ГЛАВА 9. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ VaR

В настоящей главе рассматривается методика определения риска портфеля, получившая название VaR. Мы определим понятия абсолютного и относительного VaR, диверсифицированного и не диверсифицированного VaR и приведем метод расчета параметрической модели VaR. В заключение главы определим понятие EaR.

9.1. Абсолютный и относительный VaR

В 90-е годы прошлого века теория и практика управления портфелем обогатилась концепцией VaR (Value at Risk). На русский язык VaR можно перевести как стоимость (портфеля), которой рискует инвестор. Появление методики VaR объясняется тем, что во многих случаях дисперсия не может рассматриваться как подходящий показатель измерения риска портфеля. Например, дисперсия не учитывает возможную скошенность в распределении доходности портфеля, если оно не является симметричным. Наиболее ярким случаем являются портфели, включающие значительную долю производных инструментов. Таким образом, VaR - это показатель, оценивающий риск портфеля. Следует подчеркнуть, что VaR оценивает рыночный риск. Он позволяет количественно оценить ожидаемые потери в стоимости портфеля в “нормальных условиях” функционирования рынка.

VaR - это показатель риска, который показывает, какую максимальную сумму денег может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. Соответственно VaR также говорит о том, что потери в стоимости портфеля в течение этого периода времени будут меньше данной величины с определенной вероятностью. Доверительную вероятность можно определить как показатель, говорящий о том, какое количество раз из каждых 100 раз потери в стоимости портфеля не превысят данного уровня. Поэтому VaR призван ответить на следующий вопрос: “Какой может оказаться максимальная потеря в стоимости портфеля, например, в 95% случаев в течение следующего дня?” Уровень доверительной вероятности задается заранее и зависит от характера компании, владеющей портфелем, и от субъективного подхода управляющего портфелем к этому вопросу. Обычно он равен 95% или 99%. Следует подчеркнуть, что выбор того или иного уровня доверительной вероятности не говорит об отношении инвестора к риску, так как VaR - это только определенная точка в распределении ожидаемых результатов доходности портфеля.

Пусть стоимость портфеля инвестора составляет 100 млн. руб., VaR для одного дня равен 2 млн. руб. с доверительной вероятностью 95%. Данную информацию можно интерпретировать следующим образом: а) вероятность того, что в течение следующих 24 часов потери в стоимости портфеля составят меньше 2 млн. руб. равна 95% или б) вероятность того, что в течение следующих 24 часов потери в стоимости портфеля превысят 2 млн. руб. равна 5%, или

в) инвестор вправе ожидать, что в среднем его потери в течение 95 дней из каждых 100 дней не превысят 2 млн. руб., или что они окажутся больше 2 млн. руб. в течение 5 дней из каждых 100 дней.

При расчете VaR для некоторого временного интервала предполагается, что состав портфеля за этот период остается неизменным. В противном случае необходимо пересчитывать и значение VaR, так как новые активы, включаемые в портфель, как правило, изменяют и его риск.

Наиболее распространенный период, для которого рассчитывается VaR, -это один день или точнее - 24 часа. Однодневный VaR также обозначают как DEaR (Daily Earning at Risk). Базельский банк международных расчетов рекомендует банкам рассчитывать 10-дневный VaR с доверительной вероятностью 99% для определения минимального уровня собственных средств. Можно рассчитывать данный показатель и для более длительных периодов времени. Однако в этом случае состав портфеля должен оставаться неизменным. Для крупных институциональных инвесторов это условие вряд ли выполнимо. В целом, чем больше период времени, для которого рассчитывается VaR, тем больше будет и его величина, так как естественно, что на более длительном отрезке времени возрастает и вероятность более крупных потерь. Выбор более короткого периода VaR диктуется и самим подходом к статистической оценке данного показателя. Чтобы получить объективную оценку VaR, необходимо некоторое минимальное количество наблюдений. Например, если для оценки требуется 250 наблюдений, то однодневный VaR можно определить на основе данных за один год. Если же определяется десятидневный VaR, то 250 наблюдений с не перекрывающимися периодами в десять дней потребуют данных практически за семь лет. Для текущей оценки данные семилетней давности могут оказаться уже и не достаточно представительными. Кроме того, по ряду инструментов они могут просто отсутствовать физически.

