Глава 2. Задача управления портфелем ценных бумаг в стохастике

§1. Формальная постановка двухкритериальной задачи при управления портфелем в многошаговом случае

В настоящей работе рассматривается двухкритериальная задача об управлении портфелем в динамике с целью максимизации ожидаемого дохода от вложенного капитала в начале и максимизации критерия допустимых потерь в конце процесса. Содержательно постановка аналогична рассмотренной в предшествующей работе, в которой принимал участие автор [17], но в отличие от прежней записи динамика портфеля записывается в переменных - количествах ценных бумагах.

Дальнейшее развитие получает анализ уравнений Беллмана [85]. Предложены вычислительные процедуры прогонки, которые основываются на декомпозиции исходной задачи на случайный процесс и детерминированный.

Часть результатов описанных ниже опубликована в работах автора [86 - 92].

Рассмотрим управление портфелем ценных бумаг на интервале времени [0, T], где индекс t е [0, T] соответствует номеру торговой сессии.

Будем считать, что в период времени [—p, T], p > 0 на рынке представлены N видов бумаг.

Каждой бумаге i в день t будем сопоставлять значение цены c_{t t}. Величины c_{t t} принимают дискретные значения в промежутке [0, c_max ] с шагом A_c. Вектор цен в день t будем обозначать c_t.

За рассматриваемый в модели период времени часть находящихся в обороте ценных бумаг может погашаться, может происходить размещение новых выпусков. Из соображений формализации будет удобным считать, что в любой момент времени t е [—p, T] участнику рынка доступны все N видов бумаг. При этом, если некоторая бумага i впервые появилась на вторичных торгах в сессию t, то определим ее цену для всех сессий t' < t (предшествующих t), как c_t, _i — 0; если t - последняя из торговых сессий, предшествующих погашению бумаги i, то для всех t' > t положим c_t, _i — 0 .

Будем считать, что бумаги і могут быть в день t проданы или куплены по цене c_{t і}. (Как правило, цену последней сделки можно с

удовлетворительной точностью реализовать на практике, что важно для адекватности рассматриваемой модели действительности.)

Текущее состояние находящегося в управлении портфеля ценных бумаг будем моделировать вектором (h_t1, h_t2,K , h_tN ), где h_ti - количество бумаг і - го вида в портфеле в момент времени t . Обозначим S_{t i} - стоимость входящих в портфель бумаг і - го вида

в момент времени t: S_ti — c_{t t}h_{t i}.

Будем считать, что любая денежная сумма может быть целиком конвертирована в облигации произвольного вида i без остатка и величины h_ti могут принимать произвольные дробные значения.

На практике при операциях с облигациями в силу их дискретности, как правило, возникают денежные остатки. Это приводит к тому, что доходность операций оказывается несколько ниже, чем она была бы в непрерывном случае. Однако при достаточно крупных объемах вложенного капитала влияние “неработающих” остатков на общий доход столь невелико, что им можно пренебречь без особого ущерба для результатов.

Для произвольной сессии t обозначим через h_ti количество (по цене c_t,i ) бумаг вида i , находящихся в портфеле до операций купли-продажи, а через h- стоимость бумаг этого вида в портфеле, после указанных операций. Отметим, что h_ti > 0, h^_i > 0 и

^ht ,i ^{— h}t+1,i .

При операциях с ценными бумагами инвестор выплачивает бирже комиссионные сборы. Комиссия взимается с каждого акта, будь то продажа или покупка. Мы будем рассматривать несколько типов поведения инвестора в расчетах с биржей.

Основная задача, случай G.

Если инвестор в день t проводит операции с некоторым видом бумаг і, то с данным видом бумаг это только одна операция: либо продажа (части) бумаг i, либо покупка (дополнительная) бумаг вида i .

В этом случае динамика изменения количества бумаг в портфеле (из h_t в ht) удовлетворяют соотношению

^(CtK ⁾ = ^(ct, К ⁾ - Е ^(k\^CtAi - ^ct,Кг |)

і=1

Вспомогательная задача, случай E

В начале сессии инвестор продает все бумаги и на полученный капитал закупает в конце сессии новый набор облигаций.

В этом случае динамика портфеля описывается соотношением

^(cA⁾=^(ct, к⁾ - Е ^(kct,A⁾ - Е ^(kct л⁾

і=1

і =1

Вспомогательная задача, случай O Инвестор не выплачивает комиссию.

В этом случае динамика портфеля описывается соотношением ^(ctK⁾ = ^(ct, ^ht⁾.

Через S_t , St обозначим стоимость портфеля до и после управления в день t , соответственно

Sг = X s- , s; = X s; .

1=1

i=1

Целью управления будет максимизация за период [0, T ] дохода ST от вложенного в ценные бумаги в первый день управления капитала и минимизация риска.

Изменение цен от сессии к сессии будем описывать в виде марковского процесса с дискретным временем и глубиной p, т.е.

вектор цен в день t - это случайный вектор c_t с распределением

F (ct) = Ft (ct

t = 0,l,2,K T

C C C )

t-2,КЛ"t-pS ¦

В дальнейшем управление в день t в рассматриваемой модели отождествим с выбором ИТ .

Набор таких функций Н⁺ — [ИТ (-))^T=0 назовем стратегией управления, а множество подобных стратегий обозначим Г . Любая стратегия Н⁺ е Г и матрица A_l = (c_t)⁾t^_- полностью определяют вероятностное распределение на траекториях

^(И0 ’ ^ci’ ^И1 ’ ^И ’ ^c2 ’ ^cT-l’ ^hT_-l ’ ^ИТ-l’ ^cT ⁾ ,

которое индуцирует распределение S_T как случайной величины.

Рассмотрим для этой операции инвестора два критерия: критерий, описывающий ожидаемый результат, и критерий, описывающий риск операции.

Критерий математическое ожидание

Ставится задача максимизировать математическое ожидание трансформации S_T в классе стратегий Г :

M (ST ) ^ max ,

или max M_{c c} -_{к c} (c_T, hT__l),

И⁺ И Д F-i ^cl2^ ^{T T}

при ограничениях на динамику портфеля и некоторых ограничениях на переменные процесса.

Критерий допустимых потеръ

Как отмечается в [10, 93], в последнее время в задачах управления портфелем все большую популярность приобретает критерий VaR (Value at Risk), отражающий вероятность превышения (или недостижения) заданного уровня некоторым избранным показателем качества управления и состояния процесса.

Определим в нашем случае при каждой заданной стратегии управления H⁺ этот критерий в виде

^W2 = ^PF(c ) ^((CT ' ^hT ⁾ ^ ^K^ * = ^0,1,К ' ^T '

где F (c_t) - определенное выше распределение для случайного вектора цен, а K - заданный уровень конечного результата.

Перепишем это определение, используя операцию осреднения и характеристическую функцию:

W = X (H ,(Со, ho)),

где характеристическая функция имеет вид

|1, если c_Th_T > K, І0, если c_Th_T < K.

Хт ^{(H + ,(c}0, ^ho⁾⁾ =

Как следует из приведенной записи, при управлении портфелем инвестору желательно стремиться к увеличению показателя качества W₂ .

Парето-оптималъные решения

Введенные таким образом критерии позволяют сформулировать двухкритериальную задачу управления портфелем: (W₁ ,W₂ ) при ограничениях, описывающих динамику изменения состояния портфеля, и при управлении в широком классе управлений, как функций от состояния портфеля и процесса изменения цен. Отдельные постановки задач в зависимости от информированности инвестора приводятся ниже.

Как и в общем случае, в данной постановке можно строить отдельные точки паретовского множества введенных критериев, решая задачи

A₁W₁ + X₂W₂ ^ max

при фиксированных Л₁, Л₂ > 0 и Л₁ + Л₂ — 1.

Замечания

1. Как следует из определения (W₁, W₂) и свойств операции осреднения, для решения сформулированной задачи

^maxM х ,с_т ^(Лі ^(ст > ^hT ⁾ + Л Jr ^{(H +}, ^(co, ^ho⁾⁾

допустимо использование формализма динамического программирования и, следовательно, возможно выписать уравнения Беллмана.

2. В то же время, если в качестве оценки риска принимается дисперсия конечного состояния портфеля по аналогии с классическим случаем задачи Марковица в одношаговом случае, то уравнения Беллмана не приводят к решению задачи, как показывает следующий пример.

