d9e5a92d

ГЛАВА 8. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ


Настоящая глава посвящена вопросу принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности рыночной конъюнктуры. Вначале мы охарактеризуем функцию полезности инвестора, после этого остановимся на выборе оптимального портфеля. В заключение главы рассмотрим принцип стохастического доминирования и эффект выбора среднего портфеля.

8.1. Функция полезности инвестора

8.1.1. Концепция полезности и аксиомы рационального выбора

Один из основополагающих вопросов теории состоит в изучении поведения инвесторов на финансовом рынке, определении мотивов и закономерностей в принятия ими решений. Рыночная экономика - это экономика неопределенности и риска. Постоянное изменение конъюнктуры, которое проявляется в изменении собственно цен товаров, валютных курсов, курсов ценных бумаг, процентных ставок, приводит к тому, что большая часть решений участников финансового рынка принимается в условиях неполной информации. Ограниченность или неточность информации приводит к двум возможным ситуациям -принятию решений в условиях: а) риска и б) неопределенности. В первом случае лицо, принимающее решение, знает законы распределения случайных величин, входящих в модель принятия решения. Во втором случае информация о законах распределения случайных величин отсутствует.

В финансовой теории поведение инвестора рассматривают в рамках концепции полезности. Владение богатством, - оно может быть представлено в разной форме, например, в виде денег, финансовых активов, недвижимости и т.п., - приносит инвестору полезность. Полезность богатства для каждого человека является субъективным понятием и может включать разные аспекты. Так, владение определенным уровнем богатства обеспечивает инвестору определенный уровень потребления, позволяет занять определенное место в социальной иерархии, является фактором престижа, приносит дополнительное богатство и т.д., т.е. дает ему возможность удовлетворять свои потребности. Применительно к финансовому активу его полезность для инвестора целесообразно рассматривать с точки зрения приносимого им дохода или доходности. Приобретая рискованные активы, инвестор действует в условиях риска и неопределенности. В результате полезность, которую он может получить от владения активом, зависит от будущей конъюнктуры рынка. Разные ситуации, например, экономический подъем или спад, определят и разную полезность одного и того же актива, так как он принесет разные суммы денег. В результате возникнут разные возможности для удовлетворения потребностей инвестора. Будущая конъюнктура не поддается точному прогнозированию, поэтому полезность рискованно-го актива целесообразно оценивать как среднее значение полезностей, характеризующих в глазах инвестора данный актив для каждой возможной ситуации на рынке. В этом случае говорят об ожидаемой полезности актива, т.е. его средней полезности.

Пусть финансовый актив S может принести п различных результатов с известными вероятностями /?,, р2,...,рп, и каждому результату для инвестора соответствует полезность ?/,, U2,...,Un. Тогда ожидаемая полезность актива рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная величина, где весами выступают вероятности получения соответствующего уровня полезности:

І=1

где - ожидаемая полезность, приносимая инвестору активом S;

{/(s) - функция полезности инвестора;

?/,(s) - полезность, приносимая инвестору активом S в случае наступления / -го события.

Приведенная выше формула соответствует случаю дискретной случайной величины, например, доходу, приносимому финансовым активом. Если случайная величина является непрерывной, например, рассматривается доходность актива, то ожидаемая полезность определяется как:

Гп

г\

где F - функция распределения доходности актива;

Г|; гп — крайние значения интервала доходностей, которые может принести

финансовый актив.

В условиях неопределенности рыночной конъюнктуры в основе принятия инвестором решений лежит функция ожидаемой полезности. С ее помощью можно сравнивать альтернативные варианты решений, сопоставляя каждому из них некоторый уровень полезности и обозначая его некоторым числом. Поэтому процесс принятия решения на финансовом рынке сводится к максимизации функции ожидаемой полезности. Такую теоретическую посылку можно использовать только в том случае, если принятие решений инвесторами основывается на определенных принципах рационального поведения. Аксиомы рационального поведения человека в условиях неопределенности были разработаны Дж.Фон-Нейманом и О.Моргенштерном. Они сводятся к следующим положениям.

Аксиома сравнимости. Она говорит о том, что инвестор всегда может сравнить альтернативные варианты решений по степени их предпочтительности. Если имеются две альтернативы (например, два актива или два вероятностных исхода) -А и 2?, то либо А предпочтительнее В (А>В), либо В предпочтительнее А (А<В), либо они эквивалентны (А~В).

Аксиома транзитивности или устойчивости. Она предполагает устойчивость сравнимых предпочтений инвестора. Это означает, что если А>В и В>С, то А>С, т.е. А предпочтительнее С. Аналогично, если А~В и В~С, то А~С, т.е. А эквивалентно С.

Аксиома независимости. Она говорит о том, что отношения предпочтения сохраняются между двумя альтернативами и в случае, если они входят в состав более сложных альтернативных решений. Пусть а - это число в диапазоне от нуля до единицы (например, доля, с которой активы А и В входят в состав инвестиционного решения, или значения вероятности событий А и В). Тогда для каждого из случаев: А>В, А<В и А~В должны соответственно выполняться предпочтения выбора:

Аа+( 1 -а)С>/?а+( 1 -а )С,

Аа+( 1 -а)С<ва+( 1 -а )С,

А а+( 1 -а)С~2?а+( 1 -а )С

Аксиома непрерывности или измеримости. Пусть между активами существует порядок предпочтений А>В>С. Тогда существует такое значение 0 < а<1, что для него выполняется отношение эквивалентности:

Аа+(\-а)С~В

Из аксиомы следует, что любой актив, каким бы менее предпочтительным он ни был (в нашем случае это актив С), может быть выбран инвестором в комбинации с другими активами, поскольку эта комбинация эквивалентна некоторому промежуточному инвестиционному решению. Из нее также вытекает, что, принимая решения, инвестор не будет автоматически отбрасывать одни активы и делать однозначный выбор только в пользу других. Название измеримости в аксиоме означает, что величину а можно использовать в качестве меры измеримости комбинированной альтернативы, поскольку она эквивалентна некоторой известной промежуточной простой альтернативе.

Аксиома ранжирования. Пусть между альтернативами существует порядок предпочтений А>В>С и A>D>C, и существуют значения 0<а<1 и 0<Р<1 такие что:

Аа+(\-а)С~В, (8.1)

ЛР+(1-р)С~/> (8.2)

Тогда для случаев а>р, а<Р и а=Р должен выдерживаться порядок предпочтений соответственно: B>D, B<D и B~D. Данная аксиома позволяет ранжировать разные инвестиционные решения по степени их предпочтительности на основе количественной оценки, т.е. с помощью параметров аир. Например, за значение функции полезности актива В можно принять величину а, за значение функции полезности актива D - величину р. Тогда, если а>Р, то полезность актива В больше полезности актива D, и наоборот. При а=Р их полезности одинаковые.

На основе данной аксиомы также можно определить степень предпочтительности комбинированных альтернатив. Так, если а>р, то альтернатива (8.1), состоящая из А в пропорции а и С в пропорции (1-а) предпочтительнее альтернативы (8.2), в которую А и С входят соответственно в долях Р и (1-р). Получив количественную оценку каждой из альтернатив, можно решать задачу максимизации значения функции ожидаемой полезности инвестора.

Еще одним важным условием анализа поведения инвестора является положение о том, что инвесторы предпочитают большее количество богатства его меньшему количеству, а также положение о не насыщаемости потребности инвестора в богатстве и, соответственно, росте его общей полезности с ростом богатства. Если можно допустить полное насыщение потребностей человека вследствие потребления какого-либо товара или услуги и предположить отрицательный эффект от его дальнейшего потребления, то этого нельзя сказать одновременно о всех товарах и услугах. Поэтому рост богатства, открывая доступ к потреблению все большего разнообразия и качества товаров и услуг, ведет к росту общего уровня полезности.

8.1.2. Общая характеристика функций полезности и ожидаемой полезности

В основе концепции полезности лежит функция полезности инвестора. Она представляет собой зависимость между полезностью, получаемой инвестором от владения богатством, и уровнем этого богатства. Поскольку полезность является субъективным понятием для каждого человека, она трудно сравнима между разными лицами. Однако использование функции полезности позволяет дать характеристику действиям конкретного инвестора и, соответственно, лучше понять общий вектор принятия решений участниками рынка.

