Классическая модель расчета параметров заказа - EOQ модель
Рассмотрим одну из классических и наиболее распространенных на практике оптимизационных моделей управления запасами - модель экономичного размера заказа (Economic order quantity - EOQ). Эта модель предполагает следующие допущения:
- спрос (расход) является непрерывным, а интенсивность спроса = const;
- период между двумя смежными заказами (поставками) постоянен (c3 = сп = const);
- спрос удовлетворяется полностью и мгновенно;
- транзитный и страховой запасы отсутствуют;
- емкость склада не ограничена;
- затраты на выполнение заказа (сo) и цена поставляемой продукции в течение планового периода постоянные;
- затраты на поддержание запаса единицы продукции в течение единицы времени постоянные и равны ch.
Критерием оптимизации размера заказа на пополнение запасов в данной модели является минимум общих затрат на выполнение заказов и поддержание запаса (МР, ГП) на складе в течение планового периода (например, года). Составляющие суммарных затрат по-разному зависят от размера заказа (величины партии поставки), что отражено на графиках ( 9.5).
Затраты на выполнение заказа возрастают прямо пропорционально размеру заказа, а затраты на поддержание запаса с увеличением его размера падают, как это отражено на графиках. Суммарные годовые затраты (c
| r |
Определим суммарные годовые затраты управления запасами (c
| r |
С
| r |
| o |
Затраты на поддержание запасов на складе в течение года можно определить по формуле
C
| r |
| h |
где Q - средняя величина запаса, поддерживаемая на складе, ед. Затраты ch могут быть выражены в долях (или процентах) от стоимости единицы продукции, тогда
C
| r |
| h |
где с - цена единицы продукции, хранимой на складе, ден. ед.;
i - доля от цены, приходящаяся на затраты по поддержанию запасов.
Средняя величина запаса Q при указанных выше допущениях будет равна 1/2 q ( 9.6).
Тогда для суммарных годовых затрат управления запасами получим
C
| r |
| r |
| o |
| r |
| h |
сo D/q2 + с j/2 = 0. (9.5) [ZEBR_TAG_br Решая уравнение (9.5) относительно q, получим:
q* = 2D co/ic = EOQ. (9.6)
В оригинале формула для экономичного размера заказа (EOQ) была получена Ф.У. Харрисом в 1913 г. [220].
Однако в теории управления запасами она больше известна как формула Уилсона.
Оптимальное время между двумя заказами tсз* и количество заказов за год N* будут соответственно равны
tсз* = q*/D, лет; (9.7)
N*= D/q*. (9.8)
Таблица 9.2
Исходные данные для примера 1
| Параметры | D,ед. | сo, ден. ед. | i, | с, ден. ед. |
| Величина | 1200 | 60,8 | 22,0 | 29,3 |
Исходные данные для расчета EOQ сведены в табл. 9.2.
Для определения EOQ используем формулу (9.6):
EOQ = q* = 2 1200 60,8/0,22 29,3 = 150,46 ед. 151 ед.
Таким образом оптимальная величина заказа (партии поставки) будет равна 151 единице продукции. Оптимальное время между двумя смежными заказами (9.7) будет равно:
сз* = 150,46/1200 = 0,125383(3) года
или в неделях
сз* = 0,125383(3) 52 = 6,5 недель.
По формуле (9.8) определяем оптимальное количество заказов за год
N* = 1200/150,46 8 заказов.
Важную роль в теории управления запасами, в частности в классической модели EOQ, играет определение момента заказа (t3) или точки заказа/перезаказа (Reorder point - ROP), т. е. достижение при расходовании запаса со склада такого уровня (Q3), когда необходимо делать заказ..
Точка заказа может быть определена для классической модели с использованием параметра X интенсивности спроса по формуле
ROP = Q3 = зн. (9.9)
Величина времени запаздывания поставки (t3н) в логистическом менеджменте запасов соответствует ведущему времени выполнения цикла заказа (Order cycle lead time).
Если в условиях предыдущего примера предположить, что зн = 1,5 недели, и учитывая, что = D/52, получим
ROP = Q3 = 1200 1,5/52 = 34,61 35 ед.
Таким образом мы должны подавать заказ на пополнение запаса, когда уровень запаса на складе снизится до 35 единиц товара.
График, иллюстрирующий расчетные параметры EOQ модели, приведен на 9.7.
Необходимо отметить, что EOQ модель мало чувствительна в определенных пределах к ошибкам в исходной информации или неточности прогнозирования спроса. Это объясняется пологим характером (малой кривизной) графика общих затрат в области оптимального размера заказа.