Рассмотрим динамический процесс управления ценными бумагами в исходной постановке. Пусть задана некоторая стратегия поведения. Поставим вопрос: можно ли, двигаясь справа налево и отслеживая для состояний системы только дисперсию, просчитать дисперсию результата для всех состояний. Отрицательный ответ следует из примера.

Шаги t — 1,2,3 ; одна бумага в портфеле в единственном числе; состояния s_n, s₂₁, s₂₂, s₃₁, s₃₂ - первый индекс - шаг, второй индекс

нумерует состояния на шаге; управление в каждом состоянии одно, безальтернативное.

После первого шага с равной вероятностью система попадает либо в состояние s₂₁, либо в состояние s₂₂. Из любого из этих состояний на третьем шаге система детерминированно попадает в состояние с тем же вторым индексом.

Цены на бумагу: с₁₁ = 1, c₂₁ = c₃₁ = a, c₂₂ = c₃₂ = b .

Отсюда дисперсия результата (конечного капитала) для состояний s₂₁ и s₂₂ в силу дальнейшей детерминированности процесса равна нулю.

Результирующий капитал после состояния s₁₁ примет с равной вероятностью или значение a , или b . Поэтому дисперсия результата равна

- b. ₂ . ,b - a. ₂ (a - b)²

0.5 * (-)² + 0.5 * (-)² - --—

т.е. является функцией разности a - b, что не соответствует предыдущей нулевой оценке.

3. На практике [16] при решении динамических задач используется следующая модификация критерия типа дисперсии:

W = Мс_іД,с_г (С, h_T ) - K )².

§2. Постановки задач при критерии математического ожидания

Во всем дальнейшем тексте рассматривается однокритериальная задача при критерии математического ожидания.

В зависимости от информированности инвестора и соответственно класса стратегий могут быть сформулированы различные задачи управления процессом трансформации портфеля.

Программные стратегии (функции времени)

а) Если инвестор будет располагать информацией о реализации случайного процесса цен на весь рассматриваемый интервал и выбирать управления в виде h( как функции времени, т.е. как функции только номера шага, то его наибольший результат запишется в виде:

Cj,C2,К.,Of

max (o_t , ht_₁) = W1.

h0 ,h+ д ,h+_i

б) Если оставаясь в рамках программных стратегий инвестор не будет располагать никакой информацией о реализациях случайного процесса, то его наибольший результат запишется в виде

max M_{o о Кс} (o_t , ИГЛ = W”,

h*₀ ,и я ,h*_T__i ^Oi,O2’^{K ,0T}

и решение задачи фактически сведется к детерминированному случаю.

Стратегии - политики (класс синтезов)

в) Если управление в день t разыскивается в виде функции от истории, т. е.

h ^- h ^- h⁺ К h ^- h⁺ h⁺ )

^rit 4^rit-1)^rlt-1^^ 5'*2 ’'*2 ’'ч /

^ht = ^ht^(ot,^rt-i^,K ,^Ot-^i

t = 1,2,К T -1,

что предполагает, что инвестор будет постепенно шаг за шагом получать информацию о ценах, то его наибольший результат запишется в виде

maxM„ maxM„ К maxM„ (o_Thj_₁) — W₂

Of

hf-

г) Если инвестор будет располагать информацией на шаг вперед, во всем оставаясь в рамках предыдущей постановки, то его наибольший результат запишется в виде

M_r max M_r max К M_r max(r_ThT_,) - W2

⁰¹ hj ⁰² ht ^Of h^f-1 ^{1 1 2}

Во всех перечисленных выше постановках учитываются ограничения на динамику портфеля в одной из записей G, E, O.

Теорема 1. Верны следующие соотношения:

w~ < w; < w₂⁺ < w₁⁺ .

Доказател ьство

Данный факт следует из того, что в каждой последующей задаче по сравнению с предыдущей рассматривается более широкий класс управлений, содержащий в себе и управления предшествующей задачи.

Теорема 2. W₂(O) >W₂(G) > W₂(E) .

Доказательство

Этот факт следует из монотонной зависимости конечного дохода от комиссионных изъятий: наибольшее изъятие - в случае E, наименьшее изъятие - в случае O, промежуточное - в случае G.

Все дальнейшее рассмотрение в данной работе относится к случаю в), как наиболее реалистичному случаю, и в смысле получения информации, и в смысле содержания задачи управления портфелем ценных бумаг.

Постановка задачи в модели CALM [16] также относится к данному классу.

§3. Стохастическая задача в классе синтеза без комиссии

Рассмотрим вспомогательную стохастическую задачу без комиссии (случай O) в постановке в). Обращение к этой задаче определяется оценкой по теореме 2 интересующей нас задачи в) в постановке случая G и простотой выкладок.

Как следует из изложенного выше, в этом случае процесс изменения портфеля имеет вид (c_t, h⁺t ) = (c_t, h_t ), где h?, h₂_₁ - векторы, компоненты которых есть количества облигаций номеров j, j — 1,2,К , N, в портфеле после акта принятия решения на сессиях номеров t, t — 1 соответственно.

Управление ищем в виде h (•) = h (c_t, h'l_₁).

Функционал имеет вид (c_T, hT_₁) .

Оптимальная задача в этом случае, в силу Марковости процесса цен и типа ограничений, будет иметь вид

max M_c

h0:

(^co, ^h0^)=S 0

^c2

max M

hi⁺:

(clK )= =(ci,ho⁺ )

max M_c

hU: ₊ <sup>T-1

(c</sup>T-2,^hT-2⁾⁼

V=^(ct-2, ^hT-3⁾

+ ^{max M}c_T (^cT ^{, h}T-1)

^hT -i<sup>:

( c</sup>T -i ^{, h}T -i ^{) =}

V=^(cT-1,^hT-2 ⁾

Определим W_T (c_T, h^_₁) = (Mc_T, h^_₁) и выпишем последовательно для этой задачи уравнения Беллмана [86].

Шаг 1. При выборе hT_₁ на сессии T — 1 для каждой пары c_T-1, hT_₂ решаем задачу линейного программирования

^WT-1 ^(cT-1, ^hT - 2 ^{) _ m}+^axMc_T ^(cT , ^hT-1⁾ ,

^hT-1

при ограничении (c_T_₁, hT_₁) = (c_T_₁, h_T_₂) .

Решение данной задачи находится в одной из вершин, найдем некоторую j_T_ ₁ -ю:

h⁺ )

ri_T-2J

^(cT-1

=^(c

c h<sup>+

C</sup>T-1, j_T _/^lT-1,j_T _1

^{T 1}, Jr _1

^cT-1j _1

Подставим это соотношение в функционал рассматриваемой на этом шаге задачи и получим выражение для оценки оптимального значения функционала общей задачи, если процесс начинается с точки НГ_₂ при цене c_T__x:

^(CT-1, ^hT-2 <sup>)

C</sup>T-1,Jt-1 _y

W (_С h⁺

'' T-A T-15''т-2

) = max M

С.

^T, ^JT-1

^cT ,Jt-1

Jt-1

((

Mc_T

max

Jt-1 Ct

^T, jT -1

V\ ~ ^{T -1}, Jt -1 J

c h⁺

^T-1?^{1 l}T -2

Наряду с этой прямой задачей линейного программирования рассмотрим двойственную ей задачу. Она имеет вид

^min(^(cT^hT⁺_2⁾^T-1 )

^фТ-1

при условии ^_T_jc_T_j > Mc_T , где ф_т1 - двойственная скалярная переменная.

Отсюда следует, что решение двойственной задачи достигает-

^T ,^j T-1

Mc

ся при р_т1 = max —

^Jt-1 c

T-1,jt-1

В силу определения процесса изменения цен видно, что двой-

Фт _

ственная переменная

^фТ _1 — Фт-1 ^(cT-1 ⁾ .

^ct-1 ^{, т}.^е.

зависит только от

Шаг 2. Теперь на сессии T — 2, для каждой пары c_T_₂, h^_₃ мы решаем задачу

W_T _₂ (c_T _₂, hj_₃) = max MW_T _ (c_T _, hj_₂)

hf-2

при ограничении (с_т_₂, ИГ_₂) = (c_T_₂, h_T_₃) .

