Количество
А это значит, что, выявляя бытие предметов реального мира, мы в процессе этого с необходимостью приходим к определению их количества.
Так, например, если на столе лежат 5 яблок и 7 книг, то для того, чтобы отделить одно от другого, как нечто от иного, мы должны будем руководствоваться не только их качественным отличием, но и их количественной определённостью: яблок - 5, книг - 7. И если Вас попросят убрать книги со стола, то, нимало не задумываясь над тем, что мы здесь сейчас разбираем, Вы, тем не менее, возьмёте именно книги, а не яблоки, и возьмёте их в количестве 7 штук, а не 5, потому что книг - 7, а яблок - 5. Точно так же мы поступим и в том случае, если, например, захотим выделить из наличного мира всё человечество. Для этого мы, в первую очередь, обратимся к его качественной определённости. Но одной качественной определённости будет недостаточно.
Потребуется ещё установить и его количественную определённость.
Итак, с помощью категорий сферы качества мы, во-первых, фиксируем чистое бытие. Во-вторых, находим в наличном бытии нечто и иное. В-третьих, отличаем их друг от друга и переходим к категории для-себя-бытия нечто.
Категория для-себя-бытия даёт нам определения одно, другое, многие, которые переводят нас в сферу определений количества, хотя сами ещё относятся к сфере качества. Следовательно, обнаруживая предметы наличного мира посредством категорий качества, мы в итоге приходим к необходимости использования категорий количества.
Количество
Восходящими ступенями постижения количества являются определения: а) чистого количества, б) определённого количества и в) количественного отношения. Указанные категории количества соответствуют уже рассмотренным здесь категориям качества:
чистое количество - чистому бытию,
определённое количество - наличному бытию,
количественные отношения - для-себя-бытию.
Напоминаю читателям, что хотя основу принятой здесь формы изложения логики составляет последовательность параграфов, взятая из малой, энциклопедической "Науки логики", но само содержание учения о бытии основано преимущественно на соответствующих разделах большой "Науки логики".
Чистое количество
§§ 99-100. Категория чистого количества, как и категория чистого бытия, непосредственно не содержит в себе никакого различия. На ступени определений чистого бытия ещё нет ни нечто, ни иного, а значит, нет ещё и никаких количественных различий.
На ступени становления мы наблюдаем мельтешение очертаний каких-то предметов, которые то возникают перед нашим взором, то пропадают в неразличённости чистого бытия. И лишь на ступени наличного бытия мы начинаем отличать нечто от иного.
В сфере количества такое мельтешение очертаний предметов при переходе от категории чистого бытия к ничто даёт определения непрерывности и дискретности. Следовательно, категория чистого количества содержит в себе определения непрерывности и дискретности. Поскольку оба определения принадлежат единому в себе бытию, постольку они едины в своей противоположности: то, что непрерывно, столь же и дискретно, а то, что дискретно, столь же непрерывно.
Так, например, если рассматривать человечество само по себе, то оно предстанет перед нами как непрерывность. Но если рассматривать человечество в самом себе, то оно обнаружит свою дискретность. Мы знаем, что человечество сегодня насчитывает около 6 млрд. человек. Но это знание говорит нам здесь лишь о том, что человечество дискретно в себе и не более того. Точно так же и биосфера, рассматриваемая сама по себе как единая тотальность, непрерывна.
А рассматриваемая в самой себе, она обнаруживает свою дискретность: множественность живых организмов. И точно так же обстоит дело с Вселенной, которая также сколь непрерывна, столь и дискретна в себе.
Единство непрерывности и дискретности даёт нам определение ограничения. Наличие границы превращает чистое количество в определённое количество.
Определённое количество
§ 101. Одно нечто, взятое в пределах своих границ, представляет собой единицу. Другое нечто - другую единицу.
Следующее нечто - третью единицу. Четвёртое, пятое, шестое нечто и т.д. - все суть единицы. Их бесконечный ряд представляет собой множество.
Если определения одно и многое принадлежат ещё сфере качества, то определения единица и множество принадлежат уже сфере определений количества.
