d9e5a92d

ГЛАВА 10. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ VaR И СТРЕСС-ТЕСТИРОВАНИЕ


В настоящей главе рассматривается определение VaR портфеля на основе моделирования его будущей стоимости. Мы остановимся на методах исторического моделирования и Монте-Карло.

10.1. Историческое моделирование

Историческое моделирование основано на использовании статистических данных об изменении цен или доходностей активов, входящих в портфель, за предыдущие временные периоды. В рамках данного метода выбирают некоторый отрезок времени в прошлом и определяют для него фактические изменения цен или доходностей активов. С помощью полученных цифр моделируют прибыли и убытки существующего портфеля. После этого располагают цифры в порядке возрастания или строят гистограмму и определяют квантиль (персен-тиль), соответствующий требуемому уровню доверительной вероятности. VaR портфеля соответствует значению дохода для найденного квантиля.

Пример.

Портфель состоит из двух акций - А и В. В настоящий момент акция А стоит 100 руб., В - 200 руб. Портфель включает четыре акции А и три акции В. Необходимо определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 95%.

Решение.




Стоимость портфеля равна:

100 руб. ¦ Аакции + 200руб. ¦ Ъакции = 1000руб.

Удельный вес акции А в стоимости портфеля равен 40%, акции В - 60%.

Выбираем период времени для расчета изменения доходности акций. Пусть это предыдущие 101 день. Цену акций берем при закрытии биржи и определяем доходность акций за каждый день периода по формуле:

доходность акции за один день; St - цена акции в конце дня t;

Sl+l - цена акции в конце дня / + 1.

Таким образом, получаем 100 доходностей. Предположим, доходность акции А за первый день наблюдения выросла на 10%, акции В - на 5%. Используем полученные цифры для определения изменения доходности текущего портфеля. Оно равно:

0,4-10%+ 0,6-5% = 7%

Изменение стоимости текущего портфеля для такой конъюнктуры составит:

1000руб. • 0,07 = 10 руб.

Пусть для второго дня наблюдений доходность акции А упала на 10%, акции В - выросла на 2%. Изменение доходности текущего портфеля равно:

0,4 • (-10%)+ 0,6 • 2% = -2,8%

Изменение стоимости портфеля составит:

1000руб. • (- 0,028) = -28руб.

Аналогичным образом рассчитываются возможные прибыли-убытки в стоимости портфеля для оставшихся 98 дней. После этого располагают результаты в порядке возрастания и находят значение дохода, соответствующее пер-сентилю 5%. (Доверительной вероятности 95% соответствует персентиль 5%). Допустим, получен следующий ряд из ста цифр:

-42; -40; -37; -34; -30; -28; -27; ............57; 61; 65; 70

Для дискретной случайной величины значение равное искомому персентилю рассчитывается по формуле:

персентшь р% хи1-Х; / \

(значение) w,+] - ??;

где Xj - / -ев порядке возрастания значение случайной величины;

Wj - оценка относительного положения / -го значения случайной величины

в рассматриваемом наборе ее значений, и wi = -—- ;

п-1

п - количество значений случайной величины в рассматриваемом наборе данных.

В нашем примере значение -30 имеет порядковый номер пять, а -28 -

шесть. Соответственно = ——— = 0,0404 и ??, = ——— = 0,0505 . Значение

5 100-1 6 100-1

равное персентилю 5% равно: -30н--——^——^—(0,05-0,0404)= -28,1.

0,0505-0,0404? '

Таким образом, доходность, соответствующая персентилю 5%, равна -28,1#уб. Следовательно, VaR с доверительной вероятностью 95% равен - 28,1 руб.

Историческое моделирование имеет ряд преимуществ и недостатков по сравнению с аналитическим методом. Оно основано на фактическом историческом распределении доходностей (цен) активов. Поэтому для его реализации не требуется использовать модели динамики курсовой стоимости активов портфеля, делать допущения относительно вида распределения его доходности и соответственно расчета его параметров. Историческое моделирование основано на “фактических” корреляциях, существовавших между активами, в то время как другие методы учитывают тенденции движения активов в среднем на основе рассчитанных значений корреляций.