При анализе риска с помощью VaR задача сводится к тому, чтобы построить распределение убытков и прибылей, которые может принести портфель инвестора в течение определенного периода времени и определить ту точку на этом распределении, которая бы соответствовала требуемому уровню доверительной вероятности. Существуют разные методики определения VaR. Все их можно разделить на две группы: параметрические модели (их еще называют аналитическими или дисперсионно-ковариационными) и непараметрические модели. Модель называется параметрической, если нам известна функция распределения случайной величины и параметры ее распределения. В параметрической модели VaR предполагается, что доходность финансовых активов следует определенному виду вероятностного распределения, обычно нормального. Используя прошлые данные статистики, определяют ожидаемые значения доходностей, дисперсий и ковариаций доходностей активов. На их основе рассчитывают VaR портфеля для заданного уровня доверительной вероятности по следующей формуле:

VAR_p=P_pcr_pZ_a , (9.1)

где VaR_p - VaR портфеля;

Р_р - стоимость портфеля;

<7 - стандартное отклонение доходности портфеля, соответствующее времени, для которого рассчитывается VaR;

Z_a - количество стандартных отклонений, соответствующих уровню доверительной вероятности а .

Примером параметрической модели VaR являются “Рискметрики” банка Дж.П.Морган, обнародованные им в 1994 г.

Пример 1.

Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на год равно 25%.

Решение.

Так как необходимо определить однодневный VAR, то вначале рассчитаем стандартное отклонение доходности акции для одного дня, учитывая, что в году 250 торговых дней:

о- = 0,25: V250 =0,0158

По таблице нормального распределения (функция Лапласа) находим, что уровню доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. VaR портфеля равен:

VAR_p = 10л*лн. • 0,0158 • 1,65 = 260,7тыс.руб.

Таким образом, в течение следующих 24 часов максимальные потери в стоимости портфеля инвестора с доверительной вероятностью 95% могут составить 260,7 тыс. руб. Другими словами, в течение следующих 24 часов вероятность потерять сумму денег меньше 260,7 тыс. руб. равна 95%, а сумму больше 260,7 тыс. руб. - 5%.

Существуют понятия абсолютного и относительного значения VaR. В приведенном выше примере был представлен абсолютный VaR. Абсолютный VaR можно определить как максимальную сумму денег, которую может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. Относительный VaR отличается от абсолютного тем, что он рассчитывается относительно ожидаемой доходности портфеля. Его значение учитывает, что инвестор с заданной вероятностью не только может потерять сумму равную абсолютному VaR, но и не получить сумму равную средней ожидаемой доходности портфеля за рассматриваемый период. Так, в примере 1 однодневный абсолютный VaR с доверительной вероятностью 95% составлял 260,7 тыс. руб. Допустим, что на основании данных за прошлый год средняя доходность портфеля за день составляла 0,1%. От 10 млн. руб. это составляет 10 тыс. руб. Тогда относительный VaR равен:

260,7 тыс. + 10 тыс. = 270,7 тыс. руб.

Если ожидаемая доходность портфеля равна нулю, то значения абсолютного и относительного VaR совпадают.

Рассмотрим еще один пример на расчет абсолютного значения VaR.

Пример 2.

Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции двух компаний. Уд. вес первой акции в стоимости портфеля составляет 60%, второй - 40%. Стандартное отклонение доходности первой акции в расчете на один день равно 1,58%, второй - 1,9%, коэффициент корреляции доходностей акций равен 0,8. Решение.

Определяем стандартное отклонение доходности портфеля:

а_р = (0,6 • 1,5 8 + 0,4 • 1,9 + 2 • 0,6 • 0,4 • 1,58¦ 1,9 • 0,sf = 1,62%

По таблице нормального распределения (функция Лапласа) находим, что уровню доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. По формуле (9.1) определяем VaR портфеля:

VaR_p = 10 млн. • 0,0162 • 1,65 = 267,3тыс.руб.

Аналогично примеру 2 находится VaR для портфеля, состоящего и из акций большего количества компаний. В этом случае дисперсия доходности портфеля рассчитывается по формуле (1.30).

