Рассмотрим метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения.
Постановка задачи в краткой форме представляется следующим образом. Пусть задано множество альтернатив А и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества с номерами j == i, ..., т. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества j представлена в форме отношения предпочтения Rj. Таким образом, имеется т отношений предпочтения Rj на множестве А.
Требуется выбрать лучшую альтернативу из множества
{A, R1, ...,Rm}.
Метод многокритериального выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения основан на ряде определений.
Определение 1.
Нечетким отношением R на множестве А называется нечеткое подмножество декартова произведения А ´ А, характеризующееся функцией принадлежности mR: А ´ А ® [0,1]. Значение mR (a, b) этой функции понимается как степень выполнения отношения аÙb .
Определение 2.
Нечетким отношением предпочтения на А называется любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение, функция принадлежности которого вычисляется следующим образом:
Определение 3.
Пусть А — множество альтернатив и mR — заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (А, mR) описывается функцией принадлежности
Определение 4.
Четко недоминируемыми называются альтернативы, для которых mRНД (а) = 1, а множество таких альтернатив
Определение 5.
Носителем нечеткого множества В с функцией принадлежности mB (a) является множество {а½а Î А, mB > 0}.
Процедура решения задачи выбора выполняется в несколько шагов.
Строится нечеткое отношение Q1, которое является пересечением исходных отношений предпочтения:
и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (А, mQ1):
Строится нечеткое отношение Q2:
и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (A,mQ2):
Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа wj в приведенной выше свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:
Отыскивается пересечение множеств mQ1НД и mQ2НД:
Рациональным считается выбор альтернатив из множества
Наиболее рациональной альтернативой из множества АНД является та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.