Часть 7. Выбор альтернатив.

Основные формулы теории вероятностей

Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из нескольких несовместных событий A₁, A₂,... A_n, равна сумме их вероятностей:

P(A₁ или А₂ или...или An) = P(A₁)+ P(A₂)+...+ P(A_n)

События называются несовместными (взаимоисключающими), если ни какие два из них не происходят одновременно.

Если два независимых события A₁ и A₂ могут произойти одновременно (совместны), то вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них

P(A1 или A2) = P(A1)+ P(A2) - P(A1)* P(A2)

Если нескольких несовместных событий A1, A2,... An, в совокупности исчерпывают все возможные исходы (образуют полную группу событий)

P(A1)+ P(A2)+...+ P(An)=1

Если несколько событий A1, A2,... An независимы (т.е. вероятность каждого из них Ai не зависит от того, произошло ли другое событие Aj или нет), то вероятность того, что все они произойдут одновременно равна произведению их вероятностей

P(A1 и A2 и...и An) = P(A1)* P(A2)*...* P(An)

Если два события A и С не являются независимыми (т.е. вероятность одного из них зависит от того произошло ли другое или нет), то вероятность того , что они произойдут одновременно равна

P(A и С) = P(Q* P(A/C)=P(A)*P(C/A)

P(А) и P(Q - безусловные вероятности событий А и С (независимо оттого произошло ли другое событие), P(А/С) вероятность события А при условии, что случилось событие С, P(C/A) вероятность события С при условии, что случилось событие А

Если событие А может произойти в результате нескольких событий С1, С2, ... Ст, то полная вероятность события А (если случилось хотя бы одно из событий Сі) равна

P(A)=P(^)*P(A/C1)+ p^p^^H.^ P(Qm)*P(A/Cm)

(Формула полной вероятности)

Если событие-следствие А произошло, то вероятности событий - условий С должны быть переоценены:

P(Ci/A) =

P(Ci)*P(A/Ci)

P(C_t)* P(A/Cj) + P(C 2) * P(A/C2) + ... + P(Cm)* P(A/Cm )

(Формула Байеса)

Теоретические замечания.

Процесс принятия любого управленческого решения - это всегда выбор из нескольких рассматриваемых альтернатив:

Инвестировать деньги в данный проект или нет?

Продать убыточное отделение компании или инвестировать в его реорганизацию?

Покупать акции компании А или компании В или продавать и те и

другие?

Вложить деньги в новое оборудование, чтобы снизить издержки по производству данного продукта, в дополнительную рекламу продукта или в информационную систему, эффективно обрабатывающую клиентскую базу данных, и позволяющую перейти к прямому маркетингу продукта?

Количество подобных вопросов, на которые управленец должен давать ответы каждый день, можно умножать беспредельно. Их разнообразие бесконечно.

Очень часто привлекательность той или иной альтернативы (по сравнению с другими рассматриваемыми альтернативами), зависит от того, каким образом будут развиваться события, от того, какой из предполагаемых «сценариев будущего» реализуется. Поскольку человеку не дано достоверно предвидеть будущее, процесс выбора из нескольких альтернатив в таких условиях называют принятием решения в условиях неопределенности и риска. В случае если лицо, принимающее решение, не имеет никакого представления о вероятностях реализации того или иного сценария будущего, говорят о принятии решения в условиях полной неопределенности. Если, наоборот, лицо, принимающее решение, имеет те или иные объективные оценки вероятностей различных сценариев будущего, говорят о принятии решения в условиях риска.

Таблица выигрышей и потерь.

Первое, что нужно сделать для систематизации процесса выбора из нескольких альтернатив, это оценить выигрыши и потери, к которым приведет выбор каждой альтернативы, при условии реализации каждого из рассматриваемых сценариев будущего. Все выигрыши и потери нужно свести в таблицу (или матрицу) выигрышей и потерь. В этой таблице столько строк, сколько рассматривается альтернатив, и столько столбцов, сколько сценариев будущего, определяющих результат каждой альтернативы, принимается во внимание.

Рассмотрим в качестве примера некоторую компанию «Энергия палеолита»- ЭП, которая занимается тем, что покупает земли в потенциально нефтеносных районах, некоторое время ждет, а затем принимает решение: бурить скважину или продать землю. В настоящий момент компания имеет участок земли в нефтеносном районе. Проведенный экономический и геофизический анализ показывает, что при бурении скважины на максимальную глубину, доступную компании при имеющемся оборудовании, в данном районе составят 700 тысяч у.е. Если при этом нефть не будет найдена, эти издержки составят прямые потери компании (пессимистический сценарий). В случае обнаружения нефти, геофизический анализ позволяет оценить типичный объем нефти, который можно извлечь из данной скважины (консервативный сценарий) и максимальный для данных условий объем (оптимистический сценарий). Экономический прогноз будущих цен на нефть на период эксплуатации скважины и переменных эксплуатационных издержек, позволяет оценить свободные финансовые потоки от каждого года за все время эксплуатации скважины. Дисконтируя эти потоки с коэффициентом дисконта равным средневзвешенной стоимости капитала компании (WACC - см, например, Р.Брейли и С.Майерс «Принципы корпоративных финансов») и суммируя их с первоначальной инвестицией на бурение скважины, можно получить чистую приведенную стоимость проекта бурения и эксплуатации скважины при среднем и при максимально возможном запасе нефти (т.е. при консервативном и оптимистическом сценарии). Полученные таким образом оценки выигрышей при консервативном и оптимистическом сценариях приведены в следующей таблице. Там же показана рыночная цена, которую можно получить, если продать этот участок, разумеется, до того, как пробурена скважина. Будем считать, что остаточная цена земли после безрезультатного бурения равна нулю (или что она учтена в сумме постоянных издержек бурения).

Таблица выигрышей и потерь компании «Энергия палеолита» Сценарии будущего Альтернативы Нефти нет Средний запас Мощный фонтан Бурить -700 +500 +2000 Продать +150 +150 +150

Рис. 233

Экономический и геофизический анализ, который привел компанию ЭП к цифрам, приведенным в данной таблице, сродни бизнес плану для любого нового проекта или предприятия. Любой бизнес план включает стратегический и маркетинговый анализ, проект организационной структуры, план управления операциями и человеческими ресурсами, и, наконец, финансовый анализ проекта, дающий его чистую приведенную стоимость (ЧПС) и показывающий инвестиционную привлекательность проекта. Поскольку все цифры, используемые в финансовом анализе, носят прогнозный характер, т.е. соответствуют предполагаемым объемам продаж, ценам и издержкам, число, выражающее чистую приведенную стоимость проекта имеет мало смысла, если не проведен анализ чувствительности результата к изменению прогнозных параметров. Если изменение всех прогнозных параметров проекта в пределах, которые кажутся менеджеру разумными, оставляет ЧПС проекта положительной, проект должен быть принят. В большинстве случаев, прогнозные параметры не являются независимыми. Поэтому разумно рассматривать их взаимосвязанное изменение как «сценарий будущего». Обычно рассматривают пессимистический, консервативный и оптимистический сценарий, что и соответствует трем сценариям в проблеме компании «Энергия палеолита». Хорошо, если во всех трех сценариях ЧПС положительна. В случае «Энергии палеолита» это не так. Нередко и в других представляющих интерес проектах, для пессимистического сценария существует риск потерь.

Итак, серьезный экономический анализ проведен. Получены три цифры выигрышей и потерь, а также цифра выигрыша, в случае отказа от бурения. С этого места и должен начаться наш анализ. Что же все-таки делать: бурить или продать?

Принятие решений в условиях полной неопределенности

Если у нас нет никакой информации о вероятностях рассматриваемых сценариев будущего, т.е. мы совершенно не представляем себе, каковы шансы найти нефть на нашем участке, наука может предложить очень не много. То, что она предлагает, высокопарно называют «критериями принятия решений». Эти критерии помогают систематизировать выбор из нескольких альтернатив, в зависимости от нашего отношения к риску.

Рассмотрим первым критерий «Максимина», соответствующий логике выбора крайнего пессимиста, который считает, что какую бы альтернативу он ни выбрал, с ним все равно случится самое худшее. Самое худшее - это минимальный выигрыш (в случае если этот минимальный выигрыш выражается отрицательным числом, это фактически максимальный проигрыш). Поэтому выбирать следует ту альтернативу, где этот минимальный выигрыш -максимален. Из видно, что в случае «Энергии палеолита», наихудший возможный сценарий при выборе альтернативы «Бурить» - это отсутствие нефти. При этом наш выигрыш составляет «- 700 тыс.». Если мы выберем альтернативу «Продать», то независимо от сценария будущего, наш выигрыш составит «150 тыс». Поскольку при выборе альтернативы «Продать» минимальный выигрыш больше, чем при выборе альтернативы «Бурить», согласно критерию максимина, нужно выбрать именно альтернативу «Продать». Логика вполне понятная с житейской точки зрения. Однако, в случае «Энергии палеолита» такая логика попросту закрывает бизнес компании. Согласно критерию максимина, мы всегда будем выбирать альтернативу «Продать», поскольку бурение неизбежно связано с некоторым риском не найти нефть и потерять деньги. Более того, систематическое применение критерия максимина закроет любой бизнес. Очевидно, что любое бизнес решение содержит в себе риск потерь. Чтобы ничего никогда не терять, придется отказаться от любой деятельности (и собственности).

Второй, часто цитируемый критерий, называется критерием «Минимаксных сожалений» (в русскоязычной литературе его чаще называют критерием «Минимаксного риска», что представляется авторам менее точным, чем буквально переведенное английское название - «Minimax regret»). Его тоже можно представить как выбор пессимиста, считающего, что какую бы альтернативу он ни выбрал, с ним случится самое худшее. Но теперь этот пессимист - бизнесмен. А бизнесмен не любит не только прямых потерь, но и упущенной выгоды. Поэтому «самое худшее» для такого пессимиста - это большие упущенные возможности, в которых на равных основаниях учитываются как прямые потери, так и не полученная прибыль. Для расчета упущенных возможностей при выборе каждой альтернативы, если реализуется любой сценарий будущего, нужно переделать таблицу выигрышей и потерь следующим образом (и ).

Таблица выиг рышей и потерь компании «Энергия палеолита» Сценарии будущего Альтернативы Нефти нет Средний запас Мощный фонтан Бурить -700 +500 +2000 Продать +150 +150 +150 Максимум 150 500 2000

Рис. 234

Таблица упущенных возможностей компании «Энергия палеолита» Сценарии будущего Альтернативы Нефти нет Средний запас Мощный фонтан Бурить 850 0 0 Продать 0 +350 +1850

Рис. 235

Во-первых, допишем строку «Максимум» таблицы выигрышей и потерь, в которую поместим максимальный выигрыш для данного сценария будущего, реализующийся, если выбрана «правильная» альтернатива. Во-вторых в клетках новой таблицы упущенных возможностей запишем разницу между этим максимальным для данного сценария выигрышем и реальным выигрышем, который будет получен, если выбрана каждая из рассматриваемых альтернатив.

Если нефти нет, то «правильная» альтернатива - «Продать», и соответствующие ей упущенные возможности равны 0 (достигнут наилучший результат, ничего не потеряно). Аналогично 0 упущенных возможностей соответствует сценариям «Средний запас» и «Мощный фонтан», если выбрана альтернатива «Бурить». Наоборот, если нефти нет, а выбрана альтернатива «Бурить», упущенные возможности эта разность между возможным выигрышем 150 и реально полученным отрицательным «выигрышем», равным минус 700 тыс., т.е. +850 тыс. Если же нефть есть, то при «Среднем запасе» упущенные возможности равны +350 тыс., а при «Мощном фонтане» они равны +1850 тыс.

Видно, что наихудший результат (максимум упущенных возможностей) при альтернативе «Бурить» (850 тыс., если нефти нет) меньше, чем при альтернативе «Бурить» (1850 тыс., при наихудшем для этой альтернативы сценарии - «Мощный фонтан»). Следовательно, согласно критерию минимаксных сожалений, выбрать нужно альтернативу «Бурить». Очевидно, что критерий минимаксных сожалений не всегда будет давать результат, противоположный критерию максимина, и не всегда будет рекомендовать одну и ту же альтернативу (как критерий максимина). Если бы выигрыш от альтернативы «Продать» при сценарии «Мощный фонтан» был бы не 2000, а 900, то критерий минимаксных сожалений, так же как и критерий максимина рекомендовал бы выбрать альтернативу «Продать».

На первый взгляд кажется, что критерий минимаксных сожалений, более гибкий, чем критерий максимина, и более приемлемый для бизнес решений. Однако нетрудно видеть, что в случае «Энергии палеолита» он совпадает с третьим известным критерием «Максимакса» (он и в других случаях будет весьма часто совпадать с этим критерием). Этот критерий рекомендует выбирать ту альтернативу, где максимальный выигрыш (выигрыш для оптимистического сценария) максимален. Например, если владелец бизнеса, с помощью консультантов оценивший его стоимость, узнает, что сегодня в местном казино будет разыгрываться сумма, превышающая стоимость его бизнеса, он, согласно критерию максимакса, должен поставить бизнес на карту. Вряд ли подобные «рекомендации» кто-нибудь может воспринимать серьезно.

Таким образом, систематическое применение критериев «минимаксных сожалений» и «максимакса», несомненно, приведет к потере бизнеса, так же как и систематическое применение критерия «максимина». В случае «максимина» - из-за нежелания брать на себя хоть какой-нибудь риск потерь, а в случае «минимаксных сожалений» или «максимакса» из-за оголтелого стремления к максимальному выигрышу, невзирая на соответствующие ему шансы. Неутешительный вывод. Неутешительный - для критериев принятия решений в условиях полной неопределенности. Понимать смысл и соотношение этих критериев полезно, но, с практической точки зрения, ситуации «полной неопределенности» лучше избегать. Для рационального принятия решений, необходимо хотя бы грубо оценить вероятности (шансы) различных сценариев будущего. Если это сделано, то проблему принятия решений классифицируют как выбор альтернатив «в условиях риска».

Принятие решений в условиях риска.

Описывая деятельность компании «Энергия палеолита» в начале настоящего раздела, мы заметили, что после покупки земли в нефтеносном районе и перед принятием решения о бурении, менеджмент компании некоторое время ждет. Чего собственно здесь можно ждать? Очевидно, ждать можно результатов бурения более смелых и более богатых соседей, набрать статистику, характеризующую степень нефтеносности района, и оценить вероятности обнаружения нефти на своем участке (который априори ничем от соседских не отличается).

Пусть к моменту принятия решения 100 соседей пробурили скважины, и

— в 50 случаях нефть не была найдена

— в 30 случаях обнаружены запасы, близкие к средним ожидаемым

— в 20 случаях забил мощный фонтан

Исходя из этих данных, можно получить естественные оценки вероятности рассматриваемых сценариев будущего, которые отражены в новом варианте таблицы выигрышей и потерь компании «Энергия палеолита»

А В с в в F G H J 1 Сценарии будущего 2 Нефти нет Средний запас Мощный фонтан ЕМ? 3 Альтернативы 4 Бурить -700 500 2000 200 =СУММПР0ИЗВ(В4:04:$В$7:$0$7) 5 Продать 150 150 150 150 =CyMMnPOH3B(B5:D5:$B$7:SD$7) 6 Максимум 150 500 2000 625 =CyMMnPOH3B(B6:D6:$B$7:$D$7) 7 Вероятности 0,5 0,3 0,2 I 1 8 Е?РІ= 425 =F6-MAKC(F4:F5) 9

Рис. 236 Расчет ожидаемой монетарной ценности альтернатив и стоимости совершенной информации

В случае, когда вероятности сценариев будущего определены, наиболее употребительным критерием выбора из нескольких альтернатив является критерий «Ожидаемой монетарной ценности» - EMV (по-английски Expected Monetary Value). Для каждой /'-ой альтернативы следует рассчитать величину суммы произведений выигрышей при различных сценариях будущего Oij на величины вероятностей этих сценариев pj:

ЕМУ,- =Х О, ¦ р, , (1)

J

после чего выбрать ту альтернативу, для которой EMV максимальна. Из табл. 3 видно, что для случае компании ЭП максимальное EMV достигается для альтернативы «Бурить»: EMVi=200 (в то время как для альтернативы «Продать» EMV2=150).

