Прогнозирование технико-экономических показателей ЛС методами экстраполяции
Прогнозирование с помощью экстраполяции основано на переносе событий и тенденций (например, в изменении спроса, объемов выпуска продукции и объемов продаж), имевших место в прошлом, на будущее. Методы экстраполяции в логистике применяются для так называемых эволюционных (медленно меняющихся) событий. Если прогнозируемые события, процессы и показатели могут в будущем изменяться скачками, иметь разрывы во времени и т.п. (так называемые революционные процессы), то применять методы экстраполяции нельзя.
В то же время методы экстраполяции накладывают определенные ограничения на исходную информацию (по количеству данных, длине динамических рядов и т.д.). Применение методов экстраполяции оправдано для кратко- и среднесрочных прогнозов тех показателей ЛС, для которых в будущем не предвидится существенных качественных изменений и скачков.
Из существующих методов экстраполяции более подробно остановимся на методе экстраполяции динамических рядов, т.е. когда исходная информация представлена в виде динамического (временного) ряда у = y(t).
Прогнозирование на основе экстраполяции динамического ряда одной переменной включает следующие этапы [160]:
- 1 ) приведение исходной информации к виду, удобному для последующей обработки (сглаживание и выравнивание ретроспективного ряда);
- 2 ) выбор вида функции (аппроксимирующей зависимости для прогнозной экстраполяции);
- 3 ) оценивание параметров аппроксимирующей зависимости;
- 4 ) расчет прогнозных значений исследуемого показателя;
- 5 ) оценка точности прогноза и расчет доверительных интервалов.
Общая блок-схема прогнозирования методом экстраполяции динамического ряда приведена на 14.5.
Как показывает опыт, при разработке прогнозных моделей на основе экстраполяции большое значение имеет способ представления исходных данных (ретроспективной информации) и процедуры их предварительной обработки.
К основным способам предварительной обработки исходной информации относятся сглаживание и выравнивание динамического ряда.
Сглаживание применяется для устранения случайных отклонений (шума) из экспериментальных значений исходного ряда. Сглаживание производится с помощью многочленов, приближающих (обычно по методу наименьших квадратов) группы опытных точек.
Наилучшее сглаживание получается для средних точек группы, поэтому желательно выбирать нечетное количество точек в сглаживаемой группе. Обычно их выбирают 3 или 5. Сами группы точек берут скользящими по ретроспективному ряду.
Например, по первым трем точкам (y1, y2, y3) сглаживают среднюю - у2, затем по следующей тройке (у2, y3, y4) сглаживают у3 и т.д. Крайние точки сглаживают по специальным формулам.
Чаще всего для сглаживания применяют линейную зависимость. Тогда формулы сглаживания для групп из трех точек имеют вид:
0 = 1/3(y-1 + y0 + y1); (14.2)
-1 = 1/6(5y-1 + 2y0 - y1); (14.3)
+1 = 1/6(- y-1 + 2y0 + 5y+1); (14.4)
Общая схема прогнозирования по методу экстраполяции динамического ряда
где у0, 0 - значение исходной и сглаженной функции в средней точке группы;
- у-1, -1, - значения исходной и сглаженной функции в левой точке группы;
- y+1, +1 - значения исходной и сглаженной функции в правой точке группы.
Формулы (14.3), (14.4) применяются для сглаживания крайних точек ряда. Для сглаживания по 5 точкам формулы имеют вид:
0 = 1/5(y-2 + y-1 + y0 + y+1 + y+2); (14.5)
-1 = 1/10 (4y-2 + 3y-1 + 2y0 + y1); (14.6)
+1 = 1/10 (y-1 + 2y0 + 3y+1 + 4y+2) (14.7)
-2 = 1/5 (3y-2 + 2y0 + y+1 + y+2) (14.8)
+2 = 1/5 (-y-2 + y0 + 2y+1 + 3y+2). (14.9)
Рассмотрим пример применения процедуры сглаживания скользящим средним исходного динамического ряда объема продаж ГП фирмы за год. На 14.6. представлен исходный динамический
ряду(1) в тысячах условных единиц объема продаж. Применим к нему процедуру сглаживания совокупностью из трех точек, используя формулы (14.2)-(14.4).
Сглаженный динамический ряд у(t) представлен на графике 14.6 (отмечен х) и в таблице 14.2.
Сглаженный динамический ряд (t) может быть применен для получения прогноза простым продолжением (проекцией тренда) на период прогноза. Для нашего примера прогноз * объема продаж на первый месяц следующего года будет равен 74.9 тыс. усл. единиц.
Сглаживание (даже в простом линейном варианте) является во многих случаях эффективным средством выявления тренда при наличии в экспериментальных точках случайных помех и ошибок измерения. Использование для сглаживания нелинейных зависимостей требует применение сложных и громоздких формул и выполняется обычно с помощью специальных программ на компьютерах.
Выравнивание применяется для более удобного представления исходного ряда без изменения его числовых значений. Выравниванием называется приведение исходной эмпирической формулы
Пример сглаживания динамического ряда скользящим средним
Таблица 14.2
Пример сглаживания динамического ряда
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| (t) | 33,8 | 33,3 | 36,3 | 41,3 | 43,7 | 45,7 | 49,7 | 57,3 | 58,3 | 59,7 | 61,7 | 70,2 |
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| yt | 36 | 29 | 35 | 45 | 44 | 42 | 51 | 56 | 65 | 54 | 60 | 71 |
где t - время, a, b - параметры
к виду Y = а1Т + b1. (14.11)
Использование двухпараметрической зависимости (14.10) объясняется ее наибольшим распространением в практике прогнозирования
и сравнительно простыми способами получения выравниваемых формул. Функции с большим (чем 2) числом параметров выравниваются не всегда, и формулы имеют громоздкий вид.
