Ерешко А.Ф. - Методы декомпозиции и локально оптимальные стратегии в задачах управления портфелем
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТРСООБЩЕНИЯ ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Рассматриваются задачи управления портфелем финансовых инструментов (активов и пассивов финансовых институтов, ценных бумаг) в динамической постановке. Работа состоит из двух частей.
В первой части содержится обзор развитой на Западе методологии для выработки подходов к задаче управления портфелем финансовых инструментов, выбору критериев, генерированию сценариев для случайных величин, выбору алгоритмов решения получающихся задач стохастического динамического управления.
Во второй части работы излагаются оригинальные результаты автора. Сформулирована двухкритериальная задача об управлении портфелем в динамике с целью максимизации ожидаемого дохода в конце процесса от вложенного капитала в начале и минимизации критерия допустимых потерь. Динамика портфеля записывается в переменных - количествах ценных бумаг в портфеле.
Основные результаты относятся к динамической задаче при наличии неопределенных факторов в виде марковского процесса. В такой постановке для решения задачи по выбору одной из паретовских точек в пространстве двух критериев применим формализм динамического программирования. Удается установить принцип линейного разложения оптимального результата текущей оптимальной оценки конечного результата и как следствие установить оптимальность простых стратегий для задачи максимизации математического ожидания конечного результата.
Предложены вычислительные процедуры прогонки, которые основываются на декомпозиции исходной задачи на случайный процесс и детерминированный.
Введение
Проблема управления портфелем ценных бумаг, активов и пассивов, финансовых инструментов является фундаментальной в финансовой теории и практике. По этой причине к ней было привлечено большое внимание в RAND Corporation, которая специализировалась на стратегических исследованиях Западных экономик [1].
В то же время эта проблема как задача управления в условиях неопределенности также относится и к фундаментальным проблемам в теории принятия решений [2, 3].
Исследования в этой области проводились такими крупными ученым как Р. Беллман, Дж. Данциг, Р. Мертон.
Ученик Дж. Данцига - Г. Марковиц - исторически первым сформулировал задачу управления портфелем в статическом случае как задачу исследования операций и теории игр, основываясь на описании неопределенности как случайного процесса и рассмотрев двухкритериальную задачу с критериями математического ожидания и дисперсии [4].
И для финансовой теории и для теории принятия решений базовой является ссылка авторов работ [5 - 10] на публикацию [4].
Первые публикации Г. Марковица вызвали большой поток работ как в финансовой литературе, так и в литературе по теории исследования операций (см. рис. 1).
Исследования финансистов - экономистов были направлены на изучение различных содержательных интерпретаций и обобщений. Так, в статическом случае были получены принципиальные результаты, имевшие широкое практическое применение, например установлено свойство разложения оптимального портфеля на безрисковую и рисковую составляющие для важного частного случая наличия на рынке безрискового актива, исследованы фундаментальные свойства равновесного рынка оптимальных портфелей и т.д.
Усилия в исследовании операций, естественно, были направлены на рассмотрение многокритериальных задач с большим числом критериев, на изучение и использование задач в динамической постановке, способах адекватного описания случайных процессов изменения цен, на разработку практически применимых численных методов для решения возникающих задач оптимизации большой размерности (см. работы [6 - 10]).
Несмотря на широкий фронт проведенных работ в этом направлении, в портфельной теории остались неизученными некоторые аспекты моделирования процесса принятия решений, особенно связанные с оценкой риска в динамическом случае [10 - 12].
Настоящая работа относится к последнему направлению.
Цель работы состоит в использовании методов теории управления для решения динамических стохастических задач в дискретном времени, для исследования стратегий управления портфелем активов и пассивов и вообще финансовых инструментов в динамическом случае. Основные результаты относятся к динамической задаче при наличии неопределенных факторов в виде марковского процесса и двухкритериальной задаче при учете риска в виде критерия допустимых потерь и ожидаемом доходе как математическом ожидании. В такой постановке для решения задачи по выбору одной из паретовских точек применим формализм динамического программирования.
Удается установить принцип линейного разложения оптимального результата текущей оптимальной оценки конечного результата и как следствие установить оптимальность простых стратегий для задачи максимизации математического ожидания конечного результата.
Как известно [10], существует два подхода к задачам управления портфелем ценных бумаг: технический анализ и фундаментальный. Первый характеризуется тем, что реакции лица, принимающего решения, на меняющуюся обстановку - динамику цен - основываются на формальном или неформальном анализе и обработке исторических рядов наблюдения.