Смысл величины EMV проявляется очень наглядно, если представить себе, что компания ЭП имеет в данном нефтеносном районе не один, а 100 одинаковых участков, и решение о бурении или продаже принимается для всех 100 участков одновременно. Тогда, если решено «Бурить», примерно на 50 участках компания ЭП потеряет по 700 тыс. Суммарный «выигрыш» составит -35000 тыс. На 30 участках компания ЭП выиграет 30x500 тыс. = 15000 тыс., а примерно с 20 участков, где забьет мощный фонтан, компания ЭП получит 20x2000 тыс. = 40000 тыс. Просуммировав эти три числа, получим, что суммарный выигрыш на всех 100 участках будет примерно +20000 тыс. Т.е. с одного участка компания ЭП получит примерно 200 тыс. Таким образом, EMV -это ожидаемый выигрыш, который получила бы компания ЭП с одного участка, если бы решение о бурении было принято для множества одинаковых участков. Читатели, знакомые с теорией вероятностей, конечно, узнали в этой величине математическое ожидание. В данном случае речь идет о математическом ожидании случайной величины выигрыша, который получает компания при выборе данной альтернативы и случайной реализации данного сценария будущего.

Совершенно очевидно, что если компания ЭП действительно владеет множеством одинаковых участков в одном и том же нефтеносном районе, то выбор альтернативы «Бурить» принесет больший выигрыш, чем выбор альтернативы «Продать» (для всех участков). Однако если компания ЭП владеет лишь одним участком, то почему и в этом случае, при рациональном выборе из имеющихся двух альтернатив («Бурить» или «Продать») компания должна выбрать альтернативу с большей ожидаемой монетарной ценностью - EMV? Отвлекаясь, от конкретной проблемы компании ЭП, следует отметить, что ответ на поставленный вопрос определяется характером принимаемого компанией решения.

Если речь идет о судьбоносном решении, если вы понимаете, что подобный выбор никогда больше не представится вам в будущем, то выбор альтернативы будет определяться лишь вашим субъективным отношением к величине вероятностей различных исходов, а также к величинам выигрышей и потерь. В случае компании ЭП, если потери в 700 тыс. кажутся вам невосполнимыми, а вероятность исхода, приводящего к потерям - 50% пугающе большой, вы, несомненно, выберете альтернативу «Продать» (в соответствие с критерием максимина). Если, напротив, выигрыш в 2000 тыс. кажется непреодолимо привлекательным, его шансы - 20% весьма значительными, а потери в 700 тыс. (в случае неблагоприятного исхода) не слишком пугают, вы выберете альтернативу «Бурить» (в соответствие с критерием максимакса, или критерием минимаксных сожалений).

Если же принимаемое решение носит рутинный характер, если подобные решения вам приходится принимать многократно, если они составляют существо вашего бизнеса, то EMV, ожидаемая монетарная ценность альтернативы, будет правильным ориентиром в принятии решения. Компания «Энергия палеолита» в данный момент владеет единственным участком и принимает серьезное инвестиционное решение. Но это решение, очевидно, не уникально. Ведь покупка участков, их продажа или бурение и эксплуатация скважин на них - это бизнес компании. Месяц назад аналогичное решение, возможно, принималось относительно другого участка (с другими вероятностями сценариев будущего, другими издержками бурения, запасами нефти и, соответственно, выигрышами от бурения и эксплуатации скважины), а через месяц подойдет очередь принятия подобных решений для двух других участков в других районах, с другими числовыми характеристиками выигрышей и потерь и с другими шансами различных сценариев будущего. Если компания ЭП каждый раз будет руководствоваться критерием максимальной ожидаемой ценности, в долгосрочной перспективе она будет в выигрыше. Нельзя предсказать величину этого выигрыша, так как числовые характеристики решения меняются раз от раза, но сам по себе выигрыш гарантирован.

Следует особо подчеркнуть, что выбор альтернативы с максимальной ожидаемой ценностью никоим образом не гарантирует выигрыша в данном конкретном случае. Руководствуясь принципом максимальной EMV, в данном конкретном случае, вы должны быть готовы к потерям. В случае компании ЭП вероятность потерь 50%! Однако в долгосрочной перспективе, при многократном принятии подобного решения, принцип максимальной EMV обязательно обеспечит перевес выигрышей над потерями и, следовательно, обеспечит положительный суммарный баланс.

В заключение отметим, что вместо критерия максимума ожидаемой монетарной ценности альтернативы, мы с тем же успехом могли бы использовать критерий минимума ожидаемых упущенных возможностей - EOL (по-английски - Expected Opportunity Loss). Ожидаемые упущенные возможности для данной альтернативы вычисляются аналогично ожидаемой монетарной ценности как средневзвешенное от упущенных возможностей для каждого из рассматриваемых сценариев будущего Lij с весами, равными вероятностям этих сценариев pf.

ЕОЦ =? ¦ _Pj (₂)

^j

В таблице на сопоставлены результаты вычислений по таблице выигрышей и потерь и по таблицы упущенных возможностей. Видно, что минимум ожидаемых упущенных возможностей (425 тыс.) соответствует той же альтернативе «Бурить», что и максимум ожидаемой монетарной ценности. Как отмечалось в Теоретических замечаниях к разделу «Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса», это не случайность, а строгий математический вывод. максимум прибыли соответствует, минимуму упущенных возможностей, если при вычислении последних на равных основаниях учитывать и не полученную прибыль и прямые потери.

А В С D Е F 1 Таблица выигрышей и потерь 2 Сценарии будущего 3 Нет нефти Средний запас Мощный фонтан ЕМ? 4 Альтернативы 5 Бурить -700 500 2000 200 6 Продать 150 150 150 150 7 Максимум 150 500 2000 625 8 Вероятности 0.5 0.3 0.2 9 Е?РІ 425 10 Таблица упущенных возможностей 11 Состояния окружения 12 Нет нефти Средний запас Мощный фонтан EOL 13 Альтернативы 14 Бурить 850 0 0 425 15 Продать 0 350 1850 475 16 Вероятности 0.5 0.3 0.2 17

Рис. 237

Стоимость совершенной информации.

В условиях неопределенности и риска дополнительная информация, очевидно, увеличивает шансы лица, принимающего решение, на выигрыш и величину ожидаемого выигрыша. Представим себе, что в случае компании «Энергия палеолита» имеется возможность использовать новейшую геофизическую методику исследования недр, которая дает абсолютно достоверный результат: если нефти нет, методика определит, что ее нет, если нефть имеется в среднем запасе, методика предскажет средний запас, и, наконец, если на данном участке можно достать мощный запас нефти, методика предскажет мощный фонтан. И все это абсолютно достоверно, вероятность ошибки - 0%! Такую информацию называют совершенной. От людей невозможно получить совершенную информацию, касающуюся будущего. Любой прогноз содержит некоторую ошибку, любое предсказание имеет некоторую вероятность не сбыться. Ниже мы учтем это обстоятельство в нашем анализе и научимся оценивать стоимость несовершенной (но добросовестной информации). Сейчас же зададимся вопросом о справедливой стоимости совершенной информации (рассматривая ее как некоторый недостижимый идеал). Стоимость любой несовершенной информации будет, очевидно, всегда ниже стоимости совершенной информации.

Следует отметить, что стоимость информации не может зависеть от того, реализацию какого именно сценария будущего она предсказывает. В случае ЭП, геофизики не сделают так, чтобы нефть была. Они только предсказывают, есть она или нет. Причем, независимо от результата исследования (предскажут они, что нефть будет обнаружена при бурении или нет), стоимость работ одна и та же, и оплатить их нужно до получения результата. Какова же максимальная граница для справедливой цены, которую компания ЭП может согласиться заплатить за подобное геофизическое исследование?

Для ответа на этот вопрос, прежде всего, заметим, что владение совершенной информацией позволяет получить максимум того, что можно извлечь из данного сценария будущего. Допустим, что геофизики предскажут, что нефти на участке нет. Тогда компания ЭП, очевидно, продаст землю (и получит 150 тыс.). Если геофизики предскажут, что нефть есть в среднем или мощном запасе, компания, очевидно, будет бурить (и получит либо 500 тыс. либо 2000 тыс., в зависимости от предсказания геофизиков). Интересно, что до начала подобного исследования, компания ЭП может оценить вероятность того или иного прогноза геофизиков на основании имеющейся статистической информации о нефтеносности района. Очевидно, что вероятность отрицательного прогноза геофизиков 50%, вероятность прогноза среднего запаса - 30%, а мощного фонтана - 20%. Таким образом, если бы у компании ЭП было 100 участков в данном районе, то примерно на 50 из них геофизики предсказали бы отсутствие нефти, и, продав эти участки, компания получила бы по 150 тыс. с каждого. Примерно на 30 участках геофизики предсказали бы средний запас, а на 20 - мощный фонтан, и, пробурив скважины на этих участках, компания ЭП получила бы с первых по 500 тыс., а со вторых - по 2000 тыс. В итоге, с каждого из 100 участков, при использовании такого геофизического исследования, компания ЭП получила бы в среднем по 625 тыс. (см. и ), а не 200 тыс. Ожидаемая монетарная ценность решения, принятого с учетом совершенной информации на 425 тыс. больше, чем без нее. Это и есть верхняя граница справедливой стоимости совершенной информации (EVPI - от английского термина Expected Value of Perfect Information) . Если геофизики просят за свою услугу меньше, чем 425 тыс., компании ЭП есть смысл заплатить, так как в итоге ожидаемая монетарная ценность с каждого участка возрастет. Если геофизики оценивают свою услугу выше 425 тыс., компании ЭП нет смысла ее использовать.

Подчеркнем еще раз, что EVPI=425 тыс. - это предельная цена за информацию, которую компании ЭП имеет смысл платить при решении вопроса о выборе из данных альтернатив. В реальности, методика, предлагаемая геофизиками, наверняка, не дает 100% результата. Поэтому представляемая ими информация - несовершенна и ее стоимость ниже EVPI.

Заметим также, что из таблицы 4 видно, что минимальные упущенные возможности (EOL] для альтернативы «Бурить») в точности равны стоимости совершенной информации. Это опять-таки не случайность. Ведь если мы владеем совершенной информацией, мы из каждого сценария будущего возьмем по максимуму, т. е. наши упущенные возможности будут равны нулю. Величина минимума упущенных возможностей при отсутствии дополнительной информации и есть та максимальная цена, которую мы сможем заплатить за совершенную информацию - EVPI.

Анализ устойчивости выбора оптимальной альтернативы для компании «Энергия палеолита».

Согласно принципу максимальной ожидаемой монетарной стоимости из двух рассматриваемых альтернатив «Бурить» и «Продать» компании ЭП следует выбрать альтернативу «Бурить». Однако, принимая ответственное управленческое решение, необходимо проверить, насколько чувствителен сделанный выбор к изменению прогнозных параметров и оценок вероятностей, с помощью которых были вычислены EMVj для каждой альтернативы. Из условия неизвестны прогнозные параметры, на основе которых компания ЭП получила значения выигрышей и потерь для каждой из альтернатив при каждом сценарии будущего. Поэтому часть анализа устойчивости, включающую вариацию этих параметров, мы привести здесь не сможем. Однако рассмотреть влияние оценок вероятностей различных сценариев будущего совершенно необходимо, тем более что именно в этих (обычно весьма грубых) оценках и коренится основная причина неустойчивости решения о выборе из нескольких альтернатив.

В случае компании ЭП оценить статистическую ошибку в оценках вероятностей совсем нетрудно. Мы уже приводили формулу для стандартной ошибки в определении вероятностей по выборке (формула (10) в Теоретических замечаниях к разделу «Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса» - см. [5]). Перепишем эту формулу еще раз, пренебрегая несущественными коэффициентами:

Ар 1

(2)



где N - размер выборки. Компания ЭП оценивала вероятности обнаружения нефти на своем участке, основываясь на результатах бурения на 100 соседних участках. Таким образом, типичная статистическая ошибка такой оценки - 10%. Выборочное значение оценки вероятности по частоте распределено примерно нормально. Поэтому с вероятностью 95% можно утверждать, что она отклоняется от неизвестного истинного значения вероятности не более чем на 2Ар (см. [5]). Попробуем проверить, как изменятся значения EMV_t для каждой альтернативы, если варьировать значения вероятностей сценариев будущего в пределах статистической ошибки. Поскольку наиболее критичным для нашего анализа является сценарий «Нефти нет», будем увеличивать вероятность этого сценария за счет уменьшения вероятности сценария «Мощный фонтан». При варьировании вероятностей, необходимо соблюдать, так называемое, условие нормировки:

(3)

Сумма вероятностей всех сценариев будущего должна равняться единице, т. е. рассматриваемые сценарии обязательно должно быть взаимоисключающими в совокупности исчерпывающими.

На показано, как меняется ожидаемая монетарная стоимость альтернативы «Бурить» при небольшом увеличении вероятности пессимистического сценария «Нефти нет». Увеличение этой вероятности всего на 0,05 (что составляет всего 10% - стандартное отклонение оценки вероятности сценария «Нефти нет») снижает ожидаемую монетарную стоимость альтернативы «Бурить» в 3 раза и делает ее в два раза меньше, чем EMV альтернативы «Продать». Увеличение вероятности сценария «Нефти нет» всего на 0,02 уравнивает альтернативы «Бурить» и «Продать» по ожидаемым монетарным стоимостям. Это означает, что для рационального выбора между альтернативами «Бурить» и «Продать» в случае компании ЭП необходимо знать вероятности сценариев будущего с точностью до 0,01, что требует статистики N=10000, которой у компании ЭП нет.

А В с D Е 1 Г Сценарии будущего Нефти Средний Мощный 2 нет запас фонтан ЕМ? з Альтернативы 4 Бурить -700 500 2000 65 5 Продать 150 150 150 150 6 Максимум 150 500 2000 532.5 7 Вероятности 0.55 0.3 0.15 8 Е?РІ= 382.5 Нефти Средний Мощный 9 нет запас фонтан ЕМ? ю Альтернативы и Бурить -700 500 2000 146 12 Продать 150 150 150 150 із Максимум 150 500 2000 588 14 Вероятности 0.52 0.3 0.1S 15 Е?РІ= 438

Рис. 238 Изменение EMVt при вариации вероятности сценария «Нефти нет»

Таким образом, в данном случае следует признать, что различие между EMV альтернатив «Бурить» и «Продать», отраженное в таблице на не является значимым. Оно уничтожается в результате небольшой вариации значения вероятности пессимистического сценария «Нефти нет», которая меньше, чем величина статистической ошибки для оценки вероятности этого сценария по имеющейся у компании ЭП выборке. Фактически это означает, что рациональный выбор между альтернативами «Бурить» и «Продать» без дополнительной информации (за которую, конечно, придется заплатить) невозможен. Если требуемая плата за дополнительную информацию превысит стоимость совершенной информации EVPI, следует признать, что рациональный выбор между рассматриваемыми альтернативами невозможен вообще. Наука бессильна. И либо нужно довериться интуиции (и бурить), либо «спрятаться» за критерием максимина (и продать).