Распределение прибылей-убытков оцениваемого портфеля строится на основе фактических данных. Поэтому выбранный период наблюдения может оказаться не совсем представительным, что приведет к искажению оценки VaR. Метод исторического моделирования также может недооценить риск портфеля, поскольку придает всем значениям цен активов, которые не наблюдались в базовом периоде, нулевую вероятность. Выбирая определенный период для оценки VaR, менеджер фактически соглашается только с теми рисками, которые существовали в рамках данного периода и обусловили динамику курсовой стоимости активов. Такой подход может оказаться не всегда верным. Что касается выбора периода наблюдений и его продолжительности, то этот вопрос остается на усмотрение менеджера.

10.2. Использование программы Excel для исторического моделирования

Программа Excel позволяет легко осуществить вычисления, необходимые для исторического моделирования VaR. Рассмотрим технику расчета VaR на примере.

Пример.

В портфель входят акции трех компаний - X, Y, Z. Акция Xстоит ІО руб., Y - 20 руб., Z - 30 руб. Инвестор купил две акции компании X, одну акцию компании Y, и две акции компании Z. Для исторического моделирования выбран период за предыдущие 11 дней. Цены акций при закрытии за этот период представлены в таблице ЮЛ. (Десятый день - это день, предшествующий расчету VaR).

Таблица ЮЛ. Курсовая стоимость акций на конец каждого дня (руб.)
Дни 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю
X 9 8 7 8 9 ІО ll 9 ю ll Ю
У 20 21 20 19 18 17 18 19 18 19 20
Z 25 26 25 26 27 25 26 27 28 29 30
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 90%.
Решение.

Расположим в ячейках интервала B2:L4 цены акций компаний X, Ки Z (см. рис. 10.2). В диапазоне В8:К10 получим доходности акций в расчете на день. Доходность определяем по формуле:

г -1
(10.1)

Доходность акции X за первый день получим в ячейке В8. Поэтому печатаем в ней формулу (10.1) согласно адресам ячеек:

= С2/В2-1 (10.2)

и нажимаем клавишу Enter. В ячейке появилась цифра -0,11111.

Чтобы рассчитать доходности за оставшиеся дни для акции X, копируем формулу (10.2) из ячейки В8 в ячейки с С8 до К8. Для этого выделяем курсором ячейку В8. В нижнем правом углу выделенной рамки появился квадратик (маркер заполнения). Наводим на него курсор. Появился крестик. Нажимаем левую клавишу мыши и, не отпуская ее, протягиваем крестик до ячейки К8. Отпускаем клавишу мыши. В ячейках диапазона С8:К8 появились цифры доходности. Аналогичным образом получаем доходности акций Г и Z. Для этого печатаем в ячейке В9 формулу:

= СЗ/ВЗ-1

и копируем ее в диапазон С9:К9. В ячейке В10 печатаем формулу:

= С4/Д4-1

и копируем ее в диапазон С10:К10:

А \ І [ С і 0 I І ] F I~Q ! H ! ( i J ; К ; L Г

____ ЦЕНЫ АКЦИЙ _____
X 9 8 -? 8 9 10 11 9 10 11 10
Y 20 21 20 19 18 Г 18 19 18 19 20
Z 25 26 25 26 27 25 26 2" 28 29 30
ДОХОДНОСТИ АКЦИЙ

X -0,11111 -0,125 0,142857 0,125 0,111111 0,1 -0,18182 0,111111 0,1 -0,09091

Y 0,05 -0,04762 -0,05 -0,05263 -0,05556 0,058824 0,055556 -0,05263 0,055556 0,052632

г 0,04 -0,03846 0,04 0,038462 -0,07407 0,04 0,038462 0,037037 0,035714 0,034483
7]

2_і

з!

4

&



7

'8І

и 11 ; 151

13

14

"15 "I

Ш

17! 18 19І 2D] 21;] 22







КОЛ-ВО АКЦИЙ

2

1

2

ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ПОРТФЕЛЯ СОГЛАСНО ИСТОРИЧЕСКИМ ДАННЫМ

1,177778 -5,76007 4,257143 3,755061 -3,33333 5,576471 -0,21756 3,391813 5,253968 1,303415

ПЕРСЕНТИЛЬ 10%

-3,57601

Рис. 10.2. Расчет VaR методом исторического моделирования

В ячейки В13, В14 и В15 печатаем текущие цены акций X, Y и Z, в ячейках D13, D14 и D15 - количество акций X, Y и Z.

