Многофакторные модели временных структур

Heat,Jarrow and Morton были первыми, кто это заметил. Интегрируя vT(t,T) от t до T они получили

И так как v(t,t) = 0, то Если m(t,T) и s(t,T) непрервный снос и стандартное отклонение для F(t,T), то из (4) следует, что Последнее выражение и показывает связь между сносом и стандартным отклонением.

Модель Хо и Ли (Ho Lee Model)

Хо и Ли первыми предложили безарбтражную модель временных структур в 1986 году. Модель выглядит следующим образом
Где (t) некоторая функция от времени выбранная так, что она хорошо описывает начальную временную структуру.
Уравнение для (t) выглядит так В модели Хо и Ли выражение для цены дискаунт бонда будет
Где
Также ими были получены и величины Европейских опционов на дискаунт бонд.

Модель Hull-White

Была предложена в 1990 году как расширение модели Васичека с учетом того, для определения (t) подгоняется начальная временная структура.
Модель Hull-White и ее модификации в настоящее время является наиболее популярной одномерной моделью временных структур.

Многофакторные модели временных структур

Недостатком одномерных моделей временных структур является то, что эволюция временной структуры моделируется только в виде парралельного сдвига. Многофакторные модели позволяют моделировать не только парралельный сдвиг, но и более сложные изменения временной структуры.
В последнее время очень популярной моделью временных структур является модель основанная на методе главных компонент

Оценка рыночных рисков

Во всем многообразии финансовых рисков обычно выделяют:

Кредитный риск (Credit Risk) - риск возможных потерь из-за неспособности контрагента выполнить свои обязательства.
Операционный риск (Operational Risk) - риск потерь из-за ошибок операционного персонала.
Риск несбалансированной ликвидности (Liquidity Risk) - потери, которые могут возникнуть в ситуации, когда для обеспечения ликвидности приходится привлекать дополнительные средства под более высокий процент, чем обычно.
Рыночный риск (Market Risks) - риск, связанный с возможным изменением рыночных котировок активов и изменением процентных ставок.

Конечно, деление это условно, а виды рисков взаимосвязаны. Но эта классификация представляется разумной, поскольку для оценки и управления разными рисками применяются разные методы.

Так управление операционными рисками и риском ликвидности в значительной степени носит характер проблемы, решаемой построением правильной организационной процедуры с опорой на знания экспертов.
Управление рыночными рисками, в его современном понимании, наиболее формализуемая и регулярная задача. Первые математические модели изменения рыночных цен появились еще в начале ХХ века [LB]. Самуэльсон предложил в 60-х годах активно используемую и поныне модель геометрического броуновского движения для описания динамически цен акций.

Мощный толчок развитию этой теории дали работы Блэка, Шоулса и Мертона (Black, Scholes, Merton) в 70-х годах [BS], [M]. Появившиеся в последние годы в финансовой литературе модели изменения рейтингов позволяют достаточно эффективно оценивать кредитные риски.

VAR (Value at Risk)

Перед этим мы ввели различные меры: гамма, тета, вега, дельта для описания различных аспектов рисков портфеля из опционов. Финансовые институты вычисляют каждую из этих мер каждый день для всех рыночных переменных. Зачастую их сотни и тысячи, что затрудняет понимание картины возникающих рисков в целом.

Исторический первой попыткой оценить одним числом меру риска суммирующего в себе риск портфеля в целом является мера VAR (value at risk). Обозначим через X потери нашего портфеля через N дней. Потери эти являются величиной случайной и зависят от изменения котировок финансовых инструментов, входящих в портфель, за период N дней. Величина q = VAR(X)
есть квантиль уровня распределения случайной величины X, т.е. вероятноять того, что X не превосходит q, равна 0.01 ( здесь меряется в процентах). Вычислив VAR, мы можем формулировать утверждения типа : "Мы на % уверены, что не потеряем более, чем q за ближайшие N дней".
Методологии вычисления VAR посвящено громадное количество литературы. Он используется не только трейдерами и портфельными менеджерами, но и регулирующими органами.