Второй подход при выработке рационального решения базируется на макроэкономическом анализе факторов, определяющих развитие рынка, и уже на основе экономического анализа формулируется стратегия поведения финансового участника операции. По этой финансовой классификации работа относится скорее к техническому анализу. Применение данного технического подхода имеет большую литературу на Западе и большое поле для применения, особенно в современных условиях быстрого развития вычислительных мощностей и алгоритмов, позволяющих решать задачи большой размерности.
Вычислительные аспекты современного состояния теории управления портфелем в случае статических задач большой размерности содержатся в обзоре Г. Марковица [13].
Основные проблемы, которые возникают в процессе использования динамических моделей управления портфелем ценных бумаг, весьма подробно описаны в книге [14].
Настоящая работа состоит из двух частей.
В первой части (гл. 1) приведен (с отдельными комментариями) обзор существующего состояния дел в этой области, опирающийся на статьи [15, 16] и статьи отечественных авторов.
Во второй части (гл. 2) приводятся оригинальные результаты автора, развивающие результаты работы [17].
Основное внимание уделяется постановке задачи управления с двумя критериями (математическим ожиданием и критерием допустимых потерь) и вопросу эффективного решения задачи в случае одного критерия - математического ожидания конечного результата. Последняя задача характерна для случая управления портфелем дисконтных облигаций.
§1. Обзор Западного опыта
1.1. Общие замечания
Динамические модели управления активами и обязательствами (ALM) нашли свое наиболее успешное применение в сфере долгосрочного финансового планирования, где необходимость неоднократного принятия решений определяется существом процесса.
Примеры работы методики ALM включают такие реализованные модели, как модель Frank Russel Company для "Мицубиси" [18], модели для Швейцарского банка, для пенсионных фондов, страховых компаний и ряд других применений, описанных в литературе.
Данный краткий обзор посвящен использованию математических моделей и соответствующих вычислительных комплексов для выбора оптимальной инвестиционной политики долгосрочных инвесторов. При этом учитывается, что ограничения институционального характера, финансовые потоки со своими неопределенностями, операционные издержки, налогообложение и тому подобное являются главными моментами в практическом финансовом планировании.
Пользователи
Описываемые далее области применений включают в себя пенсионные программы, страховые компании, инвестиционные конгломераты, банки, университетские фонды, сбережения состоятельных физических лиц и простых граждан. Эти инвесторы имеют различные собственные цели и обязательства.
В процессе принятия инвестиционных решений возникают риски, которые должны измеряться в контексте той финансовой ситуации, в которой оказалась организация или физическое лицо.
Трудности внедрения
Несмотря на очевидность того, что решения о распределении и перераспределении активов имеют существенное значение для инвесторов с диверсифицированными портфелями, многие инвесторы не проводят управление путем активного комбинирования своих стратегических активов. Почему же эти инвесторы игнорируют стратегическое планирование?
Причина в следующем.
Имеются лишь немногие компьютерные системы для оценки решений по размещению активов. Для анализа необходимо учитывать единственный в своем роде многочисленный набор преходящих обстоятельств инвестора, и существующие системы не позволяют охватить все это разнообразие. Так, для каждого инвестора должен быть построен уникальный сценарий развития событий, который должен быть логически непротиворечивым и основываться на здравых экономических принципах. Параметры генератора сценариев должны подгоняться к архивной базе данных и к опыту прошлого развития.
Стохастическая модель должна принимать в расчет изменчивость экономических условий, например изменение процентных ставок и валютное регулирование. Поведение конкретного инвестора и расположенность его к риску тоже должны приниматься в расчет.
Оптимизационная модель должна учитывать управление активами, обязательствами и целевыми выплатами, растянутыми во времени. Все это представляет собой сложную техническую задачу объединения всех перечисленных элементов в единую систему стохастической оптимизации.
Практические приемы
У крупных инвесторов управление активами, т.е. перераспределение их между различными инвестиционными инструментами, обычно состоит из двух шагов. Сначала задаются гарантированные контрольные величины для главных категорий активов (крупные вложения в акционерный капитал, активы, приравненные к наличности, облигации, ценные бумаги обращающиеся на международных рынках и т.д.).
