ГЛАВА 11. ОТОБРАЖЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ С ПОМОЩЬЮ СТАНДАРТНЫХ ФАКТОРОВ РИСКА

В настоящей главе мы рассмотрим отображение основных финансовых активов с помощью стандартных факторов риска в соответствии с методикой принятой в Рискметриках банка J.P. Morgan.

Оценка риска индивидуальных активов не представляет большого труда. Оценка риска слабо диверсифицированного портфеля также не является трудоемкой задачей. Сложности возникают при работе с портфелем, включающим большое количество активов. Для определения риска такого портфеля необходимо располагать данными об их стандартных отклонениях и корреляциях. В результате значительно возрастает количество требуемой информации. Ее сложно хранить и обрабатывать. Также существует вероятность того, что квадратичная форма не будет определена положительно.¹ Поэтому для расчета VaR большого портфеля в Рискметриках банка Дж.П.Морган предлагается следующий прием. Выбирают несколько активов, - назовем их стандартными активами или факторами риска, - через посредство которых выражают изменение цены (доходности) всех остальных финансовых активов. После этого риск портфеля определяют на основе данных стандартных факторов риска. В Рискметриках банка Дж.П.Морган такие стандартные активы названы «строительными блоками». В качестве стандартных выбирают активы, для которых известны дисперсии и корреляции доходностей с другими стандартными активами. Такой прием позволяет представить множество рисков, ассоциированных с множеством активов портфеля, с помощью нескольких стандартных активов, что существенно упрощает расчеты.

При изложенном подходе риск каждого финансового инструмента проецируют на соответствующий стандартный фактор риска, т.е. копируют с помощью стандартного актива. В ряде случаев финансовый инструмент представим только как комбинация нескольких стандартных факторов риска. В таком случае Рискметрики говорят о представлении его в виде потоков платежей. Следует подчеркнуть, что копирование инструментов портфеля с помощью набора стандартных активов не является абсолютно точным, а содержит определенную долю приближения. Однако это не умаляет значимости получаемых оценок VaR. В отсутствии такого подхода вряд ли было бы возможным относительно быстро определять VaR для больших портфелей.

При расчете VaR портфель представляется в виде набора стандартных активов. Поэтому непосредственно VaR определяется не для исходного портфеля, а для полученного синтетического портфеля, который близко его копирует. В

Рискметриках в качестве стандартных активов или факторов риска выступают основные фондовые индексы, валюты, бескупонные облигации с определенными сроками погашения и фьючерсные контракты. Прием декомпозиции актива на стандартные блоки хорошо соответствует инструментам с линейной структурой изменения доходов и слабо подходит для опционных позиций. Рассмотрим проецирование финансовых инструментов на соответствующие им стандартные активы.

11.1. Акции

В качестве стандартного актива или фактора риска для акции выступает фондовый индекс. Доходность акции связана с доходностью индекса с помощью коэффициента бета. Данная взаимосвязь представлена уравнением рыночной модели Шарпа:




^Га=Га+Ра^Гт+^еа О¹¹)

Как было определено в главе 3, на основе уравнения (П.І) дисперсия и стандартное отклонение акции соответственно равны:

(И-2)

<*a=(Pl;<rl⁺<rl.Y² (ІІ-З)

Если стоимость данных акций в портфеле равна ?_а, то VaR позиции по акции составит:

VaR_a=acr_aV_a, (П.4)

где а - количество стандартных отклонений, соответствующих требуемому уровню доверительной вероятности.

Уравнения (II.2) и (П.З) позволяют представить риск акции через риск рыночного портфеля. Риск акции содержит рыночный (д^сг^) и специфический

(o'²) компоненты. Однако для широко диверсифицированных портфелей нерыночный риск практически равен нулю. Поэтому риск портфеля определяется только на основе рыночных рисков каждой акции, т.е. слагаемого Р²о²т или

Ра°т-

С учетом сказанного получим формулу риска для широко диверсифицированного портфеля. Для простоты проведем рассуждения для портфеля из двух акций. Бета первой акции Д, второй - Д₂, их уд. веса в портфеле соответственно составляют 0, и 0₂.

