Объединение крайностей Два урока Санкт-Петербургского парадокса
Формулы сокращения риска в основе портфельной теории полагаются на ряд требований и, в конечном счете, необоснованные допущения. Вначале они предполагают, что изменения цен статистически независимы друг от друга... Второе предположение - изменения цен распределяются по модели, которая соответствует стандартной кривой колокола. Финансовые данные точно соответствуют таким предположениям? Конечно, никогда.
Benoit B. Mandelbrot Мультифрактальная прогулка по Уолл Стрит
Сам факт, что петербургская Проблема не получила уникального и вообще приемлемого решения более, чем за 200 лет попыток крупнейшими умами мира, предполагает, что проблема роста акций не оставляет никаких надежд на удовлетворительное решение.
Дэвид Дюран Рост акций и петербургский парадокс
Вызов Бернулли
Компетентные инвесторы гордятся своей способностью размещать капитал соответственно финансовым требованиям. Эта способность - ядро инвестирования: Рынок - лишь средство для превращения денег в товар и наоборот.
Хорошо. Вот вам ситуация для оценки. Скажем, некто подбрасывает справедливую монету.
Если упадет орлом, Вы получаете 2$ и игра заканчивается. Если она упадет решкой, он бросает снова. Если второй бросок даст орла, Вы получаете 4$; если решку, игра продолжается. Для каждого следующего круга приз за орла удваивается (то есть, 2$, 4$, 8$, 16$ и т.д.) и Вы переходите на следующий круг, пока Вы не выпадет орел. Сколько Вы заплатили бы за право поиграть в эту игру?
Дэниел Бернулли, член семьи выдающихся математиков, вначале представил эту проблему Императорской Академии Наук в 1738 году. Игра Бернулли, известная, как санкт-петербургский парадокс, бросает вызов классической теории, которая говорит, что игрок должен платить за участие ожидаемую ценность игры. Ожидаемая ценность этой игры бесконечна. Каждый круг имеет вознаграждение 1 $ (вероятность 1/2
n и вознаграждение $2
n, или 1/2 x $2, 1/4 x $4, 1/8 x $8 и т.д.) Следовательно,
Ожидаемая ценность = 1 + 1 + 1 + 1 . . . = бесконечность
Естественно, очень немногие захотели бы заплатить даже 20 $, чтобы поиграть в эту игру. Бернулли попробовал объяснить парадокс крайней утилитарностью денег. Он спорил, что количество денег, которым Вы захотите заплатить - функция ваших ресурсов - чем больше ваши ресурсы, тем больше Вы можете платить. Однако, объяснение Бернулли не вполне удовлетворительно. Санкт-петербургский парадокс уже два с половиной столетия заставляет размышлять философов, математиков и экономистов.
Оставим в стороне философские беседы, санкт-петербургский Парадокс освещает две очень конкретные идеи для инвесторов. Первая - распределение отдачи рынка акций не соответствует модели, принятой в стандартной теории финансов. Это отклонение от теории важно для управления рисками, рыночной эффективности и индивидуального выбора акций.
Вторая идея касается оценки роста акций. Сколько Вы сегодня заплатите за бизнес с низкой вероятностью необыкновенно высокой отдачи? Это самый насущный вопрос в мире с сильными движениями ценностей и растущей отдачей.
Какова норма?
Распределения цены актива имеют большое практическое значение для портфельных менеджеров. Стандартная теория финансов предполагает, что изменения цен актива следуют нормальному распределению - известная кривая колокола. Это предположение верно большую часть времени, что позволяет аналитикам использовать очень робастную статистику вероятности. Например, согласно нормальному распределению Вы можете выделить среднюю популяцию и охарактеризовать вероятность соответствия этому среднему числу.
Однако, многое в природе, включая рынок акций, не соответствует норме. Многие естественные системы имеют две определяющие характеристики: большое число меньших частей и подобные друг другу части в разных масштабах. Например, дерево имеет большой ствол и множество меньших ответвлений, а маленькие ветви подобны большим. Эти системы фрактальны. В отличие от нормального распределения, никакая средняя величина не охарактеризует фрактальную систему. Рисунок 1 визуально сравнивает нормальные и фрактальные системы и показывает функции вероятности, которые представляют данные. Фрактальные системы подчиняются своим законам.
