Имплайд волатильность.
Где N(x) функция распределения стандартного нормального закона
Так как с=С это есть также цена и американского опциона
Цена европейского put можно получить из call-put parite
t
p = Xexp(-r(T-t))N(-d2)- SN(-d1)
К сожалению нет точной формулы для вычисления Американского put опциона
Имплайд волатильность.
Один из параметров формулы цены опциона не является наблюдаемым. Это параметр волатильности. Ранее мы получали оценку волатильности по историческим данным.
Однако, так как цены опционов присутствуют на рынке (торги то идут) , то можно получить оценку волатильности непосрдственно из формулы цены опциона, обращая ее. Полученная волатильность носит название Имплайд волатильности. Она может быть в частности использована для получения цен опционов, которые на рынке не представлены
Греческие буквы
Финансовые институты продавая опционы клиентам сталкиваются с необходимостью управления возможными рисками. Если, например, опцион на обменный курс, то финансовый институт может нейтрализовать этот риск покупкой валюты.
Однако это не всегда возможно, так как опцион может выписан на товар не присутствующий непосредственно на бирже. В этом случае хеджирование может быть затруднено.
В этой лекции мы рассмотрим несколько альтернативных способ страхования. Один из них носит название Греческие буква или просто
Греческие буквы
Пример. Финансовый институт продает за 300 000$ опцион call на поставку 100 000 бездивидентных акций. Предположим что:
S = 49$ , X=50, r=0.05, = 0.2 , = 0.13 и T=0.3846 это 20 недель
Теоретическая цена такого опциона по формуле Блэка Шольца составляет 240 000$. Однако финансовый институ продал его на 60 000 больше чем теоретическая цена.
Это приводит его к необзодимости хеджирования.
Голая и покрытая позиция.
Это наиболее простые стратегии хеджирования.
Первая из них состоит в том, что делать ничего и не надо. Это действительно хорошо сработает, если цена акции через 20 недель окажется ниже 50$. Опцион не будет реализован и инсититут как получил свои 300 000 так и с ними и останется.
Однако, если цена акции в момент окончания опциона станет выше, например 60$, то голая стратегия приведет к потерям. Так как опцион станет стоить 1 000 000 = 60*100 000 50 * 100 000, что значительно привосходит полученный вначале 300 000.
В качестве альтернативы рассмотрим стратегию покрытой позиции. Она состоит в покупке 100 000 акций в при продажи опциона.
Если опцион реализуют, то эта стратегия действительно хороша. Однако, если цена акции упадет скажем до 40, то финансовый институт теряет в конце 900 000 = 100 000 * 49 100 00 * 40, что также больше, чем 300 000, полученные сначала.
Однако, все-таки голая и покрытая позиции обеспечивают удовлетворительное хеджирование. Если предположения сделанные при выводе формулы Блэка Шольца верны, то именно 240 000 является средней ценой по которой надо было совершать сделку.
Именно для этой цены стандартное отклонение стоимости опциона и хеджа равно нулю.
StopLoss стратегия.
Основная идея такой стратегии заключается в том, что финансовый институт выписывая опцион на акцию со страйком X покупает акций на размер опциона. Схема хеджа такова:
Покупка акций как только цена акций начнет превышать X и продажа, как только цены станут ниже Х. То есть последовательное чередование голой и покрытой стратегий. В начальный момент времени цена акции равна S(0) ит размер хеджа будет S(0), если S(0) X и 0 иначе.
Таким образом общая стоимость выписки опциона и хеджирования будет составлять
Q = max[S(0) X,0]
И если все корректно, то такая схема будет работать хорошо, вне зависимости то того как меняется цена акций. Более того стоимость хеджирования всегда меньше, чем цена Блэка-Шольца. (см. оценки для цен опционов). Однако, существуют два недостатка такого хеджирования.
Во-первых выплаты осуществляются в разное время и должны дисконтироваться к началу. Во-вторых сделки по хеджированию не могут быть точно проходить по цене X.
Дельта хеджирование.
Последнее время многие трейдеры используют более продвинутые схемы страхования заключающиеся в вычислении мер , и Vega
Определение.