Чтобы анализировать поведение инвестора с помощью функции полезности, необходимо определить ее форму. Как было отмечено в параграфе 8.1.1, разумно предположить, что инвестор всегда предпочтет большее количество богатства его меньшему количеству, поскольку больший уровень богатства открывает дополнительные возможности для реализации его потребностей. Поэтому функция полезности должна иметь возрастающую форму.

Владение богатством (деньгами, активами) приносит инвестору полезность. Рост количества богатства приносит ему дополнительную, т.е. предельную полезность. С ростом богатства увеличивается общая величина полезности. Однако следует подчеркнуть, что, предельная полезность не обязательно пропорциональна количеству получаемого дополнительного богатства. Кроме того, для разных инвесторов единица богатства может обладать разной полезностью. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример.

Инвестиции в 100 тыс. руб. с равной вероятностью могут принести доход либо в 200 тыс. руб., либо нулевой доход. Тогда ожидаемый доход от инвестиций равен:

200-0,5+ 0-0,5 = 100 тыс. руб.

Можно ли такой ожидаемый результат рассматривать как приемлемый для инвестора? Ответ на вопрос не в последнюю очередь зависит от его финансового положения. Если 100 тыс. руб. - это вся сумма, которой располагает инвестор, то скорее всего рассчитанный результат для него не подходит: потенциальный риск потерять всю сумму денег не компенсируется адекватным потенциальным вознаграждением - получением в случае успеха 200 тыс. руб. Напротив, если инвестор располагает большим капиталом, например, в 1 млн. руб., то риск для него может оказаться приемлемым. Таким образом, индивидуальная полезность одной и той же суммы денег (100 тыс. руб.) не одинакова для первого и второго инвесторов. Для второго лица она меньше, поэтому оно готово рискнуть, несмотря на возможность потерять деньги.

Большая часть решений в экономике принимается в условиях неопределенности будущей конъюнктуры. Поэтому выбор инвестора в условиях риска основывается на функции ожидаемой полезности. Поскольку результат от владения активом точно не определен, то, принимая решение о его покупке, необходимо учитывать как возможный доход, так и риск неполучения этого дохода. В связи с этим в качестве аргументов функции ожидаемой полезности следует рассматривать ожидаемый доход (богатство) и риск неполучения данного дохода. Как было показано в приведенном выше примере, принятие инвестиционного решения зависело не только от абсолютной величины ожидаемого результата, но и его возможной дисперсии, т.е. риска неполучения положительного результата. В примере абсолютная величина дисперсии результата изменялась от полной потери инвестированных денег до получения 200 тыс.

руб. Такая дисперсия была неприемлема для первого инвестора и допустима для второго.

В примере ожидаемый результат - потенциальный прирост богатства - и его дисперсия были представлены в абсолютных величинах, в рублях. Картина принципиально не изменится, если от абсолютных величин перейти к относительным, т.е. представить ожидаемый результат показателем доходности инвестиций, а риск - показателем дисперсии доходности.

Всех инвесторов можно разделить на три группы: а) не склонных к риску; б) склонных к риску и в) нейтральных к риску. Инвестор считается не склонным к риску, если из двух активов с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет менее рискованный актив, т.е. актив с меньшей дисперсией результатов. В финансовой теории полагается, что большинство инвесторов не склонны к риску. Это, однако, не означает, что они не готовы идти на более высокий риск. Это говорит лишь о том, что в случае увеличения риска актива в качестве потенциальной компенсации они требуют и более высокой ожидаемой доходности с его стороны.

Инвестор считается склонным к риску, если из двух активов с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет более рискованный актив, т.е. актив с большей дисперсией результатов. Такой инвестор предпочитает рискнуть в надежде получить более высокую доходность в случае благоприятного исхода, однако может понести и потери при неблагоприятном развитии событий. Он рассчитывает получить дополнительную полезность от дополнительного риска.

Инвестор считается нейтральным к риску, если он не учитывает его при принятии инвестиционных решений. Это означает, что инвестор безразличен в выборе между двумя активами с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском. Как правило, инвесторы нейтральны к риску для его небольших значений.

Как было отмечено выше, функция полезности, т.е. зависимость полезности от уровня богатства, является возрастающей. Однако ее форма должна отличаться в зависимости от степени склонности инвестора к риску. Для выяснения формы функции полезности каждой группы инвесторов, определим их несколько иначе, чем было сделано выше. Пусть инвестор может выбирать между покупкой актива и гарантированным получением суммы денег равной по величине ожидаемому доходу этого актива. В первом случае возникает риск, так как фактический доход по активу может оказаться как выше, так и ниже его ожидаемого дохода. Инвестор, предпочитающий получить сумму денег равную ожидаемому доходу актива, чем купить актив, является не склонным к риску. Инвестор, выбирающий покупку актива, вместо получения суммы денег равной его ожидаемому доходу, является склонным к риску. Инвестор безразличный в выборе между получением суммы денег равной ожидаемому доходу актива и его покупкой является нейтральным к риску.

Переформулируем приведенные определения с использованием понятий функций полезности и ожидаемой полезности. Инвестор является не склонным к риску, если значение функции полезности от получаемой суммы денег равной ожидаемому доходу, больше значения функции ожидаемой полезности от покупки актива. Инвестор склонен к риску, если значение функции полезности от получаемой суммы денег равной ожидаемому доходу актива меньше значения функции ожидаемой полезности от покупки актива. Если оба значения для него одинаковы, он нейтрален к риску.

Пусть некоторый актив S может принести только два результата - доход а с вероятностью р и доход Ь с вероятностью (l-р). Тогда ожидаемый доход актива E(S) составляет:

E(s) = ар + b{\ - р)

Величина полезности, получаемая инвестором как функция от гарантированной суммы равной ожидаемому доходу актива, равна:

U{E(S)} = u[ap+b{l-p)],

где ?y[/r(iS)] - полезность гарантированно получаемой суммы, равной ожидае-

мому доходу актива.

Значение ожидаемой полезности іі[?/(5)] рискованного актива, на которое инвестор ориентируется при принятии решения о его покупке, определяется как средневзвешенная полезность каждого из возможных фактических результатов. Весами выступают вероятности исходов. В нашем случае она равна:

?[?/(S)]=t/(o)p + J/(4Xl-p) (8.3)

Функция (8.3) является линейной комбинацией полезностей 1/(а) и U(b) для разных значений вероятностей исходов. Поэтому графически она представляет собой прямую линию, соединяющую эти точки.

Выше мы определили, что инвестор не склонен к риску, если значение его функции полезности от суммы, соответствующей ожидаемому доходу, больше значения ожидаемой полезности от покупки актива, т.е. ФМ > ф(5)] или:

і/[ар+b(1 - /?)] > и(а)р + U{b\\ - р) (8.4)

Поскольку графически правая часть неравенства (8.4) - это прямая линия, то его левая часть должна представлять собой выпуклую вверх функцию на участке ab . Таким образом, неравенство (8.4) показывает, что функция полезности инвестора не склонного к риску имеет выпуклую вверх форму. Ее график представлен на рис. 8.1. По оси ординат откладывается полезность (и), по оси абсцисс - богатство (??). Как видно из графика, по мере роста богатства инвестора растет и его общая полезность, однако дополнительная, или предельная, полезность богатства падает. Это означает, что с увеличением богатства инвестора на одинаковую величину получаемая им предельная полезность уменьшается, т.е. функция предельной полезности его богатства является убывающей. Так, при росте богатства с w, до w2 полезность инвестора выросла с U] до U2. При дальнейшем росте богатства на такую же величину с w2 до ??3 предельная полезность выросла на меньшую величину - с и2 до иъ. График также показывает, что

изменение богатства на одну и ту же величину вызывает большее падение полезности инвестора при уменьшении богатства, чем при его росте. Если богатство инвестора в данный момент находится на уровне w2, то уменьшение его до величины W, приведет к большей потери полезности, чем ее увеличение при росте богатства до w3. Не склонный к риску инвестор при утрате части богатства теряет больше полезности, чем получает ее при приросте богатства на такую же величину. Поэтому среди рискованных активов с одинаковым уровнем ожидаемой доходности он всегда выберет менее рискованный. Поскольку функция полезности не склонного к риску инвестора является возрастающей, то ее первая производная положительна, т.е. ?/'(w)>0. Предельная полезность является величиной убывающей, поэтому вторая производная функции полезности отрицательна, т.е. U"(w)< 0.