В диапазоне В19:К19 получим смоделированные значения дохода портфеля за десять дней. Для этого активизируем курсором ячейку В19 и открываем функцию “СУММПРОИЗВ” мастера функций/ В первый массив вносим диапазон ячеек В8:В10, во второй массив - диапазон В13:В15, в третий - D13:D15 и щелкаем ок. В ячейке В19 получили цифру 1,177778. Активизируем ячейку С19, открываем мастер функций, и вносим в первый массив диапазон ячеек С8:С10, во второй массив - диапазон В13:В15, в третий - D13:D15 и щелкаем ОК. Аналогичным образом получаем доходность портфеля в остальных ячейках диапазона.

В ячейке F22 получим значение персентиля 10% (он соответствует доверительной вероятности 90%). Для этого открываем окно “Мастер функций”. В левом поле (“Категория”) выбираем курсором строку “Статистические” и щелкаем мышью. В правом поле окна (“Функция”) выбираем курсором строку “ПЕР-СЕНТИЛЬ” и щелкаем мышью. Строка высветилась синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “ПЕРСЕНТИЛЬ”. В строку “Массив” вносим диапазон В19:К19, в строке “К” печатаем цифру 0,1 и щелкаем курсором ОК. В ячейке появилась цифра -3,57601. Она представляет собой искомый VaR портфеля с доверительной вероятностью 90%.

10.3. Оценка VaR с помощью метода Монте-Карло

Метод Монте-Карло представляет собой метод моделирования значений случайной величины с помощью статистических испытаний или “разыгрывания” случайной величины. Случайную величину можно моделировать либо непосредственно, проводя с ней требуемый эксперимент, либо в рамках специального эксперимента с требуемой вероятностной структурой. Первый подход часто трудно реализуем. В области финансов используют второй подход. Испытания проводят на основе модели, характеризующей динамику случайной величины. Параметры модели оценивают на основе предыдущих статистических данных. По результатам большого количества испытаний делают вывод о распределении случайной величины. Закон распределения случайной величины предполагается известным. Среднее значение смоделированных значений случайной величины принимается за ее будущее значение. Метод Монте-Карло используют в тех случаях, когда невозможно получить приемлемый результат более простыми способами.

Искомую случайную величину моделируют с помощью другой случайной величины. Она представляет собой непрерывную случайную величину с равномерным распределением на отрезке [0,1]. Случайные числа получают с помощью так называемого “генератора случайных чисел” на компьютере или из

3 Технику расчета с помощью программы “Мастер функций” см. в главе 1.1.6 пример 1 в.

специальных таблиц случайных чисел. Техника моделирования случайной величины представлена в приложении 1 к настоящей главе.

Метод Монте-Карло в первую очередь используют при расчете VaR портфелей, включающих активы с нелинейными зависимостями. При расчете VaR портфеля методом Монте-Карло определяют распределение его стоимости на конец интересующего периода и строят гистограмму выигрышей и проигрышей. Величина потерь, отвечающих квантили (персентилю) для требуемого уровня доверительной вероятности и является показателем VaR. Ключевым моментом данного метода является моделирование будущей стоимости портфеля. Рассмотрим принцип моделирования его стоимости вначале для одной акции, а затем для портфеля из нескольких бумаг.

10.3.1. Метод Монте-Карло для одной акции

Проиллюстрируем моделирование курса акции на примере. В качестве модели возьмем модель изменения курсовой стоимости акции, представленную уравнением:

AS = juSAt + oSs-ist , (10.3)

где S - цена спот акции;

/л - непрерывно начисляемая ожидаемая доходность; а - мгновенное стандартное отклонение; s - стандартная нормально распределенная величина;

At - период времени, за который рассматривается изменение стоимости акции.

Пример.

Ожидаемая доходность акции равна 20% годовых, стандартное отклонение 30% годовых, интервал времени один день. Смоделировать курс акции через два дня, если в конце нулевого дня она стоит 100 руб.

Решение.

Торговля акцией осуществляется только в торговые дни. Пусть в году 250 торговых дней. Интервал времени в один день равен: = 0,004 части года. Тогда

уравнение (10.3) принимает общий вид:

AS = 0,2 • S, ¦ 0,004 + 0,3 • S,ej0,004 , (10.4)

где S, - текущий курс акции в момент испытания.

Для начального момента времени курс акции равен 100 руб. Поэтому уравнение (10.4) запишем как:

AS = 0,2 -100 - 0,004 + 0,3-100sj 0,004

или

AS = 0,08 +1,897^ (10.5)

Пусть в результате первого испытания случайная величина е - -0,02. Подставив это значение в равенство (10.5), получим:

М = 0,08 +1,897 •(- 0,02) = 0,04206руб.