Доходности акций на основе уравнения (I І.І) равны:

^ГІ=У\+ Рх^Гт + *1 >

^Г2 ~ У2 ¦*" Рі^Гт ^{+ ?}1

Поскольку мы рассматриваем ситуацию для широко диверсифицированного портфеля, то специфическими рисками бумаг можно пренебречь и работать с уравнениями вида:

^гі=Гі+Р\Г_т (11.5)

Г₂ =У2⁺02^Гт (П-6)

На основе уравнений (11.5) и (11.6) риск портфеля равен:

а²р = ?аг ((<9, (у, + Д г_т); ?₂ (у₂ + р₂г_т)) =

= ^?аФі (Гі + Р\Г_т)) + ?аг(б^,2 (у₂ + р₂г_т)) +

+ 2 со?(0, (у, + р_хг_т)\?₂ (у ₂ + Р₂г_т)) =

= ?аг (?_хр_хг_т) + ?аг (?₂р₂г_т) + 2 cov(?,/?,r_m; ?₂Р₂г_т) =

= 0і²Pi ^yar(r_m) + ?ІРІ ?аг(г_т) + 2?_х?₂р_хр₂ со\{г_т;г_т) =

= ?ІРІсгі + ?ІРІсгІ + 2 ?РМсті =

= <г^гя\$р;+?ІРІ+Щ?₂р_хр₂)= ?²т(?_хр_х+?₂р₂)² = аір]

Таким образом, риск портфеля равен риску рыночного портфеля, умноженному на бету портфеля. В свою очередь, как следует из приведенных преобразований, бета портфеля равна средневзвешенному значению коэффициентов бет акций, входящих в портфель. В результате можно записать:

VaR_p =aa_mP_pV_p (11.7)

Формулу (11.7) можно также представить как:

VaR_r =аа_тР_г?_р=аа_т(?Л +- + 8ЛУ,

ИЛИ

VaR_r=aa_m{p,V,+p₂V₂ +... + ДД)=а<т., (11.8)

/= 1

где ?_х - стоимость акций і -й компании в портфеле, она равна: ?_х = ?_х?_р.

Широко диверсифицированный портфель будет состоять из акций компаний разных отраслей. Тогда портфель из стандартных активов может точнее копировать риск исходного портфеля, если для проецирования рисков индивидуальных акций использовать не рыночный индекс, а отраслевые индексы для акций каждой отрасли. В таком случае в качестве стандартных активов выступают отраслевые индексы, для которых известны стандартные отклонения и ковариации с другими стандартными активами.

Пример.

Портфель состоит из акций трех компаний, Р_х = 0,8; Р₂ = 0,9 ; Д = 1,2 .

Стоимость акций первой компании в портфеле равна 300 тыс. руб., второй - 200 тыс. руб., третьей - 500 тыс. руб., стандартное отклонение рыночного портфеля для одного дня составляет 2%. Определить однодневный VaR портфеля для доверительной вероятности 95%.

Решение.

На основании формулы (11.8) VaR портфеля составляет:

1,65 • 0,02 • (0,8 • 300+0,9 • 200+1,2 • 500) = 33,66тыс руб.

Формулы (11.7) и (11.8) позволяют найти VaR широко диверсифицированного портфеля. Поэтому возникает вопрос о том, какой портфель можно считать таковым. Как отмечалось в главе 3, в современных условиях с полным основанием таким портфелем можно считать портфель, включающий не менее 50 акций.

11.2. Валюта

Портфель инвестора может включать спотовую позицию в иностранной валюте. В результате возникает риск потерь за счет неблагоприятного изменения валютного курса. Фактором риска в этом случае выступает обменный курс иностранной валюты по отношению к национальной. Если на иностранную валюту не начисляются проценты, то, полагая, что курс распределен нормально, VaR позиции в национальной валюте рассчитывается по формуле:

VaR_c = аа_ее V_f, (11.9)

где ст_е - стандартное отклонение валютного курса;

е - спотовый обменный курс в прямой котировке;

Vf - сумма в иностранной валюте.