Например, если ошибка прогнозирования спроса составляет 10, то изменение q* составит только 1,1 4,9. Если предположить, что затраты на поддержание запасов рассчитаны
с 20-й погрешностью в сторону уменьшения, то q* изменится только на 1/ (1 - 0,2) - 11,8.
В некоторых случаях нельзя пренебрегать временем пополнения запаса от момента tн начала поставки, в течение которого производится определенный объем продукции. В этом случае базовая EOQ модель преобразуется в так называемую модель производственного размера заказа (Production order quantity - POQ), для которой оптимальный размер заказа определяется по формуле
qp* = 2D co / c I
| p |
| p - |
где р - интенсивность производства (объем выпуска продукции в единицу времени).
Пример 2.
Предположим в условиях рассмотренного выше примера, что интенсивность производства составляет 65 единиц в неделю.
Тогда производственный размер заказа будет равен
POQ = qp* = 2 l200 60,8 / 0,22 29,3 65 / (65 - 23) = 188 ед.
Точка заказа при этом останется неизменной, т.е. ROP = 35 ед.
График, характеризующий описанную выше ситуацию, приведен на 9.8.
затраты, связанные с запасом в пути; н - время в пути; [ZEBR_TAG_br Qi - средняя величина запаса в пути.
Тогда среднюю величину запаса в пути можно определить по формуле
Оi = н / с3 q. (9.11)
С учетом приведенных выше обозначений и формулы (9.11) суммарные затраты управления запасами будут равны
C' = co D/q + c i q/2 + ci н / c3 . (9.12)
Если по аналогии с затратами Ch представить затраты Сi в долях (j) от цены единицы товара, то формула (9.12) примет вид
C' = co D/q + c i q/2 + tн / tcз c j q. (9.13)
время доставки заказа по железной дороге равно 1,4 недели, а автомобильным транспортом 1,0 неделя; - тарифы за единицу груза равны: железной дорогой 0,6 ден. ед.; автомобильным транспортом 0,9 ден. ед.[ZEBR_TAG_br Предположим, что затраты С1 составляют j = 10 в цене товара. Рассчитаем затраты по двум вариантам транспортировки по формуле (9.13):
- железной дорогой
C' = 60,8 1200/151 + 29,3 0,22 151/2 + 1,4/6,5 29,3 0,1 151 = 1065 ден. ед.
- автомобильным транспортом
C' = 60,8 1200/151 + 29,3 0,22 151/2 + 1,0/6,5 29,3 0,1 151 = 1038 ден. ед.
Рассчитаем общие годовые затраты, связанные с управлением запасами, с учетом затрат на транспортировку:
- железной дорогой
C = 1065 + 0,6 151 1200/151 = 1785 ден. ед.
- автомобильным транспортом
C = 1038 + 0,9 151 1200/151 = 2.118 ден. ед.
Таким образом по критерию суммарных затрат более выгодным оказался вариант транспортировки продукции на склад по железной дороге.
В большинстве случаев с увеличением величины партии поставки продукции на склад транспортная составляющая на один заказ снижается, также как и затраты, связанные с поддержанием запаса в пути. Однако такое снижение указанных затрат происходит не плавно, а скачкообразно в соответствии с транзитной нормой отправки (carload, truckload shipment).Как правило, если заказ соответствует транзитной норме отправки транспортом общего пользования или иным перевозчиком, транспортный тариф минимальный, а доставка продукции осуществляется быстрее.
В этом случае графики изменения общих затрат при определении экономичного размера заказа будут иметь вид, представленный на 9.10.
графиках 9.10 показано изменение затрат при достижении размером заказа величины транзитной нормы грузовой отправки. В этом случае общие затраты CS складываются из затрат на поддержание запаса на складе (Ch), затрат на выполнение заказа (Сo), затрат, связанных с запасом в пути (Сl) и транспортных расходов (Сv). [ZEBR_TAG_br Затраты Cv и Сl уменьшаются скачком, когда заказ становится равным величине транзитной грузовой нормы отправки. В этом случае общие затраты могут достигнуть минимума, например в точке qтн* , не совпадающей с EOQ = qo* .
Величина суммарных затрат, связанных с определением оптимального размера заказа, может быть рассчитана по формулам:
С', = сo D/qo* + с i qo* /2 + сl tн/'сз qo* + D, (9.14)
CS = co D/q*тн; + c i q*тн + cl tнтн / сз q*тн + тн D, (9.15)
где , тн -тарифы на перевозку единицы продукции (груза) при величине заказа меньше и равной транзитной норме отправки соответственно.