/?)] < U{a)p + U(b)(l - р) (8.5)

Правая часть неравенства (8.5) является прямой линией. Следовательно, его левая часть должна быть функцией выпуклой вниз на участке аЪ. Таким образом, неравенство (8.5) показывает, что функция полезности инвестора склонного к риску имеет выпуклую вниз форму. Она изображена на рис. 8.2.

р)\ = и(а)р + U(b\1 - р) (8.6)

Поэтому график его функции полезности представляет собой прямую линию, как показано на рис. 8.3. Для него величина предельной полезности остается неизменной при изменении богатства.

а и Ъ, которые может принести рискованный актив S с вероятностями исходов-р и

(і — р). Ожидаемый доход актива составляет:

E(s)~ ap + b(l-р)

Ожидаемая полезность от покупки рискованного актива равна ?[{/(?)]. На рис. 8.4 ее значение найдем, опустив перпендикуляр из точки е на ось ординат. Не склонный к риску инвестор не будет покупать данный актив, поскольку полезность от получения гарантированной суммы E(S) согласно графику составляет и она больше величины ?[?/(?)]. В то же время на графике функ

ции полезности существует точка g, соответствующая доходу с, в которой полезность инвестора такая же как и в точке е. Это говорит о том, что с точки зрения полезности инвестор безразличен в выборе между гарантированным получением суммы с и покупкой рискованного актива с ожидаемым доходом 4s). Уровень дохода с является эквивалентным гарантированным доходом, соответствующим ожидаемому доходу .

с]. Премия за риск представляет собой вознаграждение, которое делает инвестора безразличным в вопросе выбора рискованного актива с ожидаемым доходом e(s) или безрискового актива с доходом с. Премию за риск можно определить как ту максимальную сумму денег, от которой инвестор готов отказаться, чтобы исключить неопределенность результата, связанного с рискованным активом, или как ту максимальную сумму денег, которую он готов заплатить, чтобы гарантировать по рискованному активу результат равный его ожидаемому доходу. В последнем случае данную сумму удобно представить как стоимость страхового полиса, приобретаемого вместе с рискованным активом. Чем менее склонен к риску инвестор, тем больший ожидаемый доход должен предлагать актив по сравнению с эквивалентным доходом. Такая зависимость говорит о том, что чем меньше склонность к риску, тем более выпуклой должна быть функция полезности. На рис. 8.5 функция полезности более выпукла в сравнении с рис. 8.4. В результате разность [ii'(.S') - с] также больше.

Для не склонного к риску инвестора разность [?’(5)-с] является величиной положительной. На основе сказанного можно сделать вывод о том, что не склонный к риску инвестор выберет рискованный актив, если премия за риск для него больше премии за риск Марковца и актив без риска, если она меньше. При равенстве данных величин оба актива для него являются одинаковыми.

с] является отрицательной величиной.

Рассмотрим на примерах, как можно определить величину гарантированной эквивалентной суммы для рискованных инвестиций и премию за риск Марковца.

2,320794.

Если лотерейный билет стоит больше 12,5 руб., то инвестору следует не участвовать в лотерее, так как полезность суммы стоимости лотерейного билета больше ожидаемой полезности от лотереи.

Премия за риск Марковца равна:

E(s)-wc= 50-12,5 = 37,5руб.

Если премия за риск Марковца больше 37,5 руб., т.е. билет стоит меньше 12,5 руб., то инвестор будет участвовать в лотерее, если она меньше, он не примет в ней участия. Сумму в 37,5 руб. можно определить как ту страховку, которую готов уплатить инвестор, чтобы гарантированно получить сумму равную ожидаемому доходу лотереи, т.е. 50 руб. Данную сумму можно рассматривать как меру ценности для инвестора гарантированной суммы дохода в 50 руб.

Пример 2.

В примере 1 мы не учитывали состояние богатства инвестора. Рассчитаем премию Марковца для случая, если начальное богатство инвестора составляет 1000 руб. Из этой суммы инвестор покупает лотерейный билет.

Полезности от всего богатства инвестора в случае реализации первого и второго исходов лотереи соответственно равны:

и(100) = ?і000+ 100 = 10,3228,

t/(o)=Viooo+o=io

Ожидаемая полезность богатства с учетом ожидаемых результатов лотереи составляет:

E(U) = 0,5 • 10,3228+ 0,5 • 10 = 10,1614

Гарантированная эквивалентная сумма, полезность которой равна ожидаемой полезности богатства с учетом возможного результата лотереи, составляет:

??с = 10,16143 = 1049,206^6.

Величина ожидаемого богатства инвестора с учетом лотереи равна:

44?)] =0,5-1000 + 0,5 • 1100 = 1050руб.

Отсюда премия Марковца составляет:

1050-1049,206 = 0,794руб.

Таким образом, инвестор готов уплатить сумму (страховку) в 0,794 руб., чтобы гарантировать получение суммы эквивалентной ожидаемому доходу лотереи, т.е. 50 руб., чем испытывать случайный результат выиграть 100 руб. или ничего не выиграть.

Как было отмечено выше, с ростом богатства не склонного к риску инвестора его предельная полезность уменьшается. Приведенные примеры характеризуют данную ситуацию. Пример 1 можно рассматривать как случай с нулевым начальным богатством инвестора. Во втором примере начальное богатство составляло 1000 руб. В первом примере ценность гарантированной суммы равной ожидаемому доходу лотереи, т.е. 50 руб., была для инвестора выше, чем во втором. Для обеспечения ее получения он готов был уплатить страховку в 37,5 руб., а во втором примере - только 0,794 руб., т.е. ценность единицы денег для инвестора во втором случае уменьшилась. Поэтому он готов уплатить за гарантированное получение того же результата меньшую стоимость.

8.1.4. Коэффициенты абсолютной и относительной не склонности к риску

Склонность инвестора к риску определяется выпуклостью функции полезности. Поэтому в качестве меры не склонности к риску можно взять показатели, которые бы говорили о ее выпуклости. Используют два показателя: коэффициент абсолютной не склонности к риску и относительной не склонности к риску.

Коэффициент абсолютной не склонности к риску называют мерой Эрроу-Пратта (Arrow-Pratt). Для небольших значений риска он показывает величину компенсации, которую требует инвестор за принимаемый риск. Он равен:

(8.9)

Л_ Ц'М

U'(w) ’

где А - коэффициент абсолютной не склонности к риску;

U’iyv) - первая производная функции полезности, и U'(w) ф 0;

U"(w) - вторая производная функции полезности.

Первая производная функции в некоторой точке определяет наклон кривой в этой точке, вторая производная - изменение наклона кривой в этой точке. Таким образом, коэффициент А представляет собой относительное изменение наклона функции полезности в каждой данной точке, т.е. изменение наклона кривой при изменении уровня богатства на небольшую величину, деленное на величину наклона кривой в этой точке. Поскольку предельная полезность инвестора не склонного к риску является величиной убывающей, то вторая производная функции полезности отрицательна. Поэтому, чтобы сделать коэффициент не склонности к риску величиной положительной, в формуле (8.9) ставим знак минус. Чем больше значение второй производной (по абсолютной величине), тем выпуклее функция. Поэтому большее значение коэффициента характеризует большую не склонность инвестора к риску.

Если по мере роста богатства инвестор направляет все больше средств в рискованные активы, то он характеризуется убывающим коэффициентом абсолютной не склонности к риску. Если сумма средств, размещаемых в рискованные активы, остается неизменной, его коэффициент является постоянным. При уменьшении инвестиций в рискованные активы по мере роста богатства коэффициент является возрастающим.