В начальный момент времени курс составляет 100 руб. В конце первого дня он равен:

100 + 0,04206 = 100,04206^уб.

На момент второго испытания курс акции составляет 100,04206 руб. Поэтому формула (10.4) принимает вид:

AS = 0,2 100,04206 • 0,004 + 0,3-100,04206 • sj 0,004 ,

или

М = 0,080034 +1,898165f (10.6)

Пусть в результате второго испытания случайная величина е - 0,4. Подставив это значение в равенство (10.6), получим:

М = 0,080034 +1,898165 • 0,4 = 0,8393руб.

В конце второго дня курс равен:

100,04206 + 0,8393 = 100, ?Шруб.

Мы получили значение курса акции в конце второго дня в результате одной серии испытаний. (Одна серия состоит из двух испытаний.) Проведя подобные серии испытаний большое количество раз, получим картину распределения курса акции через два дня. Для получения значений курса акции методом Монте-Карло можно использовать программу Excel.

10.3.2. Использование программы Excel для получения значений курса акции методом Монте-Карло

Рассмотрим моделирование курса акции методом Монте-Карло с помощью программы Excel на примере из параграфа 10.3.1.

Пример.

Ожидаемая доходность акции равна 20% годовых, стандартное отклонение 30% годовых, интервал времени 0,004 года. Смоделировать курс акции через два дня, если в конце нулевого дня она стоит 100 руб.

Решение.

Печатаем в ячейке А1 курс акции в конце нулевого дня (100), в ячейке А2 -ожидаемую доходность (0,2), в АЗ - стандартное отклонение (0,3), в А4 временной интервал (0,004).

Курс акции через два дня моделируем на основе уравнения (10.3). Для удобства моделирования перепишем его как:

St+i -St = juS'At + aS'SyfKt,

или

St+1 = S, (l + juAt + <у?л[аІ), (10.7)

где S, - курс акции в день t;

Sl+1 - курс акции в день t +1.

В круглых скобках равенства (10.7) выражение (//А/ + as л/а?) представляет собой нормально распределенную случайную величину со средним значением jxbd и стандартным отклонением ал[Кі. При моделировании она принимает вид формулы:

=НОРМОБР(С ЛЧИС(); А2 * А4; АЗ *КОРЕНЬ( А4))

Получим значение курса акции в конце первого дня в ячейке В1. Печатаем в ней формулу:

=А1 *(і +НОРМОБР(СЛЧИС();А2*А4; АЗ*КОРЕНЬ(А4)))

и нажимаем клавишу Enter.

Получим значение курса акции в конце второго дня с учетом ее курса в конце первого дня в ячейке В2. Печатаем в ней формулу:

=В 1 * (1 +НОРМОБР(СЛЧИС(); А2 * А4; АЗ *КОРЕНЬ( А4)))

и нажимаем клавишу Enter. Чтобы получить значения курса акции для второй серии испытаний, т.е. для периода следующих двух дней, нажимаем клавишу F9 и т.д.

10.3.3. Метод Монте-Карло для портфеля из нескольких акций

Рассмотрим существо метода Монте-Карло для портфеля из двух бумаг. Для портфеля, включающего большее количество активов, подход останется аналогичным.

Распределение стоимости портфеля зависит от степени коррелированности доходностей входящих в него активов. Наиболее просто получить распределение стоимости портфеля, когда доходности акций изменяются независимо друг от друга или когда между ними наблюдается корреляция +1.

Как отмечалось в параграфе 10.3.1, изменение цены акции можно смоделировать на основе уравнения (10.3). Поэтому изменение стоимости акций в портфеле можно представить равенствами:

AaSj 1 — Н\^\сГі5іЛЛ7 ? Д52і = /u2S2 0At + a2S2 0?2 ,

(10.8)

(10.9)

где А5[,; А52, - изменения курса первой и второй акций в первом периоде;

5,0; S2 0 - цены первой и второй акций в начальный момент времени;

//,; ц2- ожидаемые доходности первой и второй акций; сг,; <г2 - стандартные отклонения доходностей первой и второй акций; еху, е - реализации стандартной нормально распределенной случайной величины в первом периоде.

