Учет сезонных колебаний при прогнозировании
Многие показатели, используемые в процессе логистического планирования, имеют ярко выраженные сезонные колебания, которые вызваны специфическими условиями колебания спроса и производства. Эти колебания могут быть обусловлены сезонным характером производства, например, сельскохозяйственной продукции, влиянием времен года на состояние транспортных коммуникаций (автомобильных дорог, морских и речных путей) и другими причинами.
В связи с этим возникают специфические задачи учета этих колебаний в прогнозируемых логистических показателях.
Существуют следующие методы прогнозирования с учетом сезонности: методы на основе рядов Фурье; модели авторегрессии, которые учитывают взаимосвязь между членами динамического ряда; модели, основанные на корреляционно-регрессионном анализе; модели, основанные на анализе временных рядов. Подробнее остановимся на последнем методе [7].
Связь между наблюдениями за какой-либо месяц некоторого года и наблюдениями за этот же месяц предыдущего года можно описать моделью вида
ф(Bs)
| d |
| s |
где S = 12, = 1 - Bs; ф(Bs); Q(Bs) - полиномы соответственно степеней р и q, удовлетворяющие условиям стационарности и обратимости.
Связь между ошибками t, t - 1 можно описать моделью
J(B)
| d |
| t |
где t - белый шум.
J(B) и О(В) - полиномы В степеней р и q соответственно, удовлетворяющие условиям стандартности и обратимости = 1 = 1 - В.
Подставляя (14.60) в (14.59), получим окончательно общую мультипликативную модель порядка
(p, d, q) (P, D, Q);
J(B)фn(Bs)d
| D |
| s |
Рассмотрим детальнее частный случай общей модели сезонных рядов, описываемых стохастической моделью (0,1,1) (0,1,1) применительно к данным примера (табл. 14.6).
Пусть связь между z, разделенными интервалом времени в 12 месяцев, описывается моделью процесса скользящего среднего
12Zt = (1 - B12)t. (14.62)
Примем, что ошибки, отстоящие на один месяц, описываются моделью
t = (1 - ОВ)t. (14.63)
Комбинируя эти выражения, получим мультипликативную модель сезонного ряда порядка (0,1,1) (0,1,1):
12Zt = (1 - OB)(1 - B12)t. (14.64)
Таблица 14.6
Динамические ряды объемов продаж (млн. усл. ед.)
| Месяц/ год | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 1990 | 5,87 | 5,84 | 5,99 | 5,96 | 6,00 | 6,01 | 6,04 | 6,04 | 5,98 | 5,99 | 5,98 | 5,99 |
| 1991 | 5,99 | 5,95 | 6,10 | 6,04 | 6,07 | 6,06 | 6,11 | 6,11 | 6,04 | 6,08 | 6,05 | 6,07 |
| 1992 | 6,02 | 6,05 | 6,19 | 6,13 | 6,16 | 6,18 | 6,18 | 6,19 | 6,25 | 6,15 | 6,13 | 6,14 |
| 1993 | 6,13 | 6,10 | 6,25 | 6,20 | 6,30 | 6,25 | 6,25 | 6,25 | 6,20 | 6,20 | 6,19 | 6,19 |
| 1994 | 6,21 | 6,16 | 6,29 | 6,25 | 6,28 | 6,30 | 6,29 | 6,29 | 6,25 | 6,25 | 6,24 | 6,25 |
zt - zt - 1 - zt - 12 - zt - 13 = t - Ot - 1 - t - 12 + O t - 13. (14.65)
При анализе временных рядов и выборе модели прогноза рассматривают не только исходный ряд zt (t = l, 2,..., N), но и преобразованные ряды, получаемые из исходного в результате применения разностного оператора со сдвигом назад :
zt = zt - zt - 1, (14.66)
где t = 2, 3, ..., N (N - общее количество значений исходного ряда zt)
Более общий оператор сдвига назад с шагом s имеет вид:
szt = zt - zt - s; t = s + l, s + 2, ..., N. (14.67)
Отсюда при шаге s, равном 12 (например, 12 месяцев), получаем
12zt = zt - zt - 12 , t = 13, 14, ..., N. (14.68)
Аналогично:
2zt = zt - zt - 1, (14.69)
mzt = m - 1zt - m - 1zt - 1, (14.70)
При прогнозировании временных рядов, обнаруживающих сезонные колебания, (например, по месяцам в течение года) и описываемых мультипликативной моделью вида (14.61), особо важное значение имеет оператор сдвига назад вида
12zt = zt - zt - 12, (14.71)
т.е. к исходному ряду применяется оператор сдвига назад , а к преобразованному ряду zt- оператор сдвига с шагом s = 12 (количество месяцев в году).