Между премией за риск Марковца для небольших значений риска и коэффициентом абсолютной не склонности к риску можно установить определенную зависимость. Пусть инвестор располагает богатством ??0 и приобретает на

него рискованный актив S (величина w0 = S ), ожидаемый доход которого равен нулю. Полезность, соответствующая такой стратегии инвестора, равна:

?/(w0+s) (8.10)

В выражении (8.10) величину s следует понимать как случайную переменную (доход по активу), которая может принести как положительный, так и отрицательный результат к его начальному богатству w0. Таким образом, полезность

является функцией текущего уровня богатства и случайной переменной, определяющей доход актива.

Разложим выражение (8.10) в ряд Тейлора в окрестности точки w0 до слагаемого второй степени:

U(w„ + s ) » U(w0 )+ U'{w0 > +1 ?/'(% У (8.11)

Возьмем математическое ожидание от обеих частей выражения (8.11):

?[C/(Wo+i)]»?

[/(%)+?/'(%)* Лі/'КУ

ИЛИ

E\u(w, +i)]*C/(w0)+(/Vo№)+i(/"KH^) (812)

В правой части выражения (8.12) второе слагаемое равно нулю, поскольку нулю равен ожидаемый доход актива, т.е. E(s) = 0. В третьем слагаемом элемент

e(s2) представляет собой не что иное как e[s - E(.s)]2 = сг2, т.е. дисперсию дохода актива S. Поэтому выражение (8.12) принимает вид:

E[tf(w0+s)]*tf(>0+|tf'VoW (8.13)

Пусть гарантированной эквивалентной суммой для ожидаемого дохода рискованного актива S выступает величина (w0-z), где z можно рассматривать как сумму страховки, которую готов уплатить инвестор, чтобы исключить риск. Полезность данной суммы для инвестора равна:

U{w()-z) (8.14)

Разложим выражение (8.14) в ряд Тейлора в окрестности точки w0 до первых двух слагаемых:

U(w0-z)*U(w0)-U'(wa)z (8.15)

Величина (w0 - z) является для инвестора гарантированной эквивалентной суммой ожидаемого дохода рискованного актива S. Поэтому ожидаемая полезность владения активом и полезность гарантированной эквивалентной суммы равны, т.е.:

?[?/(w0+s)] = C/(w0-z)

В результате можно приравнять выражения (8.13) и (8.15):

U{wa)+\u-(wa)al *UM-U'(wc)z

ИЛИ

^U”(w0)a2s « -U'(w0)z,

ИЛИ

(8.16)

и'Ы^

U'M 2

U"(w0) crl

Поскольку A =----, to z « A—

U (w0) 2

Представленные выше рассуждения можно рассматривать и как вывод коэффициента абсолютной не склонности к риску. Так, величина z представляет собой разность между начальным богатством инвестора ??0 и уровнем богатства, соответствующим гарантированной эквивалентной сумме - обозначим ее через wc. Поэтому, z = w0 - wc. Данная величина измеряет абсолютную не склонность инвестора к риску. Чем она больше, тем менее он склонен к риску, поскольку в этом случае рискованный актив должен предложить ему более значительный ожидаемый доход по сравнению с величиной wc, чтобы он был безразличен в выборе между рискованным активом и гарантированной эквивалентной суммой. В выражении (8.16) для каждого данного рискованного актива сомножитель {аЦі) является постоянной величиной. Поэтому абсолютную не склонность риска инвестора можно измерить отношением второй и первой производной его функции полезности, т.е.: А = . Можно также отметить,

U'iyv)

что если функции полезности инвесторов отличаются только на некоторую константу, то их коэффициенты абсолютной не склонности к риску будут одинаковыми, поскольку такие функции имеют одинаковые производные.

Коэффициент, обратный коэффициенту Эрроу-Пратта называют коэффициентом допустимости риска. Он равен: где Т - коэффициент допустимости риска, и А * 0.

Еще одной мерой не склонности инвестора к риску является относительный коэффициент не склонности к риску Эрроу-Пратта. Его можно рассматривать как отношение абсолютной величины не склонности к риску инвестора к его начальному богатству. Получим формулу данного коэффициента на основе рассуждений, которые были использованы применительно к выводу коэффициента абсолютной не склонности к риску.

Для начального уровня богатства ??0 и гарантированной эквивалентной

суммы wc абсолютную не склонность к риску мы обозначили как z = w0-wc. Поэтому относительная не склонность к риску есть величина (z') равная:

(8.17)

т.е. это отношение абсолютной величины не склонности к риску к начальному уровню богатства. Величина z' есть не что иное как премия за риск, представленная как превышение доходности рискованного актива над ставкой без риска. Выразим из (8.17) абсолютную не склонность к риску:

(8.18)

Доходность, приносимая рискованным активом rs, равна:

s z)

Подставим в него значения z и s из (8.18) и (8.20):



Разложим величину U{w0 + w0r5) в ряд Тейлора в окрестности точки гаемого второй степени:

E{rs )]2 = сг2, т.е. дисперсию доходности актива S. Поэтому выражение (8.22) принимает вид:

E[u(w0 + w0rs)] ~ U(w0)+^U"(w0 )wl<j2 (8.23)

2

Разложим выражение U{w0-wQz'^ в ряд Тейлора в окрестности точки ??0 до первых двух слагаемых:

U(w0 - w0z')« U{w0)-U'(w0)w0z' (8.24)

На основе равенства (8.21) приравняем правые части выражений (8.23) и (8.24):

uM+^u”{w0)w20crl *U{w0)-U'{w0)w0z'

ИЛИ

U'(w0)w0z',

ИЛИ

u’M'

z' * -¦w0 -2- (8.25)

и'Ы 2

В выражении (8.25) сомножитель [p'IJ'l) является постоянной величиной. Поэтому относительную не склонность риска инвестора (я), опустив коэффициенты при параметре w, можно определить как:

U\w)

R = -w-

(8.26)

U\w)

гг л С/?) то.

Поскольку А =--1— > то.

U\w)

R = wA

Коэффициент абсолютной не склонности к риску можно рассматривать как показатель, который говорит о процентном изменении предельной полезности при абсолютном изменении богатства инвестора. В свою очередь, коэффициент относительной не склонности к риску можно рассматривать как показатель, который говорит о процентном изменении предельной полезности при процентном

изменении богатства инвестора. Проиллюстрируем сказанное, преобразовав формулы (8.9) и (8.26). Соответственно для коэффициентов абсолютной и относительной не склонности к риску получим результаты:

Л (dUЛ (dUЛ d d ? d.W ; dU _ _ Kdw j ¦: dw dw dw dU dw rd2u

U\w) U\w)

dU

dw1 dw

d2U dU dw2 dw

U\w)

U'(w)

j dU dw

R = -w

--w

= -w

dw

(dUЛ ( dU 'j d d V dW ; ¦: dw _ _ V dw ; dw dU dU w dw dw Если функция полезности характеризуется убывающей не склонностью к риску, то для нее А' < 0. Это означает, что по мере роста богатства инвестор все больше средств направляет в рискованные активы. При постоянном значении не склонности к риску А' = 0, и, следовательно, при росте богатства инвестор держит прежнее количество средств в рискованных активах. Для функции полезности с возрастающим коэффициентом не склонности к риску А' > 0, поэтому с ростом богатства инвестор уменьшает количество средств в рискованных активах.

Если функция полезности характеризуется убывающей относительной не склонностью к риску, то для нее R' < 0. Следовательно, инвестор увеличивает пропорцию средств в рискованных активах по мере роста его богатства. При постоянном значении относительной не склонности к риску R’ = 0. Поэтому процент средств, инвестированных в рискованные активы, остается неизменным. Для функции полезности с возрастающим коэффициентом относительной не склонности к риску R' > 0. В этом случае процент инвестированных в рискованные активы средств уменьшается с ростом богатства.

В качестве функций полезности инвестора можно выделить следующие:

• логарифмическую U(w) = ln(vv) ,

• степенную t/(w) = -w_1 ,

• квадратичную U(w) = aw-bw2,

где а и b - константы.

Для логарифмической функции U'(w) = —, U"(w)

—Т ¦ Поэтому Л — — и

W W

R-1. Соответственно А' = —- < О и R’ = 0. Следовательно, логарифмическая

w

функция характеризуется убывающим коэффициентом абсолютной не склонности к риску и постоянным коэффициентом относительной не склонности к риску при росте w.