Так в США регулирующие органы требуют от банков резервировать трехкратный 10-дневный 99% VAR под рыночные риски.
Несмотря на свою популярность, VAR обладает рядом существенных недостатков.

Во-первых, VAR не учитывает возможных больших потерь, которые могут произойти с маленькими вероятноcтями (меньшими, чем 1-0.01).
Во-вторых, VAR не может различить разные типы хвостов распределения потерь и поэтому недооценивает риск в случае, когда распределение потерь имеет "тяжелые хвосты" (т.е. его плотность медленно убывает).
В-третьих, VAR не является когерентной мерой, в частности, он не обладает свойством субаддитивности. Можно привести примеры, когда VAR портфеля больше, чем сумма VARов двух подпортфелей, из которых он состоит. Это противоречит здравому смыслу. Действительно, если рассматривать меру риска как размер капитала, резервируемого для покрытия рыночного риска, то для покрытия риска всего портфеля нет необходимости резервировать больше, чем сумму резервов составляющих подпортфелей.

VAR поощряет торговые стратегии, которые дают хороший доход при большинстве сценариев, но иногда могут приводить к катастрофическим потерям

Дневная волатильность.

При оценке Var обычно имеют дело с дневной волатильностью. Соотношение между дневной и годовой волатильностью следует из свойств нормального распределения вероятностей и предположения независимости изменений цен активов. А именно:
Пусть (d) дневная волатильность и (y) годовая. Если предположить, что год состоит из 252 рабочих дня то соотношение между ними будет
(y) = sqrt(252) * (d). Оценка Var простейшем случае. Рассмотрим портфель состоящий из акций IBM на 10 миллионов. Предположим, что дневная волатильность составляет 2%. Или 32% в год.

Пусть N = 10 дней и мы интересуемся 99% доверительным интервалом изменения нашего портфеля.
Тогда дневное стандартное отклонение портфеля составит 10 000 000 * 0.02 = 200 000 долларов.
Предполагая независимость изменений цен акций получим, что стандартное отклонеине за 10 дней составит 200 000 * sqrt(10) = 632 456 долларов. Предположим, что дневной рейт доходности акций пренебрежительно мал относительно дисперсии приращений.

И приращения имеют нормальной распределение. Тогда квантиль стандартного нормально распределения уровня 0.01 = 1 0.99 составляет 2.33. Тогда Var 10 дневного портфеля составит

1. * 632 456 = 1 473 621

Оценка Var для портфеля из двух активов Предположим, что наш портфель состоит еще и из акций ATT на 5 000 000. И предположим, что изменения акций имеют двумерное нормальное распределение с коефф. Коррелции = 0.7. Дневная волатильность акций ATT составляет 1 процент в день тогда стандартное отклонение портфеля составит
(y+x) = sqrt((x)^2 + (y)^2 + 2 rho * (y) * (x)) Подставляя сюда (x) = 632 456 и (y) = 158 114 получим что это равно 751 665 И тогда Var = 751 665 * 2.33 = 1 751 379

Линейная модель

Предположения.

Портфель активов цена которого линейно зависит от входящих в него активов
Изменения величин активов имеют нормальное распределение.

Портфель состоит из P активов в количестве a(i) и (i) изменение величины единица i-го актива за день, тогда для всего портфеля
P = a(i)* (i)
Так как (i) имеют многомерное нормальное распределение, то P имеет нормальное распределение. Для вычисления Var нам необходимо вычислить стандартное отклонение портфеля (P)^2 = rho(i,j) a(i) a(j) (i) (j).
Это соотношение может быть переписано как
(P)^2 = a(i)^2 + 2rho(i,j) a(i) a(j) (i) (j)
где двойная сумма берется по i = 1...P, j i
Var для активов зависящих от доходности В прошлой лекции было введено понятие дюрации и было показано, что
P = -DP y ,
где P цена портфеля
D дюрация портфеля
y размер парраллельного сдвига временной структуры.
Тогда если дневная волатильность параллельных сдвигов составляет , и стандартное отклонение для портфеля составит
(P) = DP

Область применимости линейных моделей.