Пример.

Российский инвестор имеет спотовую позицию в 100 тыс. долл. Обменный курс доллара равен 30 руб. за I долл. На основе данных за прошедшие два месяца дневное стандартное отклонение валютного курса составило 0,7%. Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95%.

Решение.

В соответствии с формулой (11.9) VaR позиции инвестора составляет:

1,65 • 0,007-30руб. ¦ 100000долл = 34650руб.

11.3. Облигации

Для небольших изменений процентной ставки определить VaR отдельной облигации можно на основе ее модифицированной дюрации. При таком подхо-де мы делаем допущение о параллельности сдвигов кривых доходностей. Как известно, зависимость между изменением цены облигации и изменением ее доходности до погашения приблизительно равна:

dP - -D_mPdr , (11.10)

где D_m - модифицированная дюрация облигации.

На основе уравнения (11.10) можно записать:

°_Р = D_mP(J_dr ,

где <7 - стандартное отклонение изменения цены облигации;

<7_dr - стандартное отклонение изменения процентной ставки (величины dr);

В Рискметриках используется несколько иной подход. Равенство (11.10) можно записать как:

dP = -D_mP—r (11.11)

г

Тогда:

°_Р = ^Dm^p°_rr,

где ст_г - стандартное отклонение процентного изменения процентной ставки dr

(величины —).

г

Такой поход более согласуется с определением волатильности на рынке, поскольку для финансового актива стандартное отклонение определяют для ве-dS .

личины —, где S - курс актива.

S

Определив стандартное отклонение цены облигации на основе полученных формул, VaR облигации рассчитаем как:

VaR=o_pZ_ajT ,

где Z_a - количество стандартных отклонений, соответствующих уровню доверительной вероятности;

Т - отрезок времени, для которого рассчитывается VaR.

Формулу (11.10) можно переписать как:

dP

Р

= ~^Dm^dr

Тогда:

где а - стандартное отклонение процентного изменения цены облигации (ве-d^p.

личины —). р

Формулу (11.11) можно представить как:





Тогда:

<у = D су г



В таком случае VaR облигации рассчитаем на основе формулы:

VaR = <j_pPZ_ajT ,

где Р - цена облигации.

На развитом финансовом рынке обращается большое количество облигаций. Поэтому, как и в отношении акций, целесообразно свести все их разнообразие к нескольким стандартным облигациям, на которые можно было бы проецировать облигации в портфеле при расчете VaR.

Главным фактором риска по облигации выступает изменение процентной ставки. Конъюнктура процентных ставок описывается кривой доходности или временной структурой процентных ставок. Для аналитических целей используют кривую доходности спот на основе доходности до погашения облигаций с нулевым купоном. Поэтому в качестве стандартных активов для проецирования облигаций используют облигации с нулевым купоном.

С увеличением сроков до погашения облигаций дисперсия процентной ставки уменьшается и возрастает корреляция между процентными ставками для соседних временных периодов. Поэтому кривую доходности можно с допустимой точностью приближения представить доходностями бескупонных облигаций для нескольких периодов. В качестве таких периодов можно взять один день, одну неделю, один, три и шесть месяцев, один, два, три, четыре, пять, семь, девять, десять, и тридцать лет. В Рискметриках такими моментами времени выступают один, три, шесть месяцев, один, два, три, четыре, пять, семь, девять, десять, пятнадцать, двадцать и тридцать лет. Выбранные сроки погашения для стандартных бескупонных облигаций называют вершинами (vertices). Они представляют собой факторы риска при описании кривой доходности.

Портфель инвестора содержит облигации, которые погашаются не только в стандартные сроки. Поскольку облигации портфеля копируют с помощью данных стандартных бескупонных облигаций, то в этом случае облигации представляют в виде потока платежей (cash flows). Процесс представления позиции в виде потока платежей называется отображением (mapping). Для бескупонной облигации со сроком погашения отличным от стандартного принцип представления в качестве потока платежей заключается в следующем. Вначале определяют дисконтированную стоимость облигации, т.е. ее цену. После этого цену облигации делят на две части между ближайшими стандартными вершинами. Например, бескупонная облигация погашается через один год и восемь месяцев. Ее цену представят в качестве двух потоков платежей со стандартными сроками один и два года.

