Случайны ли случайные блуждания?
Таблица 5.1.
| Капитал в долларах | n |
| 10000 | 1 2 |
| 20000 | 1 2 |
| 30000 | 2 3 |
| 40000 | 2 3 |
| 50000 | 2 4 |
| 100000 | 2 5 |
Если вы инвестируете и ожидаете прибыль порядка 30 50% (l = 0,3 0,5), то лучше разбить капитал на несколько частей.
Специалисты по теории вероятностей могут продолжить начатую нами работу. Можно, например, рассмотреть задачу о случайном блуждании цены акций в предположении, что она не будет касаться нуля, а будет от него отражаться.
То есть предположить, что вероятность разорения компании очень мала, что имеет смысл для компаний, представленных на нью-йоркской бирже.
Но мы не будем этим заниматься. Все эти задачи имеют только академический интерес, поскольку на бирже работают другие законы: изменение цен акций не является совершенно случайным. Что же изменится в наших рекомендациях, если предположить, что цены акций меняются не случайно? Почему они могут меняться не случайно?
К ответу на эти вопросы мы сейчас и приступим.
Случайны ли случайные блуждания?
В этом разделе мы немного отдохнем от математики и рассмотрим некую гипотетическую ситуацию.
Представьте, что вы пришли в офис своего приятеля Майкла президента компании Michael Co., которая производит замечательные авторучки и выглядит довольно успешной. И вы с порога заявляете, что, по вашему мнению, цены акций компании Майкла, как и всех других компаний, подчиняются законам случайных блужданий.
Какова будет реакция Майкла?
Боюсь, что он выдворит вас из кабинета и посоветует больше никогда не приходить. И это понятно: Майкл посвятил всю свою жизнь борьбе за успех своей компании, у него нет долгов, много наличного капитала.
Компания начала производство авторучек со специальными чернилами, которые легко удаляются с бумаги специальным карандашом, продающимся в комплекте с авторучкой. Продажи растут, прибыли за последний год выросли на 50%. А тут какой-то умник-теоретик заявляет о случайных блужданиях.
Для чего тогда Майклу и его команде вообще ходить на работу?
Давайте лучше спросим у Майкла, как он оценивает вероятность роста своих акций в текущем году. Возможно, он ответит 70%.
Почему не 100%? А потому как расскажет вам Майкл что этот стирающий карандаш немного попахивает, а конкурент Джим из компании James Со уже нанял трех бездельников из местного университета, которые сидят днями и ночами, доказывая, что от этого карандаша могут возникнуть семнадцать болезней, одна страшнее другой. Но Майкл тоже не промах: он нанял трех толковых ребят, которые работают над этим карандашом и обильно сдабривают его парфюмерией.
Если дело так пойдет и дальше, то к концу квартала в продаже появится уже другой карандаш и исследования Джима ничего не будут значить у Майкла новый продукт. Короче говоря, вероятность роста акций 70% и ни грамма меньше.
Джим работает в небоскребе напротив, и вы отправляетесь к нему. Его офис явно требует ремонта, и хозяин настроен менее оптимистично.
На вопрос о вероятности роста его акций, он грустно говорит, что больше 30% он не даст, потому что в конце квартала ему надо рассчитываться с банком, а для этого придется занимать деньги у другого банка, который требует за заем сумасшедшие проценты. Да еще этот проклятый Майкл купил все время на телевидении, рекламируя свои стираемые чернила, и победить такого конкурента будет не просто. У него только надежда на жуткий запах стирающего карандаша Майкла и на свою лабораторию, которая придумала чернила, светящиеся в темноте и не размываемые водой.
Их могут использовать водолазы, спелеологи и еще уйма всякого люда романтических профессий. Это вселяет надежду, но больше 30% вероятности роста его акций он не даст.
