d9e5a92d

Дойников А. Н. - Введение в анализ производных финансовых инструментов

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Основные понятия и термины

Производным финансовым инструментом называется финансовый инструмент величина или, например, стоимость которого зависит от другого, более базисного объекта финансового рынка. К производным инструментам относятся фьючерсы, опционы, форварды, свопы и их многочисленные варианты.

Форвард.

Форвардный контракт является наиболее простым производным инструментом. Это контракт на продажу или покупку какого-нибудь товара по определенной фиксированной цене в некоторый фиксированный момент времени в будущем. Он обычно заключается между двумя финансовыми институтами или между финансовым институтом и корпоративным клиентом.

Об участнике контракта, который согласился купить товар, говорят, что он занял длинную (long) позицию, а участник, согласившийся продать, короткую (short). Цена, по которой участники согласились произвести сделку, называется ценой открытия (delivery price). В момент заключения контракта цена открытия выбирается такой, что стоимость или величина форвардного контракта равнялась нулю.

Другими словами стоимость вхождения в контракт для обеих сторон равна нулю.
В будущем, по мере изменения цен на базовый товар, величина или стоимость контракта уже не будет равна нулю. Например, если цена товара повысится то, для участника, занявшего длинную позицию она становится положительной и, наоборот, отрицательной для занявшего короткую позицию.
Форвардная цена для определенного контракта определяется как цена открытия, при которой контракт имеет нулевую величину. В дальнейшем форвардная цена естественно меняется, а цена открытия естественно остается постоянной.

Выплаты по форвардному контракту.

Выплаты по длинной позиции форвардного контракта за единицу товара составляют Где К цена открытия и S(T) цена единицы товара в момент окончания контракта.

Выплаты по короткой позиции составят естественно

Фьючерсный контракт.

Это также контракт на продажу или покупку какого-нибудь товара по определенной фиксированной цене в некоторый фиксированный момент времени в будущем. Однако, в отличие от форвардного контракта, фьючерсные контракты торгуются на бирже. При этом биржа определяет конкретные требования к торгуемому товару стандартизирует его и определяет строго фиксированные сроки исполнения контрактов.

Это дает возможность того, что участники контракта могут друг друга и не знать. Биржа обеспечивает механизм передачи товара участнику, который занимал длинную позицию, и производит выплаты участнику, занимавшему короткую позицию.

Другим отличием фьючерсного контракта, является то, что участники не могут свободно выбирать дату истечения контракта.

Опционы.

Впервые эти финансовые инструменты появились на рынке в 1973 году, и в настоящее время являются наиболее популярными объектами торговли на рынке. Существует два основных типа опциона. Call option дает владельцу право купить определенный товар к определенной заранее дате по фиксированной цене. Put option дает владельцу право продать определенный товар к определенной заранее дате по фиксированной цене. Эта фиксированная цена носит специальное название exercise price или strike price.

Дата реализации контракта называется expiration date, или exercise date или maturity.
Американский опцион может быть реализован в произвольный день. Большинство торгуемых на рынке опционов именно американские.

Однако, более просты для анализа европейские опционы, когда реализация опциона возможна только в момент expiration date.
Основное отличие опционов от форвардов является то, что это именно право купить или продать, а не обязанность. В зависимости от состояния рынка обладатель опциона может и отказаться от реализации опциона.

Поэтому, за это право инвесторы должны платить. Пример. Инвестор покупает 100 call опционов на акции IBM cо страйком 140$ за акцию. Предположим, что текущая цена акции 138$, и expiration date равно 2 месяцам.

Пусть цена опциона равна 5$. Понятно, что если через два месяца стоимость акции будет меньше 140$, то реализовывать опцион не имеем смысла. При этом инвестор теряет свои начальные вложения в размере 500$. Если стоимость акции через два месяца станет равной 145$, то опцион стоит реализовать, то есть приобрести 100 акций по цене 140 и тут же их по этой же цене и продать.

Понятно, что в этом случае никаких потерь не будет. И, наконец, инвестор приобретший этот опцион будет в выигрыше от его реализации, когда цена акции превысит 145$.
Исходя из вышесказанного можно нарисовать график функции выплат для покупателя call опциона.


1 Аналогично рассуждая можно нарисовать график функции выплат для покупателя put опциона ( 2) со страйком 100$ и ценой опциона 4$. 2 В каждом контракте присутствует две стороны покупатель и продавец. Выше были определены функции выплат для покупателей call и put опциона.