1 2 2

Для степенной функции U\w) = —-, U”{w) = —г-. Отсюда А- — и R = 2,

w w w

2

и A’ = —г- <0 и R' = 0. Следовательно, степенная функция как и логарифмиче-w

ская характеризуется убывающим коэффициентом абсолютной не склонностью к риску и постоянным коэффициентом относительной не склонности к риску при росте w.

Для квадратичной функции U’(w) = а-2bw, U”(w) = -2b. Предельная полезность инвестора должна быть положительной величиной, поэтому необходимо

2 b 2 bw

выполнение условия U\w) = а-2bw>0. Поэтому А =--— и R =--—, и

а - 2bw а - 2bw

, 2b(a-2bw)+4b2w

и R =——-->0. Следовательно, квадратичная

(а - 2 bwy

?1

А' =

>0

(а - 2 bwf

функция характеризуется возрастающими коэффициентами абсолютной и относительной не склонности к риску при росте w.

Из представленных трех функций в наименьшей степени для характеристики не склонного к риску инвестора подходит квадратичная функция, поскольку оба коэффициента по мере роста богатства являются возрастающими. Это говорит о том, что инвестор с ростом богатства становится все менее склонным к риску. Такое поведение не совсем соответствует действительности, поскольку по мере роста богатства инвестор не склонный к риску готов все больше инвестировать средства в рискованные активы. Кроме того, как видно из рис. 8.7, график квадратичной функции вначале возрастает до максимального значения полезности для богатства на уровне wm и после этого убывает. Точку wm можно найти следующим образом. Выше мы определили, что первая производная функции полезности по богатству равна:

U'(w) = a-2bw

Чтобы найти максимум функции, приравняем ее к нулю:

U'(w) - а- 2 bw - 0

Отсюда:

??„

=fb пре-

Таким образом, при росте богатства инвестора свыше уровня

дельная полезность богатства становится отрицательной. В результате убывает общий уровень полезности, что противоречит здравому смыслу, поскольку дополнительное богатство открывает дополнительные возможности для удовлетворения потребностей в разных областях. Если можно допустить полное насыщение вследствие потребления какого-либо товара или услуги и предположить отрицательный эффект от его дальнейшего потребления, то этого нельзя сказать одновременно о всех товарах и услугах. Поэтому рост богатства должен вести к большему уровня полезности. Соответственно необходимо ограничить

г) +1U"(r\r - г)2

Возьмем от нее математическое ожидание:

г)+Ги"(г\г - г)

ф(г)] = ?

или

Е\и{г)] = U (г)+U' (г)Е(г -r)+hu" (ir)E(r - г)2, (8.27)

где г - фактическая доходность рискованных инвестиций;

г - ожидаемая доходность инвестиций;

U{г) - полезность от ожидаемой доходности инвестиций;

U'(г) - первая производная функции полезности по ожидаемой доходности; она показывает, как изменится полезность инвестора при небольшом изменении ожидаемой доходности актива;

U11 (г) - вторая производная функции полезности по ожидаемой доходности; она показывает, как изменится предельная полезность инвестора при небольшом изменении ожидаемой доходности актива.

В равенстве (8.27) выражение Е{г — г) равно нулю, так как это математическое ожидание отклонения доходности инвестиций от их средней доходности. Выражение Е{г — г)2 представляет собой дисперсию доходности инвестиций (а2), поэтому уравнение (8.27) приводится к виду:

E[U(r)] = U(r)+±U"(r)a2 (8.28)

Уравнение (8.28) показывает, что ожидаемая полезность инвестора является функцией ожидаемой доходности и риска инвестиций, измеренного дисперсией их доходности. Поэтому в общем виде функцию ожидаемой полезности инвестора Е(и) можно записать как:

Е(и)=Е[и{г, а2)]

Функция ожидаемой полезности зависит от ожидаемой доходности и дисперсии доходности. Ее график можно представить в трехмерном пространстве, как показано на рис. 8.8. На графике на гори зонтальной плоскости по одной оси откладывается дисперсия доходности инвестиций, по другой - ожидаемая доходность инвестиций, по вертикальной оси - значения функции ожидаемой полезности. Значения функции образуют поверхность аосЪ. Данную поверхность можно представить в виде набора линий уровня, которые получаются, если разрезать ее горизонтальными плоскостями параллельными плоскости a1 or . Каждая линия уровня характеризуется тем, что значение функции на всем ее протяжении является определенной константой. На графике представлены четыре линии уровня - это сплошные линии под номерами 1, 2, 3 и 4. Линии уровня можно спроецировать на плоскость a2or . На графике проекции линий уровня обозначены пунктирными линиями с теми же номерами. В экономической теории проекция графика линии уровня называется кривой безразличия, а набор таких проекций - картой кривых безразличия. Таким образом, функцию ожидаемой полезности инвестора можно представить в виде проекций линий уровня на плоскость a2or , т.е. как карту кривых безразличия. Для анализа по-

ведения инвестора функцию ожидаемой полезности удобно использовать именно в виде карты кривых безразличия.

U"(r)c72

dE[u{r)] = d[u(r )\+d

или

dE\u(r)^ = U' (r)dr +^UW +Uj" (r)da1 =0 (8.29)

(Поскольку для каждой линии уровня ожидаемая полезность является константой, то в уравнении (8.29) d?[t/(r)] = 0).

Примем третью производную по ожидаемой доходности ит{г) за ноль. Тогда уравнение (8.29) запишется как:

dE\u{r)\ = U'(r)dF + hj"(r)do-2 = 0 (8.30)

Разделим уравнение (8.30) на U'(r):

dE[u(r)] = dr +]-^Jprd(j2 =0 (8.31)

2 U (г)

U" (г)

Выражение--ггх есть коэффициент абсолютной не склонности к риску. Уч-

U (г)

тем его в формуле (8.31) вместе с сомножителем (1/2) и обозначим через RA:

1 и" (г)

А 2 U'{г)

Тогда формулу (8.31) можно записать как:

dE[u(r)]-dr -RAda2 = 0 (8.32)

Величина обратная RA называется коэффициентом допустимости риска (т?г),

т. е. RT — ——. С учетом этого формула (8.32) примет вид:

Ra

(8.33)

dE[u{r)] = dr——dcr2 =0 RT

Проинтегрируем уравнение (8.33):

Ф(г)] = г-±*2

-/vj'

Выразим из него значение ожидаемой доходности:

г =е[і/ (г)]+—сг2

(8.34)

RT

Уравнение (8.34) является уравнением кривой безразличия. Величина Е[и(г)] представляет собой точку, в которой график уравнения (8.34) пересекает ось ординат. Она соответствует ожидаемой полезности инвестора для случая,

когда риск портфеля равен нулю. Величина —или соответственно RA пред

ку.

ставляет собой тангенс угла наклона графика к оси абсцисс. Таким образом, коэффициент не склонности к риску измеряет угол наклона кривой безразличия к оси абсцисс, т.е. он измеряет риск в единицах ожидаемой доходности. Он говорит о том, сколько единиц ожидаемой доходности приходится на единицу риска, или на сколько единиц должна возрасти ожидаемая доходность инвестиций для вкладчика, чтобы компенсировать увеличение риска на одну единицу. Чем больше значение RA, тем инвестор менее склонен к риску, и наклон графика кривой безразличия является более крутым. Это означает, что инвестор требует большего вознаграждения при дополнительном увеличении риска. На основе сказанного коэффициент абсолютной не склонности (или неприятия риска) можно определить как:

д,=

dEk)

dcri

Поскольку коэффициент допустимости риска RT является величиной обратной Ra , то он говорит о том, сколько единиц риска готов принять инвестор при увеличении ожидаемой доходности портфеля на одну единицу или, сколько единиц риска приходится на единицу ожидаемой доходности. Соответственно его можно определить как:

С или D. В то же время кривые безразличия характеризуются тем, что любой портфель, который расположен на более высокой кривой безразличия, приносит инвестору большую ожидаемую полезность. Так активы С и D предпочтительнее для вкладчика по сравнению с активами А и В. Если сравнить активы А и С, то риск у них одинаковый, однако ожидаемая доходность актива С выше, поэтому он предпочтительнее для инвестора. Кривые безразличия не могут пересекаться, поскольку каждой из них соответствует свой уровень полезности инвестора.

