Случайные события и величины, их основные характеристики 3



Таким образом, математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной)— это то, к чему стремится ее среднее значение при достаточно большом числе наблюдений.
Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость несимметрична, в противном случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а среднее и математическое ожидание составило бы 3.5.
Поэтому уместен следующий вопрос - а какова степень асимметрии кости - как ее оценить по итогам наблюдений?
Для этой цели используется специальная величина — мера рассеяния — так же как мы "усредняли" допустимые значения СВ, можно усреднить ее отклонения от среднего. Но так как разности (Xi - Mx) всегда будут компенсировать друг друга, то приходится усреднять не отклонения от среднего, а квадраты этих отклонений. Величину


{2 - 2}
принято называть дисперсией случайной величины X.
Вычисление дисперсии намного упрощается, если воспользоваться выражением

{2 - 3}

т. е. вычислять дисперсию случайной величины через усредненную разность квадратов ее значений и квадрат ее среднего значения.
Выполним такое вычисление для случайной величины с распределением рис. 1.
Таблица 2.2

Грани(X)
1
2
3
4
5
6
Итого
X2
1
4
9
16
25
36

Pi
0.140
0.080
0.200
0.400
0.100
0.080
1.00
Pi•X2•1000
140
320
1800
6400
2500
2880
14040


Таким образом, дисперсия составит 14.04 - (3.48)2 = 1.930.
Заметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой СВ и это не позволяет оценить величину разброса. Поэтому чаще всего вместо дисперсии используется квадратный корень из ее значения — т. н. среднеквадратичное отклонение или отклонение от среднего значения:

{2 - 4}

составляющее в нашем случае = 1.389. Много это или мало?
Сообразим, что в случае наблюдения только одного из возможных значений (разброса нет) среднее было бы равно именно этому значению, а дисперсия составила бы 0. И наоборот - если бы все значения наблюдались одинаково часто (были бы равновероятными), то среднее значение составило бы

(1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.500;
усредненный квадрат отклонения — (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 =15.167;
а дисперсия 15.167-12.25 = 2.917.


мЮВЮКН - Вперед -