В силу предшествующего замечания относительно (р_т_₁ эта задача также есть задача линейного программирования:

(С

Mc

^T, Jt-1

c h<sup>+

L</sup>T-1* '^lT-2

max M _c

max

' ^ст-1

Jt-1 Ct 1 j

W ^{T _1}» ^JT-1 j

T-2

= ^m+^{ax M}c_T-1 (<Pt-1 ^(ст-1 ^)ст-1 , ^hT-2 )

^hT-2

при ограничении (с_т_₂, Щ_₂) = (с_т_₂, hT_₃) .

Вершина j_T_₂, где достигается решение этой задачи, находится из соотношения

^(ст-2 , ^hT-3 ⁾

с h^{+ =} (с h⁺ ) —— h⁺

^T-2,Jt_2 T-2,jT-2 V T-2’ 'T-3 ^— '^lT-2j_.

^{т 2},Jt-i

Оптимальное значение оценки функционала общей задачи для состояния с_т_₂, hT_₃ запишется в виде

((

(( Л W

¹¹ Mc_{T j}

max-— c_T _

^Jt-1 C_T , _j

VV ^{T 1 j}T-1 J

T-1

^WT-2 ^(ст-2 , ^h-3 <sup>)

C</sup>T-2 , ^h-3

max

Jt-2

^{T 2}, ^jT-2

VV

min<sup>1

ф</sup>Т -2

Выпишем здесь двойственную задачу ⁱⁿ(^(CT-2 , ^hT-Ъ⁾Фт-2 )

^пР^и у^словии фт_₂С_Т_₂ > М_{Ст і} (<р_т_ ⁽С_т_ )с_т_ ) . Решение этой задачи имеет вид

р_т_ ₂ = max

Jт-2

^М{рт-1 ^(СТ-1 ^)СТ-1,]_Т_₂)

^{Т 2}, }т-і

Заметим, что ^_т_ ₂ = ^_т_ ₂(с_т_ ₂).

Шаг 3. Теперь на сессии Т — 3 для каждой пары с_т_₃, КТ_₄ решаем задачу

W _₃ (с_т _₃, ИТ_Г_₄ ) = max МЖ_Т _₂ (с_т _₁, К_₂)

КТ_3

при ограничении (с_{т 3}, К^_₃) = (с_т_₃, К^_₄ ) .

В силу предшествующего замечания относительно (р_т_₂ это также задача линейного программирования

\РТ_2 ^(ст_2 ^)ст_2 , ^КТ_3 )

Т-2

W_₃(с_т_₃,КТ_₄) - maxМ_с

^КТ -3

при ограничении (с_т_₃, К^_₃) = (с_т_₃, К_т_₄ ) .

Вершина 7_Т3 находится из соотношения

^(ст-3 , ^КТ-4 ⁾

с К^{+ =} (с К⁺ ) —— К

^Т-3,j_r_3Т-3,;_г_3 V"Т-3’ ^rТ-4/ ^{— г} Т-3,j_r_3

^т-3, Jr-3

Оптимальное значение оценки конечного функционала задачи запишется в виде

W (c h⁺ ) =

rr t _3\^t _3 , 'ij _4 )

cc

(f

Mc,

^Mc

max

t _i

VV

t-W

M_c

max

^jT _2

'T-2

- ^cT_2

^{T - 2, j}T _2

+

T-4

^cT -3 ,

max

Jt _3

^cT-3, Jt _3

J У

этой задачи будет:

)

vv

Решение двойственной к

р_т_₃ (c_{T 3}) = max

Jr-3

^{M {р}т -2 ^(cT-2 )^cT-2, j_T_₃

^cT-3, Jt _3

Рекуррентные соотношения для коэффициентов в функционалах прямых задач или оптимальные значения двойственных переменных запишутся так:

Mc_r .

(p_r_ ₁ (c_T_ ₁) = max-—

^Jr-i cr 1 •

^{r j}, Jr-1

(^MPr -i ^(cr -i^)c:

1^ T -1 ^ T-1, Jr -2

^cT

^фТ-2 ^(cT-2 ^{) max} Jr -2

^_T_ ₃ (c_T_ ₃) = max

Jr-3

^{T-2, j}T-2

{]^M^T-2 ^(cT-2 ^)cT-2, J_r_

^{T -3, j}T-3

(м^Ж₊іК₊і,_л⁾

Vt ^(ct⁾ = ^max

ait

Шаг T. На сесии 0 решаем задачу

maxМ (срі (^ci ^)ci, h0 ) = maxM

^h0 ^j0

P1^(c1^)c1<sup>-

0</sup>. io

^M) ₍ X M(p₂(c₂)c₂,_A )

= S₀ max

^j0

где p₁ (c₁) = max

^0,j0

ал

c0-i0 ho-i0 = S0, K._it = ^ , и S₀- начальное значение капитала.

W₂(P).

Теорема 3. W( E) =

Доказател ьство

Утверждение следует непосредственно из уравнений Беллмана в случаях E и O, поскольку в случае O ограничения имеет вид

^(cT ^{- h}T ^{) (c}T ^{- h}T ⁾ ,

1 - к

случае

вид

имеет

^(cT , ^hT ⁾

у 1 + к

Также из приведенных выше соотношений следует справедливость утверждения.

Теорема 4. Локально-оптимальная задача, т.е. случай, когда на каждом шаге решается задача оптимизации стоимости портфеля только на шаг вперед, близка к исходной задаче в точной постановке, если все p_t близки к константам (в тривиальном случае к единице).

Заметим, что рассматриваемая задача, несмотря на простую запись, содержит в себе все трудности изучаемого нами класса задач управления. Приведем примеры того, что промежуточные цели

W (c_t, h^_₁) могут быть нелинейными функциями, а решение многошаговой задачи не совпадает с серией последовательно решаемых локальных задач с прогнозом на шаг вперед.

Замечание 1. Пример нелинейности промежуточных целей. Пусть на рынке, на каждой торговой сессии представлены два вида бумаг (бумага 1 и бумага 2). Рассмотрим три последовательные торговые сессии (три шага управления: шаг 1, шаг 2 и шаг 3). Начальный капитал 51=1. Векторы цен на шаге 1: С₁(1,1); на шаге 2: c₂ (c₂₁,1), где c₂₁- случайная величина с известным распределением, принимающая значения в интервале [2,4]; на шаге 3: c₃( c₃₁,2), где c₃₁= C₂₁, т.е. реализация случайной величины c₂₁ на шаге 1. Критерий управления таков, как и для общей задачи: M (c₃, h₂⁺), в нашем случае M(c₃₁h2"₁ + 2h₂₂) . Комиссия (плата за каждый шаг) полагается равной нулю, следовательно, на шаге і е 1,2: ^(С, к⁾ =^(C,^{h+), а так как} hr = h;₊1^{, то (}Сі, ^hi⁾ = ⁽Сі, ^hh⁾. ^Найти управления h⁺, h₂⁺, доставляющие максимум критерию, т.е. W₀ = max M- max M_r (c₃ ,h₉⁺, + 2h₉⁺9).

⁰ hti.h;₂ ^c2 h₂⁺,₁,h₂⁺,₂ ^c^ ^{3,1 2,1 2,2}

Решим задачу последовательно шагом назад, на каждой сессии максимизируя текущие оценки критерия W(c_t, h_t_₁) .

Рассмотрим шаг 2.

На шаге 2 цена бумаги 1 (реализация случайной величины c_2,1 )

C₂₁ e [2,4]. Вектор h⁺ фиксирован и возможные значения определяются из начальных условий. Необходимо найти

^W1 — ^{m ax(C}2,1^h2,1 + ^2h2,2<sup>)

h</sup>2,1 ,^h2,2 при ограничительном условии C₂₁h₁⁺1 + C_{2 2}h⁺2 ⁼ C₂₁h₂₁ + C_{2 2}h_{2 2}.

По условию задачи C_{2 2} — 1, C_{1 1} — 1, C₁₂ — 1,

S₁ = C_{1 1}h₁⁺1 + C₁₂hf₂ = 1, отсюда h⁺2 = 1 - hf₁ и ограничительное условие принимает вид C₂h₁ + h2 ₂ = C_{1 1}h₁⁺1 - h₁⁺1 + 1, заметим , что при C₂₁ e [2,4] и h^i e [0, 1], C_{2 1}h₁⁺1 - h^i ⁺1 ^> 0 .