Слушатель без труда нарисует функции выплат для продавцов этих опционов.
Подводим итог. Существуют четыре базовые позиции при торговле опционами:

  1. long call option
  2. long put option
  3. short call option
  4. short put option


Удобно характеризовать позицию в контракте как размер выплат инвестору в момент expiration Пусть S(T) цена акции в момент expiration, X страйк, тогда размер выплат для указанных выше типов опционов как функции от S(t) будут иметь соответственно следующий вид:

  1. max(S(T) - X,0)
  2. max(X S(T),0)
  3. min(X S(T),0)
  4. min(S(T) - X,0)

Типытрейдеров на рынке.

Трейдеров на рынке финансовых производных можно условно разделить на следующие три группы
Хеджеры. Эта группа трейдеров заинтересована в сокращению рисков с которыми они могут столкнуться на рынке.

Например, компания из USA знает, что ей необходимо произвести выплаты 1 000 000 фунтов стерлингов своему контрагенту из Великобритании через 90 дней. При этом они сталкиваются с определенным риском изменения курса фунта стерлинга относительно доллара США, которые может произойти за эти 3 месяца.

Во избежании этого риска компания занимает длинную позицию в форвардном контракте покупая 1 миллион фунтов стерлингов по той цене, которая сейчас сложилась на рынке 90 дневных форвардов для фунта стерлингов. Тем более это не требует производить конкретных выплат в момент заключения контракта, что высвобождает средства для вложения в какие либо другие рынки.
В качестве альтернативы форвардному контракту, компания может купить call опцион на поставку 1 миллиона фунтов по определенному обменному курсу. И затем реализует его или нет в зависимости от состояния рынка. Спекулянты. В отличие от хеджеров, которые страхуются от возможных неблагоприятных движений цен на базовый товар, спекулянты наоборот могут значительно выиграть от движений рынка в ту или иную сторону. При этом они практически никогда не доводят дело до конкретной поставки базового товара, так у них есть возможность всегда вступить в противоположный контракт, что избавит их от необходимости поставлять базовый товар.

Также рынок финансовых производных позволяет им вступать в контракты на поставку достаточно большого объема базового актива, не привлекая больших средств.
Арбитражеры. Третьей важной категорией трейдеров являются арбитражеры, которые постоянно находятся в поиске контрактов, которые могут принести гарантированную прибыль.

Некоторый дизбаланс цен на различные товары может возникнуть на разных рынках И как только они это обнаруживают, то немедленно вступают в такие контракты. Например, в какой-то момент времени акция IBM на Нью-Йоркской бирже стоит 172$, а в Лондоне 100 фунтов.

При этом обменный курс составляет 1.75 доллара за один фунт. Тогда покупка 100 акций в Нью-Йорке и одновременная продажа в Лондоне принесет гарантированный доход в 300 долларов без всякого риска 100*($1.75*100 172) = 300$ Именно наличие этой категории трейдеров приводит к тому, что дизбаланса цен на рынках практически не возникает. А если он и возникнет, то немедленно пропадет благодаря их действиям.

Цена форварда и фьючерса

Эта лекция посвящена выводу соотношения между ценой базового актива и форвардного или фьючерсного контракта. Нам для этого будет необходимо ввести некоторые предварительные понятия
1. Непрерывное начисление (continuous compounding). Предположим, что некоторое количество средств A инвестируется на срок n лет с ежегодной доходностью R. Тогда, если начисление дохода будет происходить один раз в год, то через n лет мы вернем
A(1+R)^n Если же начисление будет происходить m раз в год, то в итоге мы получим
A(1+R/m)^(mn)
Предел последнего выражения при стремлении m к бесконечности и называют непрерывным начислением. Таким образом при непрерывном начислении дохода через n лет мы вернем A*exp(Rn) Пусть R1 есть рейт при непрерыном начислении, а R2 эквивалентный ему рейт при начислении дохода m раз в год т.е.
A*exp(R1n) = A(1+R2/m)^(mn).
Тогда связь между R1 и R2 очевидно следующая R1 = m*ln(1+R2/m)
Или
R2 = m*(exp(R1/m 1) Последние два соотношения используются при переходе от непрерывного начисления к начислению m раз в год и наоборот.

Короткая продажа.

Это стратегия торговли, которая обеспечивает доход, когда цена актива падает и наоборот ведет к потерям, когда цена актива увеличивается. Для понимания механизма короткой продажи обратимся к такому примеру.
Предположим, что инвестор связывается со своим брокером с приказом по короткой продаже 500 акций. Брокер немедленно занимает 500 акций у другого клиента и продает их при открытии рынка обычным путем и оставляет средства от продажи на счету инвестора. Инвестор может попросить держать продажу до тех пор пока возможно. Естественно, что если цены на актив падают, то инвестор выигрывает и наоборот.

