d9e5a92d

Преждевременное исполнение call на бездивидентную акцию.

P = X exp(-r(T-t))
Нижние границы для call опионов на бездивидентную акцию
S - X exp(-r(T-t)) = c,C
Поясним почему это имеет место сначала на числовом примере, а потом дадим доказательство. Пусть S = 20$, X=18$, r=10%, T-t = 1 year. Тогда предположим, что с = 3$, что меньше, чем дает последняя оценка. Арбитражер, заметив это, мгновенно коротко продаст акцию и купит call опцион.

Это ему обеспечит доход 20$ - 3$ = 17$ и положит эти деньги под безрисковый доход сроком на год. Через год он получит 17*exp(0.1) = 18.79$, Если акции будут стоить больше 18$ то он реализует свое право, купит акцию по 18$ и получит окончательно доход 18.79 18 = 0.79$. Если же акции через год будут стоить меньше 18, например 17, то он не будет реализовывать опцион и все равно получит доход 18.79 17 = 1.79 Формальное док-во Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере X exp(-r(T-t))
Портфель B Одна акция. Портфель А. В момент времени Т, если S(T) X, тогда цена портфеля будет S(T). Если же S(T)X, то опцион не реализуется и мы имеем X денег. В любом случае в момент времени Т мы будем иметь маx(S(T),X) Портфель B. Стоит S(T) в момент времени T.
Следовательно для момента времени Т портфель А будет не дешевле, чем портфель В.
Отсюда (из-за невозможности арбитража) следует, что это должно быть справедливо и для произвольного момента времени. Последнее означает, что c + X exp(-r(T-t)) = S или
c S - X exp(-r(T-t))
или
c max (S - X exp(-r(T-t),0)
Что и требовалось доказать. Нижние границы для put опионов на бездивидентную акцию
X exp(-r(T-t)) - S = p Пример.
Пусть S = 37$, X=40$, r=5%, T-t = 0.5 year и пусть p = 1.0$
Тогда
X exp(-r(T-t)) - S = 40*exp(-0.05*0.5) - 37 = 2.01$ Арбитражер занимает 38$ на 6 месяцев, покупает на них акцию и put опцион. Через 6 месяцев он должен вернуть денег 38*exp(0.05*0.5) = 38.96.

Если акция стоит меньше 40, то он реализует опцион и продает свою акцию по 40$. В результате его доход составит 40 - 38.96 = 1.04
Если же акции стоят больше 40, например 42, то он не реализует опцион, а продает акцию и получает 42 - 38.96 = 3.04 Формальное док-во Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция
Портфель D. Деньги в размере X exp(-r(T-t)). Первый портфель.Если S(T) X, то портфель стоит X. Если же S(T) X, то портфель стоит S(T) В любом случае он стоит маx(S(T),X).
Второй портфель в момент T стоит X
Следовательно для произвольного момента времени t имеем
p + S X exp(-r(T-t))
или
p X exp(-r(T-t)) S
или
p max (X exp(-r(T-t)) S,0)

Преждевременное исполнение call на бездивидентную акцию.


Если инвестор обладает Американским call на на бездивидентную акцию, то преждевременное исполнение не всегда является наиболее оптмальной стратегией.
Пример. Пусть в какой-то момент времени S = 50 при X = 40. Тогда возникает желание реализовать опцион и получить доход. Однако это не всегда правильное решение.