Максимизируемый критерий и ограничительное условие есть линейные формы, множество ограничений есть выпуклый многогранник. Поэтому на шаге 2 решается классическая задача линейного программирования

C₂₁h2_L1 + 2h2"₂ ^ max,

^C2,1^h2,1 + ^h2,2

^hG ^{e [0,1]}.

C h<sup>+

u</sup>2,ri,1

h + 1, h* h2⁺2 > 0, C,1

[2,4],

Решение задачи находится в вершинах многогранника линейных ограничений, т.е. в нашем случае в одной из двух точек:

,0) или (0, C₂₁h₁⁺1 — h₁⁺1 +1). Очевидно, что макси

C2,h1 - ^1 + 1

C

^2,1

мум C₂₁h₂₁ + 2h₂₂ достигается в точке (0, C₂₁h₁⁺1 — h₁⁺1 +1) и равен

W₂ = 2(C₂₁h₁⁺1 - h₁⁺1 +1). Это означает, что на шаге 2 весь капитал

вкладывается в бумагу 2, вне зависимости от структуры портфеля в начале (до принятия решения) на шаге 2.

Рассмотрим шаг 1.

Необходимо найти ^w1 - m ^ax ^McW = ip ^ax M ^(2(с2лК1 ^- K,1+¹⁾⁾ при условии h₁⁺1 e [0,1].

Решение задачи находится при h⁺i ⁼ 1 ^в точке (1,0) и W = 2Mc₂₁. Весь капитал на шаге 1 вкладывается в бумагу 1.

Итак, решением всей задачи являются управления (1,0) и h₂⁺ (0,1), при которых

max M_c (c

_h+ _h+ ^c3,1 ^v ¦

^h2,1’^h2,2

3,1^h2,1 + ^2h2,2⁾ - ^2Mc

W = max M_c

К1К2 ²

2,1 •

Теперь рассмотрим предложенную выше задачу с одним дополнительным ограничением на управление: h₂₁ < 3.

Также решим задачу последовательно шагом назад, на каждой сессии максимизировав критерий W(c_t, h^_₁) .

Шаг 2.

Решим задачу линейного программирования

C₂₁h2_l1 + 2h2"₂ ^ max,

[0,3],

С2Л.1 + h₂⁺,₂ = C1X1 - h+ +1, h₂⁺,1 > 0, h₂<sup>+

C</sup>2,1 ^{G [2,4] , h}\,1 ^{G [0,1]} .

В этом случае при условии C₂₁h₁⁺1 — h₁⁺1 +1 ^< 3 решение достигается в одной из вершин многогранника ограничений в точке (0, C₂₁h₁⁺1 - h₁⁺1 +1). При условии, когда C₂₁h₁⁺1 - h₁⁺1 +1 > 3, решение достигается в вершине нового многогранника ограничений

₍С_2ЛК_Л - hu - 2_{3) й й}

(-,3) , но не в крайней точке первичного многогран-

^C2,1

ника. Это приводит к тому, что текущая оценка критерия имеет две ветви:

2(^С2Д^1Д h_l,_l + 1), ^C2,l^hl,l ^h1,1 +¹ < ³,

^C2,1^h1,1 ^{_ h}1,1 + ⁴ , ^C2,1^h1,1 ^{_ h}1,1 + ¹ — ³-

Если изобразить графически в координатах c₂₁, h₁⁺1 кривую перехода от одной ветви к другой, то эта гипербола

+ 2

C₂₁hf₁ — h₁⁺1 +1 = 3 на интервале h₁⁺1 ^е [0, —] проходит выше c₂₁ — 4, а при h₁⁺1 е [— ,1] располагается в интервале [2,4].

Отсюда мы получаем, что при h₁⁺1 ^е [0,3] необходимо решить

задачу max M₁ — M⁰, где математическое ожидание

^h1,1

2

M₁ = MW, а при h₁⁺1 е [—,1] необходимо решить задачу

¹ c_ue[2,4] ^1,1 3

maxM₂ = M2 , где математическое ожидание M₂ вычисляется как

*

сумма математических ожиданий на двух отрезках:

^M2 ^{= M}c_2>1e[2,H ]^(C2,1^h1,1 ^{_ h}1,1 ^{+ 4) + M}c₂₄e[H,4] ^(2(C2,1^h1,1 ^_h1,1 ^{+ 1))}'

Оптимальное значение критерия определится как max[M °, M ₂⁰].

Замечание 2. Пример несовпадения локальной и многошаговой оптимизации

Сессий - три, бумаг - две, комиссии нет. На нулевой сессии цена обеих бумаг 1. Инвестор на нулевой сессии платит единицу и по выбору получает или бумагу 1, или бумагу 2.

На первой сессии два равновероятных варианта цен.

Вариант 1: (4,1).

Вариант 2: (0,1).

На второй сессии цены бумаг зависят от того, какой вариант реализовался на первой сессии.

Если реализовался первый вариант, то цены (0,0).

Если реализовался второй вариант, то цены (4,4).

Критерий - математическое ожидание конечного капитала.

Проведем анализ операции. Если инвестор на первой сессии выбирает бумагу 1, то его ожидаемый капитал после этого шага равен 2. Однако после второго шага он гарантировано разорен. Если игрок выбирает на первом шаге бумагу 2, то после этого шага его капитал равен 1. После второго шага с равной вероятностью его результат равен либо 0, либо 4, т.е. математическое ожидание результата равно 2. Таким образом, локально оптимальным на первом шаге является выбор бумаги 1, а оптимальным - выбор бумаги 2.

Локально оптимальная стратегия является оптимальной, если фазовое состояние системы полностью определяется случайным фактором и не зависит от выбора управлений (от них может зависеть текущий доход). Если “почти”не зависит, то локально оптимальная “почти” оптимальна, т.е. может идти речь о приближенном решении. В рассматриваемом случае это так, если после каждой операции взимается комиссия и затем текущий доход изымается из оборота.

Если фазовое состояние зависит от управления, то “расстояние” между локально оптимальной и оптимальной стратегиями может быть сколь угодно велико, вне зависимости, детерминированный это вариант или случайный.

§4. О разложимости исходного портфеля на элементарные (простые) портфели

Рассмотрим задачу в постановке в) при комиссии в форме G и при критерии математическом ожидании конечного капитала.

Определим портфель как набор из ценных бумаг h_t — (h_t0, h_t1, К , h_tN), где h_ti - количество бумаг i -го вида в

портфеле в момент времени t. h_t0 - количество текущих денежных

средств. В каждый момент t будем рассматривать h_{t ,i} , h_{t ,i} количество бумаг вида i, находящихся в портфеле до операции купли-продажи и после соответственно.

Пусть ^_ti - количество купленных бумаг вида i в день t, а

n_t j - количество проданных бумаг вида i в день t.

c_ti - цены в момент времени t, описываются марковским процессом с глубиной p .

Предполагается, что биржа за каждую операцию с портфелем взимает плату пропорционально объему капитала, задействованного в операции. Коэффициент пропорциональности будем называть комиссией.

Ограничения на количество бумаг:

ht

К₊і,, ^и К > о> ^h+ti > о,

Кг + ?,i - Kti ^и 4_t i ^ ^{0, п}г,г ^ ⁰.

ht

Ограничения на капитал:

Е ^ctiK = Е ^ctaK -^k Е ^ctKta -^k Е

i=0 i=0 i=0 i=0

у^{читывая h}ti = Ki + ?,i ^{- П}иг ^{, пол}у^чим (1 + k)? ^cT_i J_T__u = (1 - k^cT__x

i=0

i=0

Заметим, что если каждый вид бумаги i в день t только покупается или только продается т.е. %_ил_и — 0 , то ограничение на капитал запишется в виде задачи G.

^(ct, к⁾=^(ct, к⁾ - Е ^{- c}tM b.

,=і

Тогда после операций купли-продажи в момент t, перед новым актом принятия решений в момент t +1, оценка капитала имеет

N

^вид X ^ct₊iA"+v •

i=0

Под трансформацией капитала понимается переход от

NN

X c_tih~_i к X c_t+1ihf_+1i , под управлением в день t - м выбор ?_ti,

i=0 i=0

n_{t i} и соответственно hi, t = 0,K , T .