Единица, единица, единица, ед., ед ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., множество.
Некоторое количество единиц, исключающее из себя другое количество единиц, является ограниченным количеством. Как определённое границей оно становится определённым количеством или величиной.
Величина содержит в себе единство моментов дискретности и непрерывности. Как дискретная величина она является некоторым множеством единиц. А как непрерывная величина она является их монолитным единством. Величина, следовательно:
а) охватывает собой некоторое количество своих единиц, б) как квант (как их единство) исключает из себя все другие единицы. Величина, определённая через единство этих моментов, становится числом.
§ 102. Числа создаются посредством действия нумерации. К одной единице добавляется ещё одна единица и в итоге получается число "два". К двойке добавляется ещё одна единица и получается число "три". В дальнейшем к полученному числу всякий раз добавляют ещё одну единицу и в результате получают следующее число.
Но действие нумерации не следует смешивать с действием сложения. При нумерации только производят числа, а при сложении работают с уже готовыми числами.
Число содержит в себе свою численность, как некоторое количество единиц, и, вместе с тем, выступает как их единство, как некоторый квант. Определяемое числом некоторое количество единиц обособляет их от остального множества. Данное количество единиц становится численностью числа. Так, например, во время каких-либо коллективных мероприятий группа людей может шутливо заметить, что их "сосчитали".
Казалось бы - всего-то дел, что кого-то сосчитали, но уже самим этим действием "сосчитанных" людей как бы обособили от остальной массы (множества) и выделили в отдельную группу. При этом сосчитанная группа людей несёт на себе два определения: а) она есть данная группа (квант) и б) она имеет в себе определённую численность.
Например: число 5, число 7, число 10. Каждое из этих чисел представляет собой некую единую в себе целокупность единиц. Но количество единиц (численность) у каждого числа своё: у первого - 5 единиц, у второго - 7 единиц, у третьего - 10 единиц. Представим себе такой ряд простых чисел, начинающийся с единицы и уходящий в множество:
1, 2, 3, .., 9, .., 27, .., 63, .., 81, .., 100, 1 тыс., .., 1 млн., .., 1 млрд., .., множество.
С левого края этого ряда мы имеем единицу, с правого края - множество. Число всегда занимает среднее положение между ними. С левой стороны от числа находится то количество единиц, которое оно объединяет и обособляет от множества.
С правой стороны находится то множество, из которого число было взято и которому оно, тем не менее, принадлежит. Если мы возьмём число 9, то занимаемое им с левой стороны ряда девятое место говорит о количестве единиц, которое оно объединяет в себе. Если, наоборот, мы пойдём вправо от числа 9, то будем углубляться в то множество, которому оно принадлежит, как квант.
Например, число 63 будет представлять собой то определяемое им множество, в котором число 9, взятое как квант, будет числиться (содержаться) 7 раз.
§ 102а. Понятие числа, таким образом, включает в себя три момента: а) численность содержащихся в нём единиц; б) их простое единство, как исключающее из себя все другие единицы, квант; и в) тождество себя как численности с самим собой как квантом. Из этих моментов понятия числа вытекает смысл всех математических действий:
- сложения (вычитания),
- умножения (деления),
- возведения в степень (извлечение корня).
а) Как некоторые множества единиц, числа не равны между собой. Поэтому они подлежат сравнению друг с другом, которое производится посредством действий сложения и вычитания.
Если в одну группу выделено 5 человек, а в другую 10, то всего будет 15; при вычитании же этих чисел мы получим разницу в 5 человек. Перемножать эти числа или возводить их в степень нельзя, поскольку они "сосчитаны", т. е. обособлены от остального множества. Если 5 умножить на 10, то мы получим число 50.
Но откуда оно могло взяться, если у нас "сосчитано" всего 15 человек (5 + 10), которых тем самым мы обособили от остального множества и сравниваем их между собой.
б) Поскольку числа, как кванты, не несут в себе никакой качественной специфики, постольку все они качественно однородны. "Мы с тобой одной крови!" - говорили герои Киплинга. То же самое могли бы сказать о себе и все числа, поскольку они не имеют в себе никаких качественных различий и отличаются друг от друга только своей численностью. Поэтому все числа принадлежат одному множеству, из которого они ранее были взяты.