Предположим инвестору нужна еще и акция, которую он собирается держать больше чем 1 месяц. В этомслучае лучшей является стратегия держать опцион до конца.
Портфель E. один Американский call и деньги X exp(-r(T-t))
Портфель F. Одна акция
В момент T денег станет X, а в момент tau T их будет X exp(-r(T-tau)). Если в момент времени tau реализовать опцион то портфель E будет стоить
S X + X exp(-r(T-tau))
И это естественно всегда меньше, чем S
Если же дождаться окончания опциона, то стоить портфель E будет
маx(S(T),X) , что уже не меньше чем цена портфеля F. Величина портфеля F всегда равна S(T) И всегда имеется шанс, что S(T) X . Поэтому обладание портфелем E всегда лучше, чем F.
Отсюда возникает гипотеза, что С = с
Действительно. Ранее было показано, что c S - X exp(-r(T-t))
отсюда. Так как с = С
С S - X exp(-r(T-t))
Так как r 0, то
С S - X
Если было бы оптимально реализовать опцион до момента окончания, то С должно = S X, но
раньше времени не имеет смысла реализовывать.

Преждевременное исполнение put на бездивидентную акцию.

Такая стратегия может быть и оптимальной Рассмотрим пример. Пусть S = 0, X = 10. Тогда опцион имеет смысл реализовать, так как меньше 0 стоимость акции все равно уже не будет. Портфель G. один Американский put и одна акция Портфель H. деньги в размере X exp(-r(T-t))
Если реализовать опцион в момент tau T, то стоимость портфеля G будет X, в то время как портфель H стоит только
X exp(-r(T-tau))
В момент T портфель G стоит
маx(S(T),X).
А портфель H стоит только X.

Put Call Паритет


Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере X exp(-r(T-t))
Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция
В момент Т оба портфеля стоят
маx(S(T),X).
Значит (в силу невозможности арбитража) они должны быть равны и в произвльный момент t. Итак


c + X exp(-r(T-t)) = p + S (1) Соотношение между ценами American call Put Put Call Паритет имеет место только для Европейских опционов, однако понятно, что
P p это следует из (1) и
P c + X exp(-r(T-t)) S
Так как с = С, то
P С + X exp(-r(T-t)) S
Или
С - P S - X exp(-r(T-t)) (2) Связь между С и P
Портфель I. Один Eвропейский call и деньги в размере X Портфель J. Один Американский put и одна акция
Инвестируем X из первого портфеля под безрисковый процент r. Ecли второй портфель не реализовать до момента времени T, то в момент Т он будет стоить
маx(S(T),X).
А первый портфель будет
маx(S(T),X) + Xexp(r(T-t)) X
что заведомо больше, чем первый портфель. Пусть второй портфель реализован раньше, чем T Это означает, что он превосходил X в момент времени tau. А первый портфель в этот момент стоил
Xexp(r(tau - t)),
что также больше чем второй портфель
Итак
c + X P + S
или ( с = С)
С + X P + S
Или
С P S X
Комбинируя с (2), получим
S X С P S - X exp(-r(T-t))

Эффект дивидентов

Изменим портфель А с учетом выплат дивидентов в размере D Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере D +X exp(-r(T-t))
Портфель B Одна акция.
Аналогично как и без учета дивидентов доказывается, что c S D - X exp(-r(T-t))
Теперь получим соответствующее неравенство для Европейского put опциона. Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция
Портфель D Деньги в размере D + X exp(-r(T-t)).
Аналогично как и без учета дивидентов доказывается, что p D + X exp(-r(T-t)) S
CallPut Paritet C + D + X exp(-r(T-t)) = p+S

Модель поведения цен акций.

Винеровском процесс.
Случайный процессназывается процессом с независимыми приращениями если для любых моментов временислучайные величинынезависимы.
Процесс называется Гауссовским , если все его конечномерные распределения нормальные.
Гауссовский однородный процесс с независимымы приращениями называется винеровским (или процессом Броуновского движения) Модели поведения цен акций обычно выражают в терминах так называемого Винеровского процесса. Винеровский процесс частный случай Марковких процессов.

Поведение случайной переменной, следующей Винеровскому процессу можно представить как изменение ее величины за бесконечно маленький интервал времени. Пусть t небольшой интервал времени. Определим z как изменение z за время t. Существуют два основных свойства, которым должно удовлетворять z для процесса z , который является Винеровским.
1. z связано с t соотношением z = (t) где - случайная величина со стандартным нормальным распределением

  1. Величины z для двух различных интервалов времени стохастически независимы.