4 ?т. Ожидаемая доходность портфеля А составляет:

?W = 0m?('*J+(1-0j'/> (8-35)

где Е{гт) - ожидаемая доходность рыночного портфеля; rf - ставка без риска.

Риск портфеля А пропорционален риску рыночного портфеля и равен:

(836)

где сгт - риск рыночного портфеля.

Из уравнения (8.35) уд. вес рыночного портфеля можно представить как:

(8.37)

(8.38)

ЯЫ-Г,

Е(гяУ

Подставим значение ?т из уравнения (8.37) в уравнение (8.36):

ЕІга)-гА 2

E(rm)-rf\

Продифференцировав уравнение (8.38) по е{га), получим значение коэффициента допустимости риска:

Пример.

Ставка без риска равна 20%, ожидаемая доходность рыночного портфеля -40%, портфеля из безрискового актива и рыночного портфеля - 35%, риск рыночного портфеля - 30%. Определить коэффициент допустимости риска. Решение.

Он равен:

302 = 67,5

RT =

2(35-20) (40-20)2

Задача менеджера состоит в том, чтобы определить наиболее высоко расположенную кривую безразличия, доступную инвестору. Для этого достаточно определить значениеE\U(г)], принадлежащее кривой безразличия, которая является касательной к эффективной границе. Доходность в точке іі[?/(г)] называют гарантированной эквивалентной доходностью, так как с точки зрения полезности она эквивалентна доходности портфеля в точке касания кривой безразличия эффективной границы. ?Г[с/(г)] определяется из уравнения (8.34):

Ф(г)] = гр~^р, (8.39)

ivj'

где гр - ожидаемая доходность портфеля инвестора;

(г2р - риск портфеля инвестора.

Допустим, менеджер должен максимизировать значение ^[[/(г)] в уравнении (8.39). Ему необходимо определить, какое количество различных активов следует включить в портфель при известном значении RT. Задача для случая возможности отрицательности уд. весов активов в портфеле решается с помощью метода множителей Лагранжа. Ее можно сформулировать следующим образом. Максимизировать значение функции (8.39) при условии, что:

/=1 7=1 (8.40) ОМ

II

^1 (8.41) II (8.42) Подставим в формулу (8.39) риск портфеля из формулы (8.40) и ожидаемую доходность из формулы (8.41): Ф(г)] = І0,П covs

/=1 І=1 7=1 (8.43) Уравнение (8.43) является целевой функцией. Составим на его основе с учетом ограничения (8.42) функцию Лагранжа:

Г(

It-1

, СО?.

R,

Т 1=1 j=1

V 1=1

Найдем частные производные функции L по ?хи Я и приравняем их к нулю:

“--о

д?,

(8.44)

..........., i = l,2...n

дЛ

Решаем систему уравнений (8.44).

Найти уд. веса активов в портфеля, максимизируя значение функции (8.43), можно с помощью программы Excel.

8.3. Выбор оптимального портфеля при пассивной стратегии

При осуществлении пассивной стратегии инвестор на основе рыночного портфеля формирует заемный или кредитный портфель в зависимости от своей склонности к риску. Оптимальные портфели представлены на рис. 8.13. Они располагаются в точках касания кривых безразличия эффективной границы. Портфель 1 является кредитным, портфель 2 - заемным. Для формирования данных портфелей инвестору необходимо определить пропорцию включения в портфель рыночного портфеля М и безрискового актива на условиях заимствования или кредитования. Это можно сделать на основе следующих рассуждений.

rP=rr*

угол наклона равен:

drp __ E{rm)~rf

(8.45)

На основе уравнения кривой безразличия (8.34) он составляет:

drn 2(7 п d<7 р RT

(8.46)

Приравняем уравнения (8.45) и (8.46):

(8.47)

(8.48)

E(rm)~rf = 2q~P RT

Риск портфеля, формируемого в рамках пассивной стратегии, равен:

сг = ?т(Т„

р m п,

где ?т - уд. вес. рыночного портфеля в пассивном портфеле;

<гт - риск рыночного портфеля.

Подставим значение а из (8.48) в (8.47):

E(rm)~rf 2 ?тат

°т RT

Отсюда:

в = ДгИ'-.)-'/] (8.49)

2 <

Таким образом, если менеджер имеет представление о значении коэффициента допустимости риска, то по формуле (8.49) он получит уд. вес рыночного портфеля в формируемом пассивном портфеле.

Соответственно, из формулы (8.49) можно получить значение коэффициента RT:

Rj

Данную формулу можно использовать для определения коэффициента допустимости риска, если инвестор имеет представление о пропорции, в которой бы он хотел включить в пассивный портфель рыночный портфель.

8.4. Максимизация количества стандартных отклонений между доходностью портфеля и целевым уровнем

В ряде случаев при управлении портфелем менеджер будет иметь определенные обязательства перед клиентом по уровню доходности. В свою очередь, он инвестирует средства в более доходные активы. Поэтому менеджеру целесообразно построить портфель таким образом, чтобы его доходность никогда не опускалась ниже взятых обязательств. В мире неопределенности возможен любой исход событий. Однако менеджер, принимая инвестиционное решение, должен минимизировать вероятность того, что доходность его портфеля окажется ниже взятых обязательств.

Если предположить, что доходность портфеля подчиняется нормальному распределению, то менеджер должен сформировать портфель таким образом, чтобы между его ожидаемой доходностью и доходностью по взятым обязательствам клиента располагалось максимально возможное значение стандартных отклонений доходности портфеля, т. е. он должен максимизировать величину:

d = уровень доходности по обязательствам менеджера.

Пример.

Портфели А, В и С имеют следующие характеристики:

Е(га) = 30%, аА = 40%, Е(гв) = 25%, ав = 30%, Е(гс) = 20%, ас = 18%, г = 15%.

Какой портфель следует выбрать, чтобы максимизировать значение стандартных отклонений между его доходностью и доходностью по обязательствам инвестора.

Решение.

Величина d для портфеля А равна:

30-15

40

dA

0,375

и соответственно dB — 0,33;dc - 0,28. В данном случае менеджеру следует остановить свой выбор на портфеле А.

Если портфели с различными параметрами риска и доходности имеют одинаковое значение d, то любой из них соответствует целям менеджера. Преобразуем формулу (8.50) следующим образом:

E(rp)=r + dap (8.51)

Тогда формулу (8.51) можно рассматривать как функцию ожидаемой полезности инвестора, т.е. кривую безразличия, которая пересекает ось ординат в точке г (см. рис. 8.14). В данном случае получается веер кривых безразличия, которые проходят через одну точку г. Кривая безразличия с более крутым наклоном приносит инвестору большую полезность. Оптимальный портфель будет располагаться в точке касания эффективной границы АВС графиком кривой безразличия. На рис. 8.14 это портфель В.

d Е(г) через G. Приобретение каждого портфеля приносит инвестору определенный уровень полезности. Сравнивая их, инвестор должен выбрать тот из них, который обеспечивает ему большую ожидаемую полезность. Пусть первый портфель приносит инвестору большую ожидаемую полезность, т.е.:

E[U(l)]>E[U(2)] (8.52)

Тогда с учетом функций распределения доходности портфелей неравенство (8.52) эквивалентно неравенству:

гп гп

\U(r)dF(r)> \u(r)dG(r) (8.53)

r\ r\

Неравенство (8.53) выдерживается в том случае, если

F{r) < G{r) для всех г, (8.54)

и

F(r)<G(r) по крайней мере для одного г, (8.55)

т.е. функция распределения G для каждого данного значения г имеет по крайней мере такое же или большее значение, чем функция распределения F. Таким образом, функция распределения доходности более предпочитаемого портфеля никогда не превосходит функции распределения доходности менее предпочитаемого портфеля.

