Рассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений [2].
Сущность метода, на основе которого реализована компьютерная система, заключается в следующем. Пусть U — множество элементов, А — его нечеткое подмножество, степень принадлежности элементов к которому есть число из единичного интервала [0, 1]. Подмножества Aj являются значениями лингвистической переменной X.
Допустим, что множество решений характеризуется набором критериев х1, х2, ..., xp, т.е. лингвистических переменных, заданных на базовых множествах и1, и2, .... up соответственно. Например, переменная х1 "качество управления" может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная х2 "стоимость" — значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления лица, принимающего решение, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S "удовлетворительность" также является лингвистической.
Ниже приведен пример высказывания :
d1: "Если x1 = НИЗКОЕ и x2 = ХОРОШЕЕ, то S = ВЫСОКАЯ". В общем случае высказывание d1 имеет вид:
d1: "Если x1 = А1, и x2 = А2i и ... хр = Арi то S = Вi". (4.1)
Обозначим пересечение (x1 = А1i Ç x2 = А2i Ç... хр = Арi) через х = Аi.
Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:
Здесь V= U1 ´U2 ´...Up;
v = (u1, и2 ..., up); mAij (uj) — значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству Аij.
Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде:
Для придания общности суждениям обозначим базовые множества U и V через W.
Тогда Аi — нечеткое подмножество W, в то время как Вi — нечеткое подмножество единичного интервала I.
Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализации.
Нечеткая импликация Лукасевича имеет вид:
где Н — нечеткое подмножество на W ´ I,
w Î W, i Î I.
Аналогичным образом высказывания d1, d2,..., dq преобразуются в множества Н1, Н2, ..., Нq.
Их пересечением является множество D:
D = H1 Ç H2 Ç ... Ç Нq
и для каждого (w, i) Î W ´ I
Удовлетворительность альтернативы, которая описывается нечетким подмножеством А из W, определяется на основе композиционного правила вывода:
G = А ° D,
где G — нечеткое подмножество интервала I.
Тогда
Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества С Ì I определяем a-уровневое множество (a Î [0, 1]):
Сa= {i | mc (i) ³ a Î I}.
Для каждого Сa можно вычислить среднее число элементов — М(Сa):
для множества из п элементов
для Сa={a£ i £ b}
при 0 £ a1 £ b1 £ а2 £ b2 £ ... £ аn £ bn £ 1.
Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде:
где amax — максимальное значение в множестве С.
При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлетворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.