Из своства 1. Следует, что E[z] = 0
и
D[z] = t;
Из свойства 2 вытекает, что процесс z Марковский. Рассмотрим измениние величины z за относительно продолжительный период времени T. z(T) z(0)
Из свойств винеровского процесса и бесграничной делимости нормального распределения следует, что оно может быть представлено как сумма изменений за N небольших интервалов длины t, где N = [T/t];
Итак
z(T) z(0) = (t).
Здесь - независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением.
E[z(T) z(0)] = 0
и
D[z(T) z(0)] = Nt = T Винеровский процесс это предельный процесс при t - 0, что будем записывать как dz = dt Обобщенный Винеровский процесс. Обобщенным Винеровским процессом для переменной x называется процесс определяемый как.
dx = a dt + b dz a носит название коэффициента сноса, а b диффузии. Для лучшего понимания записей такого рода рассмотрим отдельно слагаемые правой части.
Без второго слагаемого получим обыкновенное дифференциальное уравнение
dx = a dt
или
dx/dt = a решение которого x = x0 + at
здесь x0- начальное значение процесса. Последнее соотношение означает, что за время T , x увеличится на величину aT.
Второй слагаемое это b раз Винеровский процесс. За промежуток времени t изменение x составит:
x = at + b (t).
Так как - стандартная нормальная случайная величина, то x также имеет нормальное распределение со среднем
E[x ] = at
и дисперсией
D[x ] = b^2t Процесс Ито. Обобщенный Винеровский процесс у которого коэффициенты сноса и диффузии могут зависить от времени и состояния называются процессами Ито dx = a(x,t) dt + b a(x,t) dz

Процесс для цен акций.


Предположим, что процесс цены акций следует обобщенному Винеровскому процессу, т.е. имеет постоянный снос и постоянную диффузию. Однако, это не совсем адекватное предположение. Действительно, пусть цена акции 10$ и инвестор ожидает роста 14%.

Естественно ожидать 14% и если цена акции станет 50$. Ясно, что предположение о постоянном сносе требует изменения на то, что ожидаемый рост пропорционален цене акции - S где некоторый постоянный параметр. Приращение цены акции за небольшой промежуток времени составит St. Если предположить, что поведение цены акций не случайно мы получим следующее соотношение
Илиоткудагде S0 цена акции в момент времени 0
На практике поведение цены акций имеет случайность. И разумным предположением можно считать, что дисперсия составляет некоторый процент от текущей цены акции.

Определим ^2 уровень пропорционального изменения цены акции. Это означает, что ^2S^2t дисперсия изменения цены акции за интервал времени t. Итак мы приходим к уравнению Или Уравнение (1) это наиболее широко применяемая модель поведения цен акций. Эту модель часто называют геометрическим Броуновским движением. Дискретная версия модели будет Из (2) видно, что - нормально распределенная случачайная величина
На этом основывается моделирование поведения цен акций методом Монте-Карло.
Предположим, что волатильность составляет 20% в год. И ожидаемый уровень роста составляет 14% в год. Пусть t = 0.01 Тогда Траектория цены акции может быть смоделирована использованием датчика стандартного нормального распределения (0,1), а именно если случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то случайная величина = 0.0014 + 0.02 также будет иметь нормальное распределение, но уже с параметрами
Предположим, что в настоящее время цена акции составляет 20$, тогда приращение цены акции за время t = 0.01 составит S = 20 * .

Биномиальная модель.