Вот тебе и на! Весь рынок случайно блуждает туда сюда, как пьяный муравей по проволоке, а вы за час нашли две компании, акции которых явно не будут случайно блуждать, а пойдут наверх или вниз совсем по другим законам. Жалко, что вероятности не равны 100%: тогда вы сумели бы сделать хорошие деньги на этих акциях, играя на одних на повышение, а на вторых на понижение.
И все было бы чудесно, но сейчас... Все знают о трудностях Джима и постарались избавиться от его акций еще три месяца тому назад и теперь они очень дешевы.
А вдруг светящиеся чернила станут популярны? Тогда эти акции полетят вверх, как птички, выпущенные из клетки. Может, стоит рискнуть ведь 30% вероятности не так уж мало. Акции Майкла стоят безумно дорого.
Все верят в успех его компании, и каждый уважающий себя инвестиционный фонд, уже купив его акции, готов купить еще, если успех со стирающим карандашом будет развиваться.
Что же делать? Можно ли здесь получить прибыль?
Эта длинная история приводит нас к мысли, что на рынке акций не все регулируется теорией вероятности и случайные блуждания не совсем случайны. На акциях, цены которых случайно блуждают, в среднем сделать прибыль нельзя, как это было показано в предыдущем разделе, а с акциями Джима и Майкла прибыль сделать можно.
Представьте, что вы инвестировали равные суммы в акции этих двух компаний и стали использовать вторую схему инвестирования, описанную в предыдущем разделе. Вы поставили стоп, чтобы обрезать потери в случае неудачи, и ждете хорошей прибыли от акций, которые не коснутся стопа, а пойдут наверх. Если уровень стопа равен 5%, то потери от акций Джима (если они упадут) составят 2,5% от вашего капитала, так как на эти акции вы потратили только половину денег. Если акции Майкла вырастут на 30%, ваша прибыль от них составит 15% от вашего капитала.
В итоге это даст 12,5%, что явно больше нуля, который вы получили бы от двух компаний, акции которых случайно блуждали на протяжении этого года. При правильной стратегии инвестирования плюс и минус не равняются нулю!
Чтобы лучше представлять картину изменения цен акций на реальном рынке, вообразите ледяную гору и тысячи жуков, пытающихся подниматься по ее склонам. Цена конкретных акций это высота, на которой находится отдельный жук. Ветер, дующий по направлению к вершине, это общий подъем рынка, который в среднем помогает всем жукам подняться на новую высоту. Иногда ветер меняет направление, и жуки начинают дружно сползать вниз это падающий рынок.
Чаще ветер дует от подножия к вершине, но тем не менее отдельные жуки периодически теряют равновесие и скатываются вниз, R тому же более сильные постоянно сталкивают слабых это конкуренция. Все они очень разные.
На кого-то навешен тяжелый груз долговых обязательств, и таким очень трудно карабкаться наверх. Очень тяжелые жуки ползут медленно и степенно, осторожно выбирая безопасный путь, это гиганты рынка типа IBM, Coca-Cola и др.
Маленькие резвые жучки бегут наверх быстро, но, поскользнувшись, так же быстро откатываются назад это молодые развивающиеся компании.
Жуки делятся на группы (отрасли), каждая из которых имеет свой маршрут. У одних он проходит по пологому склону, и выход на новую высоту занимает много времени.
Для таких групп (коммунальное обслуживание, финансы и т. п.) очень важно направление и сила ветра. Другие группы ползут по почти отвесной стене, подъем идет быстро, но связан с большими опасностями: часто срываются не только отдельные жуки, но и целые группы.
Это жуки из компьютерной, биотехнологической и других подобных отраслей. Задача инвестора найти жука, который находится на оптимальном маршруте, может выстоять перед встречным ветром и достаточно силен, чтобы не быть затоптанным другими.
Иными словами нужно найти жука, у которого вероятность подняться на новую высоту больше, чем вероятность скатиться вниз. Но можно ли это сделать?