При расчете риска портфеля вместо формулы (1.30) удобно воспользоваться матричной формой записи (см. формулу (1.39)). Тогда дисперсию доходности портфеля в примере 2 найдем как:

6 0,4 Ч,58 2,4^ "0,6" _?2,4 1,9, ,0,4, = 2,628. ^гМ°.

где 2,4 - ковариация доходностей акций.

Стандартное отклонение доходности портфеля равно:

а_р = -У2,628 = 1,62%

В примере 2 VaR можно определить также другим способом. Вначале определить VaR по каждой акции и после этого VaR портфеля. В этом случае VaR портфеля рассчитывается по формуле:

VaR_p=JV^TpV , (9.2)

где V - матрица-столбец значений VaR по каждой бумаге;

?^Т- транспонированная матрица-столбец значений VaR по каждой бумаге, т.е. матрица-строка;

р - корреляционная матрица размерности пхп (п - число активов в портфеле).

Определим в примере 2 абсолютный VaR для первой акции:

VaR_x = 10 млн. ¦ 0,6 • 0,0158-1,65 = 156,42тыс.руб.

Абсолютный VaR для второй акции равен:

VaR₂ = 10 млн. • 0,4 • 0,019-1,65 = 125,4тыс. руб.

Абсолютный VaR портфеля составляет:

ковариация валютного курса и курса акции компании А.

В примере 2 мы привели еще один способ нахождения VaR портфеля с помощью формулы (9.2) на основе расчета VaR по каждому активу. Решим пример 3 с помощью данной формулы. Вначале определяем показатели VaR для акции (VaRj и валютного курса (VaR_e):

VaR_a = 10 млн.руб. • 0,0158 • 1,65 = 260,7тыс.руб.,

VaR_e = Юмлн.руб. • 0,006 • 1,65 = 99тыс.руб.

VaR портфеля составляет:

VaR_p f л А 0,2^ "260,7^ 260,7 99 V У _?0,2 1, V 99 У 296,8тыс.руб. Рассмотрим пример, когда портфель инвестора включает разные валюты.

Пример 4.

Курс доллара составляет 1долл.=28 руб., курс евро - Іевро =34 руб. Банк купил на спотовом рынке 357,143 тыс. долл, и осуществил короткую продажу 294,118 тыс. евро. Стандартное отклонение курса доллара в расчете на один день составляет 0,6%, евро - 0,65%, коэффициент корреляции равен 0,85. Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 95%.

Решение.

Рассчитаем VaR в рублях, так как банк закроет свои позиции в иностранных валютах, конвертировав их в рубли. Долларовая позиция банка в рублях составляет:

357,1 ЛЪтыс.долл. ¦ 28 руб. = Юмлн.руб.

Позиция по евро в рублях:

294,118тыс.долл. ¦ 34 руб. = 10 млн.руб.

Поскольку банк продал евро, то для дальнейших расчетов его позицию следует записать со знаком минус, т.е. -Юмлн.руб.

VaR по долларовой позиции равен:

Юмлн.руб. • 0,006 • 1,65 = 99тыс.руб.

VaR по евро равен:

- Юмлн.руб. ¦ 0,0065 • 1,65 = -Ю1,25тыс.руб. VaR портфеля согласно формуле (9.2) составляет:

^1 0,85

(99 -107,25

99 -107,25

VaR_n =

' \

- 57,038тыс. руб.

0,85 1

В приведенных выше примерах мы рассчитывали однодневный VaR на основе стандартных отклонений для одного дня. Однако данные могут быть заданы в расчете на год. Один из вариантов расчета состоит в том, чтобы перевести годичное стандартное отклонение в однодневное по формуле:

__^ год_

^1 день /

д/количество торговых дней в году

После этого можно воспользоваться приведенными выше алгоритмами.

Другой подход состоит в том, чтобы матрицу ковариаций, составленную из годичных значений, перевести в матрицу с однодневными значениями. Кроме этого, данную матрицу также удобно сразу скорректировать в соответствии с заданным уровнем доверительной вероятности. Тогда годичную матрицу ковариаций следует умножить на коэффициент:

К _ [уровень доверительной вероятности)²

количество торговых дней в году

Пример 5.

Пусть в примере 4 годичное стандартное отклонение изменения курса доллара равно 9,4868%, а евро - 10,2774%, количество торговых дней в году 250. Определить однодневный VaR для доверительной вероятности 95%.