Определим цель управления портфелем как стремление к максимальному увеличению математического ожидания конечной

N

стоимости портфеля X c_T h _i , или, поскольку по условию задачи

i=0

N

h_t+1 = h^, к величине X c_{T i}hj__{1 i} •

i=0

Рассмотрим оптимизационную задачу в постановке в) §2.

maxM_r maxM_r К maxM_r (c_ThT ₁) = W₂

h+ ^Cl h+ ^C2 h+_₁ ^{CT 1 T 2}

Для этого случая справедливы следующие уравнения Беллма-на.

N

При t = T определим оценку O*_T (c_T, h~ ) = X c_T fa _t.

i=0

При t = T — 1 определим оптимальную оценку для портфеля h_T1 при ценах c_T_ ₁

= ^max E^McTi^h+T_u = ,^max E^McTi №_V + 4_1,i - ^KT_ii ⁾,

^hT-¹ i-0 ^іт-1’^Жт—1 i-0

w w

⁽¹ + ^k)E ^CT-1,i^T-1,i ^{= (1 _ k)}E ^CT-1,i^T-1,i ,

0*t-i⁽c_t_i, h^) = m^ax M_cO*_T{c_T, h_T ⁾ = max M_Ct ? с_т #__и

^hT-1

^hT-1

Ьт_—\=h

¹ i=0

z=0

z=0

4T^:-i,i ^ ⁰’ ^t-u ^ ^

^hT-1, i + ^T-1, i — ^T-1, i — ⁰ •

При t = T — 2 определим оптимальную оценку для портфеля hT_₂ при ценах с^₂:

^OT-2 ^(СТ-2 , ^hT-2 ^{) _ max M}с_т_₁ ^OT-1 ^(CT-1, ^hT-1 ⁾ ,

^hT _2^:

Ьт_2 =Ь _1

⁽¹ + ^k)Е ^СТ-2,i4T-2,i = ⁽¹ -^к)Е

^СТ-2,i^T-2,i ,

i=0

i=0

4T-2,i ^ ⁰ ₅ ^T-2,i ^ ⁰ ₅ ^hT-2,i + -2,i ^_ ^T-2,i — ⁰ •

Соответственно для текущего t определим оптимальную оценку для портфеля h_t при ценах c_t :

^O* ^(ct, ^ht⁾ = m^{ax M}ct₊₁ ^O*₊1 ^(ct₊1, ^ht"₊1⁾,

^{h :}

h+=h"+1

(1 + к )? c. ?,,= (1 - к )?

^ct•

i=0

i=0

Ki + 4t,i - ^Kti > 0.

Указанные соотношения прямо следует из определения и постановки задачи, реализуя принцип оптимальности Беллмана. Теперь для данного процесса установим справедливость принципа разложения

Оптимальная оценка суммарного портфеля равна сумме оптимальных оценок слагаемых портфелей.

Действительно, проведем рассуждения по индукции, двигаясь справа налево.

1. При t = T справедливость разложения следует из свойств линейной формы - скалярного произведения.

2. При t = T -1 рассмотрим три портфеля И^_ ₁, h-T-₁, ₁,

таких что h_T-1 = h^ + h^_₁, и установим соответствие между оптимальными оценками этих портфелей.

От_і ^(ст-1, ^hT-і) шах ^ МСт,г ^(hT-і,г + ^т-1,г ^т-1,г):

ёг-л-¹ г=о

N N

⁽¹ + ^k)^ ^СТ-1,Лт-1,г ^{= (1 _ k)}^ ^СТ-1,г^ПТ-1,г ,

г=о

г=о

?т-ч ^ ^{0, п}т-1,г ^ <sup>0,

h</sup>T-1,г ⁺ ?т-1,г ^{_ К}Т-1,г — ⁰ .

^ОТ-1^(СТ-1, ^h-1^{) _} ,таХ ^^Мст- ^(h_1,i + ‘'т-1,г ^_ ^'Т-1,г ⁾

N

^Т-Ъ^ЖТ-1

г=О

⁽¹ + ^k)^ ^СТ-1,гІт-1,г ^{— (1 k)}^ ^СТ-Ц^Т-Ц ’

г=о

г=о

4“-1,г ^ ^0, %Т-1,г ^ ^О>

^h-1,г ⁺ ^Т-1,г ^Т-1,г — ^О .

⁽¹ + ^k)^ ^CT-U^T-H ^{— (1 k)}^ ^CT-U^T-U ’

iV^lT_1,i ¹ bT_1,i "T_1,i7>

%T-Ъ^пT-1

г=0

i=0

i=0

4^_-1,i ^ ^ ^'T-1, i ^ ⁰,

^hT-1,i ⁺ ^T-1 ,i — #T-1,i — ⁰ ¦

Как следует из линейности оптимизируемой функции в приведенных выше записях, она может быть представлена в виде суммы

^ ^MCT ,i ^(hT-1,i ⁺ ^T-1,i ^T-1,i ⁾

i=0

⁼ ^^McT,i ^(hT-1,i + %T-1,i ^_ ^T-1,i ^{) +} ^^McT i ^(hT-1,i ⁺ ^T-1,i ^_ ^T-1,i ⁾, i=0 i=0

так как

^hT-1,i ^{_ h}T-1,i + ^hT-1,i ,

%T-1,i ^{= <}7T-1,i ⁺ ^ST-1,i , ⁿT -1,i ⁼ ^T-1,i + ^T-1,i ,

и, следовательно, общая оптимальная задача раскладывается на сумму двух задач, так что:

^OT-1 ^(ct-1^{, h}T-1 ^{) _ O}T-1 ^(ct-1^{, h}T-1 ⁾ + ^OT-1 ^(ct-1^{, h}T-1 ⁾ ¦

3. Рассмотрим теперь текущий шаг t и соответственно три задачи на этом шаге:

о* (C_t, h;⁾ = in ax M 0*_M (c_M, h;_+l⁾,

^{h :}

h=hT₊i

(1 + k )? Ct A, ,= (1 - k )?<

i= 0

C* > ⁰, ⁿti > ⁰,

К+&,i - кt, >⁰-

°'t ^(ct, ^hi⁾ = hP^{ax M}c_t+! °₊1 ^(ct₊1 > Ki⁾ >

^h:

h+=лт+1

(1 + k )X ct it ,= (1 - k )?

^ctAi.

i=0

z=0

⁰* ^(ct, ^ht ⁾ = in^{ax M} °₊1 ^(ct₊1, ^hM ⁾ ,

^{h :}

ht=hT₊i

w w

⁽¹+^{k )}E ^ct,.-^ft,i =⁽¹ -^{k )}E ^ct, a, >

i=0

Если для момента t +1 справедливо

⁰*₊1 ^(ct₊1, A⁾ ^ ⁰m ^(ct₊1, A⁾ + A ^(ct₊1, A⁾ Д^{ля любых} Р^азложений А = А + A, то тогда для задачи (5) можно записать следующие эквивалентные преобразования:

⁰* (c_t,^h) - max M 0*_M (c_M, h_M⁾ -

^ht :

^ht ^=ht+i

^{- max} M+0h ^(ct₊1, Kl ⁾ + ^Mc_t +i °₊1 ^(ct₊1, ^hM <sup>)) -

h</sup>=^h+i-

^h=k+i

^{- max M}CI Oh ^(ct₊i, ^ht₊i⁾ + in^{ax M}c_t+₁⁰*₊i ^(ct₊i, ^hM^{) -}

ht ^: , h ^:

f( =^h+l fit =ht+1

- 0*(c_t, h-) + 0*(c_th;),

так как ⁽¹ + к⁾^ ^cta ⁽?_ta + ⁾ = ⁽¹ - к⁾^ ^cta ⁽ft_ta + %_ti^{) и}

i=0 i=0

K, > 0, к > o, > о, І_иг > о, n_Ul >о, h_t. >о,

К+к*+4-+4 - ,, - ,, ^⁰ •

Следствие. (Вытекает из доказанного Принципа Разложения.) Для любого портфеля h_t = (h_{t 0},h_{t 1} ,К ,h_tN) допустимо разложение на простые (элементарные) портфели, т.е.