Обратим внимание на любопытное изменение стоимости совершенной информации в зависимости от соотношения ожидаемых монетарных ценностей сравниваемых альтернатив (- ). Чем больше различие между EMVi («Бурить») и EMV₂ («Продать»), тем ниже стоимость совершенной информации. Она максимальна в случае, когда ценности альтернатив почти одинаковы. Это вполне понятно: чем сложнее различить сравниваемые альтернативы, тем более остро мы нуждаемся в дополнительной информации, тем выше ее стоимость.

Дерево альтернатив

Таблица выигрышей и потерь удобна для формализации процесса принятия «одношаговых» решений:

Бурить скважину или продать участок?

Инвестировать в первый, второй или третий проект?

Сделать заказ объемом V₁,V₂,V₃ или V₁₀?

и т. п.

Нередко, однако, нужно выбирать между альтернативами, каждая из которых представляет собой «многошаговый» процесс принятия решений. Эти шаги могут быть разнесены во времени, причем на каждом шаге может возникать свой набор альтернатив и сценариев будущего. В этом случае визуализировать процесс выбора из рассматриваемых альтернатив удобно с помощью дерева альтернатив (иначе говорят - дерева решений). Дерево альтернатив - это необходимый инструмент при стратегическом планировании и инвестиционном

анализе. Рассмотрим инвестиционную проблему некоторой компании «Вольный



полет» .

Компания «Вольный полет» рассматривает проект по обслуживанию служебных перелетов на юго-востоке США. Эксперты полагают, что на услуги компании созрел спрос со стороны фирм, которые не в состоянии обращаться к компаниям, предоставляющим самолет на полное время, но, тем не менее, время от времени нуждаются в них.

Первое решение, которое должна принять фирма, какой самолет купить: новый турбовинтовой - $550 тыс. или подержанный поршневой - $250 тыс. Эксперты полагают, что в следующем годы такой самолет будет стоить еще меньше $150 тыс.

В связи с этим имеется идея, не начать ли с одного поршневого самолета, а если спрос будет большой, на следующий год купить еще один такой же самолет.

Для количественного анализа проблемы выбора из рассматриваемых альтернатив, компания «Вольный полет» - ВП силами своего финансового директора и с помощью экспертов по рынку подобных услуг составляет прогноз финансовых потоков, которые можно ожидать от данного проекта при двух сценариях будущего: высоком спросе на услугу (оптимистический сценарий) и низком спросе (пессимистический сценарий). Для получения конкретных чисел в бизнес-плане проекта следует задаться двумя прогнозными уровнями продаж (для двух рассматриваемых сценариев будущего), спрогнозировать

конкурентоспособные цены на аренду турбовинтового и поршневого самолета и соответствующие эксплуатационные издержки.

Проект рассчитывается на несколько лет. Разумеется, финансовые потоки, получаемые от проекта в разные годы его существования нужно дисконтировать. Исходя из степени рискованности проекта и соотношения между собственным и заемным капиталом компании, финансовый директор определил коэффициент дисконта 10%. При расчете ежегодных финансовых потоков, в принципе, следует ставить вопрос о том высоким или низким будет спрос в каждый год функционирования проекта. Но для упрощения анализа, эксперты рекомендуют выделить две фазы проекта: первый год и все последующие годы, резонно полагая, что первый год - это год становления проекта, а затем, начиная со второго года, все бизнес-процессы в компании, так же как и реакция рынка на новое предложение, должны устояться. Поэтому при формулировке проблемы выбора оптимальной альтернативы, финансовый директор ВП рассчитал финансовые потоки в первом году проекта для каждой альтернативы при разных сценариях будущего, и соответствующие суммарные финансовые потоки от всех последующих лет функционирования проекта, дисконтированные на конец второго года. Все эти финансовые потоки показаны на в колонках, обозначенных CF (Cash Flow - финансовый поток по-английски).

А в С D Е F о Н і J К L м н 1 Год 1 Год2 2 Альтернативы Спрос Р CF Альтернативы Спрос р CF 3 Высокий 5° о со 9601 4 150 L J Высокий ьич? 5 Низкий 20% 2201 ? Турбовинтовой -550 L А 7 — Высокий 40%| 9301 ? Низкий_ 4Щ 30 Г 1 9 Низкий 60% 14 011 10 11 Высокий 80%1 800 12 (У Купить второй самолет -150 • 13 /Л Низкий 2 0 % 1 100| 14 Высокий 60%] юо| О 15 Высокий 80% 410| 16 Поршневой 1 -250 п Продолжать с одним 0 г 1 17 Низкий 20% 180| 18 19 Высокий 40% 360 20 Низкий 40% 50І к 1 21 гн Низкий 60%| 14 011 22

Рис. 239 Дерево альтернатив для проблемы компании «Вольный полет»

На изображено дерево альтернатив для проблемы компании «Вольный полет». Дерево альтернатив состоит из узлов двух типов (белые и черные кружки), ветвей и плодов (выигрыши или инвестиции - числа в прямоугольниках). Начнем рассмотрение дерева с крайнего левого белого узла. Из этого узла исходят две ветви соответствующие двум основным альтернативам, между которыми компании следует сделать выбор: купить турбовинтовой самолет или поршневой. Белыми узлами мы будем обозначать места, где нам предстоит принять решение.

Если выбрать альтернативу «Турбовинтовой самолет», потребуется инвестиция в 550 тыс. (на рисунке изображен отрицательный выигрыш -550 тыс.), после чего мы попадаем в черный узел. Здесь не мы принимаем решение. Можно сказать, это делает судьба, выбирая тот или иной сценарий будущего: реализуется ли в первом году функционирования проекта высокий или низкий спрос на услугу, предлагаемую компанией. Если реализуется высокий спрос, то прогнозируется финансовый поток от проекта в размере 150 тыс. Если же реализуется низкий спрос, то прогноз дает лишь 30 тыс.

После первого года функционирования проекта, мы попадаем в один из двух следующих черных узлов, где «судьба определит» будет ли спрос высоким или низким во втором и во всех последующих годах проекта. При высоком спросе компания оценивает суммарный финансовый поток от всего проекта, дисконтированный на конец второго как 960 тыс. (если спрос в первом году также был высоким) или 930тыс. (если высокий спрос установился после низкого спроса в первом году), а в случае низкого спроса финансовый поток составит всего 220 тыс. (если спрос в первом году был высоким) или 140 тыс. (если в первом году спрос был низким). Небольшие отличия в суммарных финансовых потоках от второго и всех последующих годов функционирования проекта в зависимости от того, какой был спрос в первом году, возможно, обусловлены особенностями планируемой маркетинговой стратегии.

Если выбрать альтернативу «Поршневой самолет», потребуется инвестиция в 250 тыс., после чего ветвь дерева альтернатив приходит в черный узел, где «судьба выбирает» один из сценариев будущего, т.е. высокий или низкий спрос будет на предлагаемую нами услугу в первом году. При высоком спросе прогнозируется финансовый поток в 100 тыс., т.е. меньше, чем после первого года работы с турбовинтовым самолетом (по-видимому, из-за более низких цен продажи этой услуги). При низком спросе прогнозируемый финансовый поток в 50 тыс. выше, чем в случае турбовинтового самолета (по-видимому, из-за того, что эксплуатационные издержки на поршневой самолет ниже, чем на турбовинтовой).

Если реализуется благоприятный для нас сценарий высокого спроса, мы попадаем в белый узел, где нам предстоит принять второе решение: расширить ли бизнес, купив второй поршневой самолет, который к тому моменту будет стоить всего 150 тыс., или продолжать работать с одним самолетом (что, разумеется, не требует никаких дополнительных инвестиций). Если же спрос в первом году был низким, мы не рассматриваем возможность расширения бизнеса, и безальтернативно продолжаем с одним поршневым самолетом.

Затем, ветви дерева альтернатив приводят нас в черные узлы, в которых, аналогично ветви «Турбовинтовой самолет», «судьба решит» подарить ли компании ВП высокий спрос или ограничиться низким спросом. При высоком спросе с двумя поршневыми самолетами компания прогнозирует суммарный финансовый поток от всех последующих лет функционирования проекта, дисконтированный на конец второго года, в 800тыс., а при низком спросе - всего в 100 тыс. Если продолжать с одним самолетом, соответствующие потоки оцениваются в 410 тыс. и 180 тыс., т.е. при высоком спросе в два раза ниже (из-за меньшего объема продаж, поскольку у нас один самолет, а не два), а при низком спросе - в два раза выше (из-за меньших эксплуатационных издержек). В случае если в первом году спрос был низким, суммарные финансовые потоки во втором и всех последующих годах прогнозируются на уровне 380 тыс. и 140 тыс. (отличия от 410 тыс. и 180 тыс., как и в случае турбовинтового самолета, могут быть обусловлены особенностями маркетинговой стратегии компании).

На дерева альтернатив, кроме рассмотренных финансовых потоков, показаны также вероятности реализации различных сценариев будущего. Если происхождение прогнозных значений финансовых потоков, указанных на дереве альтернатив, представляется вполне очевидным, то происхождение оценок вероятностей различных сценариев будущего, несомненно, требует пояснений. В отличие от оценок вероятностей найти или не найти нефть в примере компании «Энергии палеолита», где эти оценки были получены на основании выборки реальных результатов бурения на соседних участках, в данном случае, указанные вероятности, не могут быть ничем иным как субъективными экспертными оценками.

Организовать такую экспертную оценку можно, например, следующим образом. Можно попросить два десятка экспертов ответить на 3 вопроса:

будет ли спрос на услугу, предлагаемую компанией «Вольный полет» высоким или низким (имеются ввиду прогнозные значения уровней продаж услуги, определенные с помощью экспертов как «высокий» и «низкий» спрос) в первый год функционирования проекта?

будет ли спрос высоким или низким во второй (и все последующие годы функционирования проекта),

если в первом году он окажется высоким? если в первом году он окажется низким?

Экспертам следует предложить следующие 5 вариантов ответов и приписать этим ответам количественные значения вероятности высокого спроса:

Ответ Вероятность высокого спроса Спрос будет высокий 100% Спрос будет скорее высоким, чем низким 75% Шансы на высокий и низкий спрос равны 50% Спрос будет скорее низким, чем высоким 25% Спрос будет низким 0%

Рис. 240

По выборке из 20 экспертных ответов можно найти среднее значение вероятности высокого спроса. Точность, с которой мы предлагаем каждому эксперту определить эту вероятность, составляет Ap=25%. Однако, точность среднего значения вероятности, определенного по выборке из N=20 ответов составит примерно (см. [5])



Ap

(4)

т.е. не превысит 5%-6%, что вполне приемлемо.

Можно, конечно, и прямо попросить каждого эксперта оценить вероятность высокого спроса численно. Однако в этом случае мы делегируем каждому эксперту ответственность самостоятельно определить шкалу своих субъективных оценок. Нет никакого способа сопоставить эти шкалы, и вряд ли полученная средняя оценка вероятности будет характеризоваться большей точностью, чем полученная по описанной выше процедуре. В любом случае существенно, чтобы экспертов было много. Только это позволяет надеяться выявить объективную основу в субъективных экспертных оценках.

Итак, согласно экспертной оценке, вероятность высокого спроса на услугу, предлагаемую компанией ВП, 60%. Если спрос окажется высоким в первом году, то по усредненному мнению экспертов, он с вероятностью 80% останется высоким и во все последующие годы функционирования проекта. Если же спрос будет низким в первом году, то вероятность того, что он станет высоким во втором году (и во все последующие годы) составляет всего 40%. Эти цифры и отражены на дерева альтернатив в колонках, обозначенных P (вероятности).

Анализируя дерево, нам предстоит ответить на следующие вопросы:

Правильна ли идея, расширить деятельность компании за счет покупки второго поршневого самолета на втором году при высоком спросе?

Какой самолет купить: турбовинтовой или поршневой?

Один из мажоритарных акционеров компании настаивает на рассмотрении идеи свертывания бизнеса после первого года работы в случае низкого спроса. По имеющимся оценкам турбовинтовой самолет через год может быть продан за $500 тыс. Необходимо также модифицировать дерево альтернатив, в соответствии с этой идеей, и ответить на сформулированные выше вопросы для нового варианта дерева альтернатив.

Анализ дерева альтернатив следует начинать с вычисления ожидаемой монетарной стоимости ветвей, приводящих к крайним правым черным узлам. Мы проведем этот анализ в таблице MS-Excel, конфигурация которой максимально повторяет конфигурацию дерева альтернатив. На показан первый шаг анализа - вычисление ожидаемых монетарных ценностей для каждой из пяти ветвей дерева:

1. Турбовинтовой самолет, высокий спрос в первом году

2. Турбовинтовой самолет, низкий спрос в первом году

3. Поршневой самолет, высокий спрос в первом году, покупка второго самолета

4. Поршневой самолет, высокий спрос в первом году, работа с одним самолетом

5. Поршневой самолет, низкий спрос в первом году

Колонка EMV₂ отражает сумму финансовых потоков от всего проекта, начиная со второго года, дисконтированных на конец второго года.

А В С D Е F G Н I J К I 1 Cm. дисконта 10% 2 Коэфф. дисконта 1,1 ГОД1 Г ОД2 3 Альтернативы Спрос р CF Альтернативы Спрос Р CF ЕМ?г SDCF ЕМ 4 Высокий 60% 150 Высокий 80% 960 =Н4*І4+Н5*І5 5 Турбовинтовой -550 Низкий 20% 220 6 7 Низкий 40% 30 Высокий 40% 930 456 8 Низкий 60% 140 ? 10 Купить 2-OIі самолет Высокий 80% 800 660 11 -150 Низкий 20% 100 12 Высокий 60% 100 13 Поршневом -250 Продолжать с одним Высокий 80% 410 364 14 Низкий 20% 180 15 10 Низкий 40% 50 Высокий 40% 380 236 17 Низкий 60% 140

Рис. 241 Первый шаг преобразований дерева альтернатив

Вычисленные ожидаемые монетарные ценности ветвей EMV₂ должны заменить на дереве альтернатив пары веток, исходящих из 5-ти крайних черных узлов. Преобразованный вид дерева альтернатив показан на .

А в 0 D Е F 0 Н I J К L 1 Год 1 2 Альтернативы Спрос р CF Альтернативы ем?2 3 4 Высокий 60°/о 150 ЁГО] 5 6 Турбовинтовой -550 Г^І L А 7 ? Низкий_ 30 —\ 456| 9 10 11 12 о Купить второй самолет -150 660 13 14 Высокий 60% 100 О 15 іе -250 г-1 Продолжать с одним 0 364 Поршневой ’ к А 17 18 10 20 Низкий 40% 50 -*| 2 3 61 21 _

Рис. 242 Дерево альтернатив после первого шага преобразований.

Смысл проведенного преобразования в том, что поскольку мы не можем предсказать по какому сценарию будущего (или, иначе, по какой ветке, исходящей из черного узла) реально пойдет развитие событий, оценивая привлекательность каждой из ветвей, подходящих к черному узлу слева, мы учитываем оба сценария с весами, равными вероятностям их осуществления.