В случае повышения цен инвестор обязан возместить разницу в ценах по которым была произведена сделка и настоящей ценой актива.
Обозначения
T время окончания форвардного контракта ( в годах);
t текущее время (в годах);
S цена базового актива в момент времени t;
S(T) - цена базового актива в момент времени T неизвестная в момент времени t;
K цена открытия форвадного контракта;
f стоимость (величина) длинного форвардного контракта в момент времени t;
F форвардная цена в момент времени t;
r безрисковая доходность выраженная в годовых в момент времени t c непрерывным начислением при инвестировании на срок до времени T. Отметим, что f и F это различные величины. В момент заключения контракта f = 0, а F = K. По ходу времени обе величины меняются.
Форвардный контракт на актив, не обещающий владельцу доход. Проще всего величину форварда получить в случае, когда он выписан на актив, не обещающий гарантированный доход. Например, это без-дивидентная акция или без-купонная облигация. При отсутствии возможности арбитража, соотношение между ценой форварда F и ценой спота S, выражается следующей формулой:
F = S* exp(r(T-t))
Действительно, чтобы показать это, допустим, что F S* exp(r(T-t)). В этом случае инвестор занимает S долларов на время T-t под без рисковый рейт r , покупает на них базовый актив и занимает короткую позицию в форвардном контракте.

В момент времени T он получит чистый доход в размере F - S* exp(r(T-t)), что противоречит отсутствию арбитражной возможности. Обратно. Пусть F S* exp(r(T-t)), тогда инвестор может продать актив коротко, инвестировать деньги под без рисковый процент r и занять длинную позицию в форвардном контракте. В момент времени T он получит актив по цене F, закроет им короткую продажу и получит чистый доход в размере S* exp(r(T-t)) F. Пример. Рассмотрим форвардный контракт на бездивидентную акцию сроком на три месяца.

Пусть сейчас она стоит 40$ и безрисковая доходность r составляет 5% годовых. Итак, T-t = 0.25, r = 0.05 и S = 40. Поэтому
F = 40*exp(0.05*0.25) = 40.50 Для того, чтобы выражать наши аргументы более кратко и формально следует привыкать к доказательствам следующего вида.
Рассмотрим два портфеля: Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу базового актива плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))
Портфель Б: одна единица базового актива. В портфеле А деньги в размере Kexp(-r(T-t)) означают, что они вложены под безрисковый процент так, что к моменту времени T их там будет K и они будут использованы для покупки базового актива в момент T. Таким образом оба портфеля в момент T состоят из единицы базового актива, а следовательно они равны. Из этого следует, что они должны быть равны и в любой другой момент времени t. Если бы это было не так, то был бы возможен арбитраж. Отсюда следует, что f + Kexp(-r(T-t)) = S
или
f = S - Kexp(-r(T-t)) В момент заключения контракта форвардная цена равна цене открытия и выбирается так, чтобы величина контракта равнялась 0. Форвардная цена F, при которой величина f = 0 равна K. Поэтому
F = Sexp(r(T-t)). Форвардный контракт на актив, обеспечивающий владельцу заранее известный доход. Примером таких активов могут быть акции с известным размером дивидента или купонная облигация с определенным размером купона.
Обозначим за I тот фиксированный доход, который будет получен за время действия контракта
Докажем, что тогда при отсутствии арбитража
F =(S I)* exp(r(T-t)) (1) Для доказательства чуть изменим портфель B из предыдущего рассмотрения, а портфель А оставим без изменения.
Рассмотрим два портфеля: Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу базового актива плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))
Портфель Б: одна единица базового актива плюс занято денег в размере I под безрисковый процент r. Доход, полученный от актива будет использован для выплат по займу. И к моменту T оба портфеля опять будут равны. Но из-за условий отсутсвия арбитража они должны совпадать и в любой другой момент времени t. Таким образом f + Kexp(-r(T-t)) = S - I
или
f = S - I - Kexp(-r(T-t));
Форвардная цена F это та цена, которая делает f равным нулю, отсюда и получим (1) Форвардный контракт на актив, обеспечивающий владельцу известную дивидентную доходность. Примером могут служить акции размер дивидентов которых есть некоторый известный процент q от цены акции.
В этом случае в качестве портфеля Б следует взять портфель вида:
Портфель Б: exp(-q(T-t) от единицы актива , доход от которого реинвестируется в актив. Актив портфеля Б растет в результате выплачиваемых дивидентов и к моменту T станет в точности единицей актива, так же как и портфель A. Приравнивая их для произвольного момента времени, получаем: f + Kexp(-r(T-t)) = Sexp(-q(T-t))
или
f = S exp(-q(T-t)) - Kexp(-r(T-t)); Форвардная цена F это та цена, которая делает f равным нулю, отсюда и получим:
F =S exp((r-q)(T-t)) (2)
Правда следует отметить, что дивидентная доходность q может изменяться в ходе жизни контракта. Поэтому, для корректности выражения (2) q следует понимать как среднюю дивидентную доходность .
Коротко остановимся на других возможных контрактах.