опциона определяется как скорость изменения цены опциона относительно изменения цены базового актива
Другими словами
= dc/dS
Например если =0.6 то это означает, что если цена актива изменяется на небольшое значение, то цена опциона изменится на 60% от этой величины.
Пусть цена акции 100$ и цена опциона 10$ Представим, что инвестор, который продал 20 опционов, т.е.опционов на покупку 2000 акций. Тогда позицию инвсетора следует застраховать покупкой 0.6 * 2000 = 1200 акций.
Доходы(потери) по опциону будут стремиться к компенсации потерями (доходами) от акций.
Итак стратегия хеджирования: -1 финансовая производная
единиц акций.
Для европейского call option короткая позиция в call требует длинной позиции акциях и, наоборот, длинная позиция в call требует короткой позиции в акциях в размере N(d1) Европейский put option.
= dc/dS = N(d1) 1 0
Для европейского put option длинная позиция в put требует длинной позиции в акциях, и наоборот, короткая позиция в put требует короткой позиции в акциях. Портфеля опционов на товар с ценой S равен сумме каждого опциона умноженного на количество опционов каждого типа
dП/dS = w(i) (i)
Тета опциона.
Тета опциона или портфеля называется скорость изменения величины портфеля относительно времени, при условии, что все остальное не измнияется.
= dП/dt
Для европейского call
=S(0)N(d1)*/ (2sqrt(T)) r X exp(-rT) N(d2)
Для европейского put
=-S(0)N(d1)*/ (2sqrt(T)) r X exp(-rT) N(-d2)
Тета обычно отрицательна. Это следует из того,что по мере приближения времени исполнения при фиксированных остальных параметрах опциона стоимость опциона уменьшается
Гамма портфеля Определение. Гамма портфеля называется вторая производная по цене
Г = d^2/dS^2
Если Гамма маленькая то дельта меняется медленно, что позволяет поддерживать дельта нейтральный портфель довольно спокойно.
Гамма портфеля довольно чувствительна к изменению цены базового актива.
Пусть S изменение цены акции за интервал времени t. И П изменение портфеля, тогда
Для дельта нейтрального порфеля
П = t + 0.5 Г S^2
Гамма нейтральный портфель
Гамма нейтральный портфеля обеспечивает защиту от больших движений в цене базового актива.
Для европейского call и put
Г =N(d1)/(Ssqrt(T))
Гамма тета и дельта портфеля связаны между собой
Подставляя вместо призводных значения букв получим
+ rS + 0.5^2S^2Г = rП
для дельта нейтрального портфеля
- + 0.5^2S^2Г = rП
Отсюда видно, что при увеличении положительного тета Гамма уменьшается и отрицательно.
Vega
Мы ранее предполагали, что волатильность постоянна, понятно, что это конечно не так
Определение. Вега портфеля это скорость изменения величины портфеля относительно изменения волатильности
Vega = dD/d
Если вега большая по абсолютной величине, то портфель очень чуствителен к изменения волатильности.
Позиция в опционе в размере V/Vo, где Vo Vega опциона делает портфель vega нейтральным
Для европейского call и put
V =S * sqrt(T) * N(d1)
Rho портфеля
Некоторые трейдеры вычисляют еще и Rho портфеля
Rho = dП/dr
Это показывает чуствительность портфеля по отнрошению к изменению r
Для европейского call
rho = X T exp(-rT) N(d2)
Для европейского put
rho = -X T exp(-rT) N(-d2)
Итоговая таблица значений греческих букв для Европеских call и put опционов
в модели Блэка-Шольца
| Буква | Определение | Европейский call | Европейский put |
| = dc/dS | N(d1) | N(d1) - 1 | |
| dП/dt | S(0)N(d1)*/ (2sqrt(T)) r X exp(-rT) N(d2) | =-S(0)N(d1)*/ (2sqrt(T)) r X exp(-rT) N(-d2) | |
| Г | d^2/dS^2 | Г =N(d1)/(Ssqrt(T)) | Г =N(d1)/(Ssqrt(T)) |
| Vega | DП/d | S * sqrt(T) * N(d1) | S * sqrt(T) * N(d1) |
| Rho | Rho = dП/dr | X T exp(-rT) N(d2) | -X T exp(-rT) N(-d2) |
Interest Rate Futurities Фьючерсы на доходность
Фьючерсный контракт на актив, цена которых зависит от уровня доходности называется interest rate фьючерсы.