Посмотрим, что говорит по этому поводу сухой язык математики. Если предположить, что цены акций меняются в соответствии с законами полного хаоса, то разность цен акций за определенное количество дней должна быть распределена по закону Гаусса вероятность найти определенную разность цен должна описываться колоколообразной гауссовой кривой. Вычисления целого ряда авторов показали, что хвосты реальных распределений лежат выше теоретических значений.
Это означает, что очень большие и очень малые изменения цен встречаются чаще, чем им положено. Есть акции, которые меняются быстрее (или более стабильно), чем им разрешает закон случайных блужданий, а значит это происходит не случайным образом. Именно это было ясно на примере жуков альпинистов: есть сильные и есть слабые жуки, у которых вероятности подняться и опуститься отнюдь не равны.
Точно так же есть сильные и слабые компании.
А теперь главный вопрос: можно ли прогнозировать вероятности роста или падения курса акций? И главный ответ: да, можно! Далее будут приведены результаты статистического анализа рынка акций за последние 40 лет, которые показывают, что изучение финансовых показателей компаний дает достатVчные основания для оценки шансов их роста или падения курса их акций.
Такой анализ далеко не однозначен и позволяет говорить только о вероятностном прогнозе движения акций, но и этого достаточно, чтобы на протяжении длительного времени получать от инвестирования большую прибыль, чем только за счет среднего роста рынка или с помощью среднего инвестиционного фонда.
Как проводить такой анализ, мы расскажем позднее, детальнее ознакомившись с финансовыми показателями компаний. Пока же обсудим некоторые подробности оптимальных стратегий игры на бирже в случае, когда блуждания цен акций не случайны, т.е. вероятности их роста и падения различны.
Мы постараемся четко сформулировать основные выводы и надеемся, что они помогут начинающему инвестору выбрать такую стратегию, которая даст максимальную прибыль при допустимом для него риске.
Как получать прибыль при неслучайных блужданиях?
Рассмотрим нашу старую модель изменения цены акций. Пусть каждый день цена меняется на один доллар, но вероятность роста (обозначим ее р) не равна вероятности падения (обозначим ее q). Очевидно, что
p + q = 1.
Предположим, что вы используете стратегию инвестирования, при которой потери обрезаются при падения цены на S долларов (на этой цене стоит стоп) и акции продаются с прибылью L долларов, если цена достигла этого предела. В теории случайных блужданий (желающим детальнее ознакомиться с этими вопросами мы рекомендуем книги В.Феллера) доказывается, что P(S) вероятность того, что цена коснется точки S раньше, чем точки L, т.е. вероятность проигрыша
P(L) вероятность того, что цена коснется точки L раньше, чем точки S, т.е. вероятность выигрыша
P(L) = 1 - P(S).
При такой стратегии ваша средняя прибыль G (в долларах)
G = LP(L) - SP(S).
Анализ этих уравнений показывает, что вариант с различными вероятностями роста и падения цены, когда р q, качественно отличается от варианта совершенно случайных блужданий, когда р=q. Средняя прибыль равна нулю лишь тогда, когда р= q. Если р q, средняя прибыль отлична от нуля и, кроме того, вероятности выигрыша или проигрыша начинают зависеть не только от отношения L/S, но и от абсолютных величин L и S. Эти принципиальные моменты, важные для биржевой игры, необходимо рассмотреть подробнее.
Представьте, что вы купили акции по цене 100 долларов за штуку. Данные акции довольно активны, и их цена меняется в среднем на один доллар в день.
Вы решаете, что акции могут вырасти до 104 долларов (L=4), и ставите мысленный предел 104 доллара, когда вы их продадите с прибылью 4%. Для предотвращения больших потерь вы ставите стоп на 99 долларов (S=1), и ваши максимальные потери будут 1 %. Какова вероятность выигрыша Р (L) и какова средняя ожидаемая прибыль G?