Для купонной облигации данный принцип сводится вначале к представлению ее в качестве портфеля бескупонных облигаций и затем делению дисконтированной стоимости каждой полученной бескупонной облигации на два потока платежа с двумя стандартными соседними вершинами. Например, купонная облигация номиналом 1000 руб. и купоном 10% погашается через год и восемь месяцев. Купон выплачивается один раз в год. Данная облигация вначале представляется как две бескупонные облигации. Первая с номиналом равным первому купонному платежу, т.е. 100 руб. и погашением через восемь месяцев. Вторая - с номиналом 1100 руб. и погашением через год и восемь месяцев. После этого определяют их дисконтированные стоимости. Затем цену первой бескупонной облигации делят на два потока платежа с вершинами шесть месяцев и один год, второй - на два потока платежа с вершинами один и два года.

Для деления цены бескупонной облигации на два потока платежа между соседними стандартными вершинами необходимо найти их удельные веса. Данную задачу решают следующим образом. Цену облигации можно представить как линейную комбинацию потоков платежей:

уд. вес потока платежа в цене бескупонной облигации;

P_t__{ - поток платежа для вершины t -1;

P_t+l - поток платежа для вершины м-1;

P_t - цена бескупонной облигации.

Чтобы представить дисконтированную стоимость облигации P_t в качестве потоков платежей P_t__{ и Р_І+І, необходимо определить уд. веса а и (і-«).

Спроецированная позиция должна иметь такую же дисперсию как и бескупонная облигация. Поэтому уд. веса потоков платежей находят из равенства:

(11.13)

сг? = а¹ а]__х +(\-а)² af_+l + +2a(l -a)cr_t__xcr_t+lp_t__lt+l

где а? - дисперсия цены облигации P_t (или процентного изменения цены);

сгД, - дисперсия цены стандартной бескупонной облигации P_t__{ (или процентного изменения цены);

<т,²+1 - дисперсия цены стандартной бескупонной облигации Р_І+] (или процентного изменения цены);

Рі-и+\ ~ коэффициент корреляции между ценами бескупонных облигаций

(или процентных изменений цен).

Преобразуем уравнение (11.13) следующим образом:

Ь±лІЬ² -4ас

(11.15)

«1.2=-

где а — сг_м + сг_;+1 2сг,_,сг₍₊₁/?₍₊₁ ,

2 2

c = cr,₊₁-cr₍

Поскольку а - это уд. вес потока платежа в цене облигации, то его значение должно лежать в пределах от нуля до единицы. Поэтому в качестве решения уравнения (11.14) из двух значений а следует взять то, которое соответствует указанным границам. Рассмотрим пример определения потока платежей для бескупонной облигации.

Пример 1.

Бескупонная облигация номиналом 1000 руб. погашается через год и восемь месяцев. Доходность годичной и двухгодичной стандартных бескупонных облигаций соответственно равны 8% и 10%. Однодневное стандартное отклонение процентного изменения цены первой облигации равно 0,2%, второй -0,3%. Коэффициент корреляции между однодневными процентными изменениями цен первой и второй облигаций равен 0,8. Представить облигацию в виде потоков платежей.

Решение.

Потоки платежей определяются на основе дисконтированной стоимости облигации. Поэтому найдем цену облигации. Для этого необходимо рассчитать ставку дисконтирования. Ставку дисконтирования определяем на основе интерполирования доходности между доходностями годичной и двухгодичной облигаций:

10%-8% _{0 О0 п}„_0/

-ъмесяцев + 8% = 9,33%

1 Імесяцев

Дисконтированная стоимость облигации равна:

1000

1,0933^1,667

861,83/зуб.