Довольно часто для оценки цен акций, или производных финансовых инструментов применяются так называемые Биномиальные модели.
Под Биномиальной моделью понимают следующее. Предположим, что в начальный момент времени цена акции составляет S. Тогда через время t она может оказаться в состоянии Su с вероятность p или в Sd с вероятность 1-p.
Еще через время t она может оказаться в состоянии Suu или Sud или Sdu или Sdd и так далее
Suu
Su
S Sud
Sdu
Sd
Sdd
Переменные u,d и p выбираются такими, чтобы процент ожидаемого роста составил t и уровень изменения дисперсии ^2t. Одним из возможных путей сделать это положить
Нетрудно убедиться, что при t-0 Биномиальная модель стремится к модели геометрического Броуновского движения.

Анализ Блэка-Шольца


В 1970 году Блэка и Шольц сделали важнейший прорыв в решении дифференциальных уравнений, описывающих поведение цены производного финансового инструмента от цены базового актива. Одним из основных математических инструментов, при этом явилась так называемая Лемма Ито
Пусть случайный процесс x следует процессу Ито .
dx = a(x,t) dt + b(x,t) dz
И пусть G(x,t) функция от x и t
Тогда Таким образом процесс для G (x,t) также Ито процесс со сносом И коэффициентом диффузиии
Для описания поведения акции нами был предложен процесс (1)
Из леммы Ито мы получим, что для процесса G(S,t)
В частности для процесса изменения цен форвардного контракта
Будем иметь В результате получим Или
Применение к логарифму цены Пусть теперь G(x,t) = lnS
Так как Следовательно
Логнормальное свойство цен акций
Случайная величина имеет логнормальное распределение если логарифим сл. величины имеет нормальное распределение. Из формулы (2) следует, что изменение за время от t до T логарифма G имеют нормальное распределение с математическим ожиданием
И дисперсией
Или это можно записать так Или Отсюда следует, что само S(T) имеем логнормальное рапределение. Случайная величина, которая имеет логнормальное распределение, принимает значения от 0 до бесконечности. Из свойств нормального и логнормального распределения следует, что математическое ожидание случайной величины S(t) равно И диспресия S(t) равна Логнормальное свойство цен акций может быть использовано для получения информации о распределении непрерывно начисляемой доходности акции. Действительно, определим годовой начисляемый доход по акции равным . Или
Отсюда
Так как ln(S(T)) ln(S) = ln(S(T)/S), то из формул (3) и (4) следует,что имеет нормальное распределение с параметрами Оценивание волатильности из исторических данных.
Пусть n+1 Количество наблюдений S(i) цена акции в конце i-го интервала времени
- длина интервала времени в годах.
Обозначим через
u(i) = ln(S(i)/S(i-1)) Так как S(i) = S(i-1)exp(u(i)), то u(i) можно рассматривать как непрерывно начисляемая доходность, но не привиденная к годовым, в единицу интервала между наблюдениями. В качестве оценки волатильности обычно используют следующую формулу
Но чуть ранее мы показали, что ln(S(T)/S имеет нормальное распределение с дисперсией
^2*(T-t), поэтому стандартное отклонение для u(i) будет равно *sqrt(). Отсюда следует, что само может быть оцененно как
Стандартная ошибка оценки составляет Пример. Рассмотрим последовательность цен на акции за 20 дней.

Пусть u(i) = 0.09531 и u^2(i)= 0.00333. Тогда оценка стандартного отклонения (дневного) будет
Sqrt(0.00333/19 0.09531^2/380) = 0.0123 Предположим, что время измеряется в торговых днях, тогда в год 250 рабочих дней т.е. =1/250. Отсюда оценка годовой волатильности будет
0.0123*sqrt(250) = 0.194 или 19.4 процента.
Стандартная ошибка составит 0.194/sqrt(2*20) =0.031 или 3.1 процента.
Вычисление цены опциона с помощью простой биномиальной модели.
Вычисление цены опициона рассмотрим на примере Европейского опициона. Предположим, что цена акции составляет 20$ и известно, что через месяц цена акции составит либо 22$, либо 18$ за акцию.