На следующем шаге анализа следует просуммировать плоды, висящие на одной и той же ветви дерева альтернатив. Например, если мы выбрали альтернативу «Турбовинтовой самолет» и спрос в первом году был высоким, мы рассчитываем получить от первого года функционирования 150 тыс., а от всех последующих лет - 812 тыс. Эти плоды следует сложить, учитывая, разумеется, что 150 тыс. мы получим в конце первого года, а сумма дисконтированных потоков EMV₂=812 тыс. относится к концу второго года. Чтобы эти деньги можно было сравнивать и складывать, необходимо дисконтировать сумму EMV₂ на 1 год. Результат этой операции для всех пяти ветвей показан на .

А В С D Е F 0> н I J К L М 1 Cm. дисконта 10% 2 Коэфф дисконта 1,1 ГОД1 Г ОД2 3 Альтернативы Спрос р CF Альтернативы Спрос р CF ем?2 E_DCF ЕМ?, NPV 4 Высокий 60% 150 Высокий 80% 960 812 =J4 $В$2+Е4 5 Турбовинтовой -550 Низкий 20% 220 е 7 Низкий 40% 30 Высокий 40% 930 456 444,5 8 Низкий 60% 140 9 10 Купить 2-ои самолет Высокий 80% 800 660 =J10 B2+F11+E12 11 -150 Низкий 20% 100 12 Высокий 60% 100 13 Поршневой -250 Продолжать с одним Высокий 80% 410 364 =Л 3. В2+Е12 14 Низкий 20% 180 15 16 Низкий 40% 50 Высокий 40% 380 236 264,5 17 Низкий 60% 140 18

Рис. 243 Второй шаг преобразований дерева альтернатив

А в С D Е F G н і 1 Год 1 2 Альтернативы Спрос р Альтернативы E_DCF 3 4 Высокий 60% SS8.11 5 ? Турбовинтовой -550 L. А 7 8 Низкий 40% 444,5| 9 10 11 12 а Купить второй самолет 550 13 ГЛ- 14 Высокий 60%’ 15 _ч Ж 10 Поршневом ' -250 П Продолжать с одним ЖзЬй 17 / X 18 10 20 Низкий 40% 264.5І 21

Рис. 244 Дерево альтернатив после второго шага преобразований

В случае если выбрана альтернатива «Поршневой самолет» и спрос в первом году был высоким, мы можем либо купить второй самолет (инвестируя дополнительно 150 тыс.), либо продолжить с одним. Это отличие отражено в формулах для вычисления суммарного дисконтированного потока для 3-ей и 4-ой ветви. Заметим, что получение финансовый потока от первого года работы с поршневым самолетом при высоком спросе (100 тыс.) и инвестиция во второй самолет (-150 тыс.) не разделены значительным промежутком времени, поэтому они суммируются непосредственно, без коэффициентов дисконта. Напротив, финансовый поток от всех последующих лет функционирования проекта с двумя самолетами (660 тыс.) относится к концу второго года и поэтому при суммировании делится на коэффициент дисконта. Вид дерева после этого шага преобразования показан на .

Из рис. 3 видно, что при выборе альтернативы «Турбовинтовой самолет», суммарный финансовый поток за все время функционирования проекта, дисконтированный на конец 1-го года ожидается равным 888,1 тыс., если спрос в первом году будет высоким (что ожидается с вероятностью 60%), или равным 444,5 тыс., если спрос в первом году будет низким (с вероятностью 40%). Если выбран «Поршневой самолет», то при высоком спросе в первом году (что произойдет с вероятностью 60%) суммарный финансовый поток от всего проекта ожидается равным 550 тыс., если принято также решение о покупке второго самолета, и равным 430,9, если второй самолет не покупать. Очевидно, что второй самолет следует купить. Поэтому ветвь, соответствующая альтернативе «Продолжить с одним самолетом» на зачеркнута.

На третьем шаге анализа нужно, очевидно, избавиться от последних двух черных узлов и вычислить отдачу от проекта для двух основных альтернатив на конец первого года - EMV₁. Результат показан на и .

А в с D Е F о н і j к L м N О Р 1 Cm. дисконта 10% 2 Коэфф. дисконта 1,1 Год 1 Год2 3 Альтернативы Спрос Р CF Альтернативы Спрос р CF ем?2 EDCF EMVi NPV 4 Высокий 60% 150 Высокія) 80% 960 812 888,2 = K4‘D4+K7lD7 5 Турбовинтовой -550 Низкий 20% 220 В 7 Низкий 40%, 30 Высокий 40% 930 456 444,5 8 Низкий 60% 140 9 10 Купить 2-ои самолет Высокий 80% 800 660 550 =МАКС(К10:К13)*D12+К16 D16 11 -150 Низкий 20% 100 12 Высокий 60% 100 13 Поршневой -250 Продолжать с одним Высокий 80% 410 364 430,9 14 Низкий 20% 180 15 16 Низкий 40%, 50 Высокий 40% 380 236 264,5 17 Низкий 60% 140 1R

Рис. 245 Третий шаг преобразования дерева альтернатив

А в С D Е F 1 2 Альтернативы ЕМ?і 3 4 5 е -550 710,7 Турбовинтовой 7 Э 9 10 11 12 а 13 14 15 іе Поршневом -250 435,8

Рис. 246 Дерево альтернатив после третьего шага преобразований

Обратим внимание, что при вычислении ожидаемой монетарной ценности проекта на конец первого года EMVi для альтернативы «Поршневой самолет», мы не отбросили сами ветвь «Продолжить с одним самолетом», а ввели функцию Макс(), чтобы MS-Excel выбрала какая из альтернатив («Купить второй самолет» или «Продолжить с одним») более ценная. Это будет очень полезно на стадии анализа чувствительности нашего решения к изменению прогнозных параметров. Действительно, кто может гарантировать, что при варьировании вероятностей различных сценариев будущего, альтернатива «Продолжить с одним» не станет более привлекательна, чем альтернатива «Купить второй самолет»? В случае «ручного» выбора более привлекательной альтернативы, нам пришлось бы переделать формулу. Введенная же формула с функцией Макс() всегда будет автоматически выбирать более ценную альтернативу.

На последнем шаге анализа нужно лишь сложить финансовые потоки, получаемые от всего проекта и дисконтированные на конец первого года для двух основных альтернатив, с первоначальными инвестициями (предварительно дисконтировав EMVi для каждой альтернативы на i год). Конечный результат анализа показан на .

А в с D Е F о н і j к L м N о 1 Cm. дисконта 10% 2 Коэфф. дисконта 1,1 Год 1 Год2 3 Альтернативы Спрос р CF Альтернативы Спрос р CF ем?2 ? DCF ЕМ?і NPV 4 Высокий 60% 150 Высокий 80% 960 812 888,2 710,7 96,12 =І_4/В2+В5 5 Турбовинтовой -550 Низкий 20% 220 6 7 Низкий 40% 30 Высокий 40% 930 456 444,5 ? Низкий 60% 140 9 10 Купить 2-ои самолет Высокий 80% 800 660 550 435,8 146,2 =L10/В2+В13 11 -150 Низкий 20% 100 12 Высокий 60%, 100 13 Поршневой -250 Продолжать с одним Высокий 80% 410 364 430,9 14 Низкий 20% 180 15 16 Низкий 40% 50 Высокий 40% 380 236 264,5 17 Низкий 60% 140 18

Рис. 247 Конечный результат анализа дерева альтернатив

Видно, что альтернатива «Поршневой самолет» с последующей покупкой второго самолета (после первого года с высоким спросом) существенно более привлекательна (NPV=146,2 тыс.), чем альтернатива «Турбовинтовой самолет» (NPV=96,12 тыс.).

Анализ устойчивости выбора оптимальной альтернативы по дереву альтернатив для компании «Вольный полет».

Поскольку параметры дерева альтернатив всегда содержат множество прогнозных значений и грубых оценок, результат выбора оптимальной альтернативы, так же как и в случае выбора альтернатив по таблице выигрышей и потерь, должен быть проанализирован на чувствительность к изменению прогноз параметров и оценок в пределах интервалов, которые кажутся разумными лицам, принимающим решение.

Как и в случае компании «Энергия палеолита» у нас нет информации, касающейся прогнозных параметров, определяющих финансовые потоки при различных альтернативах и сценариях будущего. Однако, как и в случае компании ЭП, можно и нужно проанализировать устойчивость выбора альтернативы «Поршневой самолет» при вариации оценок вероятностей различных сценариев будущего, тем более что ошибки этих субъективных экспертных оценок могут быть особенно большими.

Начнем с вариации вероятностей высокого и низкого спроса в первом году (оставив вероятности высокого и низкого спроса во втором и всех последующих годах функционирования проекта неизменными). Для простоты будем считать, что вероятность высокого или низкого спроса не зависят от того, приобретет компания ВП «Турбовинтовой самолет» или «Поршневой самолет». Для анализа устойчивости удобно использовать лист MS-Excel, представленный в табл. 9. ввести в ячейку D12 формулу «=D4», а в ячейки D7 и D16 формулы «=1-D4» и «=1-D12». После этого можно использовать таблицу подстановки для вычисления значений NPV двух основных альтернатив, подставляя по строкам значения вероятности высокого спроса в интервале от 10% до 90%. Полученный результат показан в следующей таблице ().

Спрос - 1-ый год	NPV (тыс.)
Р-высокого	Турбовинтовой	Поршневой
10%	-105,5	16,4
20%	-65,2	42,4
30%	-24,9	68,3
40%	15,5	94,3
50%	55,8	120,2
60%	96,1	146,2
70%	136,4	172,1
80%	176,8	198,1
90%	217,1	224,0

Рис. 248

Видно, что в отличие от ситуации компании «Энергия палеолита», в данном случае, в огромном интервале изменения оценки вероятности оптимистического сценария, альтернатива «Поршневой самолет» остается выгоднее, чем «Турбовинтовой самолет».

Можно проверить влияние вариации этого параметра на NPV основных альтернатив при измененных значениях вероятностей высокого и низкого спроса во втором и всех последующих годах функционирования проекта. Примем, для примера, все эти вероятности, равными 50%. Тогда результат вариации вероятности высокого спроса в первом году на NPV турбовинтового и поршневого самолета представится таблицей ()

Спрос - 1-ый год	NPV (тыс.)
Р-высокого	Турбовинтовой	Поршневой
10%	-65,1	17,8
20%	49,7	25,2
30%	-34,2	32,6
40%	-18,8	40,1
50%	-3,3	47,5
60%	12,1	55,0
70%	27,6	62,4
80%	43,1	69,8
90%	58,5	77,3

Рис. 249

И в этом случае, преимущество альтернативы «Поршневой самолет» не вызывает сомнений, хотя при этом оказывается, что второй самолет покупать не надо.

Устойчивое преимущество альтернативы «Поршневой самолет» над альтернативой «Турбовинтовой самолет» при широкой вариации наименее определенного параметра модели - вероятности высокого спроса на предлагаемую услугу, несомненно, укрепляет уверенность в правильности рекомендуемого решения - покупки поршневого самолета.

Вместе с тем, реализация сценария низкого спроса во втором и всех последующих годах функционирования проекта, как нетрудно проверить, приводит к существенным потерям. Так при покупке турбовинтового самолета и реализации низкого спроса и в первом, и во втором, и во всех последующих годах

потери составят -404 тыс. В случае покупки поршневого самолета и низком спросе во все годы функционирования проекта потери составят -88,8 тыс., а если спрос в первом году окажется высоким, будет куплен второй самолет, а спрос во все последующие годы будет низким, потери составят -213 тыс.

При консервативно-пессимистическом взгляде на развитие событий, можно рассматривать низкий спрос в первом году как индикатор провала проекта и во всех последующих годах. Тогда возникает идея выйти из проекта после первого неудачного года, продав самолет, чтобы минимизировать потери. Известно, что поршневой самолет через год будет стоить 150 тыс., а турбовинтовой - 500 тыс. Дерево, соответствующее решению выйти из бизнеса после первого неудачного года, изображено на .

А в С D Е F о Н і j К L м N 1 Год 1 Год2 2 Альтернативы Спрос р CF Альтернативы Спрос р CF 3 Высокий 5° о со Э60| 4 Высокий боч? І50І 1 L 4 11 5 Низкий 20% 220| ? Турбовинтовой -550 Г^І L А 7 ? Низкий_ 4П°^ 530| 9 10 11 Высокий 80%] 13001 12 (У Купить второй самолет -150 П L л 13 /Л Низкий 2 0 % 1 100| 14 Высокий 60%| 100І о 15 Высокий 80°Х| 4101 16 Поршневой 1 -250 П Продолжать с одним 0 Г 1 17 Низкий 20% 1 so| 18 19 20 Низкий 40%| 2001 21

Рис. 250

Результаты анализа этого дерева представлены в таблице ()

А в с D Е F н і J к L и N 0 P 1 Cm. дисконта 10% 2 Коэфф. дисконта 1,1 Год 1 Год2 3 Альтернативы Спрос Р CF Альтернативы Спрос р CF ем?2 E_DCF ЕМ?] NPV 4 Высокий 60% 150 Высокий 80% 960 812 883,2 744,9 127,2 5 Турбовинтовой -550 Низкий 20% 220 =K4*D4+E7*D7 е 7 Низкий 40'% 530 8 9 10 Купить 2-ои самолет Высокий 80% 800 660 550 410 122,7 11 -150 Низкий 20% 100 =МАКС(К10; K13)*D 12+E16*D 16 12 Высокий 60% 100 13 Поршневом -250 Продолжать с одним Высокий 80% 410 364 430,9 14 Низкий 20% 180 15 1? Низкий 40%, 200 17

Рис. 251

Видно, что теперь рекомендуемая альтернатива - это «Турбовинтовой самолет». Нетрудно проверить, что вариация в широких пределах вероятности высокого спроса в первом году оставляет эту рекомендацию неизменной. Причина такой устойчивости достаточно очевидна: новый турбовинтовой самолет

- это более ликвидное вложение средств, чем подержанный поршневой: турбовинтовой самолет теряет в цене за 1 год 50 тыс., а поршневой - 100 тыс.

Вместе с тем видно, что максимальное NPV при решении выйти из бизнеса после первого года с низким спросом - 127,2 тыс., соответствующее в данном случае покупке турбовинтового самолета, ниже, чем максимальное NPV первоначального варианта (продолжать бизнес, невзирая на спрос в первом году)

- 146,2 тыс., соответствующее покупке поршневого самолета. Если бы мы рассмотрели дерево, включающее выбор из двух альтернатив после низкого спроса в первом году: выйти из бизнеса или продолжать, невзирая на низкий спрос в первом году, то в для альтернативы «Турбовинтовой самолет» был бы рекомендован выход из бизнеса после первого неудачного года, а для альтернативы «Поршневой самолет» - продолжение бизнеса.

Резюмируя, можно сказать, что если выбрать альтернативу «Поршневой самолет» и продолжать бизнес, невзирая на то, какой был спрос в первом году, то ожидаемая NPV проекта составит 146,2 тыс. Однако максимальные возможные потери в этом проекте составляют -213 тыс. Если выбрать альтернативу «Турбовинтовой самолет» и выйти из бизнеса после первого неудачного года, ожидаемая NPV составит 127,2 тыс., но потери, после выхода из бизнеса после первого неудачного года с учетом дисконтирования суммы в 530 тыс. на 1 год составят 530 тыс./1,1-550 тыс.=-68,2 тыс. (правда, если спрос в первом году окажется высоким, а затем сменится на низкий, потери будут еще больше -232 тыс., но в такое развитие событий совсем не хочется верить...).

Так что же делать?