Ответ будет зависеть от вероятности р, т.е. от вероятности того, что акции вырастут в цене в течение одного дня. Если р = 0,5 (50% случайные блуждания), то ответ на эти вопросы можно найти в начале данной главы: вероятность выигрыша P(L) = 20 % и средняя ожидаемая прибыль будет равна нулю. А что произойдет, если вероятность р будет равна 0,7 или 0,3?
Результаты расчета приведены в таблице 5.2.
Вероятности выигрыша в обоих случаях меньше 60%, хотя средняя прибыль при р = 0,7 положительна и составляет 1,9 долларов, т.е. почти 2%. Это больше, чем средние потери от покупки акций с р = 0,3.
Если бы вы купили акции двух компаний с р = 0,7 и с р = 0,3, вложив по 50 % капитала в каждую из них, то средняя прибыль от такого инвестирования составила бы (1,9 - 0,9)/2 = 0,5% от начального капитала (деление на 2 возникло не из-за усреднения, а потому, что капитал был разделен между двумя компаниями). Таблииа 5.2.
| р | P(L) | P(S) | G |
| 0,3 | 0,02 | 0,98 | -0,9 |
| 0,7 | 0,58 | 0,42 | 1,9 |
Теперь рассмотрим другую важную задачу. Представьте, что вы занимаетесь трейдингом и ваш начальный капитал составляет 100 долларов. Вы покупаете и продаете акции различных компаний, среди которых равновероятно встречаются компании с р= 0,7 и р= 0,3. При этом все деньги, вырученные за продажу очередных акций, вы тратите на покупку следующих, ничего не добавляя и не откладывая.
Можно ли получить прибыль при такой стратегии игры? Эта задача близка к методу выбора акций при помощи лука со стрелами, когда вероятности выбора хороших и плохих компаний практически одинаковы.
В таком случае надежду можно возлагать лишь на то, что обрезание потерь стопами поможет быстро избавиться от плохих компаний и получить прибыль от хороших. Условия выберем прежние: стоп составляет 1 % от стоимости акций, и вы продаете акции, получив 4% прибыли.
Анализ данной задачи аналогичен тому, который был проведен в конце раздела 5.1. Коэффициент роста К вычисляется следующим образом:
К = 1,040,02/2 0,990,98/2 1,040,58/2 0,990,42/2 = 1,008,
т.е. он больше единицы, и средняя прибыль на один трейд составляет около 0,8% (коэффициенты в показателях степени возникли из-за равной вероятности выбора компаний с р= 0,3 и р= 0,7). Через 10 трейдов начальный капитал увеличится в среднем в 1,00810 = 1,083 раз, или на 8%.
Из рассмотренных примеров можно сделать простой вывод: выбирая акции даже случайным образом, можно получить прибыль, если ограничивать потери на случай падения акций, а при их росте дожидаться заметного повышения цены акций. Эта простая истина давно известна на биржах, и мы лишь математически показали, что лежит в ее основе.
Но не могут ли рассмотренные модели подсказать оптимальные уровни обрезания потерь и помочь сопоставлению планируемых прибылей с потерями?
Ответ на этот вопрос зависит от распределения вероятностей роста и падения акций. Очевидно, что при растущем рынке практически для всех акций вероятность роста больше, чем вероятность падения. Акции компаний популярной отрасли имеют большую вероятность роста, чем акции других компаний.
Опытные инвесторы или трейдеры выбирают акции лучше, чем начинающие, поэтому у выбранных ими акций средние вероятности роста больше 0,5.
Математически это описывается с помощью некоторой функции распределения. Положение максимума этой функции приблизительно совпадает со средней вероятностью роста акций.
Учитывая задачу этой книги, мы не будем обсуждать тонкие детали возможных типов распределения, а ограничимся одной простой моделью. Многолетние наблюдения за поведением акций показали, что цена большинства из них колеблется в некоторых пределах, но максимальная вероятность у р, близкого к 0,5. Чем больше р отличается от 0,5, тем реже встречаются такие акции.