Рассмотрим Европейский call опцион со страйком 21$ и матеростью 1 месяц. Если цена акции составит через месяц 22$, то выплаты по опциону составит 1$, если же она будет 18$, то выплаты равны 0. Рассмотрим портфель состоящий из длинной позиции в акций и короткой позиции из одного call опциона. Тогда стоимость портфеля составит 22-1, если цена акции будет 22, и 18 если цена акции упадет до 18$. При =0.25 эти две величины совпадают
18 = 22-1 = 4.5. При таком =0.25 наш портфель становится безрисоковым. В начальный момент времени величина портфеля равна
20*0.25-f = 5-f
Где f цена опциона. Безрисоквый портфель должен быть и относительно безрисокового вложения в государтвенный ценный бумаги. Предположим, что величина безрисовой доходности составляет 1 процент в месяц, тогда
1.01(5-f)=4.5
отсюда
f = 5 4.5/1.01 = 0.5445
Это и есть текущая цена call опциона. Удивительно то, что при этом никак не использовались вероятности перехода в рассмотренный два состояния.

Дифференциальное уравнение Блэка-Шольца

Будем использовать следующие предположения при выводе и решении дифференциального уравнения Блэка-Шольца - Цена акции меняется согласно случайного процесса



с постоянными и .

  • Разрешена короткая продажа.
  • Транзакции бесплатны.
  • Все инстументы в нужном количестве делимы.
  • Нет выплат дивидентов во время жизни опциона
  • Невозможен безрисковой арбитраж
  • Торговля происходит при непрервном времени
  • Безрисовая доходность r постоянна для всех матеростей.

Позднее некоторый из сделанных предположений будут ослаблены. В частности , и r
могут быть известными функциями от времени. Итак, пусть f цена производного финансового инструмента на бозовый актив S. И пусть f некоторая функция от S и t. Тогда согласно леммы Ито
Соответственно дискретный версии для формул (1) и (2) будут И Согласно леммы Ито процесс z= * sqrt(t) тот же самый. Это приводит к тому, изменением портфеля акции и производного инструмента можно добиться так, что Винеровский процесс сократится. Таким портфелем будет:
Портвель А 1 производный инструмент
Портфель B
акций.
Держатель такого портфеля имеет короткую позицию по финансовой производной и длинную позицию по акциям. Определим - как стомость такого портфеля
Дискретное изменение его стоимости составит Подставляя выражения (3) в выражение (4) получим
Обратим внимание на то, что z-сокращается. Таким образом изменения портфеля можно сделать безрисковым. Из сделанных выше предположений об отсутствии арбитража имеем =rt.
Вычитая последнее выражение из формул (4) и (5) получим
Или
Полученное дифференициальное уравнение и есть уравнение Блэка-Шольца. Оно имеет бесконесно много решений в соответствии различным производным инструментам на базовый актив S. Учет граничных условий позволяет найти частные решения. Например в случае Eвропейского call опциона эти граничные условия будут
f = max(S-X,0) при t=T а для put опциона
f = max(X-S,0) при t=T
В качестве примера можно рассмотреть форвардный контракт на бездивидентную акцию. Мы уже знаем, что величина форфардного контракта f = S Kexp(-r(T-t))
где К цена открытия форфардного контракта. Тогда f/t=-rKexp(-r(T-t))
f/S = 1
^2f/S^2 =0 Подстановка в левую часть (6) дает -rKexp(-r(T-t)) +rS
и это должно быть равно rf, но это так и есть.

Риск-нейтральные вычисления


Риск-нейтральные вычисления без всякого сомнения являются наиболее важным средством для анализа финансовых производных. Это следствие из одного ключевого свойства дифференциального уравнения (6).

Свойство это в том, что уравнение не включает в себя рисковую переменную. Переменные участвующие в уравнении это текущая цена акции, время, волатильность, безрисковая доходность.