Спот и форвардный рейт.
n-годовой спот рейт это доходность инвестиций сделанной сегодня и заканчивающаяся через n лет. n-годовой спот рейт без промежуточных выплат называют n-year zero-coupon yield.
Форвардным рейтом называют рейт доходности полученный от инвестиции сделанной через некоторое время в будущем на некоторый период времени.
Пример.
| Лет | Спот рейт в процентах годовых | Форвардный рейт в процентах годовых |
| 1 | 10.0 | |
| 2 | 10.5 | 11.0 |
| 3 | 10.8 | 11.4 |
| 4 | 11.8 | 11.6 |
| 5 | 11.1 | 11.5 |
Второй столбец таблицы это n-годовой спот рейт в процентах годовых с непрерывным начислением. В результате инвестиция в 100$ сделанной на год мы в итоге получим 100*exp(0.1) долларов, а инвестиция на 2 года принесет 100 * exp(2*0.105).
С другой стороны это должно быть равно (в силу отсутствия арбитража) сначала инвестиции на один год, а затем последующей инвестиции полученных средств еще на один год с форвардным рейтом x. Таким образом получим соотношение
100*exp(0.1)*exp(x*1) = 100 * exp(2*0.105)
откуда
-
- + x = 0.21 или
Общая формула для вычисления форвардных рейтов имеет следующий вид.
Пусть r(T) и r(T*) спот рейты при инвестиции на срок T и T* лет соответственно, причем T* T, тогда форвардный рейт r(T,T*-T) при инвестиции в момент времени T на срок T* - T будет равен r (T,T*-T) = ( r(T*)T* - r(T)T) / (T* - T). (1)
Zero-coupon временная структура.
Под Zero-coupon временной структурой понимается функция, показываюшая зависимость спот рейта от времени до окончания (матерость). Пример временной структуры первый и второй столбец таблицы.
Аналогично можно ввести понятие форвардной временной структуры. Переписав (1) как
r (T,T*-T) = r(T*) + ( r(T*) - r(T))T / (T* - T)
и перейдя к пределу при стремлении T* к T последнее можно переписать как
r + T dr/dT
Что можно интерпретировать как инвестицию сделанную в момент T на бесконечно малый промежуток времени. Это называют мгновенным форвардным рейтом (instantaneous forward rate) для матерости T.
На практике спот рейты (или zero coupon yelds) не наблюдаются непосредственно. То, что можно найти на рынке это так называемые coupon-bearing bonds.
Из них обычно и получают zero coupon yelds. Метод получения называется бутстреп.(bootstrap) Для иллюстрации рассмотрим следующую таблицу
| Номинал бонда в $ | Maturity | Coupon за год | Bond Price | Zero-Coupon Yield |
| 100 | 0.25 | 0 | 97.5 | 0.1012 |
| 100 | 0.5 | 0 | 94.9 | 0.1047 |
| 100 | 1 | 0 | 90 | 0.1054 |
| 100 | 1.5 | 8 | 96.0 | 0.1068 |
| 100 | 2.0 | 12 | 101.6 | 101.6 |
Через 6 месяцев 4$
- год 4$
1.5 104$
Но дискаунт рейты с матеростью 0.5 года и 1 год нам известны поэтому
4exp(-0.1047*0.5) + 4exp(-0.1054*1) + 104exp(-1.5 * R) = 96
Отсюда R = 0.1068
Аналогично для следующего бонда
6exp(-0.1047*0.5) + 6exp(-0.1054*1) + 6exp(-1.5 * 0.1068)+106 exp(-2.0 * R) = 101.6
Отсюда R = 0.1081
Наконец последний
6exp(-0.1047*0.5) + 6exp(-0.1054*1) + 6exp(-1.5 * 0.1068)+106 exp(-2.0 * R) = 101.6
Дюрация. Важным понятием при работе с фьючерсами при их хеджировании является понятие дюрации.