Стандартное отклонение процентного изменения цены облигации определим линейной интерполяцией между стандартными отклонениями процентных изменений цен годичной и двухгодичной облигаций:

———— Ъмесяцев + 0,2% = 0,27%

1 Імесяцев

Подставим найденные значения в формулу (11.13):

0,0027² = а²0,002² +(і-а)²0,003² +

+ 2«(l - or)0,002 • 0,003 • 0,8

или

а² 0,0000034 - а0,0000084 + 0,00000171 = 0 Согласно алгоритму (11.15) решения уравнения составляют:

а_х = 2,2467; а₂ = 0,2239

Из двух ответов подходит второй, поскольку он лежит в диапазоне от нуля до единицы. Это означает, что 22,39% стоимости облигации должно приходится на годичную стандартную бескупонную облигацию, а (100-22,39) =77,61% на двухлетнюю стандартную облигацию. Таким образом, первый поток платежей со стандартной вершиной в один год равен:

861,83 • 0,2239 = 192,96руб., второй с вершиной два года:

861,83-0,7761 = 668,87руб.

После того как облигация представлена в виде портфеля потоков платежей для стандартных вершин, VaR определяют обычным способом.

Пример 2.

Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для бескупонной облигации из примера 1.

Решение.

В примере 1 облигация была представлена в качестве двух потоков платежей со стандартными вершинами в один год и два года. Определим VaR для первого потока платежа:

VaR, = 1,65 • 0,002 • 192,96 = 0,64руб.

VaR для второго потока платежа равен:

VaR₁ = 1,65 • 0,003 • 668,87 = 3,31руб.

Не диверсифицированный VaR бескупонной облигации составляет:

VaR = 0,64 + 3,31 = 3,95руб.

Диверсифицированный VaR равен:

VaR_dm = ?о,64² + 3,31² + 2 • 0,64 • 3,31 • 0,8 = 3,84 руб.

Если мы определяем VaR для купонной облигации, то вначале представляем ее как портфель бескупонных облигаций. После этого дисконтированную стоимость каждой бескупонной облигации делим на два потока платежа между соседними стандартными вершинами. Для каждой вершины суммируем потоки платежей, которые на нее приходятся. Определяем VaR относительно суммарной дисконтированной стоимости каждой вершины. После этого находим VaR купонной облигации на основе VaR вершин.

Пример 3.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации один год восемь месяцев. Данную облигацию представляем как две бескупонные облигации: первая с номиналом 100 руб. и погашением через восемь месяцев; вторая - с номиналом 1100 руб. и погашением через один год восемь месяцев. Дисконтированную стоимость первой облигации делим на два потока платежа с вершинами шесть месяцев и один год. Пусть мы получили соответственно потоки 21 руб. и 74 руб. Дисконтированную стоимость второй облигации делим на два потока платежа с вершинами один год и два года. Пусть они соответственно равны 212 руб. и 736 руб. Получили потоки платежей для трех стандартных вершин: шесть месяцев, один год и два года. Первой вершине соответствует поток платежа в 21 руб. На вторую вершину приходятся два потока платежа: 74 руб. по первой облигации и 212 руб. по второй облигации. Суммируем их и получаем 286 руб. На третью вершину приходится поток платежа в 736 руб. Таким образом, купонная облигация представлена в качестве портфеля из трех стандартных бескупонных облигаций с ценами 21 руб., 286 руб., и 736 руб. Далее, как и в предыдущем примере определяем VaR для каждой стандартной бескупонной облигации. Их сумма дает не диверсифицированный VaR. С учетом корреляций между ценами данных облигаций получаем диверсифицированный VaR.

11.4. Облигации с плавающим купоном

Отличие облигации с плавающим купоном от облигации с твердым купоном состоит в том, что для нового купонного периода устанавливается новая процентная ставка, соответствующая текущей конъюнктуре. Поэтому необходимо спрогнозировать величину будущих купонов. Однако в Рискметриках данная проблема решается более простым способом. В каждый данный момент времени наилучший прогноз рынка - это форвардная ставка для соответствующего периода времени в будущем. Кроме того, для дисконтирования купонов облигации вместо показателя доходности до погашения, который является одинаковым для всех периодов дисконтирования, можно использовать спотовую процентную ставку для соответствующего временного периода. Поэтому будем дисконтировать будущие платежи по такой облигации под соответствующие спотовые процентные ставки.