Решение.

Коэффициент К равен:

1

К = -²—— = 0,01089 250

Ковариационная матрица на основе годичных значений равна (стандартные отклонения берем в десятичных значениях):

- 0,094868² 0,0082875

г \

1^0,0082875 0Д02774²

Умножим матрицу В на коэффициент К. Получим матрицу Q':

Q' = 0,01089

0,094868² 0,0082875 0,0082875 0Д02774²

0,00009801 0,0000902509 " _?0,0000902509 0,000115026_у

После этого VaR портфеля находим по формуле:

VaR_p = 4C^TQC , (9.3)

где С - матрица-столбец, представленная стоимостями входящих в портфель активов;

Q' - ковариационная матрица, скорректированная на требуемый уровень доверительной вероятности и временной период.

VaR портфеля согласно формуле (9.3) равен:

1 1 ( Л

0,00009801 0,0000902509 Л

10000 \і 0000 -10000 _?0,0000902509 0,000115026, _?-юооо_у = 57,038тысруб. В примерах мы рассчитывали VaR с учетом корреляций между активами портфеля. Такой VaR называют диверсифицированным. Если определить VaR без учета корреляций, то получим не диверсифицированный VaR. Он представляет собой простую сумму индивидуальных VaR активов портфеля. Покажем это для портфеля из двух активов. Пусть стандартные отклонения и уд. веса

первого и второго активов соответственно равны сг,, ?_х и <г₂, ?₂, стоимость портфеля составляет Р. Тогда VaR портфеля для уровня доверительной вероятности а равен:

VaR_p = аОрР = а^?²сг? + ?\сг\ + 2?,?_г a_xa₂corr_X2P

или

VaR_p = ^ja²0²a²P² + а²?\о\Р² + 2а?_хсг₁Ра?₂<т₂Рсогг_и2 ,

или

VaRp = уJ(VaR_{ )² + {VaR₂ )² + 2VaR, ¦ VaR₂ ¦ corr_{x 2} (9.4)

Если коэффициент корреляции между доходностями активов равен единице, то формула (9.4) принимает вид:

VaRp = ¦\J(VaR_l f + (lVaR₂ f + 2VaR, ¦ VaR, = yj(VaR_l + VaR₂ )²

или

VaRp = VaR_} + VaR₂ (9.5)

Формула (9.5) говорит о том, что в случае полной положительной корреляции между активами VaR портфеля является суммой индивидуальных VaR входящих в него активов. Поскольку корреляции могут изменяться со временем, то наряду с показателем диверсифицированного VaR целесообразно рассчитывать и не диверсифицированный VaR. Он покажет максимум возможных потерь (при нормальных условиях рынка) для данного уровня доверительной вероятности в случае неустойчивости корреляций или ошибки их оценок.

Допущение нормальности распределения доходности портфеля позволяет легко переводить значения VaR из одного уровня доверительной вероятности в другой. VaR портфеля для доверительной вероятности z, равен:

VaR_i - Paz_x, (9.6)

для доверительной вероятности z₂:

(9.7)

(9.8)

VaR₂ - Poz₂

Выразим значение Per из формулы (9.6):

Ра =

VaR_x

и подставим в формулу (9.7):

VaR₂ = VaR, -2-

Таким образом, зная величину VaR] для доверительной вероятности z,, по формуле (9.8) легко получить VaR2 для доверительной вероятности z₂.

Аналогичным образом можно пересчитывать значения VaR для разных периодов времени. Пусть VaR портфеля для периода t, равен:

VaR, = Per-Jt\^z, (9.9)

VaR₂ = Pa-yjt^z,

для периода t₂:

(9.10)

Выразим значение Poz из формулы (9.9):

“исправленная” дисперсия;

Х_і - значение случайной величины для і -ой выборки; X - среднее значение случайной величины;

п - количество выборочных данных.