Под дюрацией понимают меру того как долго в среднем держатель актива должен ожидать получениния выплат. Например, если инвестор имеет безкупонный бонд с матеростью n лет, то дюрация естественно составляет n. Однако, для купонного бонда это уже не так.
Для него дюрация будет меньше, чем n. Действительно, в момент времени 0 ,бонд гарантирует выплаты c(i) в моменты времени t(i). Цена бонда при доходности y (непрерывно начисляемой) будет
B = c(i)exp(-y*t(i)). (1)
Дюрация такого бонда определяется как
D = [t(i)c(i)exp(-y*t(i))]/B, (2)
что может быть переписано, как
D = t(i)[c(i)exp(-y*t(i))/B]
Член в квадратных скобках это отношение текущей величины выплат в момент t(i) к цене бонда B. Цена бонда это текущая стоимость всех выплат. Итак дюрация есть взвешенная сумма времен, когда делаются выплаты с весами соответствующими выплатам в момент t(i) поделенным на цену бонда.
Сумма весов естественно равняется 1. Теперь мы покажем, почему дюрация очень важна при хеджировании.
Из соотношения (1) имеем:
d B/dy = -c(i)t(i)exp(-y*t(i)), что
в силу (2)
d B/dy = -BD (3)
Если сделать небольшой параллельный сдвиг во временной структуре на y, то из соотношения (3) получим, что цена бонда изменится на B, где
B/ y = -BD (4)
или
B/ B =-Dy (5)
что означает, что процент изменения цены бонда равен его дюрации умноженной на размер параллельного сдвига.
Пример.
Рассмотрим пример 3 летнего бонда с номиналом 100$. Пусть его доходность составляет 12% в год с непрерывным начислением (y=0.12). Пусть каждые 6 месяцев выплачивается купон равный 5$, тогда необходимые для вычисления его дюрации члены поместим в таблице
| Time | Payment | Present Value | Weight | Time*Weight |
| 0.5 | 5 | 4.709 | 0.05 | 0.025 |
| 1 | 5 | 4.435 | 0.047 | 0.047 |
| 1.5 | 5 | 4.176 | 0.044 | 0.066 |
| 2.0 | 5 | 3.933 | 0.042 | 0.084 |
| 2.5 | 5 | 3.704 | 0.039 | 0.098 |
| 3.0 | 1.05 | 73.256 | 0.77 | 2.334 |
| Итого | 94.213 | 1.00 | 2.654 |
Из соотношения (4) получим
B = - 94.213 * 2.654 *y
B = - 250.04 *y
Если y=0.001 и y станет равным 0.121 и следовательно B = -0.25. Другими словами мы ожидаем, что цена бонда уменьшится и станет равным 94.213 0.25 = 93.963
Пересчитав цену бонда с доходностью 0.121, можно проверить, что именно столько и получится.
Дюрация портфеля представляет как взвешенную дюрацию бондов, входящих в портфель.
В случае, когда процент начисляется один раз в год, а не непрерывно можно показать, что
B =-BDy/(1+y) (5)
Стратегия хеджирования, основанная на дюрации
Расммотрим ситуацию, когда позиция в зависящем от доходности активе (например бонде) хеджируется с использованием фьючерса на доходность.
Пусть
F цена фьючерса на доходность
D(F) дюрация актива на который выписан фьючерс.
S - величина актива, который хеджируется
D(S) дюрация актива на который выписан фьючерс.
Предположим что изменение доходности составило y и оно является одинаковым для всех матеростей, т.е. произошел параллелный сдвиг временной структуры. Из соотношения (4) имеем
S = -SD(S) y
для фьючерса оно выглядит также
F = -FD(F) y
тогда количество контрактов, необходимых для хеджирования против такого увеличения составит
N = SD(S)/ FD(F)
Это соотношение называют duration-based hedge ratio или price sensitivity hedge ratio.
Пример.
20 мая инвестор знает, что получит 3.3 миллиона долларов 5 августа. И эти средства он собирается инвестировать в следующем феврале.
Поэтому как только он в августе их получит, то сразу из инвестиреут в 6 месячный Treasury Bills. Текущая доходность по 6 месячным Treasury Bills составляет 11.2% в год.