В этом множестве каждое число становится одним из сомножителей, а действия сложения и вычитания уступают место действиям умножения и деления. Причём одно и то же число может выступать здесь и как единство (квант), и как численность. Например: 7 х 9 = 63. По поводу этого действия мы можем сказать, что в полученном результате (63) число (квант) 7 содержится (числится) 9 раз.
А можем сказать и наоборот, что число (квант) 9 содержится (числится) 7 раз.
Итак, за счёт действия нумерации мы обособляем некоторое количество единиц от множества и определяем их единство числом. Посредством действий сложения и вычитания мы сравниваем определяемые числом количества друг с другом. При умножении и делении мы возвращаем числа множеству, из которого они были ранее взяты.
в) Третий момент понятия числа - момент тождества его как единства (кванта) с самим собой как численностью, даёт действие по возведению в степень и по извлечению корня, но об этом действии речь будет идти несколько ниже.
§ 103. Одна и та же величина может рассматриваться: а) как экстенсивная величина и б) как интенсивная величина. Эти определения отличаются между собой тем, что экстенсивная определённость величины имеет свою численность вовне себя, а интенсивная определённость величины - внутри себя.
Так, например, если в одно прекрасное летнее утро мы выйдем к бескрайнему пшеничному полю и попытаемся определить, сколько же всего на нём зреет зёрен, то мы начнём свой счёт с одного зерна. Посчитаем: сколько зёрен находится в одном колоске, сколько колосков приходится на один квадратный метр, сколько - на один гектар, сколько - на всё это отдельно взятое поле, и сколько - на все посевы пшеницы по стране в целом. Это нам послужит примером экстенсивного нарастания величины.
Если же весной текущего года мы высадим одно зерно пшеницы, то к осени мы получим один колос, содержащий 20-30 зёрен. Если все эти зёрна высадить на следующий год, то мы получим урожай в 600-700 зёрен. Из этого количества семенного материала на третий год мы получим 15000 - 17000 зёрен и т.д., вплоть до достижения необходимой величины сбора зерновой пшеницы для потребностей всего населения страны.
Это пример интенсивного нарастания величины.
Аналогичную картину мы сможем наблюдать и в том случае, если подвергнем исчислению количественные параметры всего человечества. Сосчитывая численность человечества в актуальном плане, мы получим пример нарастания его экстенсивной определённости: "Я" - один, в семье нас - 4, в городе - 1,3 млн., в области - 3,5 млн., в стране - 150 млн., в мире - около 6 млрд. человек. Рассматривая рост численности человечества в историческом плане, мы получим пример нарастания его интенсивной определённости. 40 тыс. лет назад, на момент появления современной формы человека разумного, число людей составляло от 1 до 2 млн. человек.
За 10 тыс. лет до н.э. на планете проживало уже от 3 до 4 млн. человек. К началу нашей эры - около 250 млн. В настоящее время численность человечества составляет 6 млрд. человек.
§ 104. Экстенсивная и интенсивная определённости величины взаимно
обуславливают друг друга. Интенсивно определённая величина содержит в себе в снятом виде экстенсивную определённость, а экстенсивно определённая величина - интенсивную определённость. Их единство даёт нам определение порядка или уровня величины. (В русских переводах Гегеля использован более точный, но менее удачный по смыслу
термин - градус).
При математических расчётах говорят о величинах разного порядка: единицах, десятках, сотнях, тысячах и т.д. Если же речь заходит о возможных боевых действиях, то говорят, что мы располагаем силами такого-то порядка: сотня сабель, тысяча штыков и т.д. Если оформляют в банке кредит, то выясняют, какого порядка требуется сумма: тысяча, сто тысяч, миллион.