Расчеты применительно к портфелю ценных бумаг удобно осуществлять в матричной форме. Поэтому выражения (10.8) и (10.9) представим в матричной форме как:

?хл4а1 \S2,\ ?а? j

AS,/

as2>1

М^і.оА/

/j2S20At

(10.10)

0 a2S2fiJ

Для простоты возьмем в выражении (10.10) период времени равным единице. Тогда оно примет вид:
( \
'AS,,,] ?А,0аЛ+ axSh0 0 (? \ *1,1
?А52.1у уН2^2,0 ^0 <j2S2 о ^ \S2,\)
(10.11)

AS - это изменение стоимости акции. Его можно записать как:

AS = S, — St_x,

где St - курс акции в момент t:

и-1

курс акции в предыдущий момент t -1.

Учитывая сказанное, цены акций в выражении (10.11) можно представить как:

fs, Л ( Sl0 + ^xSxoAt']

*^2,0 №2^2,0^
\

+
°Ао о (е Л

*і,і
У ?0 сг2520у
(10.12)

А,

где Sx x; S2 X - цены акций в конце первого периода испытания.

Стоимость портфеля в конце первого периода можно узнать, умножив выражение (10.12) на вектор количества акций в портфеле:

Vs,У '

Vs*.

рр =

П\ п2

П\ п2
Г \ ( \ <7xsxfi 0 (е \

*і,і
+ п2
\ J ?0 ^2^2,0; '/У,
~)[ Suo + ^xSx0At

^2,0 "*¦ /^2^2,qA^

(10.13) где Р - стоимость портфеля;

и,; п2 - количества первой и второй акций в портфеле.

Формула (10.13) позволяет определить стоимость портфеля, когда корреляция доходностей бумаг равна нулю.

Если корреляция доходностей активов в портфеле равна +1 или -1 , то выражение (10.13) принимает вид:

^ УМ.

*^2,0 Рг^2,0^

Пл п.

\S2,\J

= \Щ «2
( \ оАо 0 (? ^ *1,1
+ пх п2
\ J ^±<72*^2,0 ??2,1у
Наиболее стандартным является случай, когда корреляция доходностей акций в портфеле отлична от ± 1. Этот факт необходимо учесть при определении

°і,і

Vf2.1 J

его стоимости. Результаты испытаний задаются значениями вектора

, обо

значим его через s. Они должны отражать структуру корреляций доходностей активов. Требуемое условие можно смоделировать, воспользовавшись разложением Холецкого. Разложение Холецкого представляет собой симметрическую матрицу как произведение нижней и верхней треугольных матриц. Поэтому корреляционная матрица портфеля (іQ) представима как:

Q = АА ,

где А - нижняя треугольная матрица.

Запишем выражение (10.14) для портфеля из двух бумаг:

(10.14)



(\ Р' "«11 0 " «п я21
кР О ?«21 «22/ К 0 «22 У
где р - корреляция доходностей активов. Произведение матриц ААТ дает результат:

я,

я,

«11*21

«21 + «22 /

21

?«21

а

гг)

V 0 #22 )

\аг\а\ 1

Приравняем элементы корреляционной матрицы и матрицы произведений АА :
(1 / 2 \
р _ аи апа2\
lj Ка2\а\\ 2 2 а2\ а22 У
Отсюда:

СІ11 — lj і#2і — ^22 — ^

??11 — 1, ^21 “ Р' а22 ~ Ф Р Зададим значения вектора s как:

? = Ат ,

где г - вектор независимых стандартных случайных переменных. Тогда:

(10.15)

/72Г2

'2,1

(е Л

*і,і
(\ 0 (т Л ч
2
кеЫ; КР ¦ s\\-p J KT2J
~ Т\
Найденные значения el t и ? подставляем в выражение (10.13) и получаем

стоимость портфеля с учетом структуры его корреляционной матрицы.

Для того чтобы можно было использовать разложение Холецкого, матрица А должна быть положительно определена. Если менеджер включит в модель дисперсии и корреляции, в которых учтены его экспертные оценки, то не исключен вариант, что матрица не будет определена положительно.

Точность оценки VaR зависит от количества проведенных испытаний. Возможная ошибка обратно пропорциональна корню квадратному из их количества.

В заключение данного параграфа остановимся еще раз на использовании формулы (10.3) для моделирования курсовой стоимости акции. Формула включает элемент juSdt. Он определяет тренд или скорость тенденции движения цены акции. За короткий период времени тренд фактически не определим, и изменение цены акции задается в основном стандартным отклонением. Поэтому, если курс акции моделируется для небольшого периода времени, то данное слагаемое можно опустить. Тогда формула (10.3) примет вид:

AS = ctS??а7 (10.16)

Таким образом, для моделирования курса акции для малых периодов времени можно воспользоваться вместо формулы (10.3) выражением (10.16). Разница в результатах тем меньше, чем меньше период времени берется для каждого испытания. При моделировании стоимости акций в портфеле с учетом их корреляций в формуле (10.16) значения s необходимо учитывать в соответствии с выражением (10.15).