н, нтн - время в пути при размере заказа, меньшем или равном транзитной норме отправки, соответственно.
Пример 4.
Предположим, при исходных данных примера 3, транзитная норма отправки равна 250 единиц продукции, т.е. q*тн = 250 ед. Тогда время между двумя смежными заказами будет равно
сз = 250 52/1200 = 11 недель.
Допустим также, что доставка осуществляется по железной дороге, причем тариф для транзитной нормы тн = 0,4 ден. ед., а время в пути уменьшается до 1,2 недель.
Тогда затраты будут соответственно равны:
C' = 60,8 1200/151 + 29,3 0,22 151/2 + 1,4/6,5 29,3 0,1 151 + 0,6 1200 = 1785 ден. ед.
C = 60,8 1200/250 + 29,3 0,22 250/2 + 1,2/11 29,3 0,1 250 + 0,4 1200 = 1657 ден. ед.
Таким образом оптимальным размером заказа будет заказ q*тн , соответствующий транзитной норме грузовой отправки, равной 250 единиц.
Похожая на описанную выше ситуация наблюдается при действии оптовых скидок при возрастании объема заказа (поставки) продукции. Ряд характерных примеров использования классической модели в модифицированных вариантах приведен в работе Ю.М.
Неруша [91].
Рассмотрим теперь влияние неопределенности параметров на принимаемые логистические решения по управлению запасами, в частности, для EOQ модели.
Классическая EOQ модель является идеализированной схемой, иллюстрирующей процесс управления запасами (оптимизации) при полностью детерминированных параметрах. На практике логистическому менеджеру постоянно приходится сталкиваться с различными ситуациями, вызывающими неопределенность параметров спроса, заказа и поставок.
Эта неопределенность объясняется как самой стохастической природой некоторых параметров, например, интенсивности спроса/расхода, так и влиянием различных логистических рисков.
На 9.11 проиллюстрировано влияние неопределенности спроса (расхода) на параметры управления запасами.
Если предположить, что параметры управления запасами ROP, qн = EOQ, tсз были определены для классической модели при средней интенсивности спроса , а реальный спрос является случайной величиной, распределенной по нормальному закону, то плотность распределения величины ROP будет иметь вид, представленный на 9.12.
На графике ( 9.12) показано, что разброс возможных значений Qз вокруг среднего Qз = ROP для нормального распределения с вероятностью = 0,97 укладывается в диапазон (ROP - 3, ROP + 3) - по правилу шесть сигм
параметр (аргумент) функции Лапласа Ф(); Qз - C.K.O. точки заказа; [ZEBR_TAG_br N - количество заказов за год.
Параметр определяется по величине доверительной вероятности из условия
2Ф() = . (9.18)
Пример 5.
В условиях примера 1 рассчитаем страховой запас при следующих дополнительных исходных данных:
Qз = 17 ед.;
= 0,9.
Расчет производим по формуле (9.17).
Первоначально по таблицам функции Лапласа [23] находим s из уравнения (9.18):
Ф() = /2 = 0,9/2 = 0,45.
Из таблицы функции Лапласа находим, что d = 1,65. Подставляя найденное значение s в формулу (9.17), учитывая, что N* = 8, получим
Qстр = 1,65 17/8 = 9,9 10 ед.
Таким образом, с вероятностью 0,9 при заданных характеристиках QЗ страховой запас будет равен 10 единицам товара. Точка перезаказа будет, соответственно, равна
ROP' = ROP + Qстр = 35 + 10 = 45 ед.
Оценим общие затраты, связанные с наличием в модели EOQ страхового запаса, а также затраты от отсутствия запаса на складе. Величина суммарных затрат в этом случае будет равна
С = сo D/q + c i q/2 + с i Q + D/q N Pдеф (9.19)
где N - затраты, связанные с отсутствием заказа, ден.ед./заказ;
Рдеф - вероятность отсутствия заказа за период зн.
Учитывая формулу (9.17) для страхового запаса, после элементарных преобразований получим
C = D/q (co + N Рдеф) + с j (q/2 + d sQз/N). (9.20)
Формула (9.20) используется далее для нахождения EOQ.
Определение затрат N и вероятности Рдеф представляет довольно большую трудность и является самостоятельной проблемой, исследованной в сфере снабжения МР, например, в работах [46, 212].