Фьючерсы на индекс.


Индекс Акций показывает движение цен гипотетического портфеля акций. Веса с которыми акции входят в портфель могут быть одинаковыми, могут вычисляться по какому-либо правилу.

Обычно предполагается, что индекс не учитывает дивиденты по акциям входящих в портфель. Приведем наиболее известные мировые индексы.

  1. Standard Poors 500 (SP500). Торгуется на CME (Chicago Mercantile Exchange) и основан на портфеле 500 различных акций: 400 индустриальных компаний, 20 транспортных 40 финансовых и 40 компаний служб сервиса (вывоз мусора, водопровод, и т.п.) Веса при вхождении в портфель вычисляются как отношение капитализации этой компании к общей капитализации. Листинг охватывает 80% всех компаний торгуемых на бирже Нью-Йорка. Размер одного фьючерсного контракта равен 500 * индекс.

Nikkei 225. Основан на портфеле 225 акций крупнейших компаний торгуемых на Tokyo Stock Exchange.

Веса определяются в соответствии с ценами конкретной акции. Один фьючерсный контракт равен 5 * значение индекса.

  1. New York Stock Exchange Composite Index. Оценивается на основе всех акций торгуемых на этой бирже. Веса берутся по капитализации.
  2. The Major Market Index (MMI) основывается на портфеле 20 голубых фишек, торгуемых на NYSE. Этот индекс сильно коррелирует с Dow Jones Industrial Average, который также основывается на относительно небольшом количестве акций. Один фьючерсный контракт равен 500*индекс и торгуется на Chicago Board of Trade.

Индекс РТС. Индекс РТС является единственным официальным индикатором Российской Торговой Системы.

Индекс рассчитывается один раз в 30 минут в течение всей торговой сессии, начиная с 12:00 и заканчивая в 18:00. Значение индекса на 12:00 является значением открытия, на 18:00 значением закрытия. Индекс рассчитывается в двух значениях - валютном и рублевом.

Рублевые значения являются вспомогательными и рассчитываются на основе валютных значений. Индекс (валютное значение) на расчетное время (In) рассчитывается как отношение суммарной рыночной капитализации акций (MCn), включенных в список для расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации этих же акций на начальную дату (MC1), умноженное на значение индекса на начальную дату (I1):
В качестве поставляемого товара при истечении срока фьючерсного контракта на индекс являются деньги в размере суммы контракта, а не портфель входящих в индекс акций.
Если в портфель индекса входят акции, выплачивающие дивиденты, то при оценке цены фьючерсного контракта это следует учесть так же, как это мы делали в случае форвардных контрактов на актив, обеспечивающий владельцу известную дивидентную доходность q.
(См формула (2).

Форварды и фьючерсы на валюты.


Пусть S текущая цена в долларах единицы зареубежной валюты. Зарубежная валюта имеет свойство то, что ее держатель может ее положить в банк под безрисковый процент этой страны.

Обозначим его за rf, также будем считать, что это непрерывно начисляемая доходность. Рассмотрим 2 портфеля Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу валюты плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))
Портфель Б: Деньги в иностранной валюте в размере exp(-rf(T-t)) К моменту T мы получим одно и тоже количество в иностранной валюте равное ее единице. Опять считаем, что это выполняется и в любой момент времени, тогда
f + Kexp(-r(T-t)) = Sexp(-rf(T-t))
или
f = S exp(-rf(T-t)) - Kexp(-r(T-t)) Форвардная цена F это то, что обращает последнее выражение в ноль. Следовательно
F =S exp((r-rf)(T-t)) (3)
Заметим, что это одно и тоже, что и выражение (2) при замене rf на q.