Наша модель как раз и учтет эту закономерность.
Предположим, что распределение вероятностей роста акций максимально при р = 0,5 и равно нулю при р = 0 и при р = 1. Иными словами, число акций, имеющих 50%-ную вероятность роста за день, максимально, а акций, которые будут падать или расти со 100%-ной вероятностью, не существуют. Между этими значениями функцию распределения для простоты представим линейной, и распределение будет иметь форму равнобедренного треугольника. Если рынок растет, то центр этого треугольника будет смещаться вправо, что означает, что число акций с р0,5 превышает число акций с р0,5. Треугольная форма распределения остается неизменной, а происходит небольшое его смещение вправо.
При падающем рынке число падающих акций превосходит число растущих акций, и наш треугольник будет смещаться влево. Мы проведем расчеты для трех полоений центра треугольника в точках 0,4; 0,5 и 0,6.
Эта же модель соответствовать и разным вероятностям выбора хороших акций новичками (центр распределения в точке 0,4), средним трейдером или инвестором (центр в точке 0,5) и опытными игроками (центр в точке 0,6).
На основании предложенной модели распределений можно решать практически важную задачу: определить зависимость коэффициента роста К от значений S и L при различных распределениях. Мы рассчитали величины К при разных значениях S и L для трех различных состояний рынка.
Полученные результаты приведены на рисунке 5.1 в виде контурных графиков. Точечная линия, проведенная через максимальные значения К указывает на оптимальные значения стопов S для различных значений L.
Анализируя данные графики, можно сделать очень важные выводы. Главный из них состоит в том, что если у акций существует распределение вероятностей их роста, то трейдер или инвестор может получить положительную прибыль, опираясь на адекватную стратегию, т.е. разумно планируя ожидаемую прибыль L и правильно расставляя стопы S.
S/L, % Рис. 5.1. Зависимости коэффициента роста для одного трейда от уровня стоп-заказа S и предела L, при котором акции продаются с прибылью. А вероятность роста выбранных акций равна 0,4; В вероятность роста выбранных акций равна 0,5; С вероятность роста выбранных акций равна 0,6.
Эти случаи описывают падающий, стабильный или растущий рынок соответственно. Данный пример также иллюстрирует выбор акций новичками (А), инвесторами с небольшим опытом (В) и профессионалами (С) Для падающего рынка при игре на повышение стопы необходимо ставить как можно ближе к текущей цене акций. Так. например, если вы решили, что акции могут вырасти на 20%, после чего вы их продадите, то стоп нужно ставить на уровне 10% от 20% на уровне 2% от первоначальной цены. При нейтральном рынке стопы могут быть немного отодвинуты. При растущем рынке стопы могут составлять до 40% от величины намеченной прибыли.
Таким образом, если L = 20 %, то стоп может стоять на уровне 8 % от начальной цены акций. Стратегия, в которой стоп S равен по величине планируемой прибыли L, самоубийственна: так, при S = L = 50 % даже при нейтральном рынке трейдер будет терять на каждом трейде около 10% капитала.
Трейдинг с большими планируемыми прибылями вообще опасен, здесь особенно важен выбор стопов: чем больше L, тем ближе должен быть стоп к текущей цене.
Как уже было отмечено, такая же модель описывает и распределение выбора акций биржевыми игроками разной квалификации. Начинающие игроки чаще выбирают неудачные акции, и их единственная возможность сохранить инвестиционный капитал расстановка очень близких стопов.
Более опытные игроки, которые выбирают акции с большей вероятностью роста, могут позволить себе поставить стопы подальше.
Рассмотрим еще некоторые закономерности, сопутствующие покупке акций, у которых вероятность роста р отличается от вероятности падения q. В приведенных ранее примерах мы предполагали, что дневное изменение цены акций равнялось одному доллару. А что изменится, если изменение цены за день будет меньше, например, 0,5 или 0,25 доллара?