0*(c,, и;) = ? о* (ct ,h ; (i)fi_t,

i+1

где h_t (i) - простой портфель состоящий только из одной бумаги вида i, т.е. h~_ti (i) = 1,. h~_tj (i) = 0, Vj e [0, N] ^ i.

Теорема 5. Если h_t - простой портфель, то оптимальное поведение на шаге t реализуется путем перехода в простой портфель на шаге t +1.

Доказательство. (Непосредственно следует из предыдущего утверждения.) Рассмотрим уравнение Беллмана на шаге t. Пусть h_t (r) - простое состояние. Тогда задача оптимизации записывается в виде 0*⁽Ct₊₁, ^h"₁⁾ = max ? М_См ⁰*_M^(ct+u^h;_+u ⁽іЩ_г =

^ht i — 0

= ^max Z ^Mct₊i ⁰*i ^(ct₊i > ^ht+i ⁽ⁱ⁾⁾?,i - ^Mct₊i °₊i ^(ct₊i > ^h;₊i^(r ^ +

^h ІФГ

+^Mc₍+i⁰tli^(ct₊i> ^hM^{(r ))h}^ >

C W . ..

t,i t,i t,i t,i

при ограничениях (i + к )^ c_ti ?t,= (i - к )?

i^r іфг

Кг + ? ,i - K_t< > ⁰.

Решение реализуется в одной из вершин многогранника ограничений:

1) если n_t,_r — 0, то ,_r - 0 ;

2) если n_tr = h~_r, то вершина определяется из условий

I ₌ IzACi h-

bt,r _л 1 ^,lt,r •

ⁱ + ^к C ,i

Оптимальная оценка в этом случае определяется в виде

i ~ к ^Mc_t+1⁰h^(ct₊i, ^h;₊i⁽ⁱ⁾⁾ i + к c_ti

^max[Mc^ ₁⁰*i ^(ct₊i > ^ht+i^(r));<sup>max

C</sup>t,r ^] * Kr >

т.е. путем перехода в одно из простых состояний на t +1 шаге.

Теорема 6. Поскольку стартовое положение портфеля простое h0 — (5₀,0,К ,0) , то оптимальная стратегия в полной задаче

реализуется в последовательном переходе из простого состояния в простое.

§5. Две принципиальные схемы метода размытых целей

Опираясь на формулировки соотношений для коэффициентов (p_t (c_t) , опишем две принципиальные схемы алгоритмов для вычисления приближенных стратегий в постановке задачи в) при ограничениях O и критерии математическом ожидании конечного капитала

maxM_c maxM_c К maxM_c (c_ThT_₁) - W2_

h+ ^ci h+ ^c2 h+_₁ ^{cT T T 2}

в рамках применения одного из классических подходов: метода последовательных приближений [94]. Данный метод предполагает выбор на первом шаге рационального приближения к искомой стратегии и последующего последовательного улучшения стратегий (политик). С вычислительной точки зрения очень важно правильно выбрать начальное приближение. Выбор первого промежуточного

критерия в виде (Mc_t+1, ) «хорош» своей непосредственностью:

улучшать ожидаемую стоимость портфеля на следующем шаге, не отягощаясь прогнозом на последующие шаги. Видимо, это вполне естественно выглядит, если рассмотреть управление бесконечношаговым процессом.

Далее используются те же самые исходные посылки: процесс изменения портфеля описывается (c_th_t⁺ ) = (c_t, h_tt₁),

t — 0,1, К , T — 1, заданы все функции распределения для цен c_t, задан критерий (c_T, hT_₁) . Управление в виде политик выбирается в пространстве синтезов: h* (•) = h* (c_t, h_tt₁).

Метод улучшения размытых целей при движении слева - направо

Идея принципиального алгоритма состоит в том, чтобы построить последовательность улучшений промежуточных критериев, которые образуются путем “размытия” первого приближенного критерия.

Траекторию изменения портфеля будем выбирать, принимая в качестве правила выбора управления (политики) решение на каждом шаге задачи.

Найти

N

Z ^(аti^MCt₊1,г ^, Кг ⁾ ^ ^max

i-1

при ограничении (c_th⁺t ) = (c_t, ht_₁), t — 0,1,K , T -1,

где весовые коэффициенты a_ti характеризуют «размытость» тех простых политик, которые следуют из решения задач:

для каждого i найти

^max(Mct₊1,г , Кг ⁾

при ограничении (c_th_t⁺ ) = (c_t, h^_₁), t — 0,1,K , T -1.

Шаг 1. Построим процесс трансформации портфеля, исходя из правила выбора синтеза путем решения задачи

N

Z ^(Mct₊1,i ^, Кг ⁾ ^ ^maX »

І-1

при ограничении (c_th⁺t ) = (c_t, h_t_₁), t — 0,1,K , T -1.

Это будет начальным состоянием (положением) в процессе улучшения политик для данного класса управлений, - данная задача

1

соответствует случаю a_ti = n ¦

Шаг 2. Рассчитаем, двигаясь слева направо, (Mc_T, ИГ_₁ ) = ST° . Шаг 3. Варьируем а”, а°,К ,а°, т.е. от одного набора коэффициентов «размытия» а₁⁰,а2,К ,а⁽° переходим к другому набору.

Процедуры «размытия», т.е. выбора различных наборов весовых коэффициентов [a°_t } ,могут быть разными.

Если варьируется только a°_t , при фиксированных остальных

значениях а₁, а₂, К , a_tч, a_t+1, К , а_т будем говорить о локальном

варьировании (размытии) промежуточных целей.

Если варьируются все компоненты набора векторов

,а°,К ,ttj, то будем говорить о полном многошаговом изменении (размытии) весовых коэффициентов.

Шаг 4. При новом наборе коэффициентов а\,а2,К ,а¹т вычисляем (Mc_T, hT__l ) = Si, решая последовательно t — 0,1,К , T — 1 задачи:

Найти

N

Z ^(аU^MCt₊и , Кг ⁾ ^ ^max »

І-1

при ограничении (c_th_t⁺ ) = (c_t, h_tt₁) .

Шаг 5. По изменению критерия ST определяем направление изменения {tt_t⁰}, формируем новый «размытый» образ системы целей а₁⁰,а2,К ,аT, и переходим к шагу 3. Если изменений критерия задачи не последовало, переходим к шагу 6.

Шаг 6. Изменяется либо начальное состояние, либо принцип выбора весовых коэффициентов на шаге 5 (после чего переход на шаг 3), либо процесс вычислений завершается.

Метод улучшения размытых целей при движении справа - налево

Как видно из формул определения в §3, коэффициенты p_t (c_t)

зависят только от текущих значений случайных параметров. Если бы мы располагали возможностью вычисления вероятностей дискретных значений c_{t г} в виде матрицы р размерности

C

N x T x (—^max) , то затем расчетом справа - налево по этим форму^Л с

лам мы могли бы рассчитать весь массив необходимых значений ф_г (c_t) и затем, двигаясь слева - направо, рассчитать оптимальную политику. Однако в силу большой размерности этого массива и сложной зависимости цен данная перспектива представляется мало возможной.

В излагаемом здесь методе предлагается «огрубить» вероятностный процесс до размеров, доступных для вычислений и, осуществляя описанные выше действия, постепенно улучшать качество правил управления (политики) в смысле критерия исходной задачи. Приближенное представление процесса изменения цен можно осуществить либо путем аппроксимации функций распределения цен, либо ограничиваясь несколькими значениями цен.

В одной из возможных редакций принципиальная схема алгоритма выглядит следующим образом

Шаг 1. Сформируем приближенное представление о случайном процессе р₀, которое позволит (в смысле вычислительных возможностей ЭВМ) провести расчеты, двигаясь справа - налево, и рассчитаем массив (p_t (c_t) .

Шаг 2. Рассчитаем трансформацию портфеля, двигаясь слева -направо, используя на каждом шаге выбор правил управления путем решения задачи:

Найти max(M^₊i^(ct₊іКі, К ⁾

при ограничении (c_th_t⁺ ) = (c_t,h^_₁), t — 0,1,К ,T-1.

Шаг 3. Вычислим значение критерия задачи ST : конечную стоимость портфеля (Mc_T, hT_₁) .