Все они не зависят от риска. Уравнение Блэка-Шольца не было бы независимым от риска если бы оно включало в себя ожидаемую доходность по акции , так как может зависить от риска. Но к счастью сократилось при выводе. Но если рисковые переменные не входят в уравнение, то они не влияют на его решение. Однако некоторое множество рисковых переменных может входить в f, однако можно сделать одно простое предположение,а имеено все инвесторы находятся в одинаковых условиях и все их инвестиции предполагаются риск-нейтральны.

В риск нейтральном мире ожидаемый доход от всех инструментов есть безрисковая доходность r и поэтому все текущие величины будущих выплат могут быть получены дисконтированием их ожидаемых значений (математического ожидания) на величину безрисковой доходности. Для примера вернемся к биномиальной модели получения цены call опциона, которую мы рассматривали ранее.
Предположим, что цена акции составляет 20$ и известно, что через месяц цена акции составит либо 22$, либо 18$ за акцию. Рассмотрим Европейский call опцион со страйком 21$ и матеростью 1 месяц. Если цена акции составит через месяц 22$, то выплаты по опциону составит 1$, если же она будет 18$, то выплаты равны 0. Напомним, что мы вычислии цену опциона 0.5445 без использования вероятностей перехода цены акции в 22$ и 18$.
Сейчас мы покажем как можно использовать предположения о риск-нейтральном мире для получения этой же цены.
В риск нейтральном мире ожидаемый доход от всех инструментов есть безрисковая доходность r = 1% в месяц. Вероятность p, того что акция будет стоить 22$ должна удовлетворять соотношению 22p+18(1-p) = 20*0.01
отсюда p = 0.55
Математическое ожидание call опциона в риск нейтральном мире составит
0.55*1+0.45*0 = 0.55 Тогда дисконтирование к сегоднешнему времени приводит 0.55/1.01 = 0.5445
И это то же самое значение, что и было получено ранее

Применение к форвардному контракту

Мы также ранее получали величину форвардного контрата на бездивидентную акцию. Теперь мы ее получим заново, изпользуя понятие риск-нейтрального мира.
Пусть безрисковая доходность постоянна для всех матеростей и равна r. Рассмотрим длинный форвардный контракт на время T с ценой открытия K. Тогда выплаты в момент истечения составят S(T) K
C точки зрения риск нейтральности величина форвардного контракта в момент времени t есть математическое ожидание его величины в риск нейтральном мире дисконтированное к времени t. Таким образом
f = exp(-r(T-t)) E[S(T) K]
Здесь символом E[..] обозначается математическое ожидание в риск нейтральном мире
f = exp(-r(T-t))( E[S(T)] K)
Или
f = exp(-r(T-t)) E[S(T)] - exp(-r(T-t))K
Так как
E[S(T)] = Sexp(r(T-t))
То подстановка этого выражения нам дает
f =S-Kexp(-r(T-t))
что и требовалость доказать. Мы также показывали, что последнее выражение удовлетворяет уравнению Блэка-Шольца.
Решение дифференициального уравнения Блэка-Шольца для Европейских опционов. Математическое ожидание выплат по call опциону в момент окончания составит E[max(S(T)-K,0],
Где символом E[..] обозначается математическое ожидание в риск нейтральном мире Из соображений риск нейтральности для цены c Европейского call опциона имеем с=exp(-r(T-t)) E[max(S(T)-K,0]
В риск нейтральном мире вероятностное распределение ln(S(T)) нормальное
это та же самая формула (3), что и вначале лекции, но заменой на r.
Вычисляя математическое ожидание E[max(S(T)-K,0]
Получим c = SN(d1)-Xexp(-r(T-t))N(d2)
Где
D1=[ln(S/X)+(r+^2/2)(T-t)]/ * sqrt(T-t)
D2=[ln(S/X)+(r-^2/2)(T-t)]/ * sqrt(T-t)=d1- * sqrt(T-t)



Содержание раздела