10.4. Какой метод оценки VaR использовать

Мы рассмотрели три подхода к оценке VaR портфеля: аналитический, историческое моделирование и метод Монте-Карло. Какой из них предпочесть? Ответ на вопрос зависит от временного горизонта, для которого рассчитывается VaR, и состава портфеля. Если рассматривать портфель с линейными позициями, т.е. не включающий опционы, то оценки на основе всех трех методов не должны отличаться сильно. Поэтому выбор необходимо остановить на наиболее быстром и наименее затратном подходе. Таким подходом является аналитический метод. Он не требует выбора какой-либо модели оценки стоимости активов, а необходимые данные для расчета VaR доступны со стороны банка J.P.Morgan по интернету. Исторический метод также прост в осуществлении. Наиболее сложен метод Монте-Карло. Он требует выбора ценовых моделей для активов портфеля, и его осуществление может занять много времени. Время осуществления расчетов можно уменьшить за счет увеличения периода шага моделирования At. Однако чем больше величина At для каждого испытания, тем сильнее полученная динамика курсовой стоимости актива отличается от непрерывного процесса, характеризующего изменение цены актива. В дополнение к этому также следует упомянуть и модельный риск. Он состоит в выборе Модели, не адекватно описывающей динамику курсовой стоимости актива.

Много времени займет моделирование стоимости широко диверсифицированного портфеля. Так, например, для портфеля из 100 активов для имитации 10000 сценариев потребуется оценить I млн. активов.

Если портфель включает нелинейные позиции, то оценки в рамках аналитического метода, с одной стороны, и исторического и Монте-Карло, с другой, могут существенно отличаться. В общем случае предпочтительнее метод Монте-Карло. Однако, если временной горизонт расчета VaR небольшой, например, один день, то допустимо использовать и аналитический подход. Расхождения в оценках не должны оказаться большими, и будут тем меньше, чем меньше нелинейность портфеля. Говоря о нелинейных позициях, также следует учитывать их знак. Если в портфель входят опционы с противоположными позициями, т.е. длинные и короткие, то их возможные результаты должны в определенной степени компенсировать друг друга. Поэтому аналитическое приближение такого портфеля характеризуется меньшей возможной ошибкой по сравнению с портфелем, включающим опционы только одного знака.

10.5. Стресс-тестирование

VaR представляет собой оценку возможных потерь в стоимости портфеля для “нормальных” экономических условий. Вместе с тем история показывает, что время от времени на финансовом рынке происходят резкие изменения конъюнктуры, которые не учитываются адекватно стандартными моделями VaR, поскольку они строятся на ограниченной статистической базе. Однако повторение подобных событий может вызвать серьезные потери в стоимости портфеля. Например, средняя дневная волатильность доходности акций США с 1984 по 1988 годы составляла один процент. Однако 19 октября 1987 г. значение индекса S&P 500 упало на 20%. Предотвращение риска банкротства требует оценки возможных потерь стоимости портфеля при подобных ситуациях. Эту задачу решают с помощью стресс-тестирования. Оно заключается в определении возможных потерь в стоимости портфеля в различных негативных условиях. Управляющий портфелем определяет набор ситуаций, которые по его мнению могут произойти, и проводит для них оценку стоимости портфеля. После этого делает заключение относительно готовности пойти на такой риск или предусмотреть хеджирующие действия.

Стресс-тестирование показывает потенциальные потери для выбранных ситуаций, однако не говорит о вероятности их наступления. Поскольку выбор сценариев делается на субъективной основе, то ему должно предшествовать детальное изучение функционирования рынков инструментов, входящих в портфель. В качестве анализируемых случаев рассматриваются фактические кризисные ситуации на финансовых рынках, а также условные сценарии неблагоприятного изменения факторов риска. К фактическим ситуациям, например, относится кризис на мировых финансовых рынках в октябре 1987 г., дефолт по государственным обязательствам России в 1997 г., террористический акт в США в сентябре 2001 г. и т.п. На основе динамики курсовой стоимости или доходности активов в эти моменты времени менеджер определяет возможные потери в стоимости портфеля. В качестве условных сценариев можно, например, оценить последствия для портфеля снижения значения индекса Доу-Джонса за одну сессию на 5%, рост или падение процентной ставки в США на 1%, рост цены нефти в три раза в результате военных действий на Ближнем Востоке, и т.п. При осуществлении расчетов также необходимо учесть, что в условиях кризисных ситуаций изменяются не только стандартные отклонения доходностей активов, но и их корреляции. Как правило, их значения возрастают. Заслуживает внимания и ситуация, когда стоимость портфеля падает в течение нескольких дней, и, причем, потери за каждый день не выходят за рамки отведенных ограничений.