Шаг 4. Если значение критерия не улучшилось, процедура расчетов завершается, иначе формируем новую матрицу р₁, оценивая результаты шага 3, и возвращаемся на шаг 2.

Практические расчеты

При практическом решении задач оптимального управления в стохастической постановке существует два крайних направления действий:

— при простой политике управления улучшать качество представлений о стохастическом процессе изменения цен,

— при простом (и не очень точном) описании стохастического процесса улучшать, насколько это возможно, качество управления.

Принципы аппроксимации и последовательного приближения в классе стохастических задач предоставляют широкое поле для маневра и выбора конкретного метода в конкретной задаче.

В работе [17] описан опыт в расчетах по управлению портфелем на рынке Государственных Краткосрочных Облигаций РФ (1994 - 1997 гг.) на вторичном рынке, который был получен при использовании первого и второго подходов. Конкретные результаты были более чем приемлемыми.

Цены бумаг изменяются как во время торгов, так и от одной торговой сессии к другой. Проводя удачно операции купли и продажи облигаций, инвестор может заметно увеличить свой доход по сравнению с пассивной тактикой ожидания их погашения.

Конкретный алгоритм, который был использован при управлении портфелем инвестора на вторичном рынке ГКО, позволил добиться доходности, превышающей средние показатели рынка. Алгоритм использовал прогноз изменения цен бумаг одних выпусков относительно других в некоторый, последующий моменту принятия решения период времени. Данный прогноз строился на основе информации об изменении цен облигаций в период, предшествующий принятию решения. Алгоритм рассчитан на такое управление, при котором решения об операциях купли-продажи принимаются раз в сессию. Хотя тот же алгоритм может быть использован и для более частых операций, надо иметь в виду следующие обстоятельства.

Поведение цен внутри сессии существенно отличается от их поведения от сессии к сессии, что не может не сказаться на эффективности алгоритма, верифицированного по динамике цен закрытия. (Цена закрытия данной облигации - это цена последней сделки совершенной с ней в течение сессии.) Масштаб изменения цен внутри сессии, вообще говоря, меньше, чем от сессии к сессии. В то же время операции купли-продажи требуют определенных издержек. Эти издержки складываются из комиссии биржи, комиссии дилера, а также возможной разницы между ценой текущей сделки в момент принятия решения участником рынка и той ценой, по которой он сможет совершить свою сделку. Данная разница возникает по причине некоторой временной задержки в исполнении трейдером заявок инвесторов и из-за спреда между ценой спроса и ценой предложения. Хотя издержки не очень велики (обычно, 0.05% - 0.2% от объема операции), при слишком частых трансформациях портфеля они способны превысить весь положительный эффект этих трансформаций.

Литература

1. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

2. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.

3. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.

4. Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. 7 March. P. 77 - 91.

5. Карлин С. Математические модели и методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

6. Первозванский А.А., Первозванская Т.Ю. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994.

7. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. М: Филинъ, 1998.

8. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг: Курс лекций. М.: Финансы и статистика, 1998.

9. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг: Пособие для студентов, изучающих портфельную теорию и теорию финансовых деривативов. М.: ГУ ВШЭ, 1999.

10. Маршалл Дж.Ф., Бансал В.К. Финансовая инженерия. Полное руководство по финансовым нововведениям. М.: Инфра-М, 1998.

11. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection // Interest Rates / Hahn F., Breechling F. eds., London: Macmillan, 1965.

12. Агасандян Г.А. Элементы многопериодной портфельной модели. М.: ВЦ РАН, 1997.

13. Markowitz H., Todd P., Ganlin Xu., Yamane Y. Fast Computation of Mean - Variance Efficient Sets Using Historical Covariances // Journal of Financial Engineering. 1992. Vol. 1, N2, September. P. 117 -132.

14. Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998.

15. Ziemba W.T., Mulvey J.M. Asset and liabilities management systems for long-term investors: discussion of the issues // Worldwide Asset and Liability Modeling. Cambridge: University Press, 1998. P. 3 -38.

16. Consigli G. and Dempster M.A.H. The CALM Stochastic Programming Model for Dynamic Asset-Liability Management // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 464 - 500.

17. Гасанов И.И. Ерешко А.Ф. Об одном подходе к управлению портфелем Государственных Краткосрочных Облигаций. М.: ВЦ РАН, 1997.

18. Carino D.R., et al. MTB pension asset/liability management model // Mimeo-graphed notes. Frank Russell Company, Tacoma, Washington. 1995.

19. Hensel C.R., Don Ezra D., Ilkiw J.H. The Importance of the Asset allocation decision // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 41 - 52.

20. Chopra V.K., Ziemba W.T. The Effect of Errors in Means, Variance and Covariances On Optimal Portfolio Choice // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 53 - 61.

21. Hensel C.R., Turner A.L. The Making Superior Asset Allocation Decisions: a practitioner’s guide // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P.62 - 83.

22. Grinold R.C., Kelly K.E., Attribution of Performance and Holdings // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 87 - 113.

23. Mulvey J.M., Armstrong J., Rothberg E.T. Total integrative risk management // Risk Special Supplement. 1995. June. P. 28 - 30.

24. Pyle D. The US Savings and Loan crisis // Finance / Jarrow R.A, Maksimovich V., ZiembaW.T. eds. North Holland, 1995. P. 1105 - 1125.

25. Shaw J., Thorp E.O., Ziemba W.T. Risk arbitrage in the Nikkei put warrant market of 1989 - 90 // Applied Mathematical Finance. 1995. N2. P. 243 - 271.

26. Stone D. and Ziemba W.T. Land and stock prices in Japan // Journal of Economic Perspectives. 1993. N7. P. 149 - 165.

27. Berger A.L., Mulvey J.M., Rush R. Target-matching in financial scenario generation // Princeton University Report SOR - 97 - 15. Princeton University, 1997.

28. Fan Y., Murray S., Turner A. A retail level stochastic programming asset-liability management model for Italian investors // Report Frank Russell Company. 1997.

29. Merton R.C. Optimal investment strstegies for university endowment funds // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 371 - 396.

30. Correnti S., Nealon P., Sonlin S. Decomposing risk enhancing ALM and business decision making for insurance companies // Transactions of the 6th AFIR International Colloquium. 1996 P. 443 - 472.

31. Grinold R.C. Time horizons in energy planning models // Energy Policy Modeling: United States and Canadian Experiences / Ziemba W.T., Schwartz S.L. eds. Boston Martinus Nijhoff, 1980. Vol. II. P. 216 -237.

32. Grinold R.C. Model building techniques for the correction of end effects in multistage convex programs // Operations Research. 1983. N31. P. 407 - 431.

33. Carino D.R., Myers D.H., Ziemba W.T. Concepts, technical issues and uses of the Russell - Yasuda Kasai financial planning model // Report, Frank Russell Company, January, forthcoming Operations Research. 1998

34. Carino D.R., Turner A.L. Multiperiod Asset Allocation With Derivative Assets // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. Р. 182 - 204.

35. Mulvey J.M. It always pays to look ahead // Balance Sheet. 1996. N4. P. 23 - 27.

36. Mulvey J.M. Generating scenarios for the Towers Perrin investment system // Interfaces. 1996. N26. P. 1 - 15.

37. Mulvey J.M., Thorlacius A.E. The Towers Perrin Global capital Market Scenario Generation System // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P.286 - 312.

38. Rockafellar R.T., Wets R.J. - B. Scenarios and policy aggregation in optimization under uncertainty // Mathematics of Operations Research. 1991. N16. P. 119 - 147.

39. Beckers S., Connor G., Curds R. National versus global influences on equity returns // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 114 - 128.

40. Chaumeton L., Connor G., Curds R. A global stock and bond model // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mul-vey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 129 - 145.

41. Connor G., Korajczyk R.A. The arbitrage pricing theory and multi-factor models of asset returns // Finance / Jarrow R.A., Maksimovich V., Ziemba W.T. eds. North Holland, 1995. P. 87 - 144.

42. Kelly J. A new interpretation of information rate // Bell System Technology Journal. 1956. N35. P. 917 - 926.

43. Grauer R.R., Hakansson N. On timing the market: the empirical probability assessment approach with an inflation adapter // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 149 - 181.