После того как такие контрольные значения установлены, инвестор (или инвестиционный комитет) нанимает менеджеров, которые пытаются "превзойти индексы". Они могут, например, покупать бумаги индексных фондов. (Индексный фонд -взаимный инвестиционный фонд, портфель которого привязан к определенному фондовому индексу, и капиталовложения делаются в ценные бумаги, входящие в данный индекс.) Обычно около одной четверти активных менеджеров "побивали опорные ставки", но например с 1996 г. по 1998 г. в игре на широко распространенный индекс SP 500 таких менеджеров было намного меньше. (Составной индекс SP 500 из 500 акций, рассчитываемый и публикуемый агентством "Стандард энд Пурз", - один из важнейших фондовых индексов США: 80 % стоимости ценных бумаг на Нью-йоркской бирже; включает акции 400 промышленных, 20 транспортных, 40 финансовых, 40 коммунальных компаний; цены взвешиваются в соответствии с количеством акций каждой компании, т.е. влияние каждой акции пропорционально капитализации компании; индекс рассчитывается непрерывно; базовый период 1941-1943 гг.; базовое значение - 10.) Активным менеджерам надлежит достигнуть или превзойти свой индекс, в противным случае они окажутся перед лицом увольнения.
Портфельному менеджеру обычно дается несколько лет работы, чтобы убедиться в его профессиональной квалификации и снизить шансы на наличие случайной удачи в результатах его управления.
Периодически к вопросу стратегического размещения ценных бумаг возвращаются снова. Как правило, оценка качества решений по размещению финансовых средств дается, по крайней мере, раз в год на заседании совета директоров компании. В частности, этот вопрос исследуется в [19]. Рассматривается семь репрезентативных американских клиентов компании "Фрэнк Рассел", которые длительное время использовали профессиональных финансовых менеджеров, чьей целью было "побить опорные ставки с уменьшенным (пониженным) риском" на протяжении 16 кварталов, начиная с января 1985 г. и кончая декабрем 1988 г. Определенный набор ценных бумаг с фиксированной структурой включал в себя: 50% обыкновенных акций американских компаний, 5% обыкновенных акций неамериканских компаний, 30% бумаг с фиксированным доходом (облигации и привилегированные акции, которые приносят фиксированную ставку процента или дивиденда; они более привлекательны в период низкой инфляции), 5% бумаг от вложений в недвижимость и 10% активов, приравненных к наличности.
Набор формировался заново ежеквартально. Результаты, полученные исследователями, показывают, что такая "наивная политика" размещения средств сопровождается большой волатильностью (дисперсия целевой функции к году).
Оценки погрешностей
Статьи [20 - 22] касаются статических задач выбора портфеля при целевой функции в виде линейной комбинации среднего и дисперсии. В [20] показывается, что ошибки в оценке среднего значения оказывают решающее воздействие на точность формирования портфеля. При этом погрешности в оценке средних оказываются приблизительно в десять раз более существеннее, чем погрешности в оценке дисперсии.
В [21] проводится дальнейшее изучение этой темы, рассматриваются способы отбора входной и выходной информации с целью получения лучших инвестиционных решений. В [22] разработана модель, которая позволяет проследить по истечении некоторого времени за воздействием различных источников на "результат работы" данного портфеля.
А именно, капитал распределяется между разными портфелями: ранее предполагавшихся оптимальными, портфелями, интуитивно предпочитаемыми экспертами - менеджерами, портфелями, находящимися под воздействием юридических, политических, диверсификационных и иных ограничений.
Риски
Развитие стохастических моделей многошагового управления активами приводит к улучшению статических стратегий. Вместо прежнего, пассивного управления в интервале времени между заседаниями инвестиционного комитета методы динамического перераспределения активов позволяют постоянно держать портфель соответствующий изменяющимся внешним условиям.
Во многих статьях указанного сборника работ [14] демонстрируется превосходство стохастических динамических моделей над стратегиями с фиксированной структурой портфеля, стратегиями купли - владения и т.п. (Стратегия купли - владения - инвестиционная стратегия, заключающаяся в покупке и владении акциями определенной компании на протяжении длительного срока.) Динамические стратегии формально устанавливают взаимоотношение между рисками, которым подвергнуты активы и обязательства, и достижением финансовых целей.
Необходимо установить различие между внутренним и ситуативным риском. Внутренний риск относится к отдельно взятой разновидности ценных бумаг, например к акциям "Майкрософта". Цена этих акций может увеличиваться или уменьшаться вслед за движением рынка.
Такой риск не может быть устранен с помощью дивер-сификационных стратегий инвесторов, вкладывающих средства только в покупку активов. В противоположность этому риски, не имеющие отношения к движениям рынка, а именно несистемные риски (называемые также нерыночными), могут быть уменьшены с помощью диверсификации.
Для инвесторов, имеющих долгосрочные финансовые обязательства, рыночные риски могут быть уменьшены, поскольку финансовое благополучие долгосрочных инвесторов является функцией не только лишь активов, но также и других факторов, среди которых находятся пассивы, процентные ставки (через посредство дисконтирования), целевые выплаты, возможная инфляция.
