Моделирование систем массового обслуживания 2



Такая схема событий предполагает особое свойство "технологии" нашей системы — вероятность поступления более одного заказа за рассматриваемую единицу времени и вероятность выполнения более одного заказа за то же время считаются равными 0.
Это не такое уж "вольное" допущение — длительность отрезка времени всегда можно уменьшить до необходимых пределов.
А далее все очень просто. Перемножая вероятности событий A1..3, B1..3, C1..3, D1..3, мы определим вероятности каждого из вариантов интересующего нас события — в течение заданного нами интервала времени длина очереди не поменялась..
Несложные преобразования суммы вероятностей всех четырех вариантов такого события приведут нас к выражению для вероятности длины очереди в X заказов:

P(X) = bx · (1-b), {3-13}

а также для математического ожидания длины очереди:

MX = b / (1-b). {3-14}

Оценить полезность такого моделирования позволят простые примеры. Пусть мы решили иметь всего лишь 50%-ю интенсивность нагрузки станции, то есть вдвое "завысили" ее пропускную способность по отношению к потоку заказов.
Тогда для b = 0.5 имеем следующие данные:

Таблица 3.4
Очередь
0
1
2
3
4 и более
Вероятность
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.0625


Обобщим полученные результаты:

· вероятность отсутствия очереди оказалась точно такой же, как и ее наличия;

· очередь в 4 и более заказа практически невероятна;

· математическое ожидание очереди составляет ровно 1 заказ.

Наше право (если мы и есть ЛПР!) — принять такую интенсивность или отказаться от нее, но все же у нас есть определенные показатели последствий такого решения.
Полезно проанализировать ситуации с другими значениями интенсивности нагрузки станции.

Таблица 3.5
b
1 / 2
3 / 4
7 / 8
15 / 16
Mx
1
3
7
15


Обратим теперь внимание еще на одно обстоятельство — мы полагали известной информацию только о средней скорости (ее математического ожидания) выполнения заказов. Иными словами, мы считали время выполнения очередного заказа независящим ни от его "содержания" (помыть автомобиль или ликвидировать следствия аварии), ни от числа заказов, "стоящих в очереди".
В реальной жизни это далеко не всегда так и хотелось бы хоть как-то учесть такую зависимость. И здесь теория приходит на помощь (тому, кто понимает ее возможности).
Если нам представляется возможность установить не только само m (среднюю или ожидаемую скорость обработки заказа), но и разброс этой величины Dm (дисперсию), то можно будет оценить среднее число заказов в очереди более надежно (именно так — не точнее, а надежнее!):

Mx = 0.5 · . {3 - 15}

- Начало - - Вперед -