личиныХ

Величина

имеет распределение хи-квадрат

/=і

с й-1 степенями свободы. Умножим обе части равенства (9.13) на (и-і):

Х_:-Х

(9.14)

і=і

(п — l)s² ₂

Выражение (9.14) показывает, что величина -j-— имеет х распределение

<у

с и—1 степенями свободы. Необходимо найти границы интервала, который бы с вероятностью у накрывал истинное значение дисперсии случайной величины. Это условие записывают как:

Ахі <Х² <хі)= Г (9.15)

Значения конечных точек доверительного интервала обычно выбирают таким образом, чтобы вероятности событий j² < хі ^и X¹ > ХІ были одинаковыми. Пусть эта вероятность равна а. Тогда выражение (9.15) примет вид:

₂ (и-lV ₂

Ja < Г” < Xl-а

2

= 1-2 а

или

Хіа

а²

Ха

(9.16)

= 1-2а

(и-і)у

(и-і)у

Разделим единицу на каждую часть неравенства (9.16):

.2 Л. 1^.2 \

Хіа

Хі

= 1-2 а

По таблице квантилей распределения х¹ находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала дисперсии случайной величины. Квадратные корни из данных значений представляют собой нижнюю (<&_н) и верхнюю (а_в) границы доверительного интервала стандартного отклонения. Если в качестве случайной величины выступает доходность портфеля, то найденные значения сигм показывают доверительные границы стандартного отклонения доходности портфеля.

На основе полученных данных рассчитаем доверительный интервал для VaR портфеля по формулам:

^VaRH=^Pp ^crH ^Z, (917)

VaR_e=P_pa_ez, (9.18)

где VaR_H - нижняя граница доверительного интервала VaR;

VaR_e - верхняя граница доверительного интервала VaR;

Р_р - стоимость портфеля;

z - количество стандартных отклонений, соответствующих выбранной доверительной вероятности.

Пример.

В примере 2 параграфа 9.1 мы получили однодневный VaR портфеля из двух акций в 267,3 тыс. руб. Пусть данный результат был получен на основе данных по доходности акций за 101 день. Требуется определить доверительный интервал для VaR с коэффициентом доверия у = 0,95.

Решение.

Из соотношения у -1 - 2а находим значение а, соответствующее доверительной вероятности 95%:

0,025

1-0,95

2

Количество наблюдений случайной величины составило 101 день. Поэтому количество степеней свободы в примере равно 100. По таблице квантилей распределения х¹ находим квантили zt_a ^и со степенями свободы 100: Z0,915⁼129.56; 025 = 74,22 _

Нижняя граница доверительного интервала для дисперсии равна:

2,06854,

(ц-1>² 100-2,628

*0,975 ¹²⁹>⁵⁶

а стандартного отклонения

•Д06854 = 1,44%

Верхняя граница доверительного интервала для дисперсии равна:

ЦіУ_=і00^628

Z.025 74,22

а стандартного отклонения

д/3,54083 = 1,88%

По формулам (9.17) и (9.18) находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала для VaR портфеля:

VaR_H -1 ООООтыс. • 0,0144 • 1,65 = 237,6 тыс.руб.

VaR_e =Ю000тыс. -0,0188-1,65 = 310,2 тыс.руб.

Таким образом, с доверительной вероятностью 95% процентов можно быть уверенным, что действительное значение VaR лежит в границах от 237,6 тыс. руб. до 310,2 тыс. руб.

9.3. Ожидаемые потери портфеля в случае превышения значения VaR

VaR позволяет оценить максимальные потери инвестора для определенного уровня доверительной вероятности и ничего не говорит о том, какие в среднем убытки могут возникнуть в случае превышения значения VaR. Для этого служит показатель средних ожидаемых потеръ (expected shortfall). Он показывает величину средних потерь для данного уровня доверительной вероятности и периода времени в случае, если убытки превысят значение VaR. Таким образом, показатель средних ожидаемых потерь представляет собой условное математическое ожидание потерь при условии, что их величина оказалась больше значения VaR. Из теории вероятностей известно, что условная вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А, равна:

ФИ)

(9.19)

р(ав)

Ф)

ФИ)

- условная вероятность наступления события В при условии, что

где

событие А произошло;

р(ав) - вероятность совместного наступления событий А и В;

Р(А) - вероятность наступления события А.

На основе (9.19) для непрерывной случайной величины X, характеризующей убытки и доходы портфеля, можно записать:

значение VaR для уровня доверительной вероятности у;

f(x) - функция плотности распределения случайной величины X.