Выбрать альтернативу «Поршневой самолет», купить второй самолет, если спрос в первом году окажется высоким, и продолжать с одним, если спрос в первом году будет низким

ИЛИ

Выбрать альтернативу «Турбовинтовой самолет» и выйти из бизнеса после первого неудачного года?

Здесь опять пора вспомнить, что

МОДЕЛИ НЕ ПРИНИМАЮТ РЕШЕНИЯ, ЭТО - ДЕЛО МЕНЕДЖЕРОВ.

В зависимости от ваших стратегических целей, от вашей индивидуальной склонности к риску, от требований инвесторов, от условий получения кредита, в зависимости от множества конкретных обстоятельств вашего бизнеса, будет принято то или другое решение. Роль количественной модели дерева альтернатив в том, что она позволяет всесторонне исследовать бизнес идею, объективно и рационально оценить привлекательность конкурирующих альтернатив, в том, что она стимулирует дискуссии, заставляет вас искать новые продолжения бизнеса и, тем самым, несомненно, увеличивает ваши шансы на успех.

Переоценка вероятностей сценариев будущего в свете

дополнительной информации. Стоимость несовершенной информации.

При обсуждении проблемы компании «Энергия палеолита» мы ввели понятие о стоимости совершенной информации, как верхней границы для платы за любую информацию. Там мы отметили, что совершенная информация - это идеал. Любые даже вполне добросовестные реальные прогнозы или предсказания содержат вероятность ошибки. Поэтому стоимость любой реальной, несовершенной информации ниже, чем оцененная выше стоимость совершенной информации EVPI. В настоящем разделе мы рассчитаем стоимость несовершенной информации в зависимости от степени ее достоверности (вероятности ошибки прогноза или предсказания) и увидим насколько эта стоимость ниже EVPI.

Мы оставили проблему компании ЭП после неутешительного вывода о том, что выбор альтернативы «Бурить» крайне чувствителен к вероятности отсутствия нефти на участке. Изменение этой вероятности всего на 5% (что меньше статистической ошибки для оценки этой вероятности) приводит к тому, что EMVi альтернативы «Бурить» становится меньше EMV₂ альтернативы «Продать». Таким образом, рациональный выбор между этими двумя альтернативами невозможен без дополнительной информации.

Допустим, что в случае компании ЭП такую дополнительную информацию можно получить, если привлечь геофизиков, которые могут провести зондирование недр с помощью локации длинных звуковых волн от небольшого взрыва. Агентство, проводящее такую локацию, имеет достаточный опыт проведения работ и накопило значительную статистику, позволяющую судить о надежности метода. Эта статистическая информация сведена на .

Условные вероятности правильности прогноза Прогноз I1 (нефти нет) I2 (средний запас) I3 (мощный фонтан) Реальные состояния S1 (нефти нет) 0.75 0.20 0.05 S2 (средний запас) 0.15 0.65 0.20 S3 (мощный фонтан) 0.0 0.35 0.65

Рис. 252

Таблица показывает, что информация, предоставляемая геофизиками, вполне научная, добросовестная, но не совершенная. Действительно, если реально нефти в недрах нет (реальное состояние S₁), то в 75% случаев прогноз предсказывает, что ее нет (результат прогноза I₁), в 20% случаев методика «видит» средний запас нефти (результат прогноза I₂), а в 5% - даже мощный фонтан (результат прогноза I₃). Если реально существует средний запас нефти (реальное состояние S₂), прогноз в 65 % случаев предсказывает именно «Средний запас» (результат прогноза I₂), в 20% случаев - переоценивает запас и предсказывает «Мощный фонтан» (результат прогноза I₃), а в 15% случаев, к сожалению, «просматривает» нефть и выдает результат I₁ - «Нефти нет». Если залежи нефти соответствуют классификации «Мощный фонтан», прогноз никогда не выдает результат I₁ - «Нефти нет», но в 35% случаев недооценивает запас и выдает результат I2 - «Средний запас».

Понятно, что оплата работ Агентства, никак не зависит от того, какой результат они предскажут. Оно должно привести и установить оборудование, затратить расходные материалы и время своих сотрудников, провести компьютерную обработку полевых измерений и, в конце концов, что-то заработать на этом исследовании. Стоимость работ определена в 100 тыс. у.е., и деньги, разумеется, нужно выплатить сразу по выполнении работ.

Цена, которую требуют геофизики, ниже определенной выше стоимости совершенной информации (мы определили EVPI=425 тыс.). Однако сумма весьма значительная. Соответствует ли она степени надежности предоставляемой информации? Стоит ли компании ЭП нанять агентство для проведения этих работ перед принятием решения о бурении? Поможет ли эта (несовершенная) информация снять неопределенность в определении ценности альтернатив, рассматриваемых компанией ЭП и рационально решить, что все-таки делать: «Бурить» или «Продать»?

Для решения сформулированных вопросов, представим проблему компании ЭП как двухступенчатый процесс принятия решений. На первом шаге следует решить, нанять ли агентство для проведения работ по прогнозированию залегания нефти на данном участке, или не нанимать. На втором этапе следует принять решение, бурить ли скважину или продать землю, в зависимости от результатов прогноза агентства (если на первом шаге было принято решение об его использовании). Дерево альтернатив, отражающее этот двухступенчатый процесс принятия решений, изображено на .

1 1 Нанять /ТЛ Не нанимать А _И_ Р0і)-неф и нет Р(І2) - средний іапас Р(І3)- мощный с| онтан 1 г ] -/9 1_ Про дать Бурк ть Про дать Бурк ТЬ Пр( дать Бурк ТЬ Про дать Бурк ТЬ 1 1 і ч 150 150 150 150 А А -і W W 1 ? Нет Сре іний Мои ,НЫЙ Нет Сре іний Мои ІНЫЙ Нет Сре *ний Mol іный Нет Сре іний Мо щный P(S, fli) P(S2 1) P(S3 fli) P(S (У P(S2 У P<S3 /у P(S (У P(S2 |3) P(S; /у Р =0.5 Р2 =0.3 Рз =0.2 ' 1 ’ г 1 1 г ’ г Г _ г -700 500 2000 -700 500 2000 -700 500 2000 -700 500 2000

Рис. 253 Дерево альтернатив для проблемы компании ЭП

Рассмотрение дерева начнем с узла №1, в котором следует выбрать одну из альтернатив «Нанять» агентство, проводящее геофизическое исследование недр, или «Не нанимать». Если выбрана альтернатива «Не нанимать», мы попадем в узел №9, где нужно непосредственно (без дополнительной информации) решить «Бурить» или «Продать».

Если выбрана альтернатива «Продать», компания получает 150 тыс., если же выбрана альтернатива «Бурить», ветка дерева приводит нас в черный узел №10, где «судьба определяет» будет ли найдена нефть или нет, и если будет, то в какой объеме. Для сравнения ветвей «Бурить» и «Продать», исходящих из узла №10, нужно вычислить ожидаемую монетарную ценность альтернативы «Бурить», как сумму произведений вероятностей на величины выигрышей. Собственно, эта часть дерева уже была проанализирована выше с помощью таблицы выигрышей и потерь, в результате чего было найдено, что альтернатива «Бурить» более привлекательна (для нее EMV₁=200 тыс.), однако отличие от альтернативы «Продать» (EMV₂=150) не слишком велико и полностью ликвидируется увеличением вероятности отсутствия нефти на 2%.

Если выбрана альтернатива «Нанять», ветвь дерева приводит в черный узел №2, где «судьба выбирает», какой прогноз выдаст агентство в результате звуковой локации недр. Агентство может выдать три различных прогноза, которые реализуются с разными вероятностями:

Нефти нет - с вероятностью P(Ii)

Средний запас - с вероятностью P(I₂)

Мощный фонтан - с вероятностью P(I₃)

Эти вероятности нам предстоит определить. Они зависят, во-первых, от априорных вероятностей залегания нефти на данном участке (оценки которых нам известны), а во-вторых, от условных вероятностей правильности прогноза, заданных таблицей i3.

Далее, в зависимости от того, какой прогноз выдаст агентство, ветви дерева приведут нас либо в узел №3 (если выдан прогноз «Нефти нет»), либо в узел №4 (если прогноз - «Средний запас»), либо в узел №5 (при прогнозе «Мощный фонтан»). В любом из этих узлов компании ЭП предстоит принять решение: «Бурить» или «Продать». При выборе альтернативы «Продать» во всех случаях компания получает 150 тыс., а при выборе альтернативы «Бурить», в зависимости от того, какой сценарий будущего реализуется в действительности -700 тыс., 500 тыс. или 2000 тыс. Мы не включили в дерево альтернатив требуемую агентством плату за проведение исследований 100 тыс., поскольку наша задача - найди предельную стоимость несовершенной информации с точки зрения компании ЭП. Если эта стоимость выше, чем требуемые 100 тыс., компании ЭП следует привлечь агентство для проведения исследований.

Таким образом, все выигрыши, получаемые при попадании в узлы 3-8, следует уменьшить на 100 тыс. В остальном же, участки дерева, исходящие из узлов №№3-5, выглядят точно также, как участок, исходящий из узла №9. Есть ли между этими участками какие-либо различия? Разумеется, есть! Вероятности реализации сценариев будущего в узлах №№6-8 отличаются от априорных вероятностей p1=0,5, p2=0,3 и p3=0,2, оцененных по выборке результатов прошлых бурений на соседских участках, и существенно различаются между собой.

Представьте себе, что, разрываясь между альтернативами «Бурить» -«Продать», вы решились нанять агентство для исследования недр на вашем участке и заплатили геофизикам 100 тыс. Они провозились 2 месяца, после чего выдали свое предсказание: «Нефти нет» (мы обозначили это предсказание как I1). Что вам теперь делать? Если продать участок, вы получите только 50 тыс. Обидно! А вдруг они ошиблись? Ведь их информация несовершенна! С тяжелым чувством вы ложитесь спать, а утром просыпаетесь с твердой уверенностью: нефть есть, надо бурить! Что собственно изменилось после нелепого прогноза этих геофизиков с их непонятной методикой? Ну да, все выигрыши уменьшились на 100 тыс. Теперь, если забьет мощный фонтан, получим не 2000 тыс., а 1900 тыс., а если нефти не найдем, то потеряем не -700 тыс., а -850 тыс. Ну и что? Все равно, почему бы не рискнуть?

Рискнуть, конечно, всегда можно. Однако перед этим неплохо бы оценить, как изменились вероятности предполагаемых сценариев будущего после получения дополнительной информации от геофизиков. Если бы геофизики выдали совершенную информацию, то вероятность того, что нефти нет, после их предсказания «Нефти нет» (мы обозначили ее на дереве альтернатив как P(S1/I1) ) равнялась бы 1, а вероятности того, что нефть имеется в среднем запасе или что забьет мощный фонтан (P(S₂/I₁), P(S₃/I₁)) равнялись бы нулю. В этих условиях бурить глупо. Поскольку информация геофизиков несовершенна, P(S₂/I₁) и

P(’S₃/Ii) не равны нулю, но они, по-видимому, существенно уменьшились по сравнению с априорными вероятностями p₂=0,3 и p₃=0,2, в то время как вероятность отсутствия нефти P(S₁/I₁) после отрицательного прогноза геофизиков существенно возросла.

Наша задача - определить эти «апостериорные вероятности» P(S;/Ij) различных результатов бурения S_; после проведения геофизического исследования недр и получения предсказания Ij. Для решения этой задачи представим получение результата прогноза геофизическим агентством как двухступенчатый вероятностный процесс, изображенный с помощью дерева вероятностей на .

Выбор участка s1 ш S, S3 Нефти нет Средний запас Мощный фонтан Рі=0,5 р2=0,3 Рз=0.2 ПРО Г Н 0 3 А 49 W- I 1 Нефти нет Средний запас Мощный фонтан Нефти нет Средний запас Мощный фонтан Нефти нет Средний запас Мощный фонтан P(UlSi) P02/S,) Р(№) P(MS2) P{l,/S2) P(h/S2) P(MS3) p(ys3) P(MS3) 0,75 0,2 0,05 0,15 0,65 0,2 0 0,35 0,65

Рис. 254 Дерево вероятностей для получения результата исследований недр.

Когда агентство получило заказ от компании ЭП на проведение исследований, ему неизвестно есть ли нефть на данном участке и если есть, то каков ее запас. Возможны три варианта с априорными вероятностями,

отраженными на рис._7. Затем, при использовании геофизиками методики

звукового зондирования, возможно три варианта предсказания, выдаваемого ими по результатам исследования. Вероятности этих результатов зависят от реального содержания недр и отражены в таблице 13 и на рис.___7. Вычислим, с какой вероятностью можно ожидать, что геофизики выдадут результат «Нефти нет». Из

рис._7 видно, что этот результат может быть получен тремя путями:

Реально нефти нет (сценарий S₁, вероятность p₁), и геофизики верно определили, что ее нет (прогноз I₁, вероятность P(I₁/S₁))

Реально нефть в среднем запасе (сценарий S₂, вероятность p₂), но геофизики неверно определили, что ее нет (прогноз I₁, вероятность P(I₁/S₂))

Реально на участке мощный запас (сценарий S₃, вероятность p₃), но геофизики неверно определили, что ее нет (прогноз I₁, вероятность P(I₁/S₃), в данном случае, согласно таблице 13, равная нулю)

Вероятность каждого из трех путей (согласно теореме теории вероятностей об умножении вероятностей 2-х событий) равна произведению априорной вероятности p_; сценария S; и условной вероятности P(I₁/S_i), что при данном сценарии S_;, геофизическое исследование выдаст результат I₁. Поскольку никакие два из этих путей не могут реализоваться одновременно (по терминологии теории вероятностей, они попарно несовместны) эти три произведения вероятностей нужно сложить, чтобы найти вероятность того, что исследование выдаст результат «Нефти нет» (по теореме теории вероятностей о сложении вероятностей несовместных событий):

3

P = Рі ¦ P( V Si) + P2 ¦ P( hi s 2) + P3 ¦ P( 1,1 S3) = X Pi • P( h! Si)

j=1 (5)

Аналогично, для двух других возможных прогнозов геофизиков получим

3

Pj = Рі ¦ P( I j / S,) + P2 ¦ P( I j / S 2) + P3 ¦ P( I j i S3) = X P, ¦ P( I j i Si)

i =1

^(5а)

В таблице на представлены вычисления этих вероятностей с помощью MS-Excel.

А в О О m F G H 1 J к L 1 Прогноз Априорные вероятности 2 II l2 h рі II Ii Із 3 4 5 Реальные состояния Si 0.75 0.2 0.05 0.5 Si 1 0 0 Si 0.15 0.65 0.2 0.3 Si 0 1 0 S3 0 0.35 0.65 0.2 S3 0 0 1 6 Полные вероятности Pi 0,420 0,365 0,215 Pi 0,500 0,300 0,200 7 =CyMMnPOH3B($F$3:$F$5;C3:C5) =CyMMnPOH3B($F$3:$F$5;l3:l5) 8

Рис. 255 Полные вероятности возможных прогнозов агентства в зависимости от условных вероятностей правильности прогноза.

Видно, что эти полные вероятности Pj отличаются от априорных вероятностей pj нахождения нефти в сторону занижения вероятности прогноза I₁ («Нефти нет») и соответственно завышения вероятностей прогнозов I₂ и I₃. Нетрудно проверить, что если бы геофизики всегда правильно диагностировали реальное состояние недр, вероятности Pj совпали бы с вероятностями pj.