Рисунок 1. Функции Плотности Вероятности для Нормальных и Фрактальных Систем
Использование статистики нормальных распределений для характеристики фрактальной системы, подобной финансовым рынкам, потенциально очень опасно. Все же, теоретики и практики проделывают это каждый день. Различие между этими двумя системами сводятся к вероятностям и прибылям. Классический пример - крах 1987 года. Вероятность (согласно нормальному распределению) более, чем 20%-ного падения рынка была бесконечно малой, близкой к нулю. А убытки, тем не менее, составили более 2 триллионов долларов.
Сравнение нормальной игры с подбрасыванием монеты и санкт-петербургской игры иллюстрирует это. Предположим, Вы подбрасываете монету, получая 2$, если она падает орлом и ничего на получая, если решкой. Ожидаемая ценность игры 1 $, количество, которое Вы захотели бы заплатить, чтобы поиграть в эту игру в справедливом казино. Мы смоделировали 1 миллион раундов по 100 бросков каждый и отдачу показываем на рисунке 2. Как и ожидалось, мы получили четкое нормальное распределение.
Рисунок 2. Стандартная игра с подбрасыванием монеты
Затем мы смоделировали миллион раз санкт-петербургскую игру, и подготовили ее распределение (см. рисунок 3). В то время как основной процесс стохастический, результат -закон силы. Например, в половине случаев игра выплачивает 2$, а в трех четвертях случаев -4 $ или меньше. Однако, при 30 броске выигрыш составит 1.1 миллиард долларов, но это вероятно лишь 1 из 1.1 миллиарда. Большое количество мелких событий и несколько очень крупных событий характеризуют фрактальную систему. Далее, средний выигрыш в санкт-петербургской игре непостоянен, так что никакое среднее точно не описывает долгосрочный результат игры.
Рисунок 3. Фрактальная игра с подбрасыванием монеты
Фрактальна ли отдача на рынке? Бенуа Мандельброт показывает, что, удлиняя или укорачивая горизонтальную ось цен - эффективно ускоряя или замедляя время - цены действительно фрактальны. Мало того, что редкие сильные изменения перемежаются большим количеством меньших изменений цены, но цены похоже выглядят в различных масштабах времени (например, дневные, недельные и месячные графики). Мандельброт называет финансовый ряд времени мультифрактальным, добавляя приставку "мульти", чтобы охватить регулировку по времени.
В важной и увлекательной книге "Причины Краха Рынков Акций", геофизик Дидье Сорнетт (Didier Sornette) доказывает, что распределения рынка акции включают две различных популяции, тело (которое Вы можете моделировать с помощью стандартной теории) и хвост (который основан совсем на другом механизме). Анализ Сорнеттом рыночных спадов убедительно отвергает предположение, что цены акций являются независимыми, ключевой столп классической теории финансов. Его работа дает новое и полное выявление недостатков теории финансов.
Санкт-Петербургский парадокс и инвестирование в акции
Санкт-петербургский парадокс, кроме того, позволяет взглянуть на оценку акций. Сколько Вы готовы заплатить за очень маленькую вероятность того, что компания сможет существенно и навсегда увеличить свой денежный оборот?
Дэвид Дюран (David Durand) в 1957 году осветил этот вопрос в своей классической статье "Рост акций и петербургский парадокс". Он всячески предостерегает от неосторожного обращения с нормальным распределением. Но необходимость оценить низкую вероятность существенного роста ценности сегодня гораздо актуальнее, чем 45 лет назад, когда Дюран проводил исследования.
Посмотрите, например, что из почти 2,000 технологических IPO с 1980, только 5 % выросли на 100 % и выше. И, даже в пределах этой маленькой группы, лишь горстка дала львиную долю огромных доходов. Учитывая, что победители лучше всего характеризуют многие растущие рынки, у нас мало причин ждать более нормальное распределение в будущем.
Кроме того, данные показывают, что распределение экономической отдачи на инвестиции сегодня в целом по Америке шире, чем в прошлом. Это ухудшает ожидания охотников за богатствами, учитывая отдачи больше обычного, больше, чем когда-либо прежде. Как и в санкт-петербургской игре, большинство доходов в будущем, вероятно, будут скромными, но некоторые будут просто огромны. Какова ожидаемая ценность? Сколько Вы хотите заплатить за игру?
Объединение крайностей
Санкт-петербургскому парадоксу уже столетия, но сегодня его уроки актуальны, как никогда. Одна из основных задах в инвестировании - как поймать (или избежать) значимое событие с низкой вероятностью. К сожалению, стандартная теория финансов немного скажет нам о предмете.
Содержание раздела