Одним из вопросов в кризисных ситуациях является проблема ликвидности. Поэтому, необходимо оценить степень ликвидности активов портфеля для таких случаев.

С точки зрения терминологии в рамках стресс-тестирования выделяют сценарный анализ и механический подход. Сценарный анализ ограничивается выбором определенных ситуаций и оценкой их влияния на стоимость портфеля. Механическое стресс-тестирование включает более широкий подход, поскольку заключается в использовании различных гипотетических комбинаций цен активов с целью определения наихудшей возможной ситуации. Как отмечает K.Dowd, “некоторые приемы механического стресс-тестирования также отличаются от сценарного анализа тем, что могут дать (хотя иногда довольно слабое) представление о вероятности (likelihood) различных исходов”. В частности, если менеджер оценивает стоимость портфеля для возможного изменения цен активов равного определенному количеству стандартных отклонений и предполагает нормальность распределения стоимости активов.

В целом стресс-тестирование является дополнением к анализу в рамках методик VaR, поскольку позволяет учесть разнообразные, порой далекие от стандартных ситуации, вероятность наступления которых на взгляд менеджера является незначительной.

Краткие выводы

Историческое моделирование основано на использовании статистических данных об изменении цен или доходностей активов, входящих в портфель, за предыдущие временные периоды. В рамках данного метода выбирают некоторый отрезок времени в прошлом и определяют для него фактические изменения цен или доходностей активов. С помощью полученных цифр моделируют прибыли и убытки существующего портфеля. Доход соответствующий персентилю для требуемого уровня доверительной вероятности составляет VaR портфеля.

Метод Монте-Карло представляет собой метод моделирования значений случайной величины с помощью статистических испытаний или “разыгрывания” случайной величины. Испытания проводят на основе модели, характеризующей динамику случайной величины. Параметры модели оценивают на основе предыдущих статистических данных. По результатам большого количества испытаний делают вывод о распределении случайной величины. Доход, соответствующий квантилю для требуемого уровня доверительной вероятности составляет VaR портфеля.

Приложение 1.

Моделирование случайной величины.

Использование Excel для моделирования случайной величины

Для моделирования искомой случайной величины используют случайную величину, которая принимает любые значения на отрезке [О, I] с равной вероятностью. На практике выбранное значение случайной величины будет иметь бесконечное число десятичных знаков. Поэтому ограничиваются только определенным количеством десятичных знаков. В связи с этим распределение случайной величины не строго равномерно. Следует также подчеркнуть, что получаемые значения случайной величины представляют собой “псевдослучайные” числа, поскольку они генерируются на основе определенного алгоритма. Данный алгоритм с определенной цикличностью повторяет одинаковую последовательность чисел. Если циклы относительно коротки, то получаемые значения не будут независимыми. Это может исказить оценку VaR, поскольку распределение стоимости портфеля окажется не полным.

Функция распределения случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [а,Ь], имеет вид:

при а <х<Ь

(П.10.1)

О при х < а х-а

Ь-а

1 при х>Ь

Обозначим непрерывную равномерно распределенную на отрезке [0,1] случайную величину через R. Тогда, согласно выражению (П.10.1), ее функция распределения равна:

(П.10.2)

0 при jc < 0 г при 0 < л: < 1

1 при х>Ь

Отсюда видно, что вероятность попадания случайной величины на любой интервал отрезка [0,1] равна длине этого интервала:

P(rx <R<r2)=FR(r2)-FR(rl) = r2-rl

Для моделирования непрерывной случайной величины часто используют метод обратных функций. Суть его сводится к следующему. Искомая случайная величина X имеет функцию распределения F{x). С помощью генератора случайных чисел получают некоторое число rt случайной величины R. Это означает, что в данном эксперименте значение rt равно значению функции распределения величины X. Поэтому можно записать:

Н*,) = г, (П.10.3)

Из уравнения (П.10.3) находим значение , которое искомая случайная величина X в данном испытании приняла с вероятностью гх :

Функция распределения и плотность вероятности случайной величины связаны соотношением:

F(x,)= ]f{x)dx,

-00

где f(x) - плотность вероятности случайной величины X. Поэтому вместо уравнения (П.10.3) можно решить уравнение:

Аі

(П.10.4)

\f(x)dx = rt

С помощью рассмотренного метода наиболее часто моделируют нормально распределенную величину. Плотность стандартной нормально распределенной

г2

1 —

величины равна: ¦— е 2 . Тогда выражение (П.10.4) принимает вид:

V2 ж

функция стандартного нормального распределения.

