ГЛАВА 12. ДЕЛЬТA- VaR, КОМПОНЕНТНЫЙ VaR И КаД-БЕТА

12.1. Концепция дельта-VaR и предельный VaR

В настоящей главе мы рассмотрим использование в расчете VaR портфеля таких инструментов как дельта- VaR, компонентный VaR и VaR-бету.

При оценке риска портфеля на основе VaR предполагается, что его состав остается неизменным. При изменении портфеля необходимо определять и новое значение VaR. Для активных стратегий управления портфелем возникает необходимость определения VaR в режиме реального времени. Рассчитать новое значение VaR можно стандартным способом. Однако для широко диверсифицированных портфелей эта задача обычно трудно выполнима: большой объем вычислений требует значительного времени. М. Гарман разработал методику, которая позволяет пересчитывать VaR портфеля в режиме реального времени. По его методике новый VaR рассчитывается с определенной погрешностью. Однако она не умаляет его значения в вопросе управления портфелем, особенно широко диверсифицированным. Методика, предложенная М.Гарманом, называется дельта-VaR или дель-VaR или VaR-дельта.

Методика дель- VaR позволяет оценить влияние на VaR портфеля планируемых сделок в рамках дисперсионно-ковариационной модели. Она показывает, как изменится VaR при изменении потоков денежных средств на единицу, т.е. говорит о предельном изменении VaR. Взаимосвязь между Каі?-дельтой и VaR аналогична взаимосвязи между дельтой опциона и ценой опциона, т.е. она измеряет чувствительность VaR относительно единицы денежного потока в каждой вершине. Как было показано выше, VaR портфеля определяется по следующей формуле:

матрица ковариаций, скорректированная на требуемый уровень доверительной вероятности;

р - матрица-столбец потоков денежных средств; р^Т - транспонированная матрица-столбец потоков денежных средств. Продифференцируем формулу (12.1) по вектору р и получим значение VaR-дельты:

столбец (вектор) размером их 1, где и - число вершин ковариационной матрицы. Компоненты вектора Del VaR измеряются в десятичный значениях. Если их умножить на 100%, то получим величины в процентах.

Приростный VaR (IncrVaR) в связи с планируемой новой сделкой с картой денежных потоков a_t приблизительно равен:

IncrVaR — a_t • DelVaR (12.3)

М.Гарман отмечает, что вектор DelVaR зависит не от выбора того или иного актива для новой сделки, а только от текущего портфеля. Поэтому, пока портфель инвестора не изменился существенно, необходимо только один раз рассчитать значение вектора DelVaR. Следует подчеркнуть, что элементы вектора DelVaR рассчитываются применительно не к отдельным активам, входящим в портфель, а относительно стандартных факторов риска.

Пример.

Курс доллара 1 долл. = 28 руб., курс евро - 1 евро = 34 руб. Банк купил на спотовом рынке 357,143 тыс. долл, и осуществил короткую продажу 294,118 тыс. евро. Стандартное отклонение курса доллара в расчете на один день составляет 0,6%, евро - 0,65%, коэффициент корреляции равен 0,85 и ковариация составляет 0,3315. Определить вектор DelVaR портфеля для однодневного VaR с доверительной вероятностью 95%, предельный VaR в случае покупки банком еще 10 тыс. долл, и короткой продажи 10 тыс. евро и новый общий VaR портфеля.

Решение.

В данном примере (см. решение примера 4 в главе 9) однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 95% равен 57,038 тыс. руб. Подставим цифровые значения в формулу (12.2):

10000

-10000

1,65 -0,006 1,65 - 0,00003315

1,65 • 0,00003315 1,65 • 0,0065

Qp_

VaR„

VaRDelta =

51,038

' 0,00152 ^>^-0,00485,

Полученные значения вектора DelVaR интерпретируются следующим образом. Если увеличить долларовый фактор риска портфеля в эквивалентных цифрах еще на один рубль, то VaR портфеля вырастет приблизительно на 0,00152 руб.

Если же увеличить фактор риска по евро в эквивалентных цифрах на один рубль, то VaR портфеля приблизительно уменьшится на 0,00485 руб.

В случае покупки банком еще 10 тыс. долл, и короткой продажи 10 тыс. евро предельный VaR портфеля определим в соответствии с формулой (12.3), представив позиции в рублях:

0,00152 ^Л- 0,00485,

IncrVaR = { 10-28 -10-34

= 2,076тыс. руб.

Новый VaR портфеля равен сумме начального значения VaR портфеля и предельного VaR:

Новый VaR = 51,038 + 2,076 = 53,114тыс.руб.