Для анализа дерева альтернатив компании ЭП, нам, однако, требуются не условные вероятности правильности прогноза геофизиков P(Ij/S_i), а другие, «апостериорные», вероятности P(S_i /Ij) того, что если геофизики выдали прогноз Ij, то при бурении реализуется состояние недр S_i. Эти вероятности можно определить, используя простое рассуждение (известное в теории вероятностей, как теорема Байеса [5]). Запишем вероятность того, что одновременно произошло два случайных события: на участке реально нет нефти (при бурении реализовалось состояние S₁) и геофизики предсказали, что нефти нет (выдали прогноз I1):

^(ад) = P1 ¦ P( I1 / S1), (6)

т.е. как произведение вероятности того, что нефти на участке нет, на условную вероятность того, что при этом осуществится прогноз I₁. Собственно, мы уже использовали эту формулу при вычислении полных вероятностей (5), (5а). Формула (6) воспринимается очень естественно (как почти все результаты теории вероятностей) и обычно не вызывает никаких вопросов. Однако с точки зрения теории вероятностей искомую вероятность P(Si, Ii) можно записать и по-другому:

P(Si,7i) = Pi ¦ P(Si/Ii), (6а)

т.е. как произведение вероятности того, что осуществился прогноз I₁, на условную вероятность того, что при этом оказалось, что нефти на участке действительно нет. С точки зрения теории вероятностей выражения (6) и (6а) совершенно равноправны, и фактически рассматриваются как определения условных вероятностей P(I₁/S₁) и P(S₁/I₁). Психологически, выражение (6) может восприниматься более естественно, потому, что отрицательный прогноз I₁ интуитивно рассматривается как следствие того, что нефти на участке действительно нет - S₁, в то время как отсутствие нефти S₁, конечно, не может рассматриваться как следствие отрицательного прогноза I₁. Однако причинноследственная связь здесь совершенно ни при чем: ведь если мы вычисляем по аналогичной формуле,

(6б)

P (S1,12) = Р1 ¦ P( 12/ S1)

вероятность P(S₁, I₂) того, что нефти на участке нет, а при этом геофизики предсказывают, что есть «Средний запас», вряд ли возможно думать, что прогноз I₂ есть следствие того, что реально нефти нет - S₁.

Так или иначе, оставляя в стороне психологические особенности восприятия результатов теории вероятностей, и приравнивая правые части выражений (6) и (6а), получим выражение для одной из исходных апостериорных вероятностей:

Р1 ¦ Р( У Sj) Р1

W I1)

(7)

т.е., условная вероятность того, что нефть на участке не будет обнаружена, если геофизики выдали прогноз, что ее нет P(S1/I1), равна произведению априорной вероятности отсутствия нефти p₁ на условную вероятность P(I1/S1) отрицательного прогноза на участке, где действительно нефти нет, деленное на полную вероятность отрицательного прогноза, рассчитанную по формуле (5).

Совершенно аналогично для всех интересующих нас апостериорных вероятностей найдем:

Pi ¦ Р(Ij / S_t)

^Pj

P(S / Ij)

(7а)

где полные вероятности прогноза Ij - P(Ij) рассчитываются по формуле

^(5а).

А В 0 0 m F G Н I J к L M I Прогноз Априорные вероятности II I; Із i>i E Ii I; ІЗ Реальные состояния Si 0.75 0,2 0,05 0,5 =СУММ(СЗ:ЕЗ) Si 1 0 0 S; 0,15 0,65 0,2 0.3 1 S; 0 1 0 s3 0 0,35 0,65 0,2 1 S3 0 0 1 Полные вероятности Pi 0,420 0,365 0,215 Pi 0,500 0,300 0,200 =CYMMnPOH3B($F$3:$F$5;C3:C5) =CyMMnP0113B($F$3:$F$5;l3:l5) Апосте эиорные вероятности ii I; E II I; ІЗ Реальные состояния Si 0,893 0,274 0.116 =$F3*E3/E$6 Si 1 0 il & 4 * L3 ,L$6 S; 0.107 0.534 0.279 S; 0 1 0 S3 0 0,192 0,605 0 0 1 s 1 1 1 =СУММ(Е11:Е13) E 1 1 =СУММ (Eli :E13)

Рис. 256 Вычисление апостериорных вероятностей для проблемы компании ЭП.

Вычисление по формулам (7а) легко провести с помощью Ms-Excel, как показано в таблице 15. Заметим, что для проверки правильности вычисления стоит убедиться, что суммы этих вероятностей по столбцам равны 1 (для таблицы условных вероятностей правильности прогноза сумма вероятностей по строчкам равна 1).

Следует сравнить апостериорные вероятности в каждом столбце (при каждом варианте выданного прогноза) с априорными вероятностями нахождения нефти. Видно, например, что в случае получения прогноза «Нефти нет» вероятность того, что ее действительно нет должна быть оценена как P(S₁/I₁)=0,89, т.е. значительно возросла по сравнению с априорной вероятностью p₁=0,5. Напротив, вероятность наличия нефти в среднем запасе упала примерно до 11%, а вероятность мощного фонтана - до нуля. Это значит, что если будет принято решение продать землю, риск упущенной выгоды при этом составит только 11% (против исходных 50%). В случае, положительных прогнозов I₂ или I₃, наоборот, существенно возрастают вероятности реально найти нефть и уменьшаются риски, связанные с отрицательным результатом бурения (до 27% в случае прогноза I₂ и до 12% в случае прогноза I₃ против исходных 50%).

Разумеется, если бы методика геофизиков могла выдавать совершенный прогноз, то все отмеченные выше риски упали бы до нуля, а таблица апостериорных вероятностей, как видно из , совпала бы с таблицей условных вероятностей правильности прогноза.

Зная апостериорные вероятности нахождения нефти после выданного прогноза Ij, можно вернуться к анализу дерева альтернатив (рис. 6). На первом шаге анализа необходимо вычислить ожидаемые монетарные стоимости бурения при условии того, что геофизики выдали прогнозы I₁, I₂ или I₃, в узлах №№ 6-8 с учетом найденных апостериорных вероятностей. Обозначим их как EMV₆, EMV₇, EMV₈. Результат вычислений получен в строчке 13 таблицы . Состояние дерева альтернатив после этого шага изображено на (EMV₁₀=200 было рассчитана ранее). После расчета EMV альтернатив, связанных с бурением их следует сравнить EMV=150 альтернативы «Продать» и выбрать максимальную для каждого из узлов №№6-8. Результат расчета показан в строке 15 () и на . Таким образом, как и следовало ожидать, анализ дерева показывает, что нужно следовать рекомендациям геофизиков, т.е. продавать землю, если прогноз «Нефти нет» и бурить, если прогноз «Средний запас» или «Мощный фонтан».

А в О О m F G Н 1 1 Прогноз Априорные вероятности 2 Ii h I3 1>і 3 Реальные состояния Si 0.75 0.2 О о 0.5 4 s2 0.15 0,65 0,2 0,3 5 s3 0 0.35 0.65 0.2 6 Полные вероятности Pi 0,420 0,365 0,215 7 8 Апостериорные вероятности 9 Ii І2 I3 Выигрыши 10 Реальные состояния Si 0,893 0,274 0,116 -700 11 S2 0.107 0.534 0.279 гм О О 12 s3 0,000 0,192 0,605 2000 13 ЕМ?_ Бурить -571 458,9 1267 ЬЪ И <У“) I—I пн 0 1 и и S10$F$12.E10 Е12) 14 ЕМ?_Продать 150 150 150 15 EMV_max 150 458,9 1267 16 ЕМ?_Нанять 503 =СУММПР ОН ЗВ (C6 :E6;C15 :E15)

17 Рис. 257 Расчет EMV альтернативы «Нанять» дерева вероятностей компании ЭП

1 1 Нанять / л Не нанимать -ЧХ- А _w_ Р(Іі)- неф ги нет Р(І2 средний іапас Р(Із - МОЩНЫЙ 4 онтан г ’ г 3 _ 1 /гл ГГЛ _Х»Л_ г? Прядать Бурк ть Пр< дать Бурк ТЬ Прі дать Бурк ТЬ Нр< да іу Бурк ТЬ ч- ' х" X X 150 X 150 X 150 X -350 xj г / X Ч г г г Х-571 459 1267 200 X ч

Рис. 258 Первый шаг анализа дерева альтернатив компании ЭП

На следующем шаге анализа нужно найти сумму произведений EMV_max, показанных в строчке 15 таблицы на , и полных вероятностей Pj прогноза Ij, чтобы заменить ветки с плодами, исходящие из узла №2, на единый плод -ожидаемую монетарную стоимость альтернативы «Нанять». Эта сумма произведений вычислена в ячейке С16 (). Полученная величина ЕМ?_нанять=503 тыс. много больше, чем ожидаемая монетарная стоимость альтернативы «Бурить», при условии, что ЭП не нанимает геофизическое агентство: EMV_^ нанимать=200. Таким образом, выигрыш от несовершенной информации геофизиков составит EVSI=303 тыс. (EVSI - сокращение от английского Expected Value of Sample [or Survey] Information). Как видно, EVSI в данном случае примерно в полтора раза меньше стоимость совершенной информации EVPI=425 тыс. (рассчитанной ранее). Это верхняя граница того, что ЭП может заплатить за такую информацию (с учетом существующих вероятностей ошибок прогноза). Поскольку агентство требует меньшую плату (100 тыс.), компании ЭП нужно соответствующее исследование заказать и затем следовать полученным рекомендациям. Ожидаемая монетарная стоимость такого поведения превысит ожидаемую монетарную стоимость альтернативы «Бурить» (без использования дополнительной информации) на 203 тыс. (с учетом платы агентству за предоставленную несовершенную информацию).

Интересно выяснить чувствительность принятого решения к вариации априорных вероятностей нахождения нефти. Без дополнительной информации, увеличение вероятности отсутствия нефти всего на 2% ликвидировало всякое различие между EMV альтернатив «Бурить» и «Продать» и не позволяло принять рационального решения. Посмотрим, как будет меняться EM^rara^ при вариации этой вероятности в сравнении с EMV альтернативы «Не нанимать». Как и раньше, будет изменять вероятность p1 («Нефти нет») за счет вероятности p3=1-pi-p₂ («Мощный фонтан»). Показанный на лист MS-Excel позволяет легко провести такой анализ (по сравнению с таблицей 16 сюда добавлен расчет EMV альтернативы «Не нанимать») и резюмировать его с помощью таблицы подстановок. Результат так же приведен на .

А В О О ГТІ F G Н i J к 1 Прогноз Априорные вероятности 2 І1 І2 Іі Pi Р EVSI 3 Реальные состояния Si 0,75 02 0,05 0,5 303 =F17 4 s2 0,15 0fi5 02 03 0,1 43 5 s3 0 035 0,65 02 0,19 105 6 Полные веноятиости Pi 0,420 0365 0215 0,2 112 7 0,3 176 8 Апостериорные ве зоятности 0,4 239 9 іі І2 іі Выигрыши 0,5 303 10 Реальные состояния Si 0,893 0274 0,116 -700 0,6 147 11 s2 0,107 0534 0279 500 0,62 106 12 S3 ОШ) 0,192 0,605 2000 0,7 0 13 ЕМ?Бурить -571.429 458.9041 1267,442 14 ЕМ?_Продать 150 150 150 15 EMV max 150 458.9041 1267,442 16 ЕМ?_Нанять 503 EVSI 17 303 1 CD О II F19 18 Альтернативы Нефти нет Средний запас Мощный фонтан EMV EMVJHe нанимать 19 Бурить -700 500 2000 200 200 20 Продать 150 150 150 150 21 Вероятности 0,500 0,300 0,200

Рис. 259 Анализ устойчивости решения для дерева альтернатив компании ЭП

Видно, что по сравнению с исследованной выше ситуацией принятия решения лишь на основе априорных вероятностей, интервал устойчивости выбора оптимальной альтернативы расширился с 2% до 12% изменения вероятности p₁. Лишь при увеличении вероятности отсутствия нефти до 62% стоимость несовершенной информации практически сравнивается с требуемой платой за проведения геофизических исследований (что делает альтернативу «Нанять» агентство невыгодной). При этом, однако, нетрудно проверить, что в этом случае альтернатива «Бурить» стоит -124 тыс., что не оставляет сомнений в правильности альтернативы «Продать» и без привлечения геофизиков. Уменьшение вероятности p₁ до 19% также делает найм агентства невыгодным. Но опять-таки видно, что в этом случае он абсолютно излишен, так как стоимость альтернативы «Бурить» становится равной 1037 тыс., что не оставляет сомнений в необходимости «Бурить».

Таким образом, привлечение дополнительной (пусть и несовершенной информации) позволяет разрешить проблему неопределенности выбора компании «Энергия палеолита» и принять рациональное решение.

Приемы решения задач

7.П-1. Производитель снегоходов

Производитель снегоходов должен сделать заказ на двигатели на 1 месяц работы у внешнего поставщика. Время выполнения этого заказа поставщиком - 2 месяца. Кампания делает снегоходы на заказ и количество произведенной продукции определяется числом заказов на снегоходы в данном месяце. Какое число заказов компания будет иметь через 2 месяца (когда подойдет заказ от поставщика, который надо сделать сегодня) неизвестно, но предыдущий опыт позволяет оценить вероятность различных уровней спроса. Данные представлены в таблице.

Кол-во двигателей	200	300	400	500	600	700
Вероятность продаж	0.15	0.25	0.25	0.2	0.1	0.05

Если купленный двигатель используется в тот месяц, для которого он куплен, он дает прибыль $300, если он залеживается до следующего месяца, это влечет убытки $100.

Постройте таблицу выигрышей и потерь. Используя принцип максимума ожидаемой монетарной ценности определите:

каков оптимальный размер заказа?

какова цена совершенной информации?

Как изменится оптимальное решение, если потери от неиспользованного вовремя, двигателя составляют $300? Как при этом изменится стоимость совершенной информации?

Проанализируйте, насколько существенно изменится решение, если вероятности известны с точностью не лучше 5 процентных пунктов.

Сравните выводы, к которым приводят критерии максимина и минимаксных сожалений, с решением на основе максимума ожидаемой монетарной ценности альтернативы.

Решение задачи.

Для того чтобы построить таблицу выигрышей и потерь необходимо определиться, какие значения спроса (сценарии будущего) мы будем считать возможными и из каких предполагаемых размеров заказа мы будем выбирать оптимальный (альтернативы).

Данная в условиях задачи таблица распределения вероятностей различных значений спроса подталкивает к тому, чтобы в качестве возможных значений спроса выбрать 6 чисел, отраженных в ней. Это особенно естественно, поскольку для этих уровней спроса уже оценены соответствующие вероятности.

Отвлекаясь от конкретной формулировки условия задачи, обсудим происхождение представленной в условии таблицы распределения вероятностей различных значений спроса? Как подробно обсуждалось в теоретическом введении к настоящей главе, существуют два источника для подобного рода информации: реальная выборка значений спроса, основанная на исторических данных, или экспертные оценки. Очевидно, что в реальной выборке различные «некруглые» значения спроса (например, 222, 390, 715 и т.п.) были сгруппированы в 6 диапазонов около представленных в таблице «круглых» значений от 200 до 700. Результаты построенной на исторических данных статистической выборки могут непосредственно использоваться для прогноза спроса на интересующий нас период времени в будущем (в этом случае говорят, что используется «наивный прогноз: завтра будет так же, как сегодня»). Разумеется, эти результаты можно скорректировать, используя экспертные оценки. Например, пусть из тех же исторических данных следует, что спрос на тот или иной продукт имеет сильную сезонную компоненту (что весьма реалистично для продажи снегоходов), или наш отдел маркетинга в настоящее время проводит мероприятия по интенсивному продвижению продукта так, что в следующем месяце ожидается существенное увеличение спроса, по сравнению с предыдущими месяцами, на основании которых и было получено распределение вероятностей, представленное в условии задачи. В этом случае, менеджеры отдела маркетинга могут предположить (на основании своего опыта), что представленные в таблице уровни спроса следует увеличить (например, на 30%), сохранив прежние оценки вероятностей этих уровней, или наоборот, сохранив возможные уровни продаж, сдвинуть максимум распределения вероятностей в сторону более высоких значений.