Классическая общепринятая формула для определения финансового благополучия выглядит следующим образом:
Богатство (Wealth) = Активы - Пассивы.
Мы определим альтернативную меру финансовой устойчивости под названием "избыточное богатство", которая показывает финансовое положение данного инвестора по отношению к своим финансовым обязательствам и своим целевым задачам.
Избыточное Богатство = Активы - Пассивы (задолженность) -Пассивы (целевое финансирование).
Положительный избыток (положительное сальдо) показывает, что данный инвестор, вероятно, справится с будущими финансовыми обязательствами наряду с финансированием своих целевых задач. А отрицательное сальдо предвещает противоположное, и инвестору следовало бы переоценить свое финансовое положение.
Приведем схему оценки рисков.
Чтобы рассчитать избыточное богатство, мы должны расширить рамки традиционных понятий активов и пассивов. Должны быть построены модели целевых - выплат.
Замысел заключается в восхождении по ступеням "эскалации риска" (показанном на схеме), в процессе которого система управления активами и пассивами охватывает все больше и больше деталей, чтобы более репрезентативно отображать финансовые условия инвестора. На верхней ступеньке "лестницы риска" избыточное богатство оценивается по методике "Совокупного интегрированного управления риском" TIRM [23]:
Ступень 5: Тотально-интегральное управления рисками.
Ступень 4: Динамическое управление активами и пассивами.
Ступень 3: Динамическое распределение активов.
Ступень 2: Статические портфели активов.
Ступень 1: Калькуляция цены на отдельную разновидность ценной бумаги.
Области применения
Заслуживают внимания следующие области применения:
- Пенсионные программы.
Специалисты по актуарным расчетам делают оценку пенсионных планов в долгосрочном аспекте с точки зрения будущих взносов в пенсионные фонды, предполагаемых выплат выгодоприобретателям и других будущих неопределенностей.
- Страховые компании.
Аналогично деятельности администрации пенсионных программ, деятельность страховых компаний требует активной политики управления при жестком государственном регулировании. Примеры методики ALM в области страхового дела широко представлены в [14].
- Банки.
Банки медленно реализуют на стратегическом уровне интегрированные системы управления рисками, несмотря на тяжелые проблемы, возникшие вследствие кризиса ссудно - сберегательной системы в США в 1980 гг. и банковский кризис в Японии в 1990 гг. Последний был вызван сильным спадом на земельном и фондовом рынках из-за завышенных оценок недвижимости и высоких процентных ставок. Первый кризис вызвали те аспекты государственного регулирования, что касались взаимоотношений фиксированных и плавающих процентных ставок.
По поводу анализа этих кризисных ситуации см. соответственно [24 - 26]. Размещение финансовых средств все чаще основывают на показателе риска, носящего название "стоимость, подвергнутая риску, Value at Risk (VaR)", или критерий допустимых потерь.
- Управление портфелями ценных бумаг и взаимными фондами.
Взаимный фонд - паевой инвестиционный фонд открытого типа, дающий инвесторам доступ к более высоким рыночным процентным ставкам, возможность диверсифицировать риск и экономить на брокерских комиссионных. Многие фондовые менеджеры таких фондов стремятся превзойти какой-нибудь специфический индекс типа упомянутого выше SP 500 или "Рассел 2000". (Индексы Рассела - взвешенные индексы рыночной капитализации, которые публикуются компанией Франка Рассела в США. Существуют индексы 3000, 2500, 2000, 1000, 500 и т.д. акций)
- Физические лица.
Отдельные лица могут извлекать выгоду, осуществляя управление активами и используя при этом динамические стратегии. В статье [27] описана система многошагового управления активами и пассивами, предназначенная для отдельных лиц, которые производят выбор оптимальных решений.
В работе [28] описывается реализованная система, применявшаяся для индивидуальных клиентов крупного итальянского Банка Фидеурам в Риме, где использовалось многопериодное стохастическое программирование.
- Университетские фонды.
По самой своей природе университеты должны рассматривать долгосрочную перспективу, когда им приходится управлять активами собственных фондов. Это обсуждается в статье Р. Мертона [29]. Основная идея статьи: нужно размещать активы таким образом, чтобы использовать благоприятные инвестиционные возможности, которое тесно связаны с платежными обязательствами и финансовыми целями, уменьшая при этом риски.