Наиболее распространенными способами выравнивания являются логарифмирование и замена переменных.
Примеры:
1) Исходная функция у = atb.
Логарифмируя, получим lg у = lg a + b lg t, вводя замену переменных имеем, Т = lg t; Y = lg y; Y = al T + bl , где a1 = b; b1 = lg a.
Перестроив исходные данные точки (на логарифмической бумаге), получим линейную зависимость, с которой легче работать и определять коэффициенты. Затем нужно пересчитать результаты по формулам, обратным исходному преобразованию.
2 ) Исходная функция у = аеbt ,
выравнивание lg y = lg a + b lg et;
заменяя lg y = y*, lg a = b, ;b lg e = а,
получим у* = b1 + a1t
3)
| (a) | (b) | ||||
y =
|
y =
|
выравнивание: Y =
| 1 |
| y |
| 1 |
| t |
| 1 |
| y |
| a |
| T |
| 1 |
| T |
| 1 |
| a + be-t |
выравнивание: Y =
| 1 |
| y |
В процессе сглаживания исходного динамического ряда и его выравнивания уже определяется вид функции, описывающей исходный процесс, и даже иногда определяются параметры этой функции.
Однако для окончательного решения о выборе вида функции для прогнозирования по методу экстраполяции необходимо дополнить анализ гипотезами о развитии процесса в будущем. На этом этапе должны быть решены следующие вопросы:
- 1 ) является ли исследуемый показатель величиной монотонно возрастающей (убывающей), стабильной периодической, имеющей один или несколько экстремумов;
- 2 ) ограничен ли исследуемый показатель сверху или снизу каким-либо пределом;
- 3 ) имеет ли функция, определяющая процесс, точку перегиба;
- 4 ) обладает ли анализируемая функция свойством симметричности;
- 5 ) имеет ли процесс четкое ограничение развития во времени.
Перейдем к рассмотрению тех функций, которые предпочтительно использовать в прогнозной экстраполяции.
В качестве аппроксимирующих функций чаще всего используются различные полиномы с ограничением числа членов (степени полинома). Это:
степенной полином
y(t) = a0 +
| n |
| i = 1 |
y(t) = exp [ a +
| n |
| i = 1 |
y(t) = a0 +
| n |
| i = 1 |
| 1 |
| aiti |
t - время ;
а0, а1, ..., аn - параметры (коэффициенты) подлежащие определению.
Опыт применения аппроксимирующих функций для целей прогнозирования показывает, что наиболее простым (математически) и чаще всего используемыми являются следующие функции:
- 1) линейная y(t) = a + bt; (14.15)
- 2) парабола y(t) = а + bt + ct2 ; (14.16)
(с 0 - функция роста, с 0 - экстремальная функция)
- 3) степенная y(t) = atb ; (14.17)
- 4) экспоненциальная y(t) = aebt = a exp(bt); (14.18)
- 5) модифицированная экспонента у = k - ae-bt; (14.19)
- 6) гиперболическая (t) = a +
b c + t - 7) логистическая кривая y(t) =
d a + be-ct
где a, b, c, d - параметры.
В практике экономического прогнозирования часто при выборе вида аппроксимирующей функции прибегают к графическому способу подбора по виду расположения точек временного ряда на плоскости yot. Если по графику подобрать кривую (функцию) трудно, иногда прибегают к анализу производных от соответствующих видов функций аппроксимации (или разностей D1, D2, D3, ...) соответствующего порядка.
Наиболее подходящей функцией для прогноза по методу экстраполяции будет та, арифметическая средняя для разностного ряда которого будет равна нулю или близка к нулю (по абсолютной величине). В табл.
14.3 приведены производные от некоторых часто встречающихся функций аппроксимации.
Таблица 14.3
Производные функций аппроксимации
| y(t) |
|
|
|
||||||
| у = а + bt | b | 0 | 0 | ||||||
| y = atb | abtb - 1 | ab(b -l)tb - 2 | ab(b - l)(b -2)tb - 3 | ||||||
| y = abl | abt ln b | abt(ln b)3 | abt(ln b)3 | ||||||
| у = а + bt + ct2 | b + 2ct | 2c | 0 | ||||||
| у = a + dt + ct2 + dt3 | b + 2ct + 3dt2 | 2c + 6dt | 6d |
Оценивание параметров аппроксимирующей зависимости
После выбора необходимого количества аппроксимирующих зависимостей (обычно не более трех), необходимо определить их параметры.
Нас в первую очередь интересуют такие значения параметров, которые давали бы в некотором смысле оптимальную аппроксимацию.
В качестве критерия оптимальности обычно используют ту или иную меру отклонения точек эмпирического ряда от аппроксимирующей функции/Каждому критерию оптимальности соответствует свой способ определения (оценки) параметров аппроксимирующей функции.
Например, в методе средних в качестве критерия оптимальности оценок параметров используется сумма вида:
S =
| n |
| i = 1 |
На практике наибольшее распространение для оценки параметров функций аппроксимации получил метод наименьший квадратов (МНК). Достоинством метода является простота, универсальность, хорошее сглаживание случайных отклонений при описании тренда.
Он позволяет получить несмещенные и состоятельные оценки всех параметров, а при линейном тренде, и эффективные оценки.
Критерий оптимальности для МНК имеет вид:
а) в случае равной точности измерений.
S =
| n |
| i = 1 |
S =
| n |
| i = 1 |
| wi |
| wi + 1 |
|
||
|
| 2 |
| i |
| n |
| i = 1 |