Для исходного ряда, приведенного в табл. 14.6, преобразованные ряды представлены в табл.
14.7.
Естественно, количество значений в преобразованном ряду при однократном применении оператора сдвига назад на 1 меньше, чем в исходном, а в случае m-кратного применения оператора сдвига назад к ряду z, преобразованный ряд mzt содержит (N - m) значений.
Мультипликативная модель для временного ряда, образующего сезонные колебания с периодичностью, равной 12 месяцам, имеет вид
zt + l = zt - 1 + l + zt - 12 + l - zt - 13 + l - Ot - 1 + l - t - 12 + l + t - 13 + l + t + 1; l = 1, 2, ... L, (14.72)
Таблица 14.7
Преобразованные ряды zt; 2zt; 12zt, 12(zt),полученные и из исходного ряда Z, (табл. 14.6)
| 1. zt = zt - zt - 1 | ||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 1990 | - | -0,03 | 0,15 | -0,03 | 0,04 | 0,01 | 0,03 | 0,0 | -0,06 | 0,01 | -0,01 | 0,01 |
| 1991 | 0,0 | -0,04 | 0,15 | -0,06 | 0,03 | -0,01 | 0,05 | 0,0 | -0,07 | 0,04 | -0,03 | 0,02 |
| 1992 | -0,05 | -0,03 | 0,14 | -0,66 | 0,03 | 0,02 | 0,0 | 0,01 | 0,06 | -0,1 | -0,02 | 0,01 |
| 1993 | -0,01 | -0,03 | 0,15 | -0,05 | 0,03 | 0,02 | 0,0 | 0,0 | -0,05 | 0,0 | -0,01 | 0,0 |
| 1994 | 0,02 | -0,05 | 0,13 | -0,04 | 0,03 | 0,02 | -0,01 | 0,0 | -0,04 | 0,0 | -0,01 | 0,01 |
| 2. 2zt = zt - zt - 1 | ||||||||||||
| 1990 | - | - | 0,18 | -0,18 | 0,07 | -0,03 | 0,02 | -0,03 | -0,06 | 0,07 | -0,02 | 0,02 |
| 1991 | -0,01 | -0,04 | 0,19 | -0,21 | 0,09- | -0,04 | 0,06 | -0,05 | -0,07 | 0,11 | -0,07 | 0,05 |
| 1992 | -0,07 | 0,08 | 0,11 | -0,20 | 0,09 | -0,01 | -0,02 | 0,01 | 0,05 | -0,16 | 0,08 | 0,03 |
| 1993 | -0,02 | -0,02 | 0,18 | -0,20 | 0,08 | 0,001 | -0,02 | 0,0 | -0,05 | 0,05 | -0,01 | 0,01 |
| 1994 | 0.02 | -0.07 | 0.18 | -0.17 | 0.07 | -0.01 | -0.03 | 0.01 | -0,04 | 0.04 | -0.01 | 0.02 |
| 3. 12zt = zt - zt - 12 | ||||||||||||
| 1990 | _ | _ | _ | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1991 | 0,12 | 0,11 | 0,11 | 0,08 | 0,07 | 0,05 | 0,07 | 0,07 | 0,06 | 0,09 | 0,07 | 0,08 |
| 1992 | 0,03 | 0,10 | 0,09 | 0,09 | 0,09 | 0,12 | 0,07 | 0,08 | 0,21 | 0,07 | 0,08 | 0,07 |
| 1993 | 0,11 | 0,05' | 0,06 | 0,07 | 0,07 | 0,07 | 0,07 | 0,06 | -0,05 | 0,05 | 0,06 | 0,05 |
| 1994 | 0.08 | 0.06 | 0,04 | 0.05 | 0.05 | 0.05 | 0,05 | 0.04 | 0,05 | 0,05 | 0,05 | 0,06 |
| 4. 12(zt) = zt - zt - 1 | ||||||||||||
| 1990 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1991 | - | -0,01 | 0 | -0,03 | -0,01 | -0.02 | 0,02 | 0 | -0,01 | 0,03 | -0,02 | 0,01 |
| 1992 | -0,05 | 0,07 | -0,01 | 0 | 0 | 0,03 | -0,05 | 0,01 | 0,13 | -0,14 | 0,01 | -0,01 |
| 1993 | 0,04 | -0,06 | 0,01 | 0,01 | 0 | 0 | 0 | -0,01 | -0,11 | 0,10 | 0,01 | -0,01 |
| 1994 | 0,03 | -0,02 | -0,02 | 0,01 | 0 | 0 | -0,01 | 0 | 0,01 | 0 | 0 | 0,01 |
p>
Расчет прогноза состоит из следующих этапов:
1 ) по исходному ряду zt определяют преобразованный ряд zt с использованием оператора сдвига назад (14.66);
2 ) по преобразованному ряду zt, применяя оператор сдвига назад (14.71) с шагом s = 12, определяют вторично преобразованный ряд 12zt;
3) для преобразованного ряда уt = z12zt вычисляют нормированную автокорреляционную функцию для интервалов времени (задержки) k = l, k = 12:
r1 =
|
|||
|
r12 =
|
|||
|
где y =
| 1 |
| N |
| N |
| t = 1 |
4) вычисляются параметры О и мультипликативной модели (14.61)
O =
| - 1 |
| 2r1 |
| 1 | ||
4r
|
=
| - 1 |
| 2r12 |
| 1 | ||
4r
|
причем -1 1 и -1 О 1.
