3

^COj СО?_і7 = со_х со?,, + со₂ со?₁₂ + со_ъ со?₁₃ = су, со?(г, ,rJ + co₂ со?(г,, г₂) + со_ъ со?(г,, г_ъ) =

J=1

со?(у] , щг_х) + СО ^Г_х(0₂Г₂ )+со?(г,, 0)_ЪГ_Ъ ) = со?(г,, (О_хГ_х + (0₂г₂ + fi)₃r₃ ) = со ?(г,, г_т) где ^-доходность рыночного портфеля.

со?

ітy~ ~ ^это коэффициент бета і -й бумаги. Соответственно форму-

СГ

т

ла (П.3.26) принимает вид:

r,=r_t+P^-r_f) (П.3.27)

Равенство (П.3.27) является уравнением SML модели САРМ.

Приложение 2.

Зависимость между бетами и ожидаемыми доходностями активов для случая, когда беты определяются относительно любого портфеля на эффективной границе Марковца

В модели САРМ зависимость между бетами активов и их ожидаемыми доходностями является линейной. Беты определяются относительно рыночного портфеля. Рыночный портфель располагается на эффективной границе Марковца. Докажем в настоящем приложении общий случай, который говорит о том, что линейная зависимость между бетами активов и их ожидаемыми доходностями является линейной, если все беты рассчитаны относительно любого портфеля на эффективной границе Марковца.

На рис. П.3.1 представлена граница Марковца для случая коротких продаж. На эффективной границе АВ выбран некоторый портфель Р. К нему проведена касательная, которая пересекает ось ординат графика в точке г₂. На рисунке также представлена некоторая бумага к. Поскольку портфель Р расположен на границе Марковца, то данная бумага входит в него в некотором положительном или отрицательном уд. весе. Поэтому кривая кР, которая показывает комбинации бумаги к с портфелем Р, является касательной к эффективной границе Марковца в точке Р. Задача состоит в том, чтобы определить зависимость между портфелем Р и бумагой к. Бумага к уже входит в портфель Р, поэтому, чтобы отделить ее для целей нашего доказательства от портфеля Р, будем считать, что бумага к представляет собой долю средств сверх той суммы, на которую она уже входит в портфель Р. Теперь рассмотрим новый портфель С. Он является сочетанием портфеля Р и бумаги к (в нашем новом определении) и располагается на дуге kF. В точке Р уд. вес бумаги к в портфеле С равен нулю, на дуге от точки к до точки Р он положителен, на дуге от точки Р до точки Р’ отрицателен. Ожидаемая доходность и риск портфеля С соответственно равны:

г_е=?_кг_к+?_рг_р- (П.3.28)

<^с = ^?1°\ + ^eWl + ^2?к^?Р^со% (П.3.29)

г_с \?_к (а_к)]. Возьмем производную

ожидаемой доходности портфеля С по а_с с учетом сказанной зависимости:

дг дг д?.

(П.3.30)

^д°с

дг_с

д?„

д?_к да_с

дсг„

. Из формулы ожидаемой доходно

Найдем значения производных

сти портфеля (П.3.28) с учетом того, что ? =\-?_к, получаем:

дг_с д(?_кг_к +г_р-?_кг_р) _ _

= ^гк~^гр

д?,

д?_к

производную в представленной форме, необходимо из уравнения (П.3.29) выразить параметр ?_к. В результате получим квадратное уравнение

да„

найдем на основе уравнение (П.3.29). Чтобы определить

Производную

(П.3.31)

^?1°1 + ^2?к^?Р cov^ + [в²ра²р -а²) = О

с решениями:

~ ²#_Р cov^±

(П.3.32)

?_к =

2 al

да_г

на основе уравнения (П.3.32) не очень удобно. В то же

Брать производную

д?„

из уравнения (П.3.29). Можно ли на ос

время легко наити производную

м

да„

д?„

. Можно, если восполь

нове производной

определить производную

зоваться теоремой о производной обратной функции. Данная теорема говорит о том, что между производной функции f(x) и производной обратной ей функции g(y) справедливо равенство:

^f'^{x)=7U)’

при условии что g⁷(x)^ 0 и между функциями f(x) и g(y) существует взаимно однозначное соответствие.

Функцией обратной (П.3.31) является функция (П.3.29). Однако выражение (П.3.32) показывает не однозначное соответствие между ними. Чтобы воспользоваться теоремой об обратной функции, сузим область значений функции (П.3.31) в окрестности точки Р для получения на ней однозначного соответствия между

д?_к

Зет

функциями (П.3.29) и (П.3.31). Для данной области производная —— равна:

д?і

да с да_с/д?_к

да.

Найдем производную —?- из (П.3.29), учитывая, что ?_р=\-?_к:

д?.

да_с _ д[в²а²к + (і-?_к)а²р+ 2?_к(і-?_к)со?_кр\ д?„

д(?²а²к +а²р-2?_ка²р+ ?²ка\ + 2?_к со?_кр-2?² со?_кр

д?„

или

Зет

_ял =-^-{Що^лк-2сг¹р+'2В_ко^:1р+2со\jp-^covj (П.3.33)

оо_к 2а_с

Производная (П.3.33) показывает, как изменится риск портфеля С при изменении уд. веса актива к. В точке Р уд. вес актива к в портфеле С равен нулю. Поэтому производная (П.3.33) в этой точке равна:

дОс

д?_ь

=4-

(П.3.34)

<г_р+<х>?ы

В точке Р риск портфеля С равен риску портфеля Р, т.е. а_с =ст_р. Заменив в формуле (П.3.34) а_с на а_р и разделив на а_р, получим:

^д°с

д?_к

со?

кр

(П.3.35)

Бета актива к относительно портфеля Р составляет:

со?

кр

А=-

(П.3.36)

Выразим из (П.3.36) ковариацию актива к относительно портфеля Р и подставим ее значение в (П.3.35):

да„

д?>

Отсюда:

д?>

(П.3.37)

да с да_с/д?_к -а_р{\-р_к) Подставим найденные значения производных в (П.3.30):

дг дг д?.

^rk~^rP

да_с д?_кда_с -а А Р_к)

или

дг_с _ г_р-г_к

^д°с сг_рЬ-Рк)

(П.3.38)

Производная (П.3.38) определена в точке Р, и поэтому показывает угловой коэффициент наклона касательной, проведенной к эффективной границе в этой точке, т.е. угловой коэффициент наклона прямой г₂Р. В свою очередь из графика на рис. П.3.1 угловой коэффициент наклона данной прямой также равен:

г —г

Р 2

(П.3.39)

Приравнивая (П.3.38) и (П.3.39), получим:

Р * __ _р_2_

°р^-Рк) °р

или

^F*=^Fp-(¹-AX^Fp-^rJ ’

ИЛИ

Г_к =r_z+P_k{f_p-r_z) (П.3.40)

Уравнение (П.3.40) показывает, что между ожидаемой доходностью актива А: и ее коэффициентом бета, рассчитанным относительно эффективного портфеля Р, существует линейная зависимость. Поскольку бумага к и портфель Р были выбраны произвольно, то линейная зависимость характеризует все активы и их беты, определенные относительно эффективных портфелей.



Содержание раздела

---