Инвестор считает, что за срок с 20 мая по 5 августа эта доходность может изменится. Цена фьючерса на сентябрьский T-Bill сейчас есть 89.44. В случае если доходности упадут, то компания потеряет деньги.
Страховка от этого должна принести положительный доход, чтобы компенсировать потери при уменьшении доходности. Это означает что требуется длинная позиция для страховки.
Так как за 3 месяца выплат не будет, то дюрация купленного сейчас T-Bill составляет также 3 месяца или 0.25 года. Дюрация 6 месячного T-Bill, также составляет 6 месяцев или 0.5 года.
Один фьючерсный контракт составляет 1 миллион долларов. При этом цена контракта составит
10000[100-0.25(100-89.44)] = 973600
тогда количество контрактов, которые стоит заключить для целей страховки составит
3300000/973600 * 0.5/0.25 = 6.78
т.е. 7 контрактов следует сейчас заключить, чтобы избежать потерь из-за возможного падения
доходности Treasury Bills.
Intersest Rate Derivative Securities
Это инструменты, выплаты по котором зависят от уровня доходности. В последнее время рынок таких финансовых производных развивается наиболее быстро.
Наиболее популярными являются опционы на Treasure Bond, Treasure Note фьючерсы и фьючерсы на Евродоллар. Очень популярными являются Swaptions ( опцион на своп)
Своп это соглашение между двумя компаниями по обмену выплатами в будущем согласно определенным правилам. Наиболее общим типом свопа является "play vanilla" своп на доходность.
В нем одна B сторона соглашается выплачивать другой стороне A выплаты в размере предопределенного фикированного рейта от номинала за несколько лет. В это же время другая сторона соглашается платить первой стороне плавающий рейт на тот же самый номинал и тот же период времени..
Свопцион дает держателю право вступления в определенный своп в некоторое определенное время в будущем.
Другим типом финансовых производных являются Кап (Caps) на рейт. Капы придуманы для того, чтобы застраховаться от того, что рейт превысит или упадет за определеннную границу (cap rate).
Механизм действия капа понятен из графика.
Предположим, что выплаты производятся в моменты времени ,2, ...... N
Тогда продавцу каждом k интервале времени предстоят выплаты в размере
* L max(R(k) R,0)
где R(k) величина доходности базового актива
R cape rate
L principal
.
Традиционно оценка стоимости таких финансовых инструментов начинается с построения временных структур, которые в свою очередь опираются на модели стохастического процесса для r- мгновенного рейта. Важно подчеркнуть, что это не процесс для r в реальном мире.
Как мы раньше уже отмечали цены бондов, опционы зависят только от r из риск нейтрального мира.
Риск нейтральным миром называют предположение в котором все инвесторы за очень короткий промежуток времени между t и t+t получат доход в среднем равный r(t) t.
Все процессы для r мы будем рассматривать в этом риск-нейтральном мире.
Несколько популярных моделей для временных структур развиты из предположения, что риск-нейтральный процесс для r имеет форму
dr = m(r)dt + s(r)dz (*)
Где снос m(r) и диффизия s(r) являются функциями от r.
Ранее мы получили результат, что величина финансовой производной будет
E[exp(-r(T-t))f(T)], (1)
Где r средняя величина r на интервале времени от t до T,
E символ математического ожидания относительно риск-нейтрального мира.
Обозначим через P(t,T) цену в момент времени t дисконтного бонда (бонд с нулевым купоном), который в момент времени T выплатит 1$. Тогда из формулы (1)
P(t,T) = E[exp(-r(T-t))], (2)
Если R(t,T) непрерывно начисляемая доходность в момент времени t по бонду с матеростью T-t, то
P(t,T) = exp(-R(t,T)(T-t))], (3)
И следовательно
R(t,T) = -1/(T-t) ln(P(t,T) (4)
Подставляя сюда формулу (2) получим
R(t,T) = -1/(T-t) ln(E[exp(-r(T-t))] ) (5)
Последняя формула и позволит получать временную структуру для доходностей R(t,T) из риск-нейтрального процесса для r .
Рассмотрим несколько конкретных моделей.