12.2. Компонентный VaR

Умножим вектор р карты денежных потоков портфеля на вектор Del VaR. Получим VaR портфеля:

р^Т • DelVaR = р^т -М— = VaR,

' '

Это говорит о том, что элементы VaR портфеля обладают свойством аддитивности, т.е. их можно складывать между собой. Поэтому, если портфель состоит из п векторов p_t, то VaR портфеля можно представить как:

^у<*,=ІХр1-DelVaR,) (12.4)

;=і

Такое представление VaR портфеля М.Гарман назвал компонентным VaR (component VaR). Следует не забывать, что в качестве элементов компонентного VaR выступают компоненты денежных потоков, а не конкретные активы. В то же время, учитывая аддитивность слагаемых компонентного VaR, можно разделить карту денежных потоков по отдельным активам, а также типам активов и временным периодам. Например, инвестор определил состав компонентного VaR по видам активов:

Вид актива	Компонента VaR
Акции компании А	20 тыс. руб.
Облигация компании В	50 тыс. руб.

Опцион на акцию С	-ІО тыс. руб.
Итого	100 тыс. руб.

Это означает, что риск портфеля за счет позиции по акциям компании А равен 20 тыс. руб., облигаций компании В - 50 тыс. руб. Если исключить из портфеля акции компании А, риск портфеля уменьшится на 20 тыс. руб. Если исключить облигации В, он сократится на 50 тыс. руб. Позиция по опциону имеет знак минус. Это означает, что она уменьшает общий риск портфеля на 10 тыс. руб. Если исключить опцион из состава портфеля, то его риск вырастет на 10 тыс. руб.

Как отмечалось выше, VaR - это оценка риска портфеля с некоторым приближением. Поэтому, чем меньше значение какой-либо компоненты VaR, тем она точнее передает риск по данной позиции. Поэтому в нашем примере наименьшей погрешностью в оценке риска характеризуется позиция по опциону.

12.3. VaR- бета

Учитывая формулу (12.4), можно определить, какой процент в общем риске портфеля приходится на каждую стандартную вершину. Данная концепция получила название VaR-бета. VaR-бета для вершины p_t равна:

VaRbeta =

р] VaRDelta_pVaR_p

или

?аЕЬе,-Щ!ШЛ

¦JTqp pQp

С помощью данного подхода также можно определить вклад в общий риск портфеля отдельных сделок или активов.

Краткие выводы

Методика дельта- VaR позволяет пересчитывать VaR портфеля в режиме реального времени в рамках дисперсионно-ковариационной модели. Она показывает, как изменится VaR при изменении потоков денежных средств на единицу. Элементы вектора DelVar рассчитываются относительно стандартных факторов риска.

В качестве элементов компонентного VaR выступают компоненты денежных потоков.

VaR-бета говорит о том, какой процент в общем риске портфеля приходится на каждую стандартную вершину.

Приложение 1.

Вывод формулы VaR портфеля с учетом вектора дельта-VaR

Имеется портфель Р. р представляет собой вектор столбец потоков платежей, соответствующих каждой вершине после отображения активов портфеля с помощью стандартных факторов риска. Инвестор покупает новые активы, представленные вектором A_t. В результате отображения их с помощью стандартных факторов риска получаем вектор карты потока платежей a_t. Обозначим количество, в котором приобретается вектор а, через ?. Это количество является небольшим положительным числом. С учетом новой сделки вектор столбец вершин нового портфеля (р, ) равен:

Рі=Р + Щ

VaR нового портфеля VaR(p_i) есть функция переменной ?. Обозначим его через ??Д^). Он равен:

^M=^p!(^)Qp₁(s)

Разложим функцию ??₍ (р) в ряд Тейлора в точке ? = 0:

w,(f) = w,(0)+ ?а] • Vw,(0) + _{(п l2 2)}

+ слагаемые более ввысоких порядков ’

где ???_;(о) - производная ??₍ (г) или вектор Del VaR.

Величина ??_;(о) представляет собой не что иное как VaR первоначального портфеля VaR_p. Поэтому выражение (П.12.1) можно записать как:

w_t = VaR_p + saf • Del VaR +

+ слагаемые более высоких порядков

Если ? небольшая величина, то изменения VaR определяются преимущественно знаком и величиной второго слагаемого ряда Тейлора и слагаемыми более высоких порядков можно пренебречь. Однако возникает вопрос, насколько правомерно считать ? небольшой величиной. М.Гарман отмечает, что для большинства институциональных инвесторов такое допущение правомерно, так как новая сделка скорее всего окажется незначительной по сравнению с их портфелями. Если же сделка является большой то использование подхода VaR-дельта может привести к существенной погрешности.

Содержание раздела