Нечеткая оптимизация фондового портфеля
Исторически первым методом оптимизации фондового портфеля былметод, предложенный в Марковицем в [Markowitz]. Суть его в следующем.
Пусть портфель содержит N типов ценных бумаг (ЦБ), каждая из
которых характеризуется пятью параметрами:
Сам портфель характеризуется:
- суммарным объемом портфельных инвестиций S;
- долевым ценовым распределением бумаг в портфеле {xi}, причем
для исходного портфеля выполняется
Таким образом, портфель описан системой статистически связанных
случайных величин с нормальными законами распределения. Тогда,
согласно теории случайных величин, ожидаемая доходность портфеля r
находится по формуле
Замечание. В подходе Марковица к портфельному выбору под риском
понимается не риск неэффективности инвестиций, а степень колеблемости
ожидаемого дохода по портфелю, причем как в меньшую, так и в большую
сторону. Можно без труда перейти от задачи вида (6.5) к задаче, где в
качестве ограничения вместо фиксированного стандартного отклонения
выступает вероятность того, что портфельная доходность окажется ниже
заранее обусловленного уровня.
Выражение (6.6), именуемое эффективной границей портфельного
множества, в координатах «риск-доходность» является кусочно-
параболической вогнутой функцией без разрывов. Правой точкой границы
является точка, соответствующая тому случаю, когда в портфеле
оказывается одна бумага с максимальной среднеожидаемой доходностью.
Подход Марковица, получивший широчайшее распространение в
практике управления портфелями, тем не менее имеет ряд модельных
допущений, плохо согласованных с реальностью описываемого объекта -
фондового рынка. Прежде всего это отсутствие стационарности ценовых
процессов, что не позволяет описывать доходность бумаги случайной
величиной с известными параметрами. То же относится и корелляции.
Если же мы рассматриваем портфель из модельных классов, а ценовую
предысторию индексов модельных классов - как квазистатистику, то нам
следует моделировать эту квазистатистику многомерным нечетко-
вероятностным распределением с параметрами в форме нечетких чисел.
Тогда условия (6.3) . (6.4) запиываются в нечетко-множественной форме,
и задача квадратичной оптимизации также решается в этой форме.
Решением задачи является эффективная граница в виде нечеткой функции
полосового вида. Ее следует привести к треугольному виду по обычным
правилам.
Каждому отрезку на эффективной границе, отвечающей абсциссе
портфельного риска, соответствует нечеткий вектор оптимальных
портфельных долей.
И, наконец, если заданы контрольные нормативы по доходности и
риску (бенчмарк модельного портфеля), которые следует соблюсти по
результатам управления портфелем, и если бенчмарк попадает в полосу
эффективной границы, то возникает риск того, что по фактору доходности
модельный портфель «не переиграет» бенчмарк. Поскольку ожидаемая
доходность портфеля . треугольное нечеткое число, то риск
неэффективности портфеля можно оценить по той же формуле, что и риск
неэффективности инвестиций (метод оценки риска инвестиций рассмотрен в
главе 5 настоящей книги).
Итак, изложение модифицированного подхода Марковица завершено.
Далее по тексту монографии принимается, что метод имеет дело с
квазистатистикой модельных индексов в портфеле, которая моделируется посредством N-мерного нечетко-вероятностного распределения. Оценив
параметры этого распределения как нечеткие числа, мы решаем задачу
квадратичной оптимизации в нечеткой постановке, получая эффективную
границу в форме криволинейной полосы.
Рассмотрим простейший пример американского модельного портфеля
из двух модельных классов: правительственных долгосрочных облигаций
(Класс 1, характеризующийся индексом LB Govt Bond) и
Высоко капитализированных акций (Класс 2, характеризующийся индексом
S&P500). Сводные данные по обоим индексам приведены в таблице 6.1.
Таблица 6.1. Исходные данные по модельным классам
Надо сразу оговориться, что случай портфеля из двух компонент
является вырожденным с точки зрения оптимизации. Здесь полное
множество портфельных решений представляет собой участок в общем
случае кривой линии на плоскости, и он же является эффективной границей.
Так что в настоящем примере мы не сколько решаем оптимизационную
задачу, сколько ищем аналитический вид эффективной границы в
координатах «риск-доходность».
Запишем (6.3) . (6.4) в частном виде
Все «постоянные» коэффициенты в (6.7) - (6.9) являются
треугольными нечеткими числами, а операции сложения-умножения-
вычитания определены в пространстве треугольных нечетких чисел. И,
Рис. 6.1. Эффективная граница в виде полосы с линейными границами
Коэффициент пропорциональности в (6.11) есть не что иное, как
хорошо известный в портфельном менеджменте показатель Шарпа [Sharpe]
. отношение доходности индекса (за вычетом безрисковой составляющей
доходности) к волатильности индекса. Только в нашем случае он имеет
нечеткий вид, сводимый к треугольному по правилу:
В таблицу 6. 2 сведены границы для модельного класса облигаций в
структуре модельного портфеля для различных уровней риска.
Таблица 6.2. Оптимальная доля облигаций в портфеле
По краям полосы разброс портфельных границ ниже, чем в середине.
Это объясняется тем, что на краях полосы эффективной границы портфель
обладает вполне определенным стилем: большей доходности отвечает
модельный класс акций, а меньшему риску . модельный класс облигаций.
Также надо отметить, что разброс параметров доходностей и рисков
влияет на решение задачи оптимизации фондового портфеля гораздо
ощутимее, нежели разброс параметров корреляционной матрицы (это
доказано в работе [Chopra V.K., Ziemba W.T]). Поэтому основной акцент
при подготовке исходных данных для анализа портфеля следует сделать на
минимизации разброса именно параметров доходности и риска входящих в
портфель активов.
Таким образом, по результатам нечетко-множественной оптимизации,
мы получили оптимальное распределение модельных активов, но не
с фиксированными, а с расплывчатыми границами. Это максимум того, что
мы можем добиться в условиях существенной неопределенности.
Содержание раздела