Модель Рендлемана-Барттера
Рендлеман и Барттер предложили наиболее простую модель изменения m(r) и s(r) в (*)/
Пусть
m(r) = M*r;
s(r) = S*r
Это означает, что r cледует процессу геометрического Броуновского движения с постоянным уровнем роста M , и постоянной волатильностью S.
Модель Васичека.
В ней
m(r) = а(b-r);
s(r) = ;
Риск нейтральный процесс для r в этой модели выглядит таким образом
dr = а(b-r)dt + dz (6)
Васичек решил уравнение (2) и получил аналитическое выражение для P(t,T)
P(t,T) = A(t,T)exp(-B(t,T)r)
Где
B(t,T) =[ 1-exp(-a(T-t))]/a
(B(t,T) T +t )(a^2b- ^2/2) ^2 B(t,T)^2
A(t,T) = exp[-------------------------------------- - -----------------------]
a^2 4 a
Модель Кокса, Ингерсолла и Росса Одним из недостатков модели Васичека являтся тот факт, что r может стать отрицательным. Этот момент был устранен в модели Кокса, Ингерсолла и Росса. В ней процесс для r выглядит следующим образом
dr = а(b-r)dt + Sqrt(r)dz
Как видно из этого выражения стандартное отклонение пропорционально sqrt(r)
Вид выражения для цены бонда такой же как и в модели Васичека
P(t,T) = A(t,T)exp(-B(t,T)r)
Однако, выражения для B(t,T) и А(t,T) имеют несколько более сложный тип чем в модели Васичека.
Эти же авторы нашли выражения и для цен Европейских опционов в этой модели.
Без-арбитражные модели
Важным недостатком моделей представленных ранее является тот факт, что в них автоматически не происходит подгонка сегодняшней временной структуры. И они не достаточно точно описывают ее. Причем ошибка может быть достаточно большой. Многие трейдеры поэтому считают эти модели неудовлетворительными.
Поэтому были разработаны специальные модели, которые достаточно точно аппроксимируют текущую временную структуру. Эти модели носят название безарбитражных.
Основные обозначения.
P(t,T) Цена дисконтного бонда в момент времени t, обещающего в момент времени Т вернуть 1$.
v(t,T) волатильность P(t,T)
F(t,T1,T2) форвардный рейт в момент времени t, при инвестиции между T1 и Т2
F(t,T) непрерывный форвардный рейт в момент времени t;
r(t) мгновенная безрисковая доходность,
z(t) Винеровский процесс.
По определению
F(t,T) = lim F(t,T,T+d) при d - 0
В качестве риск-нейтрального процесса для P(t,T) рассмотрим процесс
dP(t,T) = r(t) P(t,T)dt + v(t,T) P(t,T)dz(t) (1)
Форвардный рейт относительно дискаунт цены бонда равен
f(t,T1,T2) = [ln(P(t,T1))-ln(P(t,T2)] / (T2-T1) (2)
Из (1) следует, что
ln(P(t,T1) = [r(t) v(t,T1)^2/2] dt + v(t,T1) dz(t)
и
ln(P(t,T2) = [r(t) v(t,T2)^2/2] dt + v(t,T2) dz(t)
поэтому
v(t,T2)^2 v(t,T1)^2 v(t,T2) v(t,T1)
df(t,T1,T2) = -------------------------------- dt + ------------------------------------ dz(t) (3)
2(T2-T1) T2 T1
Из последнего выражения (3) следует, что риск нейтральный процесс для f зависит только от волатильности v(t,T)
Положим T1 = T и T2 = T1+T и, переходя в (3) к пределу при -0, получим,
что f(t,T1,T2) перейдет в F(t,T), коэффициент при dz(t) перейдет к пределу, который обозначим за vT(t,T)
и коэффициент при dt станет
0.5 d[v(t,T)^2] / dT = v(t,T)vT(t,T)
где vT обозначает частную производную по T.
Таким образом
DF(t,T) = v(t,T)vT(t,T) dt + vT(t,T)dz(t) (4)
Так как v(t,T) заданная функция то из последнего выражения и определяется F(t,T).
Также последнее выражение показывает, что существует тесная связь между сносом и стандартным отклонением для непрервных форвардных рейтов.