Примером здесь может послужить вложение средств в недвижимость для обеспечения жильем профессорско-преподавательского состава университета в окрестности, окружающей университет. Подобное инвестирование служит двум целям. Во-первых, оно сохраняет территориальную целостность - это достойная цель.
Во-вторых, оно помогает компенсировать расходы на жилье преподавателям. Иначе говоря, в качестве добавки к их жалованию субсидируются их жилищные расходы.
- Страхование в промышленности.
Еще одна область применения связана со страхованием промышленных и других крупных предприятий, имеющих "катастрофные" риски потери собственности. В этом случае активами являются главные составные части работающего капитала компании.
Выплаты задолженности относятся к решениям по заимствованию. Целевыми выплатами могут быть выплата дивидендов, покупка других компаний и т.д.
В результате появляется обширная система управления риском предприятия, выстроенная вокруг генератора сценариев и многошаговой оптимизационной модели. Через посредство управления риском решения по страхованию делаются на самом высоком корпоративном уровне.
Страхование в этом случае позволяет прогнозировать будущие прибыли более определенно. Решения такого рода является примером финансовой инженерии [30].
Структура модели
Процесс инвестирования состоит из t 1,2,К , T временных шагов. Первый начинается с текущей даты.
Конец периода планирования T называют горизонтом планирования. Обычно он отражает некую точку, в которой инвестор имеет определенный конечный замысел планирования.
Например, это может быть дата погашения какого-то значительного долга.
В некоторых моделях учитываются краевые эффекты, связанные с финансовой деятельностью в моменты T + 1,К ; см. [31, 32] об общей методике и [33] о применении этой методики в модели Russell-Yasuda Kasai, обсуждаемой в статье [34]. Например, при оптимизационном подходе в некоторых задачах предполагают, что двойственные цены в моменты T + 1,К за горизонтом планирования возрастают по отношению к процентной ставке.
Это добавляет еще одно ограничение в модели для финансовых переменных.
В начале каждого шага инвестор выбирает решение, принимая во внимание совокупность активов, пассивов и целевых финансовых выплат. Кроме того, требуется учитывать неопределенные факторы и связи между ними.
Например, состояние фондового рынка и доходность облигаций коррелированны.
При (количественном) анализе можно использовать систему стохастических дифференциальных уравнений для моделирования изменений стохастических параметров как функции времени в моделях установления цен на активы. Тем самым набор ключевых экономических факторов соотносится с остальными переменными модели, такими как показатели доходности активов и пассивов (см., например, систему Тауэра - Перрина под названием "CAP:Link", обсуждаемую в работах [35 - 37]).
Основными переменными при принятии решений являются:
xSjt - инвестиция в актив, yskt - долговая выплата, uslt - целевой
платеж. Эти величины соответствуют моменту времени t по сценарию s .
В каждый момент времени в модели состояние оценивается некоторой целевой функцией, а управление осуществляется путем перераспределения между категориями активов, корректировки выплат задолженности и осуществления заданных целевых выплат.
Выбор целевой функции представляет особый интерес (см. соответствующий раздел).
Кроме того, налагаются ограничения на динамический процесс: это задание предельных долей заемных средств, указание операционных издержек при купле/продаже ценных бумаг и финансовых инструментов, иные ограничения. Имеются несколько подходов к включению ограничений в состав модели. Указанные ограничения создают новые предпочтения в дополнение к целевой функции.
Например, возникает полезность от ограничений на выплату задолженностей. Эти ограничения также изменяют вид целевой функции, которая во многих случаях, скажем, как в моделях Frank Russell Company, является просто максимальным значением ожидаемого конечного богатства (имеется в виду богатство за вычетом выплаченных неустоек и издержек связанных с прохождением текущих платежей и поступлений и т.д.).
Наша цель состоит в отыскании допустимой точки, где достигает максимального значения целевая функция, рассматриваемая как функция времени. Поскольку мы имеем дело с неопределенностями во времени, оптимальное решение будет выбираться из множества путей изменения богатства инвестора (вместо последнего можно пользоваться другими показателями, например упомянутым выше "избыточным богатством").
Уравнения для финансовых потоков
Имеется два основных уравнения для финансовых потоков.
Для активов j -й категории
(j + j ) - j (1 +1,) + qSLt (1 -1 + )
S
j,t+i
j,t
j,t
j,S
прибыль от актива j ,
где j - актив, t - время, s - сценарий, rjs
pS t - объем продаж актива j , qjt - объем покупок актива j , t. -издержки по купле-продаже актива j для момента времени t по сценарию S .
Для потока платежей и поступлений
+Z р',. ( -r,)+w - Z y‘s- -
xlt+i = (x% + r