Условие (8.54)-(8.55) является условием стохастического доминирования первого порядка. Оно означает: вероятность того, что первый портфель принесет доходность меньше некоторого значения г меньше вероятности того, что второй портфель принесет доходность меньше этого значения г. Другими словами, вероятность того, что доход составит величину меньше г меньше для первого портфеля, чем для второго. В этом случае инвестор всегда предпочтет первый портфель второму. Таким образом, первый портфель (вероятностное распределение F ) доминирует над вторым портфелем (вероятностным распределением G) в рамках стохастического доминирования первого порядка.

Графически условие стохастического доминирования первого порядка проиллюстрировано на рис. 8.15. На рисунке функция распределения F расположена ниже функции распределения G для любого значения г. Поэтому первый портфель характеризуется меньшей вероятностью принести доход меньше чем второй портфель для любого значения г. Так, например, вероятность того что доходность второго портфеля составит меньше величины г * равна 50%, а первого портфеля - только 25%.

Значение

функции

распределения

(8.55), то анализ на этом прекращается, так как первый портфель предпочтительнее второго. Однако ситуация может оказаться не однозначной. На рис. 8.16 представлен случай, когда функции распределения доходности первого и второго портфелей пересекаются. Поэтому нельзя однозначно сказать, какой из портфелей предпочтительнее для инвестора. В этом случае оценку можно осуществить на основе стохастического доминирования второго порядка. Однако оно накладывает дополнительное ограничение на функцию полезности: она должна быть выпуклой вверх, т.е. добавляется условие не склонности инвестора к риску, что означает и"(\?) < 0. Для стохастического доминирования второго порядка условие (8.53) выдерживается в том случае, если:



JF(x)dr < IG{x)dx для всех г (8.56)



и



^F{x)dx < |g(x)c/x по крайней мере для одного г. (8.57)



к располагается в интервале от г, до гп.

Таким образом, критерий стохастического доминирования второго порядка основан на сравнивании не функций распределения доходности портфелей, а интегралов от этих функций, т.е. площадей под функциями распределения. Определим зависимость величины данной площади от значения г как накопленную функцию распределения. Тогда можно сказать, что первый портфель предпочтительнее второго, если накопленная функций распределения его доходности никогда не превосходит, и по крайней мере в одном случае меньше, накопленной функции распределения второго портфеля.

Значение

функции

распределения

UW

(и’У

ит

~W+

А'

(8.58)

В правой части (8.58) второе слагаемое является величиной положительной, поскольку стоит во второй степени. В первым слагаемом U' > 0. Поэтому для выполнения условия А' < 0 необходимо, чтобы Um > 0. Еще одно условие доминирования третьего порядка состоит в том, что ожидаемая доходность первого портфеля больше ожидаемой доходности второго портфеля, т.е. инвесторы предпочитают распределения с большей правосторонней скошенностью.

Условие стохастического доминирования третьего порядка записывается как:

\DF(y)dy< \DG{y)dy

для всех г, и



\DF{y)dy< \Da(y)dy





по крайней мере для одного г, где DG = J(j(x)c&: и DF = jF(x)t/x, и z распо-



лагается в интервале от гх до гп.

Если через D обозначить функцию, которая является накопленной функцией накопленной функции распределения (НФНФР), то можно сказать, что первый портфель предпочтительнее второго, если функция НФНФР его доходности никогда не превосходит, и по крайней мере в одном случае меньше, функции НФНФР доходности второго портфеля.

Если сравнить стохастическое доминирование со средне-дисперсионным анализом, то можно отметить, что стохастическое доминирование дает инвестору более общий подходом к оценке рискованных портфелей.

Вывод условий стохастического доминирования приводится в приложении 2 к настоящей главе.

8.6. Эффект выбора среднего портфеля

как крайний вариант. При выборе из набора трех портфелей - А, В и С портфель С является крайним. При выборе из набора портфелей В, С и D - средним. Если решение инвесторов в большей степени определяется их отношением к риску и доходности, чем набором возможных альтернатив, то предпочтения между портфелями В и С должны не зависеть от того, доступны ли портфели А и D. Если же существует эффект extremeness aversion, то привлекательность портфеля С будет наибольшей, когда он расположен в середине выбора.

По схеме случайного выбора авторы предложили респондентам три набора портфелей. Первый состоял из портфелей А, В и С, т.е. портфель С являлся в нем крайним выбором. Второй набор включал портфели В и С, т.е. портфель С являлся крайним, но не средним. В третий набор входили портфели В, С и D, т.е. портфель С являлся средним выбором. Extremeness aversion предполагает, что портфель С менее привлекателен в наборе АВС и наиболее привлекателен в наборе BCD.

Портфель А был безрисковым и гарантировал инвесторам получение ежемесячно 900 долл. Портфели В, С и D были рискованными, и их результаты зависели от конъюнктуры рынка. Так, например, портфель В приносил с вероятность 50% ежемесячный доход или 1100 или 800 долл. Портфели Си/) предлагали больший ожидаемый доход, но и больший риск.

Опрос показал, что для набора АВС 29,2% респондентов предпочли портфель С портфелю В. Во втором наборе ВС, когда портфель С был крайним, но не средним, 39,0% респондентов предпочли портфель С портфелю В. Для набора BCD 53,8% респондентов предпочли портфель С портфелю В. Таким образом, портфель С оказался наименее привлекательным, когда он составлял крайний выбор, и наиболее привлекательным в случае среднего выбора.

Как отмечают авторы, полученные результаты поднимают вопрос в отношении формирования эталонных портфелей (model portfolio), которые предлагаются менеджерами на выбор клиентам. Допустим, менеджер предлагает три варианта эталонных портфелей. В первом акции составляют 0%, во втором -40%, в третьем 70%. Тогда выбор скорее всего придется на портфель с 40% акций. Предположим теперь, что предлагается другой набор портфелей. Акции в них составляют соответственно 40%, 70% и 100%. Тогда инвесторы скорее всего предпочтут средний портфель с 70% акций. Таким образом, в зависимости от того, какие наборы предлагаются менеджером, разным будет и выбор инвесторов.

Краткие выводы

Функция полезности инвестора представляет собой зависимость между полезностью, получаемой инвестором от владения богатством, и уровнем этого богатства. Функция полезности является возрастающей.

Всех инвесторов можно разделить на три группы: не склонных к риску; склонных к риску и нейтральных к риску. Инвестор считается не склонным к риску, если из двух активов с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет менее рискованный актив. Инвестор считается склонным к риску, если из двух активов с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет более рискованный актив. Инвестор считается нейтральным к риску, если он не учитывает его при принятии инвестиционных решений.

Для каждого инвестора и рискованного актива гарантированная эквивалентная сумма - эта сумма денег, при которой инвестор безразличен в выборе между ее гарантированным получением и покупкой данного актива. Премия за риск Марковца представляет собой разность между ожидаемым доходом актива и гарантированной эквивалентной суммой.

Коэффициент абсолютной не склонности к риску (мера Эрроу-Пратта) показывает величину компенсации, которую требует инвестор за принимаемый риск для небольших значений риска. Коэффициент, обратный коэффициенту Эрроу-Пратта называют коэффициентом допустимости риска.

Коэффициент относительной не склонности к риску позволяет судить об изменении пропорции средств в общем богатстве инвестора, которые он размещает в рискованные активы, при изменении уровня его богатства.

Особенность принципа стохастического доминирования состоит в том, что он не требует точного знания функции полезности инвестора или вероятностного распределения доходности активов. Относительно функции полезности накладывается только следующее ограничение: она должна быть монотонной и не убывающей. Стохастическое доминирование первого порядка предполагает, что инвестор предпочитает большее количество полезности меньшему количеству, т. е. его функция полезности является возрастающей. Стохастическое доминирование второго порядка накладывает дополнительное ограничение на функцию полезности: она должна быть выпуклой вверх, т.е. добавляется условие не склонности инвестора к риску. Стохастическое доминирование третьего порядка накладывает на функцию полезности еще одно ограничение: инвесторы характеризуются убывающей абсолютной не склонностью к риску.

Стохастическое доминирование дает инвестору более общий подход к оценке рискованных портфелей по сравнению со средне-дисперсионным анализом.

Приложение 1.