Пусть ставка спот для периода времени (l-f), когда выплачивается первый купон, равна г_]ч, второй купон - г₂_,, ..., последний купон - r_n__t, где t - текущий момент времени. Форвардная ставка для периода времени до выплаты первого купона равна спотовой ставке, для периода времени в будущем для второго купона (_Гф2): для третьего купона г_фЪ: последнего купона г_фп:

(іи-V, Г

(1 + у,-,

Цена облигации равна:

Р =

С,

C+N

с,

(11.16)

(1 + Г,_,)^Ы (1 + г₂_,)²⁴ (\ + г_п_,У~' ’

где С, - величина первого купона;

С₂ - величина второго купона;

С„ - величина последнего купона;

N - номинал облигации;

В момент начала первого купонного периода спотовая ставка равна г_х. Поэтому величина первого купона составляет: С, = Nr_{. Величина второго купона на основе форвардной ставки составляет:

C₂=N

О + у, )^J' ,

G + rJ

третьего купона:

(¹⁺у,Г' , (і+у,Г ".

(i+y,)"' (і+у-,Г" .

С₃ =N

п -го купона:

C=N

Подставив значения купонов в формулу (11.16), после преобразования получим:

С, +N

Таким образом, цена бескупонной облигации находится дисконтированием очередного купона и номинала под спотовую процентную ставку. Поэтому облигацию с плавающим купоном можно представить как бескупонную облигацию, номинал которой равен сумме очередного купона и номинала и погашаемую в день выплаты очередного купона. Если текущий момент времени совпадает с днем выплаты купона, то цена облигации будет равна номиналу:

р C\+N Nr_x + N _N

1 + П 1 + r,

11.5. Процентный своп

Процентный своп можно представить как портфель из двух облигаций -твердокупонной и с плавающим купоном с номиналами равными условному номиналу свопа. По одной из них инвестор занимает длинную, а по другой короткую позиции. После этого облигацию с твердым купоном представляют в виде потока платежей серии бескупонных облигаций, как было показано в параграфе П.З. Облигацию с плавающим купоном представляют в виде одной бескупонной облигации, как в параграфе 11.4.

11.6. Соглашение о форвардной ставке (FRA)

Соглашение о форвардной ставке позволяет инвестору обеспечить себе в будущем процентную ставку по депозиту равную форвардной ставке, которая определяется текущими ставками спот. Допустим, инвестор купил трехмесячное FRA через шесть месяцев. Форвардная трехмесячная ставка через шесть месяцев (Гф) определяется из соотношения:

I + г₉ — = ⁹12

12

12

Инвестор может обеспечить себе размещение денег под форвардную ставку и помимо FRA, взяв сейчас кредит на шесть месяцев под спотовую ставку г₆ и разместив данную сумму на депозите на девять месяцев под спотовую ставку г₉¹. Поэтому позиция по FRA эквивалентна покупке девятимесячной бескупонной облигации и продаже шестимесячной бескупонной облигации. Номиналы облигаций равны номиналу FRA. Таким образом, FRA можно представить как портфель из двух бескупонных облигаций, по одной из которых инвестор занимает длинную, а по другой - короткую позиции.

11.7. Форвардный валютный контракт

Форвардный контракт можно рассматривать как портфель, состоящий из двух облигаций с нулевым купоном. Номинал одной из них представлен в иностранной валюте, другой - в национальной. Номиналы облигаций соответственно равны суммам, которые обмениваются в рамках контракта. Рассмотрим позицию по форвардному контракту, когда инвестор покупает иностранную валюту и продает национальную.