Линейные модели применяют для портфелей из финансовых инструментов, у которых изменение величины линейно зависит от изменения величины базовых активов (акции, обменные курсы ,бонды)
Для опционов линейная модель является только приближением. В частности если в портфель cсостоит из опционов на на одну и ту же акцию, то дельта для него
= P/S
Напомним, что показывает скорость изменения цены опциона по отношению к изменению цены базовых активов
Определим
x = S / S
Тогда
P= S * * x
Если портфель состоит из опционов на несколько различных акциий
P = S(i) (i) x(i)
что можно переписать в такой же линейной форме как и раньше P = a(i)* (i) где a(i) = S(i) (i).
И следовательно это позоволяет вычислить стандартное отклонение портфеля в целом по уже приведенной выше формулам для линейной модели.

Квадратичная модель

Итак линейная модель является только приближением, в случае если в портфель входят опционы. Однако мы вычисляли и вторую производную по цене, которую называли гамма.
Поэтому можно построить и квадратичную модель изменения цены портфеля P= S * + 0.5(S)^2 Опять, полагая
x = S / S,
получим P= S * *x + 0.5S^2(x)^2
Однако в этом случае величина P уже не будет иметь нормальное распределение. Пусть x имеет нормальное распределение со средним 0 и стандартным отклонением
Тогда первые три момента для P будут E(P) = 0.5S^2^2
E(P)^2 = S^2 ^2^2 + 3/4S^4^2^4
E(P)^3 =9/2 S^4 ^2^4 +15/18 S^6^3^6
Первые два момента могут быть взяты для нормального распределения и получим одну аппроксимацию. А если использовать и третий момент, то это распределение Корниш-Фишера которое затабулировано и это будет другое приближение.

Монте-карло моделирование

Альтернативным способом оценки VaR является моделирование по методу Монте-Карло, которое состоит в том, что моделируется достаточно большое количество приращений изменения стоимости портфеля P (например N =10000 раз) по какой-то выбранной заранее модели.
Например нормальной для изменения стоимости базовых активов. При этом цены входящих в портфель инструментов вычисляются по полученным для них в этой модели точной формуле.

Тогда Var уровня 0.99 будет равен значению смоделированных значений изменений портфеля с порядковым номером N * (1-0.99) в упорядоченном ряде. Историческое моделирование. Предположим, что у нас имеются временные ряды изменений цен базовых активов и финансовых производных на них выраженные в единицах на один актив тогда, пересчитав их возможные изменения к количеству активов, которые имеются в наличие в данный момент, упорядочим их по возрастанию. Тогда, зная общую длину ряда = N, мы можем получить исторический Var нашего сегодняшнего портфеля. Использование метода главных компонент. Все рассмотренные выше методы оценки Var имели один важный недостаток существенную многомерность модели. В последнее время все чаще для моделирования состояний портфеля используется факторный анализ наиболее популярным метолом которого является метод главных компонент.
Идея метода такова. Пусть у нас имеется P базовых активов и мы наблюдаем за ними в течении N дней.

Таким образом у нас имеется матрица наблюдений X размера N*P.
Факторный анализ этот методы которые существенно могут пронизить размерность этого пространства. Канонической моделью факторного анализа является представление матрицы наблюдений X в виде X = F * L + U (1) Где матрица F имеет размер Т*p , p P (факторы)
L - матрица размер p* p (нагрузки)
U матрица размера (N*P) матрица ошибок
В методе главных компонент в качестве матрицы L берут первые p собственных векторов, отвечающие наибольшим собственным значением ковариационной матрицы = E(XX)
Можно показать, что такой выбор матрицы L минимизирует ошибку U в представлении (1)
среди всех возможных линейных ортогональных преобразований исходной матрицы X
Таким образом X ~ F * L. (2)
При этом
F = XL
Последнее следует из того, что LL = I
Таким образом необходимость моделирования изменений большого количества активов можно заменить моделированием небольшого количества факторов. Получая затем приближения изменения самих активов с помощью выражения (2). Наличие сильных корреляционных связей между активами позволяет зачастую довольно сильно уменьшить размерность моделируемого пространства. В частности при моделировании изменений zero-coupon временной структуры в которой P составляет иногда до 20 при этом p=3
И ошибка составляет не более 2%.