Поскольку вся эта «внутренняя кухня компании» осталась за рамками рассматриваемой задачи, примем, что данное в условии распределение вероятностей спроса следует непосредственно применить к интересующему нас месяцу. Тогда, для избежания не нужных сложностей, в качестве рассматриваемых альтернатив размера заказа естественно выбрать те же значения, что и уровни спроса, представленные в таблице.

X (3 LL Ш О о со < 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 4 Варианты заказа (альтернативы) 200 5 300 6 400 7 500 8 600 9 700 10 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05

Рис. 260

Тогда таблицей выигрышей и потерь будет иметь 6x6=36 клеток, в каждой из которых необходимо подсчитать финансовый выигрыш или потерю. Если организовать таблицу так, как показано на рисунке (), то эти финансовые результаты должны содержаться в ячейках C4:H9. Их можно подсчитать для каждого из 36 вариантов развития событий отдельно, но это утомительно и, главное, совсем не в духе идеологии MS-Excel. Лучше составим формулу._

При различных вариантах заказа и спроса может возникнуть две принципиально разных ситуации.

Первая ситуация. Спрос превысил сделанный заказ или в точности соответствовал ему. В этом случае мы продадим все, что у нас запасено на данный месяц и не больше этого. В таблице C4:H9 этой ситуации отвечают ячейки, расположенные выше диагонали, идущей от ячейки C4 к ячейке H9 (либо расположенные на самой диагонали). Чтобы подсчитать прибыль в этих случаях достаточно, очевидно, умножить размер заказа на прибыль от продажи одной единицы. В виде формулы для протягивания для ячейки C4 это запишется так: =$B4*$C$1. Здесь ссылка на величину прибыли от использования одного двигателя в течение месяца со дня покупки фиксирована полностью и при протягивании не изменяется, а ссылка на размер заказа фиксирована только по столбцу. Это сделано для того, чтобы при протягивании формулы вправо ссылаться на одну и ту же величину заказа, а при протягивании вниз переходить к следующему размеру заказа, который меняется по строкам.

Вторая ситуация. Спрос оказался ниже размера заказа. В этом случае часть закупленных двигателей останется на складе и принесет убытки. Продадим

мы столько двигателей, какова оказалась величина спроса, а разница между размером заказа и спросом останется. Поэтому прибыль для ячейки C9, например, запишется следующим образом: =C$3*$C$1+ ($B9-C$3)*$F$1. В первом

слагаемом (полученной прибыли) ссылка на величину спроса C$3 фиксирована по строке, поэтому при протягивании формулы по вертикали не меняется, а при протягивании по горизонтали указывает на различную величину спроса. Во втором слагаемом ссылка на размер заказа фиксирована по столбцу, а ссылка на величину спроса по строке (все, как и в предыдущих случаях). Чтобы записать одну формулу для всех случаев, используем функцию =ЕСЛИ(..). В ячейке C4 запишем:

=ЕСЛИ($B4<=C$3;$B4*$C$1;C$3*$C$1+($B4-C$3)*$F$1), т.е. если заказ меньше спроса или равен ему, используем формулу =$B4*$C$1, а если нет - формулу = C$3*$C$1+($B4-C$3)*$F$1.

Распространив эту формулу на всю таблицу, получим следующий

).

X (3 LL Ш О о со < 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 4 Варианты заказа (альтернативы) 200 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 6 400 40 80 120 120 120 120 7 500 30 70 110 150 150 150 8 600 20 60 100 140 180 180 9 700 10 50 90 130 170 210 10 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05

Рис. 261

результат (

Из этой таблицы следует, что если мы закажем, например, 600 двигателей, то с вероятностью 0,15 получим $20 тыс. С вероятностью 0,25 получим $60 тыс., с такой же вероятностью 0,25 - $100 тыс., с вероятностью 0,2 - $140 тыс., с вероятностью 0,1 мы точно попадем в спрос и получим $180 тыс. и, наконец, с вероятностью 0.05 спрос превысит наш заказ и мы получим те же $180 тыс., что и при спросе 600 двигателей.

Используя эти данные можно оценить средний взвешенный финансовый результат EMV для каждой альтернативы (значения размера заказа). Рассчитаем величину EMV для каждой альтернативы, используя функцию =СУММПРОИЗВ(..). Для заказа в 700 двигателей функция будет иметь вид:

=СУММПРОИЗВ($С$11:$Н$11;С9:Н9). Ссылка на строку вероятностей

фиксирована. Поместим эту формулу в ячейку I9 и протянем вверх до ячейки I4.

Величина EMV () с ростом заказа меняется немонотонно: сначала растет от 60 тыс. до 102 тыс., а затем уменьшается до 90 тыс. Максимальная величина средней прибыли - 102 тыс. - соответствует заказу 500 двигателей.

A BCDEFGH I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 Варианты заказа (альтернативы) 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 84 6 400 40 80 120 120 120 120 98 7 500 30 70 110 150 150 150 102 8 600 20 60 100 140 180 180 98 9 700 10 50 90 130 170 210 90 10 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05

Рис. 262

Как показано в теоретическом введении, дополнительная информация способна увеличить нашу ожидаемую прибыль и уменьшить риск потерь. Вычислим стоимость совершенной информации. Для этого сначала, в строке C10:H10 определим максимальные выигрыши при каждом сценарии будущего, используя функцию =МАКС(..).

Для ячейки С10 формула будет выглядеть следующим образом: =МАКС(C4:C9). При протягивании формулы вправо до ячейки H10, мы увидим, что каждый раз из столбца прибылей выбирается значение ячейки, расположенной на диагонали таблицы.

Так как вероятности каждого уровня спроса остаются прежними, мы можем подсчитать ожидаемую монетарную ценность в гипотетическом случае владения совершенной информацией (т.е. если каждый месяц некий ангел-

хранитель будет подсказывать нам точное значение споса). Для этого просто

A BCDEFGH I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 Варианты заказа (альтернативы) 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 84 6 400 40 80 120 120 120 120 98 7 500 30 70 110 150 150 150 102 8 600 20 60 100 140 180 180 98 9 700 10 50 90 130 170 210 90 10 Угадали спрос 60 90 120 150 180 210 120 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05 12 EMVPI= 120 EVPI= 18

Рис. 263

Оказывается, уникальный источник совершенной информации, каждый месяц сообщающий нам точные значения будущего спроса, увеличивает нашу ожидаемую прибыль всего на 18% (получим 102 тыс. вместо 120 тыс.). Эта величина и есть стоимость совершенной информацией EVPI, т.е. верхняя граница цены, которую мы готовы платить за информацию при выборе из рассматриваемых альтернатив при данных сценариях будущего.

Как уже неоднократно подчеркивалось, совершенную информацию (особенно о спросе) получить невозможно. Несовершенная информация (основанная на экспертных оценках) всегда носит вероятностный характер и

действует на статистическое распределение вероятностей, изменяя его в ту или другую сторону. Например, если наши эксперты из отдела маркетинга говорят, что спрос в следующем месяце будет выше обычного, это, очевидно, означает, что вероятности высокого спроса должны увеличиться, а вероятности низкого спроса, напротив, уменьшиться. В нашей таблице вероятность того, что спрос не превысит 400 двигателей, равна 0,65 (0,15+0,25+0,25), а вероятность того, что спрос будет 500 двигателей и выше - 0,35. Т.е. вероятность низкого спроса почти вдвое выше вероятности высокого. Предположим, что информация экспертов выравнивает эти вероятности. Тогда распределение вероятностей можно записать, вычитая из первых трех вероятностей по 0.05, и добавляя столько же к последним трем вероятностям (см. таблицу )._

Оценка распределения вероятностей при учете информации
Спрос	200	300	400	500	600	700
Вероятности при повышенном спросе	0.1	0.2	0.2	0.25	0.15	0.1
Вероятности при пониженном спросе	0.2	0.3	0.3	0.15	0.05	0

Рис. 264

В свою очередь, если спрос в следующем месяце ожидается ниже, чем в текущем, мы можем оценить изменение распределения вероятностей, уменьшив вероятности высокого спроса и увеличив, соответственно, вероятности низкого (см. таблицу на рис. 206 ). Для сравнения на рисунке () все три распределения показаны в виде графиков.

Рис. 265 Жирной непрерывной линией показано первоначальное распределение. Для вновь полученных распределений вероятностей спроса нужно повторить расчеты максимального значения EMV. Скопируем построенную раньше таблицу на два новых листа Excel (через команду Переместить\Скопировать...). Заменим в этих листах вероятности на новые и получим следующий результат ().

0.35 0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 -

0 -1

A BCDEFGH I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 Варианты заказа (альтернативы) 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 82 6 400 40 80 120 120 120 120 92 7 500 30 70 110 150 150 150 90 8 600 20 60 100 140 180 180 82 9 700 10 50 90 130 170 210 72 10 Угадали спрос 60 90 120 150 180 210 107 11 Вероятность спроса 0.2 0.3 0.3 0.15 0.05 0

Рис. 266 Расчет EMV альтернатив для пониженного спроса

A BCDEFGH I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 Варианты заказа (альтернативы) 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 86 6 400 40 80 120 120 120 120 104 7 500 30 70 110 150 150 150 114 8 600 20 60 100 140 180 180 114 9 700 10 50 90 130 170 210 108 10 Угадали спрос 60 90 120 150 180 210 134 11 Вероятность спроса 0.1 0.2 0.2 0.25 0.15 0.1

Рис. 267 Расчет EMV альтернатив для повышенного спроса

Как мы можем видеть, при повышенном спросе () максимальное значение EMV (114 тыс.) соответствует выбору либо 500, либо 600 двигателей. При пониженном спросе () максимальное значение EMV (92 тыс.) соответствует выбору 400 двигателей. Однако результат заказа 500 двигателей всего на 2 тыс. хуже.

Это означает, что если мы будем все время заказывать 500 двигателей и не станем реагировать на сигналы о возможном повышенном или пониженном спросе, то фактически ничего не потеряем. Выбор 500 двигателей оптимален и остается таковым даже при значительных вариациях вероятностей сценариев будущего, отражающих возможные вариации спроса. Это небольшое исследование является ответом и на вопрос о том, изменяется ли оптимальное решение, если учесть, что все вероятности известны нам с точностью не лучше 5 процентных пунктов. Мы взяли два крайних случая того, как может выглядеть истинное распределение вероятностей спроса и, выбранное первоначально решение -заказать 500 двигателей, практически не изменилось.

Наряду с распределением вероятностей спроса большое влияние на выработку решения имеет относительная величина возможных потерь. Мы говорим относительная, так как значение имеет соотношение величин прибыли от использования двигателя в конечном изделии и потери от его хранения в течение лишнего месяца. В первоначальной постановке задачи ожидаемые потери в три раза меньше, чем прибыль. Из-за этого оптимальный размер заказа получается выше, чем среднее значение ежемесячного спроса. Мы, кстати, до сих пор не подсчитывали, каков именно этот средний спрос. Давайте сделаем это сейчас.

Расчет среднего спроса делается точно так же, как и ожидаемой монетарной ценности, только теперь значения спроса мы умножаем на соответствующие вероятности. Добавим в какую-нибудь ячейку формулу =СУММПРОИЗВ($С$11:$Н$11;С3:Н3).

Результат вычисления оказывается равным 400 двигателей.

Таким образом, мы получили оптимальный размер заказа в 500 двигателей при среднем спросе 400 двигателей. Это, как мы уже отметили, связано с тем, что прибыль от своевременного использования двигателя выше, чем потери от его хранение в течение лишнего месяца.

В задаче спрашивается, как изменится решение, если потери достигают 300 единиц. При этом размер прибыли в расчете на один двигатель равен потерям. Если вспомнить идеологию однопериодной модели заказа, связь которой с данной задачей очевидна, то можно предположить, что в этих условиях выгоднее всего окажется заказ, равный среднему. Проверим это, изменив в исходной таблице () величину потерь на -0,3 тысячи ().

A BCDEFGH I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.3 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 Варианты заказа (альтернативы) 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 30 90 90 90 90 90 81 6 400 0 60 120 120 120 120 87 7 500 -30 30 90 150 150 150 78 8 600 -60 0 60 120 180 180 57 9 700 -90 -30 30 90 150 210 30 10 Угадали спрос 60 90 120 150 180 210 120 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05 400 12 EMVPI= 120 EVPI= 33

Рис. 268

Как мы видим, оптимальный заказ, соответствующий максимальному значению EMV=87 тыс., действительно равен 400 двигателям. Построенная таблица содержит и другую интересную, с точки зрения формирования заказа, информацию. Например, из того, что EMV₃₀₀=81 тыс., а EMV₅₀₀=78 тыс., можно сделать вывод, что ошибка в величине заказа в меньшую сторону обойдется дешевле, чем в сторону завышения.

В целом же условия бизнеса ухудшились. Возможные потери, в случае если мы завысили оценку спроса, увеличились. Поэтому ожидаемая прибыль при оптимальном размере заказа и стала меньше.

Здесь же отметим и возросшую цену совершенной информации (EVPI=33 тыс.). Это соответствует общему принципу, который понятен и интуитивно: чем выше риск и вероятные потери, тем дороже информация.

Проверьте, что стоимость совершенной информации обращается в ноль, если возможные потери статут равны нулю. И снова все понятно: если информация не приносит дополнительных денег она ничего не стоит!

Последний вопрос задачи фактически тоже связан с точность имеющейся у нас статистической информации. Допустим, что статистики по снегоходам у нас нет. Приведенные значения вероятностей мы взяли из данных о спросе на какой-либо близкий товар, из экспертных оценок, но совершенно не уверены, что они справедливы в нашем случае. Попробуем, в этой ситуации, привлечь оценки по критериям максимина и минимаксных сожалений.