Для уровня доверительной вероятности у интеграл в знаменателе формулы

(9.20) равен:

VaR_y

\f(x)dx = \-y, (9.21)

так как это оставшаяся часть площади под графиком плотности распределения для значений величины X за рамками доверительного интервала равного у (см. рис. 9.1). С учетом (9.21) формула (9.20) принимает вид:

E{x\x<VaR_r)f=^e ²'² (9.23)

Ы2к(Т

Подставим (9.23) в (9.22):

1 ^VaRy —

ЕІХ\х < VaR, = — f г— е ^!»'А =

¹ ’ і-г і -Іьіа

1 1 ^VaRr _xL (9.24)

=---,— f xe ^2al dx,

1 -У ?2лги _І

Найдем интеграл в правой части (9.24):

VaR_v х² (_ггЛ VaR_y х² ( 2 Л

?* '²°²d X = -<j² \e²°²d X к 2 у J

-00 1 2<T²J VaR_v

j хе ^2<y2dx = J

х² f VaR² (~*?^Л VaR² = -<j²e ^2<j2 VaR_y 2

— —С

-00 e 2<т² "b

<N

'

1 = -cr²e ^lcjl к J Подставив найденное значение интеграла в (9.24), получим величину средних ожидаемых потерь:

VaR²

2а^г

?аЦ

2<т²

E{x\x<VaR_y)=

это показатель риска, который говорит о том, какую максимальную сумму денег может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. VAR определяет ожидаемые потери в стоимости портфеля в “нормальных условиях” функционирования рынка.

Существуют параметрические и непараметрические модели VAR. В параметрических моделях обычно предполагается, что доходность финансовых активов следует нормальному распределению. Непараметрические модели лучше подходят для определения VAR портфелей, в которых значительный уд. вес приходится на производные инструменты.

VaR, рассчитываемый с учетом корреляций доходностей между активами портфеля, называют диверсифицированным, без учета корреляций - не диверсифицированным. Он представляет собой простую сумму индивидуальных VaR активов портфеля.

Показатель средних ожидаемых потерь говорит о величине средних потерь для данного уровня доверительной вероятности и периода времени в случае, если убытки превысят значение VaR.

EaR показывает, какую максимальную сумму дохода может принести портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью.

Приложение 1.

Распределение хи-квадрат

Пусть случайные величины Z,, Z₂,..., Z_n представляют собой независимые стандартные нормально распределенные величины, т.е. математическое ожидание каждой из них равно нулю и дисперсия равна единице. Сумма квадратов данных случайных величин:

Z₁²+Z₂^!+...+Z„^! (П.9.1)

также является случайной величиной. Ее именуют хи-квадрат, а закон ее распределения - хи-квадрат распределением. Данное распределение определяется одним параметром - числом степеней свободы к. Число степеней свободы представляет собой разность между числом суммируемых случайных величин и числом линейных связей, которые ограничивают свободу их изменения. Поскольку в сумме (П.9.1) все слагаемые независимы, т.е. каждая составляющая может менять свое значение независимо от других значений, то число степеней

свободы данной случайной величины X равно их количеству, т.е.

і=\

к = п.

Пусть теперь имеется выборка из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины X. Выборка осуществлялась таким образом, что полученные значения случайной величины независимы. (Их можно рассматривать как независимые нормально распределенные величины, имеющие одинаковое математическое ожидание и дисперсию.) На основе выборки находим математическое ожидание суммы данных величин а и дисперсию сг.

Центрируем и нормируем полученные случайные величины, т.е. вычитаем из каждого значения математическое ожидание и делим на стандартное отклонение. В результате получаем случайные величины:

Они являются независимыми с математическим ожиданием ноль и дисперсией единица. Соответственно сумма квадратов данных величин:

;=1 і=іквадрат. Однако в отличие от суммы (П.9.1) количество степеней свободы суммы (П.9.2) составляет k = n-1. Количество степеней свободы уменьшилось на единицу, поскольку по своей сути выражение (П.9.2) представляет собой выборочную дисперсию, в рамках которой случайные величины связаны одним линейным соотношением - фиксированным значением найденного математического ожидания. Связанность случайных величин в этом случае означает, что одну из них можно всегда выразить через остальные, что ограничивает свободу изменения этих величин.

Распределение хи-квадрат используется при построении доверительных интервалов для дисперсии.