5) определяют прогноз для всех 12 месяцев последнего года исходного ряда z,:
zt - 12 + l = zt - 13 + l + zt - 24 + l - zt - 25 + l, (14.77)
l = 1, 2, ..., 12.
Одновременно вычисляют ошибки между фактическими значениями z
| * |
| t - 12 + l |
t - 12 + l = zt - 12 + l + z
| * |
| t - 12 + l |
Для прогнозируемых значений принимают at =0. Не трудно заметить, что формула (14.77) аналогична (14.72) при нулевых значениях q, О и t;
6) вычисляют месячные значения прогноза по модели (14.72) для прогнозируемого периода (в нашем случае - равного 1 году, что соответствует 12 месяцам, т.е. 1 = 1, 2, ..., 12).
Рассчитаем значения прогноза на 12 месяцев для исходного ряда z,, представленного в табл. 14.6.
Применяя оператор сдвига назад и 12zt к исходному ряду zt; вычислим по формулам (14.76), (14.71) преобразованные ряды zt и 12zt и занесем их в табл. 14.7 под номерами 1и 4. Затем для преобразованного ряда 12zt вычислим нормированные автокорреляционные функции r1 и r12 по формулам (14.73), (14.74):
y =
| - 0,01 + 0 - 0,03 - ... + 0 + 0,01 |
| 47 |
r1 =
| (- 0,01 - 0)(0 - 0) + (- 0 - 0)(- 0,03 - 0) + (- 0,03 - 0)(- 0,01 - 0) + ... |
| (- 0,01- 0)2 + (0 - 0)2 + ... + (0 - 0)2 + (0,01 - 0)2 |
r12 =
| (-0,01 - 0)(0,07 - 0) + (0 - 0)(-0,01 - 0)+.. .+(-0,01 - 0)(0,01 - 0) |
| (- 0,01 - 0)2 + (0 - 0)2 + ... + (0,01 - 0)2 |
Определим параметры О и ;
O =
| 1 |
| 2(- 0,484) |
| 1 |
| 4(- 0,484)2 |
=
| 1 |
| 2(- 0,513) |
| 1 |
| 4(- 0,513)2 |
Для удобства дальнейших вычислений выпишем 25 последних значений исходного ряда в табл. 14.8.
Используя формулы (14.77), (14.78), вычислим прогноз для 12 последних значений (1 = 1, 2, ..., 12) исходного ряда zt (t = l, 2, ..., 60) и их ошибки (табл. 14.8, строки 3,4).
Для 1=1
z
| * |
| t - 12 + l |
| * |
| 60 - 12 + l |
z
| * |
| 49 |
12 + l = 49 = z49 + z[ZEBR_TAG_table border=1 * 49 = 6,21 - 6,18 = 0,03 .
Для 1 = 2
z
| * |
| 50 |
Для 1 = 12
z
| * |
| 60 |
Вычислим окончательные прогнозные значения на 12 месяцев
вперед, используя формулу (14.72) и принимая t + 1 = 0.
Для прогнозируемого периода 1 = 1;
zt + 1 = z61 z60 + z49 - z48 - 0,78a60 - 0,97a49 + 0,78 0,97a48 = 6,25 + 6,21 - 6,19 - 0,78 0,01 - 0,97 0,03 + 0,78 0,97 0 = 6,23.
Аналогично для 1 = 2, 3, ..., 12 вычислим z62, z63, ..., z72. Результаты занесем в табл.
14.8 (строка 5) и построим по ним график ( 14.7). использования предположения в наличии статистической связи.