Оценка по критерию максимина очень проста и не требует каких-либо изменений в проделанных уже расчетах. Вернемся к первоначальной таблице (). Согласно критерию максимина, для каждой альтернативы нужно выбрать тот сценарий будущего, при котором наш выигрыш минимален (это критерий пессимиста - с нами случится самое худшее, какую бы альтернативу мы

ни выбрали), а затем выбрать ту альтернативу, где это «самое худшее» лучше всех остальных. В данной задаче, независимо от выбранной альтернативы, самое худшее - это наименьший спрос- 200 двигателей. Посмотрим по таблице, при каком заказе прибыль для спроса 200 двигателей максимальна. Ясно, что это 60 тыс., и соответствует такая величина прибыли заказу 200 двигателей. Это и есть оптимальное решение по критерию максимина._

A BCDEFGH I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 Варианты заказа (альтернативы) 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 84 6 400 40 80 120 120 120 120 98 7 500 30 70 110 150 150 150 102 8 600 20 60 100 140 180 180 98 9 700 10 50 90 130 170 210 90 10 Угадали спрос 60 90 120 150 180 210 120 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05 400 12 ^3" EMVPI= 120 EVPI= 18 14 200 300 400 500 600 700 Макс. потери 15 Варианты заказа (альтернативы) 200 0 30 60 90 120 150 150 16 300 10 0 30 60 90 120 120 17 400 20 10 0 30 60 90 90 18 500 30 20 10 0 30 60 60 19 600 40 30 20 10 0 30 40 20 700 50 40 30 20 10 0 50

Рис. 269

Для оценки по критерию минимаксных сожалений необходимо построить таблицу упущенных возможностей. В этой таблице на месте финансового выигрыша (или потери) в каждой клетке должна содержаться разница между максимально возможной прибылью для данного уровня спроса (строка C10:H10) и прибылью из таблицы C4:H9. Запишем в ячейку C15 формулу =C$10-C4 и распространим ее на всю вторую таблицу C15:H20 (Рис. 211). После этого нам нужно выбрать для каждого размера заказа максимальные упущенные возможности («самое худшее» - по критерию максимальных сожалений). Добавим к таблице столбец «Макс. потери». Запишем в ячейку I15 формулу =МАКС(05:Н15) и протянем ее вниз до ячейки I20. Таким образом, мы получили максимальные упущенные возможности для каждой альтернативы - размера заказа. Обратите внимание, что эти упущенные возможности имеют разную природу. Все числа выше диагонали (здесь наши упущенные возможности равны нулю, так как заказ оказался в точности равным спросу) - это неполученная прибыль. Числа ниже диагонали - прямые финансовые потери. Согласно критерию максимаксных сожалений мы должны учитывать эти два вида потерь на равных основаниях.

Величина максимальных упущенных возможностей с увеличением размера заказа тоже меняется немонотонно - сначала уменьшается, а потом растет. Самое маленькое значение этой величины - 40 тыс. - соответствует заказу в 600 двигателей. Заметьте, что выбор по критерию минимаксных сожалений зависит только от соотношения прибылей и потерь и не учитывает распределение вероятностей. Тем не менее, в данном случае, выбор оказывается близким к выбору в соответствии с критерием максимума EMV.

7.П-2. Дефектные комплектующие

Один из цехов приборостроительного предприятия производит элетромагнитные катушки, которые c вероятностью p могут быть дефектными. Количество изделий в партии 2000.

Прошлый опыт указывает, что в зависимости от правильности настройки производственной линии и соблюдения технологических параметров, вероятность дефекта в партии p равна либо 0,03, либо 0,10. Причем, в среднем для 80 % произведенных партийp равняется 0,03, а для 20% партийp равняется 0,10.

Эти катушки используются как комплектующие при сборке приборов, и в конечном счете их качество будет определено выходным техническим контролем. Предприятие может или испытывать каждую катушку на специальном стенде, что обходится в 15$ за штуку и отбрасывать дефектные, или использовать изделия на сборке непосредственно без испытания. Если выбрано последнее, дефект обнаружится при сплошном техническом контроле на выходе с производственной линии, а стоимость переделки составит в конечном счете 175$ за каждый дефектный прибор.

Что выгоднее для предприятия: испытывать каждую катушку на стенде до сборки приборов или переделывать дефектные приборы после сплошного контроля?

Требуется также рассмотреть дополнительную возможность: из каждой партии можно отправить в лабораторию любое изделие, по которому (по отклонению некоторой совокупности характеристик от заданных значений) можно будет практически достоверно установить состояние линии и ожидаемый процент бракованных катушек в данной партии. Стоимость анализа 125$. Стоит ли проводить такой анализ? Каковы будут суммарные издержки в этом случае? Как следует поступить, если выборочный лабораторный анализ качества технологического процесса не дает абсолютно достоверного результата (несмотря на обещания разработчиков методики). Реально, такой анализ с 95%-ой вероятностью правильно определяет долю брака, но в 5% случаев допускает ошибку (т.е. если реально процент брака в партии 3%, анализ в 5% случаев дает оценку брака 10%, и наоборот, если реально процент брака 10%, анализ в 5% случаев определяет его равным 3%). Дает ли в этом случае какую либо выгоду такой лабораторный анализ? Каковы будут суммарные издержки?

Решение задачи.

В этой задаче таблица выигрышей 4x4, так как выбирать приходится только из двух альтернатив - проверять катушки или нет, и процентное содержание бракованных изделий в изготовленной партии также может принимать только два значения (два сценария будущего).

Если мы примем решение обязательно проверять все катушки, то и при доле бракованных изделий в 3%, и при доле в 10% издержки в расчете на партию из 2000 изделий будут одинаковы и составят $30000 ($15*2000). Если мы решим оставить все на выходной контроль, то при доле бракованных катушек в 3% нам придется переделать около 60 приборов (2000*3%), что обойдется в 10500 ед. Это значительно меньше, чем при сплошной проверке. Но при доле бракованных катушек в 10% издержки достигнут 35000 ед., что больше, чем при сплошной проверке.

Организуем данные так, как показано на рисунке () и запишем в таблицу результаты наших вычислений.

А В С D | Е 1 2 3 4 5 6 7 D 9 Количество изд. в партии 2000 Стоимость переделки 175 Цена испытания на стенде 15 Стоимость анализа 125 Таблиц а прибылей и затрат Процент дефектных изделий 3% 10% ЕМ? Испытывать все изделия -30 000 -30 000 Оконечный контроль -10 500 -35 000 Максимум -10 500 -30 000 Вероятность 80% 20% Е?РІ=

¦1 n Рис. 270

Рис. 271 В результате этих расчетов получим искомое решение (). А В С D Ё~

1 Количество изд. в партии 2000 Стоимость переделки 175 Цена испытания на Стоимость 2 стенде 15 анализа 125 3 Таблица прибылей и затрат Процент дефектных ЕМ? 4 изделий 3% 10% ЕМ? без ЛА Испытывать все 5 катушки на стенде -30 000 -30 000 -30 000 6 Выходной контроль -10 500 -35 000 -15 400 -15 400 7 Максимум -10 500 -30 000 -14 400 8 9 Вероятность 80% 20% EVP l= 1 000

Рис. 272

Ясно, что в среднем выходной контроль выгоднее сплошной проверки катушек на стенде практически вдвое - суммарные издержки составляют только $15400 против $30000.

Рассчитанная стоимость совершенной информации EVPI =$1000 ( ). Таким образом, если лабораторный анализ первого изделия в партии способен абсолютно точно определить, какая доля брака будет в текущей партии, т.е. дает совершенную информацию до принятия решения о методе контроля для данной партии, можно ожидать еще $875 экономии издержек (EVPI минус стоимость лабораторного анализа).

Несколько иная ситуация возникает в случае, если лабораторный анализ не дает абсолютно точной информации. Как подробно рассмотрено в теоретическом введении к этой главе, следует нарисовать дерево альтернатив (рис.216), включающее двухступенчатое решение:

использовать лабораторный анализ или нет

проверять все катушки или положится на выходной контроль.

При этом для расчета вероятностей различных сценариев будущего, соответствующих выбору тех или иных ветвей дерева, необходимо, исходя из условных вероятностей правильности предсказаний лабораторного анализа, вычислить полные вероятности Pj того или иного результата прогноза Ij (см. формулу 5а), а также переоценить вероятности P(Si/Ij) уровней брака в данной партии (3% или 10%) в свете предсказаний лабораторного анализа. Эти вычисления проведены на листе MS-Excel, представленном на .

А В С D Е F G 1 Условные вероятно брака п сти правильности определения доли ри лабораторном анализе 2 П р о це нт д е ф е кт н ы у, изделий Полные вероятности 3 3% 18% р(і) 4 Предсказание 3% 95,0% 5,0% 77,0% =СУМ М П Р 0 ИЗ В < В4: С4: $ В $6: $ С $6) 5 Предсказание 10% 5,0% 95,0% 28,0% =СУММПРОИЗВ(В5:С5; (В$6:$С$6) В Априорные вероятности PCS') 80% 20% 7 Ап о от е р и о р н ы е в е р о я т н о от и В П р о це нт д е ф е іа н ы к изделий 9 3% 10% 10 Предсказание 3% 98,7% 1,3% 11 Предсказание 10% 17,4% 82,6% =C5*C$6/$D5 1?

Рис. 273 Расчет полных вероятностей различных предсказаний лабораторного анализа и апостериорных вероятностей различных уровней брака в данной партии.

Полные вероятности P(Ij) показаны в ячейках D4,D5. Если бы лабораторный анализ давал безошибочную (совершенную) информацию, то эти полные вероятности были бы равны априорным, т.е. 80% и 20%. Но из-за внутреннего несовершенства методики анализа, в некоторых случаях он предскажет 3%-ю долю дефектных катушек тогда, когда доля брака на самом деле равна 10%, и наоборот. Эти ошибки в большей или меньшей степени отклонят полные вероятности предсказания уровня дефектности партии от априорных вероятностей.

Расчет апостериорных вероятностей P(Si/Ij), т.е. вероятностей уровня дефектности партии в свете дополнительной информации, полученной из лабораторного анализа, в соответствие с формулой (7а), представлен в ячейках B10:C11. Видно, что если лабораторный анализ выдал предсказание «Доля брака в текущей партии 3%», то с вероятностью 98,7% нужно ожидать, что это так и есть. Лишь 1,3% вероятности за то, что в действительности доля брака составит 10%. Если лабораторный анализ выдал предсказание «Доля брака в текущей партии 10%», то это подтвердится с вероятностью 82,6%, а с вероятностью 17,4% уровень брака будет 3%.

Эти вероятности использованы для построения дерева альтернатив на

.

3 J I Лаборатор ный анализ Без лабораторного анализа А —- W 77% 23% Пред сказ ано 3% Пред сказ но 10% 1 L Стенд Р А ыходной контроль Стенд р ыходной контроль Стенд ^Выходной контроль I1 о -(¦ Л \ 1 у I- \ ^ 1 ’ ' _ ' ¦ 1 -30000 -30000 -30000 3% 10% 3% м > 10% 3% шк 10% U ' . 90,7% ’ ,1,3% ’ 17,40% " .02,60% ” 00% • • 20% -10500 -35000 -10500 -35000 -10500 -35000

Рис. 274 Дерево альтернатив для проблемы дефектных комплектующих.

Анализ дерева, как рассматривалось в теоретическом введении, следует начать с вычисления ожидаемой монетарной ценности ветвей, приводящих в крайние черные узлы. В нашем случае это узлы №№5,6,8. EMV альтернативы «Выходной контроль» без лабораторного анализа уже была вычислена на листе MS-Excel, представленном на .

> СО О О Е F G 3 Таблица прибылей и затрат 4 П р о це нт д е ф е ктн ы к изделий 3% 10% ЕМ? ЕМ? без ЛА 5 Испытывать все катушки на стенде -30 000 -30 000 -30 000 В Выходной контроль -10 500 -35 000 -15 400 15 400 7 Максимум -10 500 -30 000 -14 400 S 9 Веооятность 80% 20% Е?РІ= 1 000 10 11 Условные вероятно бвака п сти правильности определения доли ри лабораторном анализе 12 Процент дефектных изделий Полные вероятности 13 3% 10% р(і) 14 Предсказание 3% 95,0% 5,0% 77,0% 15 Предсказание 10% 5,0% 95,0% 23,0% 16 Априорные вероятности PfSI 80% 20% 17 18 19 Переоценка вероятностей Процент дефектных изделий ЕМ?_испыты-вать все ЕМ?_вы ход-ной контроль ЕМ? max ЕМ? сЛА 20 3% 10% 21 Предсказание 3% 98,7% 1,3% -30 000 -10 818 -10 818 -15 230 22 Предсказание 10% 17,4% 82,6% -30 000 -30 739 -30 000 23 Испытывать все катушки на стенде -30 000 -30 000 24 Выходной контроль -10 500 -35 000 EVSI = 170 25

Рис. 275 Расчет оптимального решения по дереву альтернатив для проблемы дефектных комплектующих.

EMV, соответствующие узлам №№5,6, для альтернатив «Выходной контроль» после предсказаний лабораторным анализом соответственно 3% или 10% брака в данной партии (и переоцененными вероятностями различных уровней брака в свете этой информации) вычислены в ячейках E21:E22 листа MS-Excel, представленного на . Для вычисления этих значений мы ввели в ячейку E21 формулу

СУММПРОИЗВ (B21:C21;$B$24:$C$24),

и протянули ее на ячейку E22. В графу «EMV_испытывать все» (т.е. испытывать все катушки на стенде), в ячейки D21:D22, мы просто переписали стоимости сплошного контроля катушек на стенде, которые не зависят от предсказаний лабораторного анализа.

Вид дерева альтернатив после этого первого шага анализа представлен на .

после первого шага анализа.

Видно, что если лабораторный анализ предсказал 3% брака в текущей серии, следует положиться на выходной контроль, а если - 10%, следует провести сплошную проверку всех катушек на стенде. В ячейках F21:F22 мы вычислили максимум из EMV альтернатив, исходящих из узлов №№3,4 дерева на рис. 218. Видно, однако, что альтернативы, исходящие из узла №4 отличаются очень незначительно. Поэтому следует ожидать, что стоимость информации, представляемой лабораторным анализом будет невелика. Чтобы проверить это завершим анализ дерева на рис. 218, вычислив ожидаемую монетарную ценность ветки, входящей в узел №2. Для этого в ячейку G21 листа на рис. 217 введем формулу

СУММПРОИЗВ(Г21Е22; D14:D15)

т. е. перемножим ожидаемые монетарные ценности наилучших альтернатив, исходящих из узлов №№3,4 на рис. 218, на полные вероятности предсказаний 3% или 10% брака в лабораторном анализе.

Сравнивая значения EMV_без ЛА=-$ 15400 (ячейка Е6) с только что вычисленной EMV_ЛА=-$ 15230 (ячейка G21), находим, что стоимость несовершенной информации EVSI составляет всего $170 (ячейка Е24). Учитывая, что стоимость лабораторного анализа составляет $125, реальный выигрыш от весьма точной (95% попаданий!), но несовершенной информации лабораторного анализа составит всего $45. Это более чем в 20 раз меньше, чем определенная выше стоимость совершенной информации (EVPI=$1000). Впечатляющий пример влияния несовершенства информации на ее стоимость!

Как и в предыдущей рассмотренной задаче в строке «Максимум» показано, каковы были бы издержки, если бы до принятия решения, мы могли бы получить совершенную информацию о доле брака в данной партии. В столбце D5:D7 будем рассчитывать ожидаемую прибыль для обеих альтернатив и для выбора при владении совершенной информации. Заодно сразу же найдем стоимость совершенной информации. На следующем рисунке () показаны использованные формулы.

	А	В	С	D	Е
1	Количество изд. в партии	2000	Стоимость переделки	175
2	Цена испытания на стенде	15	Стоимость анализа	125
3	Таблица прибылей и	затрат
4	Процент дефектных изделий	3%	10%	ЕМ?
	Испытывать все катушки на
5	стенде	=-Ш$1*Ш$2	=-$В$ГШІ2	=СУММПРОИЗВ($В$9:$С$9;В5:С5)
6	Выходной контроль	=-ІВ$ГВ4*$Е$1	=-$В$ГС4*$Е$1	=СУММПРОИЗВ($В$9:$С$9;В6:С6)
7	Максимум	=МАКС(В5;В6)	=МАКС(С5;С6)	=СУММПРОИЗВ($В$9:$С$9;В7:С7)
9	Вероятность	80%	20%	Е?РІ =	=D7-MAKC(D5:D6)

Содержание раздела

---