Приложение 2.

Оценка VaR опционов с помощью дельты и гаммы

VaR опционных позиций можно оценить как на основе аналитических методов, так и с помощью метода Монте-Карло. Результаты по опционной позиции характеризуются не линейной структурой. Поэтому в большей степени для их оценки подходит метод статистических испытаний. В случае аналитического подхода опционную позицию следует разложить на ряд составляющих в соответствии с факторами риска опциона. Зависимость между премией опциона и факторами риска предполагается линейной. На практике она не линейна. Поэтому оценка VaR аналитическим способом дает приемлемый результат только для изменения факторов риска в небольшом диапазоне. Рассмотрим линейное приближение оценки VaR опциона.

Основополагающим фактором риска опциона выступает цена базисного актива. Зависимость между премией опциона и ценой базисного актива представлена дельтой опциона. Поэтому зависимость между ценой опциона в начальный и конечный моменты времени можно представить как:

Г,=Г„+Д (S,-S„), (П.9.3)

где ?₀ - стоимость опциона в начале периода;

?_х - стоимость опциона в конце периода;

А - дельта опциона;

S₀ - цена базисного актива в начале периода;

S, - цена базисного актива в конце периода;

На основе формулы (П.9.3) можно записать равенство:

dV = AdS, (П.9.4)

где dV= ?\ - Vo - изменение стоимости опциона;

dS = 5, - S₀ - изменение стоимости базисного актива.

Изменение цены базисного актива можно представить как произведение стандартного отклонения его доходности (<т) на цену, т.е.:

dS = oS

Тогда равенство (П.9.4) запишется как:

dV = AoS , (П.9.5)

VaR базисного актива определяется стандартным отклонением его доходности. Поэтому для линейной зависимости при использовании допущения нормальности распределения доходности базисного актива из равенства (П.9.5) следует, что:

VaR₀=AVaR_u, (П.9.6)

где VaR₀ - VaR опциона;

VaR_u - VaR базисного актива.

Недостаток равенства (П.9.3) состоит в том, что цена опциона в начале и конце периода связана линейной зависимостью. На практике она не линейна. Ошибка оценки тем больше, чем больше изменение цены базисного актива в модели. Кроме того, позиции покупателя и продавца опциона не симметричны. Уравнение не учитывает ограниченный риск покупателя и неограниченный риск продавца опциона. Дельта-оценка переоценивает риск покупателя опциона и недооценивает риск продавца опциона. Поясним это на примере опциона колл. При падении цены базисного актива дельта опциона уменьшается с ускорением. Это означает, что покупатель опциона теряет деньги с замедляющимся темпом. Однако уравнение (П.9.3) не учитывает уменьшение значения дельты. При росте цены базисного актива дельта опциона возрастает с ускорением. Поэтому продавец опциона теряет средства в возрастающем темпе. Выражение (П.9.3) в силу его линейности также игнорирует данный факт.

Поскольку дельта изменяется с изменением курса базисного актива, то лучшее приближение изменения стоимости опционной позиции можно получить на основе дельта-гамма оценки, дополнив равенство (П.9.3) гаммой опциона:

V^V'+MS + jridSf, (П.9.7)

где у - гамма опциона.

В то же время следует иметь в виду, что использование гаммы может в ряде случаев ухудшить оценку VaR. В Рискметриках банка J.P.Morgan в этой связи приводятся следующие рассуждения. Запишем равенство (П.9.7) как:

dV = AdS + ^ y(dSf, (П.9.8)

Умножим и разделим первое слагаемое в правой части равенства (П.9.8) на S, а второе слагаемое - на S²:

(П.9.9)

S l' U.



Величина — представляет собой доходность базисного актива. Формула S

(П.9.9) говорит о том, что изменение цены опциона определяется двумя пере-







Первая случайная величина распределена нормально, вторая - по закону хи-квадрат, т.е. посылка нормальности распределения, используемая в аналитической модели нарушается. Если гамма опциона имеет большое значение - опцион АТМили до истечения которого осталось мало времени, - то это может исказить оценку за счет значительного влияния распределения хи-квадрат. При изменении цены базисного актива гамма также изменяется, поэтому дельта-гамма оценка будет содержать ошибку для существенных движений курса.



Содержание раздела

---