Как изменятся вероятности выигрыша и проигрыша, средняя прибыль и продолжительность одного трейда? Обозначим изменение цены за день через АХ.
Результаты расчетов для различных АХ при фиксированных величинах предела L = 4 и стопа S = 1 показаны в таблице 5.3. Таблииа 5.3.
| р | АХ | P(L) | P(S) | G |
| 0,3 | 1 | 0,02 | 0,98 | -0,9 |
| 0,3 | 0,5 | 0,00 | 1,00 | -1,0 |
| 0,3 | 0,25 | 0,00 | 1,00 | -1,0 |
| 0,7 | 1 | 0,58 | 0,42 | 1,9 |
| 0,7 | 0,5 | 0,82 | 0,18 | 3,1 |
| 0,7 | 0,25 | 0,97 | 0,03 | 3,8 |
При этом величина проигрыша при р = 0,3 остается неизменной, так как она ограничена уровнем стопа, а выигрыш при р = 0,7 растет, асимптотически стремясь к величине своего предела L = 4. Единственный недостаток в таком случае не отраженное в таблице резкое увеличение средней продолжительности трейда.
Таким образом, если изменение цены акций происходит более мелкими шагами, то при р 0,5 вероятность выигрыша и величина прибыли заметно возрастают. Однако в таком случае инвестору надо быть готовым к длительному ожиданию запланированной прибыли.
Есть еще одна интересная закономерность, связанная с уменьшением кванта изменения цены акций. Чтобы выявить ее более четко, проведем вычисление вероятности срабатывания стопа при р = 0,4 в случае S=L=1.
Такую ситуацию можно представить в случае длительного роста акций, когда вероятность падения цены уже больше, чем вероятность ее роста. Трейдер хочет попробовать вытянуть последний доллар прибыли и пододвигает стоп как можно ближе к текущей цене акций. Его решение таково: если цена поднимется еще на доллар, то акции надо продавать. Если же цена упадет на доллар, то акции автоматически будут проданы на стопе.
Какова вероятность P(S), что сработает стоп? Ответ можно получить из таблицы 5.4. Таблица 5.4.
| X | Р(S) |
| 1 | 0,6 |
| 0,5 | 0,69 |
| 0,25 | 0,84 |
| 0,1 | 0,98 |
Здесь уместно привести слова отца бывшего президента США Джона Кеннеди Джо Кеннеди, который в свое время был известным трейдером на Уолл-стрит. Он сказал: Только глупец держит (акции), чтобы получить последний доллар.
В этом месте нелишне напомнить о неизменно полезной диверсификации, которая осуществляется разбиением капитала между акциями нескольких компаний. Она эффективна и в данном случае, но только следует иметь в виду, что разбиение капитала, резко уменьшая вероятность потерь, приводит к некоторому уменьшению коэффициента роста.
И еще надо осознавать, что выводы, которые мы сделали на основе анализа различных моделей рынка, относятся к моделям, а не к реальному рынку. Данные модели были рассмотрены не для получения конкретных цифр, которые можно использовать для планирования прибыли или расстановки стопов, а для иллюстрации общих принципов трейдинга и важности выбора правильной стратегии.
Отметим также, что планируемая прибыль и стопы должны выбираться не на основе слепого следования каким-либо принципам например, 20% прибыли и 5% допустимых потерь, а с учетом поведения конкретных акций и текущей ситуации на рынке. В течение трейда уровень стопов не должен быть фиксирован по мере изменения цены акций он должен перемещаться. Планируемую прибыль иногда тоже можно и нужно менять.
Рынок требует от трейдера большой гибкости, тем не менее, перед началом каждого трейда нужно четко представлять, что вы хотите получить от данных акций и что будете делать, если ваши предположения не оправдаются.