Ее можно рассматривать как покупку инвестором облигации в иностранной валюте и выпуск облигации в национальной валюте. На дату истечения контракта покупатель получает сумму номинала первой облигации в иностранной валюте и уплачивает национальную валюту, погашая вторую облигацию. Позицию по облигации в национальной валюте можно представить таким же образом, как было показано в параграфе 11.3. По облигации в иностранной валюте необходимо учесть валютный риск и риск изменения иностранной процентной ставки. Пусть по облигации на момент истечения контракта инвестор получит сумму N_f,

обменный курс равен е, ставка процента по иностранной валюте - r_f. Тогда приведенная стоимость облигации/^ в национальной валюте составит:

(11.17)

eN_f

р -_L_

^f \ + r_f(t/6a3a)

Как видно из формулы (11.17), факторами риска для облигации выступают обменный курс и иностранная процентная ставка. Поэтому для определения стандартного отклонения цены облигации разложим изменение цены облигации в ряд Тейлора по данным факторам риска в точке, соответствующей текущей цене облигации:

дР, dP_f dP, -—-de-\--—dr

(11.18)

(11.19)

(11.20)

де

dr

На основании формулы (11.17) получаем:

дР_г

N_t

де \ +г At/база)

и

dP_f eN_f (t/ база)

dr_f [l + r_f{tj база)\

Подставим выражения (11.19) и (11.20) в (11.18):

_N_f eNjjt/база)

^f 1 + r_f(t/6a3a) [l + r_f (t/6a3a)f ^f P_f [l + r_f (t/базаре р[і + r_f (t/база^і/база)

[l + r_f{t/6a3a^ [l + r_f(t/6a3a)f ^J

ИЛИ

dr

,_n Pf j P_f itIбаза)

dP_f -—^-de--—-г

e 1 + r_f\t I база)

или

dP_f de r_f (t/ база) dr

(11.21)

/ ^{e 1T}7l^t/UWJU/ 7

На основе формулы (11.21) дисперсия процентного изменения цены облигации равна:

2

P_f e 1 + r_f{tIбаза) r_f

(t/база)

(t/база)

'/

<+²

со?

1 + г At! база)

\ +г At! база)

е,Г/ 9

где <Тр - дисперсия процентного изменения цены облигации; а] - дисперсия процентного изменения валютного курса; сг²Г{ - дисперсия процентного изменения процентной ставки; cov_{e rf} - коэффициент ковариации между процентными изменениями валютного курса и процентной ставки.

Рассчитав стандартное отклонение процентного изменения цены облигации, мы можем определить удельные веса для представления ее в качестве потоков платежей, как было показано в параграфе 11.3.

Краткие выводы

В Рискметриках банка Дж.П.Морган риск портфеля определяют на основе стандартных факторов риска. В качестве стандартных выбирают активы, для которых известны дисперсии и корреляции доходностей с другими стандартными активами. Это позволяет представить множество рисков, ассоциированных с множеством активов портфеля, с помощью нескольких стандартных активов.

Если финансовый инструмент представим только как комбинация нескольких стандартных факторов риска, то его отображают в виде потоков платежей.

Прием декомпозиции актива на стандартные блоки соответствует инструментам с линейной структурой изменения доходов.

В качестве стандартного актива для акции выступает фондовый индекс, для проецирования облигаций используют облигации с нулевым купоном.

Сроки погашения для стандартных бескупонных облигаций называют вершинами.

Если облигации погашаются не в стандартные сроки, то их представляют в виде потока платежей. Процесс представления позиции в виде потока платежей называется отображением.

Облигацию с плавающим купоном можно представить как бескупонную с номиналом равным сумме очередного купона и номинала и погашаемую в день выплаты очередного купона.

Процентный своп можно рассматривать как портфель из двух облигаций -твердокупонной и с плавающим купоном с номиналами равными условному номиналу свопа. По одной из них инвестор занимает длинную, по другой - короткую позиции.

FRA можно представить как портфель из двух бескупонных облигаций, по одной из которых инвестор занимает длинную, а по другой - короткую позиции.

Форвардный контракт можно рассматривать как портфель, состоящий из двух облигаций с нулевым купоном. Номинал одной из них представлен в иностранной валюте, другой - в национальной.

<=1 7=1



Содержание раздела

---