Дригие меры риска

Многих недостатков свойственных VARу лишен Shortfall. Обозначим, как и при определении VAR, через X потери нашего портфеля через N дней, q = VAR(X), тогда Shortfall(X) есть условное математическое ожидание X при условии, что X больше q Shortfall (X) = E(X|Xq).
Shortfall является более консервативной мерой риска, чем VAR. Для одного и того же уровня он требует резервировать больший капитал. Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий соотношение VAR и Shortfall. Предположим, что у нас есть облигация, номиналом 100, которая завтра должна быть погашена. С вероятностью 0.99 она будет погашена полностью, а с вероятностью 0.01 заемщик откажется от 100% исполнения своих обязательств, и мы получим только половину номинала.

Тогда наши потери X составят 0 с вероятностью 0.99 и 50 с вероятностью 0.01. Для = 0.95 VAR(X) = 0,
т.е VAR советует нам не резервировать капитал вообще. Этот совет представляется странным, поскольку и потери наши могут быть довольно значительны, и вероятность понести эти потери не так уж мала - 0.01. В то же время
Shortfall (X) = E(X|X0) = 50.
Таким образом, Shortfall позволяет учитывать большие потери, которые могут произойти с небольшой (меньшей, чем 1-) вероятностью. Он также более адекватно оценивает риск в распространенном на практике случае, когда распределение потерь имеет тяжелый хвост.

Понятие о когерентных мерах риска

Понятие когерентных мер риска было введено сравнительно недавно см.[2] Обозначим через X случайную величину, выражающую размер возможных потерь к некоторому моменту T в будущем. Когерентной в указанной работе была названа мера риска , обладающая следующими четырьмя свойствами :

(X) = (max(X,0)) ;
(X + Y) (X) + (Y);
для всякого положительного числа ( X) = (X);
для всякого положительного X и числа A 0 (+ X) = A + (X).

Эти условия являются естественными требованиями, которые следует предъявлять к мере риска.
Действительно, если интерпретировать меру риска, как величину капитала, резервируемого для покрытия рыночного риска, то первое условие означает, что мера риска прежде всего должна оценивать возможные потери ( X величина потерь, соотетственно отрицательные значения X соответствуют доходу). Субаддитивность также кажется разумным условием. Например если в фирме есть два трейдера и меры риска их сегодняшних позиций равны (X) и (Y), трудно было бы понять почему под общий риск фирмы следует резервировать больше чем (X) + (Y).
Можно привести следующий пример, иллюстрирующий третье условие. Если у нас есть два одинаковых портфеля, то их потери X будут одинаковы, и капитал, резервируемый под каждый из них, также одинаков и равен (X), а под суммарный портфель - 2(X).

Значит (2X) = 2 (X). Четвертое условие означает, что увеличение наших возможных потерь на заранее известную величину A должно приводить к увеличению резервируемого капитала на ту же величину.
В работе [2] дано замечательное представление когерентных мер. Оказывается, что мера риска является когерентной, если ее можно представить в виде супремума математических ожиданий возможных потерь по некоторому семейству вероятностных мер
(X) = sup{EP[(X)] P}.
Меры P можно рассматривать как сценарии развития событий на рынке, а - как набор возможных сценариев. При такой интерпретации когерентные меры оценивают средние потери при наихудшем развитии событий.
Var не является когерентной мерой, а Shortfall является при некоторых дополнительных (довольно слабых) ограничениях на распределение возможных потерь.

Литература.

1. Jhon C.Hull Option,Futures, and other derivatives. Prentice Hall, 1997. 2. P. Artzner, F. Delbaen, J.-M.

Eber, D.Heath. Definition of Coherent Measures of Risk, 1997, Symposium on Risk Management at the European Finance Association 24th Annual Meeting, Viena, Austria.

Содержание раздела

Главная сайта