Определение формы функции полезности инвестора

Определим форму функции полезности инвестора не склонного к риску.

Инвестор приобретает рискованный актив S, текущая цена которого равна S. В следующий момент в результате изменения конъюнктуры его цена с равной вероятностью может составить величину (S + х) или (S' - х). Ожидаемый доход актива e(s) равен:

(П.8.1)

45)=І(5 + *)+І(5-л:М

Полезность гарантированной суммы равной ожидаемому доходу на основе (П.8.1) составляет:

t/(S + x)+^t/(S-x) (П.8.5)

Разложим правую часть неравенства (П.8.5) в ряд Тейлора в окрестности точки равной ожидаемому доходу актива, т.е. S:

|t/(S + x)+^t/(S-x) =

?/(5)+?/'(5)х + ^?/%5)х2

+ слагаемые более высокого порядка

(П.8.6)

слагаемые более высокого порядка

U(S) - U'{s)x +1 U”(s)x2 +

слагаемые более высокого порядка

= U{s)+U"{s)x2 +

Устремим значение х к нулю. Тогда в (П.8.6) слагаемыми более высокого порядка можно пренебречь и (П.8.6) принимает вид:

i U(S + х)+1 U(S - х) = U(s)+U”(s)x2 (П.8.7)

Подставим полученный результат в (П.8.5):

?/(s)>?/(s)+t/%S)x2 (П.8.8)

В (П.8.8) слагаемые U(s) в правой и левой частях неравенства одинаковые. Следовательно, чтобы оно выполнялось, величина {/"(S')*2 должна быть отрицательной. Так как х2 > 0, то отрицательной является вторая производная функции полезности ?/"(5). Отрицательность второй производной функции на участке [(5 - х), (S + х)] говорит о том, что она является выпуклой вверх на этом участке. Для инвестора склонного к риску справедливо неравенство:

</[?(S)] <ф(5)]

С учетом результатов (П.8.2) и (П.8.7) оно принимает вид:

C/(S)<?/(S)+1/%S)X2 (П.8.9)

Чтобы условие (П.8.9) выполнялось, величина U"(S) должна быть больше нуля. Положительное значение второй производной функции на участке [(5 — x},{S + х)] говорит о том, что она является выпуклой вниз на этом участке. Для инвестора безразличного к риску справедливо равенство:

C/[?(S)]=?[C/(S)]

С учетом результатов (П.8.2) и (П.8.7) оно принимает вид:

l/(1S)=C/(1S)+l/',(1S)x2 (П.8.10)

Поскольку х^О, то для выполнения условия (П.8.10) величина U”{S) должна быть равна нуля. Нулевое значение второй производной на участке [(5 - х); (5 + х)] говорит о том, что график функции представляет на ней прямую линию.

Приложение 2.

Вывод условий стохастического доминирования портфеля

Условия стохастического доминирования первого порядка (8.54)-(8.55) можно получить на основе следующих рассуждений.

Пусть первый портфель с функцией распределения доходности F приносит инвестору большую полезность по сравнению со вторым портфелем с функцией распределения доходности G . Поэтому:

^U(r)dF(r)>^U{r)dG{r) (П.8.11)

п г\

или

]u(r)dF(r)- ]u(r)dG(r)> 0 ,

г\ г\

ИЛИ

гп

yj(r)d\F{r)- <j(r)] > О (П.8.12)

п

Проинтегрируем интеграл (П.8.12) по частям. Обозначим и = 1і(г) и dw = d[F{r) - G(r)]. Отсюда w - F(r) - G(r). Tогда:

}u(r)d[F(r)-G(r)]= ?/(rjF(r)- G(r)]; -

r' r„ (П.8.13)

- J[F(r)— G{r^J'{r)dr

n

Согласно свойствам функций распределения значения вероятностей в крайних точках равны F{rn)-G(rn) = 1 и F(^) = G(rl) = 0. Поэтому первое слагаемое в правой части (П.8.13) равно нулю. Для выполнения условия (П.8.11) необходимо, чтобы интеграл в правой части (П.8.13) был отрицательным. Поскольку функция полезности инвестора возрастающая и U'{r) > 0, то выражение F(r)-G(r) должно быть меньше нуля. Отсюда следует, что F(r) < G(r) для всех г и F{r) < G{r) по крайней мере для одного значения г.

Критерий стохастического доминирования второго порядка можно получить на основе следующих рассуждений.

Первый актив приносит инвестору большую полезность, поэтому:

]u(r)dF{r)> ]u{r)dG{r)

При доказательстве критерия доминирования первого порядка для данного условия мы получили результат (П.8.13), из которого следовало, что:

(П.8.14)

}[F(r)-G(r)]C/'(r>/r<0

Для удобства обозначим интеграл (П.8.14) через / и проинтегрируем его по частям. Обозначим u=U'{r) и dw— [F(r) - G(r)\dr. Отсюда



dw = d |[f(x) - G(x)]dx И w = /и х)- G(x)]dx, к располагается в диапазоне от



ъ до Г„. Тогда:



I = Uf{r)^\F{x)~ G{x^x- j[/"(r) j[F(x)- G{x^ixdr

или

I = W(r,)$F(x)-G(x)\k - <?(*)]* -



- |t/"(r)J[F(x)-G(x)]dxdr



или



1 = U'(rn)§F(x)-G(x)\(k- ]u"(r)§F(x)-G(x)\fkdr (П.8.15)



По условию U'{rn)> 0, поэтому, чтобы первое слагаемое в правой части (П.8.15) было отрицательным, необходимо выполнение условия:

|[f(x)- G(x)]dx < О

гі

или

Гп Гп

< j*G(x)(ix;

Ч ч

По условию U”{rn) < 0, поэтому, чтобы второе слагаемое в правой части (П.8.15) было положительным, необходимо выполнение условия:

к

|[f(x) - G(x)]dx < О

л

для всех г и

к

J[f(x)— G(x)]cbc < О ч

по крайней мере для одного г. Отсюда следует вывод:



JF{x)dx < IG{x)dx



для всех г и



JF{x)dx < |g(x)Jx



по крайней мере для одного г.

Критерий стохастического доминирования третьего порядка можно получить на основе следующих рассуждений.

Первый актив приносит инвестору большую полезность, поэтому:

]u(r)dF(r)> ]u{r)dG{r)



При доказательстве критерия доминирования второго порядка для данного условия мы получили результат (П.8.15), из которого следовало, что:



\un{r)\[F{x)-G{x)\lxdr<b (П.8.16)



Проинтегрируем второй интеграл в (П.8.16) по частям, обозначив его через у.

к

Обозначим также и = U"{r) и dw= j[/^x) - G(x))dxcb- Отсюда

ч

dw=d\§F(y)-G(yfyfydx и w = JJ[F(y)-G(y)]dydx, z располагается в диапа-ч ч ч ч

зоне от г, до гп. Тогда:

J = Jt/"(r)|[F(x)- G(x)]dxdr =

п п

= Un(r) J J[F(y)- G(y)\iydx\r” - }c/w(r)J §F{y)-G(y)\fydxdr

r, r, rx rx rx

ИЛИ

r k

J = U’(r,)]j[F(y)-G(y)}fydx-

\ ** (П.8.17)

- |Иу)~ G(y)]c/yafrdr

n r\ n

Подставим интеграл (П.8.17) в ( П.8.16):

п г\ г\

rn z k (П.8Л 8)

+ jGw(r)J {Ну)- G{y)\fydxdr < О

r\ rl г\

гп

В первом слагаемом неравенства (П.8.18) U'(r)> 0. Интеграл {[.F(x)-G(x)]d&t

п

представляет собой разность между средними значениями распределения доходности F и G. По условию среднее значение F меньше G, поэтому интеграл отрицательный. В результате первое слагаемое в (П.8.18) отрицательное. Во втором слагаемом G"(rn)< 0. Следовательно, для того, чтобы оно было положительным, двойной интеграл должен быть отрицательным. В третьем слагаемом Um{rn)> 0. Чтобы оно было отрицательным, необходимо, чтобы второй интеграл был отрицательным. Таким образом (П.8.18) меньше нуля, если:

\\[F{y)-G(y))iydx<®

п п



Содержание раздела