Методы анализа больших систем,  факторный анализ 4


 

Но как убедиться в своей правоте, оценить достоверность нашей гипотезы — о наличии хотя бы одного латентного фактора,  как оценить степень его влияния на основные (наблюдаемые) переменные?  А если, тем более, таких факторов несколько — то как их проранжировать по степени влияния?

Ответы на такие практические вопросы призван давать факторный анализ. В его основе лежит все тот же “вездесущий” метод статистического моделирования (по образному выражению В.В.Налимова — модель вместо теории).

Дальнейший ход анализа при  выяснению таких вопросов зависит от того, какой из матриц мы будем пользоваться. Если матрицей ковариаций C[k·k], то мы имеем дело с методом главных компонент, если же мы пользуемся  только матрицей  R[k·k], то мы используем метод факторного анализа в его “чистом” виде.

Остается разобраться в главном — что позволяют оба эти метода, в чем их различие и как ими пользоваться. Назначение обоих методов одно и то же — установить сам факт наличия латентных переменных  (факторов), и если они обнаружены, то получить количественное описание их влияния на основные переменные Ei.

Ход рассуждений при выполнении поиска главных компонент заключается в следующем. Мы предполагаем наличие некоррели-рованных переменных  Zj ( j=1…k), каждая из которых представляется нам комбинацией основных переменных (суммирование по i =1…k):

 

Zj = S Aj i ·X i                                                                                                                                                                                 {3-31}

 

и, кроме того, обладает дисперсией, такой что

 

D(Z1) ³ D(Z2) ³ … ³ D(Zk).

 

Поиск коэффициентов Aj i (их называют весом  j-й компонеты в содержании i-й переменной) сводится к решению матричных уравнений и не представляет особой сложности при использовании компьютерных программ. Но суть метода весьма интересна и на ней стоит задержаться.

Как известно из векторной алгебры, диагональная матрица [2·2] может рассматриваться как описание 2-х точек (точнее — вектора) в двумерном пространстве, а такая же матрица размером [k·k]—  как описание k точек  k-мерного пространства.

Так вот, замена реальных, хотя и нормированных переменных Xi  на точно такое же количество переменных Z j  означает не что иное, как поворот  k осей  многомерного  пространства.

“Перебирая” поочередно оси, мы находим вначале ту из них, где дисперсия вдоль оси наибольшая. Затем делаем пересчет дисперсий для оставшихся  k-1 осей и снова находим “ось-чемпион” по дисперсии и т.д.

Образно говоря, мы заглядываем в куб (3-х мерное пространство) по очереди по трем осям и вначале ищем то направление, где видим наибольший “туман” (наибольшая дисперсия говорит о наибольшем влиянии чего-то постороннего); затем “усредняем” картинку по оставшимся двум осям и сравниваем разброс данных по каждой из них — находим “середнячка” и “аутсайдера”. Теперь остается решить систему уравнений — в нашем примере для 9 переменных, чтобы отыскать матрицу коэффициентов (весов) A[k·k].

Если  коэффициенты Aj i  найдены, то можно вернуться к основным переменным, поскольку доказано, что они однозначно выражаются в виде (суммирование по j=1…k)

 

X i  = S Aji·Z j .                                                                                                                                                                               {3-32}

 

Отыскание матрицы весов A[k·k] требует использования ковариационной матрицы  и корреляционной матрицы.

 

 

 

мЮВЮКН    - Вперед - 




Forekc.ru – центральный информационно аналитический портал по рынку Форекс. Литература, стратегии торговли, софт, теория, аналитика и практика торговли на Forex и других биржах. Информация и софт по всем основным видам биржевого анализа