Фьючерсы на товар. (золото, серебро, нефть)

В отличие от индексов и акций эти товары требуют вполне ощутимые средства на их хранение.
Без вывода приведем основные результаты.
Пусть U текущая стоимость хранения. Тогда
F =(S + U) exp(r(T-t)) (4)
Сравните это выражение с (1) .
Если затраты на хранение пропорциональны стоимости актива, то их можно выразить как отрицательную дивидентную доходность. Тогда
F =S exp((r+u)(T-t)) (5)
Где u стоимость хранения единицы товара за год. Сравните это выражение с (2) .

Цена фьючерса и ожидаемая цена спота


Часто задают вопрос. Является ли цена фьючерса на какой товар равной ожидаемой будущей ценой спота?

Или другими словами можно ли считать цену фьючерса некоторым достаточно правдоподобным прогнозом цены спота?
Конечно, несомненен тот факт, что при приближении времени окончания контракта фьючерс стремится к споту. Но речь здесь идет о том, когда время окончания контракта еще далеко и фиксировано. Обсудим это чуть позднее, когда ознакомимся с типами возникающих рисков Типы рисков. Исследователи законов ценообразования выделяют два основных типа возникающих здесь рисков: систематический и несистематический. Несистематический риск не очень интересен инвестору так как он может практически свести его на нет грамотной диверсификацией своего портфеля.

Систематический риск не может быть устранен диверсификацией, так как он возникает из-за корреляционных связей всего мирового рынка в целом.
В качестве примера рассмотрим спекулянта, имеющего длинную позицию в надежде, что цена актива в момент окончания контракта будет выше, чем цена фьючерса сейчас. Таким образом в момент времени t он должен зарезервировать денег в размере
-F exp(-r(T-t)), а в момент T он получит +S(T).
Текущая цена такого инвестирования есть
-F exp(-r(T-t)) + E[S(T)) exp(-k(T-t)],
где k ожидаемый предполагаемый инвестором от инвестирования выраженный в годовых доходностях. Предполагая, что арбитраж отсутствует получим: -F exp(-r(T-t)) + E[S(T)) exp(-k(T-t)] = 0 или
F = E[S(T)exp(r-k)(T-t)]
Величина k зависит от систематического риска. Если S(T) некоррелирует с уровнем рынка акций, то инвестирование несет нулевой систематический риск. В этом случае k=r и следовательно F = E(S(T)). Если корреляция S(T) и рынка акций в целом положительна, то kr и имеемся положительный риск и F E(S(T)).

Соответственно F E(S(T)), при kr и отрицательной корреляции.
Проверить , что же чаще всего бывает на самом деле можно только статистическим путем, проводя тщательный статистический анализ исторических данных. В частности по данным до 1999 года для SP500 такой анализ показывает, что чаще всего имеет место ситуация F E(S(T)). Таким образом в среднем цена фьючерсного контракти ниже чем ожидаемое значение стоимости актива в момент окончания. В данных 2000 2001 годов можно было наблюдать обратную картину.

Свойства цен опционов на акции


I.Основными факторами, влияющие на цены опционов на акции являются:

  1. Текущая цена акции
  2. Страйк
  3. Время до окончания контракта
  4. Волатильность цен акции
  5. Безрисковая доходность
  6. Дивиденты, ожидаемые в течении жизни опциона


II Предположения и обозначения.
Перед тем как получить соотношения между ценами опционов, сделаем необходимые предположения. Причем относительно вероятностного поведения пока предположений никаких делать не будем.

  1. Транзакции проводятся бесплатно.
  2. Все торговый доходы и потери имеют один и тот же рэйт.
  3. Свободно возможен заем и наоборот кредитование под безрисковую доходность.
  4. Участники рынка отслеживают и при первой возможности реализуют арбитражные операции.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения:
S Текущая цена акции
X страйк
T время окончания (expiration date)
t текущее время
S(T) - цена акции в момент окончания контракта
r безрисковая доходность
С цена Американского call опциона
P цена Американского put опциона
с цена Европейского call опциона
p цена Европейского put опциона Пусть также r 0

Верхняя и нижняя оценка стоимости опциона.

Верхняя граница. Так как Американский и Европейский call опцион дает право купить акцию по фиксированной цене, то естественно
C = S и с = S
Если это не так, то арбитражеры моментально бы этим воспользовались, покупая акции и продавая call опционы.
Аналогично Американский и Европейский put опцион дает право продать акцию по фиксированной цене, следовательно: P = X и p = X
Для Европейского опциона последнее выражение можно усилить, а именно



Содержание раздела