44. Merton R.C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: the continuous time case // Review of Economics and Statistics. 1969. N3. P. 373 - 413.

45. Merton R.C. Continuous-Time Finance. Blackwell Publishers, 1990.

46. Samuelson P. Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming // Review of Economics and Statistics. 1969. August. P. 239 - 246.

47. Brennan M.J., Schwartz E.S., Lagnado R. Strategic asset allocation // Journal of Economic Dynamics and Control. 1998.

48. Brennan M.J., Schwartz E.S. The use of Treasury bill futures in strategic asset allocation programs // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P.205 - 228.

49. Kallberg J.G., White R.W., Ziemba W.T. Short term financial planning under uncertainty // Management Science. 1982. N28. P. 670 -682.

50. Kusy M.I., Ziemba W.T. A bank asset and liability management model // Operations Research. 1986. N34. P. 356 - 376.

51. Carino D.R., Ziemba W.T. Formulation of the Russell - Yasuda Kasai financial planning // Report, Frank Russell Company, January, forthcoming Operations Research. 1998.

52. Carino D.R., Myers D.H., Ziemba W.T. Concepts, technical issues and uses of the Russell - Yasuda Kasai financial planning model // Report, Frank Russell Company, January, forthcoming Operations Research. 1998.

53. Frauendorfer K., Schurle M. Barycentric approximation of stochastic interest rate processes // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 231 - 262.

54. Rudolf M., Zimmerman H. An algorithm for international portfolio selection and optimal currency hedging // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 315 - 340.

55. Sweeney J.C., Sonlin S.M., Correnti S., Williams A.P. Optimal insurance asset allocation in a multi-currency environment // Worldwide

Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 341 - 368.

56. Gardner G.W., Stone D. Estimating currency hedge ratios for international portfolios // Financial Analysts Journal 1995. November/December. P. 58 - 64.

57. Sorensen E., Mezrich E., Thadani D. Currency hedging through portfolio optimization // Journal of Portfolio Management. 1993. Spring P. 78 - 85.

58. Longin P.M. The asymptotic distribution of extreme stock market returns // Journal of Business. 1996. N69. P. 383 - 408.

59. Jackwerth J.C. and Rubinstein M. Recovering probability distributions from option prices // Journal of Finance 1997. N51. P. 1611 -1631.

60. Mulvey J.M., Rush R., Mitchell J.E., Willemain T.R. Stratified filtered sampling in stochastic optimization // Princeton University Report SOR - 97 - 7. To appear in European Journal of Operations Research. Princeton University, 1997.

61. Greenspan A. Financial innovations and the supervision of financial institutions // Journal of Financial Engineering. 1995. N4. P. 299 -306.

62. Солянкин А.А. Компьютеризация финансового анализа и прогнозирования в банке. М.: Финстатинформ, 1998.

63. Киселев В.В. Управление коммерческим банком в переходный период. М.: Издательская корпорация “Логос”, 1997.

64. Лаптырев Д.А., Батенко И.Г., Буковский А.В., Митрофанов В.И. Планирование финансовой деятельности банка: необходимость, возможность, эффективность. М.: АСА, 1995.

65. Екушов А.И. Модели учета и анализа в коммерческом банке. Калининград: Янтарный сказ, 1997.

66. Екушов А.И. Модель пассивной эволюции в задачах анализа и управления // Банковские технологии. 1995. №8.

67. Богарева Е., Эпов А. Моделирование пассивной эволюции в управлении финансами // Банковские технологии. 1997. № 1.

68. Флеров Ю.А., Вышинский Л.Л., Гринев И.Л., Катунин В.П., Широков Н.И. Банковские информационные технологии. ч. 1, 2. М.: ВЦ РАН, 1999.

69. Кульба В.В., Кузина В.В., Косяченко С.А., Шелков А.Б. Фундаментальный анализ в коммерческом банке. М.: ИПУ РАН, 1999.

70. Ованесов А., Четвериков В. Поток платежей // Рынок ценных бумаг. 1996. № 17, 19, 21.

71. Вестник Федеральной Комиссии по рынку ценных бумаг, ..

72. Bradley S.P., Crane D.B. A dynamic model for bond portfolio management // Management Science. 1972. N19. P. 139 - 151.

73. Lane M., Hutchinson P. A model for managing a certificate of deposit portfolio under uncertainty // Stochastic Programming / Dempster M.A.H. ed. Academic Press, 1980. P. 473 - 493.

74. Carino D.R., Kent T., Myers D.H., Stacy C., Sylvanus M., Turner A.L., Watan-abe K., Ziemba W.T. The Russell - Yasuda Kasai model: An asset/liability model for a Japanese insurance company using multistage stochastic programming // Interfaces. 1994. N24. P. 29 - 49.

75. Dempster M.A.H., Ireland A. Object oriented model integration in a financial decision support system // Decision Support Systems. 1991. N7. P.329 - 340.

76. Mulvey J.M., Vladimirou H. Stochastic network optimization models for investment planning // Annals of Operations Research. 1989. N20. P. 187 - 217.

77. Zenios S. Asset-liability management under uncertainty: The case of mortgage-backed securities // Research Report, Hermes Lab for Financial Modeling and Simulation. The Wharton School, University of Pennsylvania, 1992.

78. Stochastic Programming / Dempster M.A.H. ed. Academic Press, 1980.

79. Ermoliev Yu., Wets R.J.B. eds. Numerical Techniques for Stochastic Optimization. Springer - Verlag. 1988.

80. Dupacova J. Stochastic Programming Models in Banking // Working Paper, International Institute for Applied Systems Analysis. Laxenburg, Austria, 1991.

81. Dupacova J. Multistage stochastic programs: The state of the art and selected bibliography // Kybernetika. 1995. N31. P. 151 - 174.

82. Birge J.R. Decomposition and partitioning methods for multistage stochastic linear programs // Operations Research. 1985. N33. P. 989 - 1007.

83. Dempster M.A.H., Thompson R.T. Parallelization and aggregation of nested Benders decomposition // Proceedings APMOD95 Conference, Brunei University. To appear in Annals of Operations Research. 1996.

84. Dempster M.A.H., Thompson R.T. EVPI-based importance sampling solution procedures for multistage stochastic linear programmes on parallel MIMD architectures. Proceedings of the POC96 Conference, Versailles. To appear in Annals of Operations Research. 1996.

85. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

86. Гасанов И.И., Ерешко А.Ф. Об одном подходе к управлению портфелем Государственных Краткосрочных Облигаций // Труды конференции. “Теория активных Систем”. Москва, ИПУ РАН, 1999.

С. 207 - 208.

87. Agasandian G.A., Gasanov 1.1., Ereshko F.I., Ereshko A.F., Stolyarova E.M. The Models of Operations Research in Financial Engineering // World Conference on Computational Intelligence in Financial Engineering. N.Y., 2000. .

88. Агасандян Г.А., Гасанов И.И., Ерешко Ф.И., Ерешко А.Ф., Охрименко В.В., Столярова Е.М., Столяров Л.Н. Модели принятия решений в финансовой инженерии // Тезисы докладов научной сессии “Проблемы прикладной математики и информатики - 2000”, 6 -7 дек. 2000 г. Москва, ВЦ РАН, 2000. С. 21 - 22.

89. Гасанов И.И., Ерешко А.Ф. Оптимальное управление портфелем дисконтных облигаций // Рынок ценных бумаг. 2001. 14(197). С. 58 - 61.

90. Ерешко А.Ф. Локально-оптимальные стратегии в задаче управления портфелем ценных бумаг // Тезисы доклада 3-ей Московской международной конференции по исследованию операций, 4 - 6 апр. 2001 г. Москва, ВЦ РАН, 2001. С. 29 -30.

91. Ерешко А.Ф. Эффекты нелинейности при формировании портфеля ценных бумаг и декомпозиция финансовых инструментов // Труды международной научно-практической конференции “Теория активных Систем”. Москва, ИПУ РАН, 2001. С. 28.

92. Ereshko A.F. Computational Method of the Fuzzy Goals at Management of a Portfolio // World Conference on Computational Intelligence 2002 (IEEE International Conference on Fuzzy Systems). Honolulu, 2002. 12 p. .

93. Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и критерий допустимых потерь VaR. М.: ВЦ РАН, 2001.

94. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.



Содержание раздела

---