Пример 1.

В результате испытания равномерно распределенная на отрезке [0,1] случайная величина приняла значение 0,492. Определить соответствующее ей значение стандартной нормальной случайной величины.

Решение.

На основе равенства (П.10.5) запишем:

ф(х,) = 0,4920

По таблице стандартного нормального распределения находим:

х, = -0,02

Значение стандартной нормально распределенной случайной величины вместо таблиц можно определить с помощью программы Excel. Найдем значение величины х, из примера 1. Ответ получим в ячейке АІ, поэтому активизируем ее. Открываем окно “Мастер функций”. Курсором выбираем раздел “Статистические” и щелкаем мышью. В окне “Функция” выбираем курсором строку “НОРМСТОБР” и щелкаем кнопку ОК. В строке “Вероятность” печатаем цифру 0,492 и щелкаем кнопку ОК.

Если необходимо смоделировать возможные значения нормально распределенной величины с математическим ожиданием а и стандартным отклонением а, то выражение (П. 10.5) примет вид:

х, - а

(П.10.6)

= г.

Пример 2.

По данным примера 1 определить значения нормально распределенной величины с математическим ожиданием 10 и дисперсией 2.

Решение.

На основе равенства (П.10.6) запишем:

дс, -10

= 0,4920

По таблице стандартного нормального распределения находим:

^1®=-0,02

2

ИЛИ

JC, =-0,02-2 + 10 = 9,96

Значение нормально распределенной случайной величины вместо таблиц можно определить с помощью программы Excel. Найдем значение величины де, из примера 2. Ответ получим в ячейке А1, поэтому активизируем ее. Открываем окно “Мастер функций”. Курсором выбираем раздел “Статистические” и щелкаем мышью. В окне “Функция” выбираем курсором строку “НОРМОБР” и щелкаем кнопку ОК. В строке “Вероятность” печатаем цифру 0,492, в строке “Среднее” - цифру 10, в строке “Стандартноеоткл” - цифру 2 и щелкаем кнопку ОК.

Программа Excel позволяет моделировать равномерно распределенную случайную величину на отрезке [0, 1]. Для этого служит функция СЛЧИС(). Получим в ячейке А1 первое значение случайной величины. Для этого печатаем в ней формулу: =СЛЧИС() и нажимаем клавишу Enter. В ячейке появилось значение случайной величины. Следующее ее значение в данной ячейке можно получить, нажав клавишу F9.

Для моделирования нормально распределенной случайной величины с некоторым средним значением а и стандартным отклонением а служит функция НОРМОБР. Пусть среднее значение нормально распределенной случайной величины равно 0,2, стандартное отклонение - 0,3. Печатаем значение 0,2 в ячейке А1 и 0,3 - в ячейке А2. Значение случайной величины получим в ячейке В1. Воспользуемся для генерирования значения случайной величины “Мастером функций”. Для этого открываем окно “Мастер функций”, щелкнув мышью на значок :і. В левом окне “Мастера функций” курсором выбираем строку “Статистические” и щелкаем мышью. Далее выбираем курсором функцию НОРМОБР и щелкаем мышью кнопку ОК. Появилось окно “НОРМОБР”. В первой строке (Вероятность) печатаем СЛЧИС0 Во вторую строку (Среднее) вносим среднее значение нормального распределения, т.е. ячейку А1. В третью строку (Стандартное откл) вносим значение стандартного отклонения распределения, т.е. ячейку А2. Выбираем курсором команду ОК и щелкаем мышью. В ячейке В1 появилось одно из значений случайной величины. Чтобы получить следующее значение случайной величины, нажимаем клавишу F9 и т.д.

Значение случайной величины в ячейке В1 можно получить, не прибегая к помощи “Мастера функций”. Для этого в ней необходимо напечатать формулу:

= НОРМОБР(СЛЧИС();А 1; А2) и нажать клавишу Enter.

11.1.

10.1.5.



Содержание раздела