На первый взгляд может показаться, что определение порядка непосредственно присуще только интенсивной определённости величины, поскольку она имеет свою численность внутри себя и отражает собой её абсолютный прирост: одно лето - один колос, другое лето - 20-30 колосков, третье дето - 625 колосков и т.д. Экстенсивная определённость в этом смысле менее наглядна, поскольку она имеет свою численность вовне себя, и выражает собой лишь её относительное нарастание в пределах уже имеющейся величины: одно зерно, 1 колос, 1 кв. м. посевов, 1 гектар посевов, и т.д. Но поскольку интенсивная определённость величины несёт в себе её экстенсивную определённость, постольку определение порядка в равной степени присуще им обоим.
Наглядным примером здесь могут служить те жизненные ситуации, когда речь заходит о необходимости восстановления численности поголовья скота или объёма сбора зерновых, если, конечно, это восстановление предполагается вести на собственной основе, а не за счёт поставок из-за границы. В таких ситуациях целью является достижение необходимого уровня (порядка) экстенсивно определённой величины, но расчёт сроков её достижения ведётся, исходя из порядка её интенсивного нарастания.
Другой пример. Проектируя сооружение объекта, определяют его сметную стоимость. Эта стоимость распределяется по всему циклу работ: а) стоимость проектных работ, б) стоимость возведения фундаментов, в) возведения вертикальных конструкций, г) сооружения крыши, д) отделочных работ, и т.д.
Последовательность этих работ представляет собой порядок поэтапного нарастания экстенсивной величины стоимости строительства. Но будет ли этот порядок приведён в действие, и если да, то насколько он будет осуществлён, зависит от реального финансирования хода строительства, т.е., от порядка интенсивного нарастания величины стоимости строительства объекта.
Следовательно, порядок содержит в себе количественное соотношение определений величины.
Количественные отношения
§ 105. Порядок устанавливает пропорциональные отношения между экстенсивным и интенсивным определением величины.
При прямо пропорциональном отношении изменение одной стороны приводит к аналогичному изменению другой стороны. Если увеличивается первое определение, тогда увеличивается и второе, если первое уменьшается, тогда уменьшается и второе. Когда одно определение увеличивается в два раза, тогда и другое также увеличивается в два раза: 9 : 7, 18 : 14. И, наоборот, когда одно уменьшается в три раза, тогда и другое уменьшается в такое же количество раз: 15 : 9, 5 : 3.
Другой пример. Если возникает необходимость повысить абсолютную величину сбора зерновых, то для этого можно в той или иной пропорции использовать обе её составляющие: а) повышать урожайность культуры на единицу посевов, и б) увеличивать сами посевные площади. Если, наоборот, требуется сократить величину сбора зерновых, то для этого также можно в прямой пропорции: а) использовать менее продуктивные сорта культуры, и б) сокращать посевные площади.
Если мы вернёмся к примеру со строительством объекта, то найдём, что сокращение величины финансирования вдвое ведёт к пропорциональному сокращению объема реально выполненных работ.
§ 105а. При обратно пропорциональном отношении сама величина остаётся неизменной, но изменяется пропорция между её сторонами. Если первое определение увеличивается, то второе уменьшается, и наоборот.
Например, постоянство числа 36 обеспечивается следующими соотношениями сторон: 6 х 6; 3 х 12; 2 х 18; 1 х 36. Здесь стороны изменяются в обратной пропорции, но сама величина остаётся постоянной.
Другой пример. Для удержания стабильной величины сбора зерновых в условиях постоянного роста урожайности культур идут по пути сокращения объёма посевных площадей в необходимой для того пропорции. И, наоборот, при снижении урожайности культур пропорционально увеличивают объёмы посевных площадей.
Третий пример. Когда возрастает стоимость материалов и услуг, а сумма денег, отпущенная на строительство объекта, остаётся прежней, тогда идут по пути сокращения затрат и использования более дешёвых материалов. Хотели строить из красного кирпича, но цены выросли, и хорошо, что денег хватило хотя бы на белый, более дешёвый кирпич.
В итоге величина сметной стоимости строительства объекта осталась без изменений, хотя в самой смете пришлось выискивать пути для сокращения объёмов затрат пропорционально удорожанию их стоимости. Хорошим примером обратно пропорциональных отношений служит также изменение котировок валют.
Единство прямо пропорционального отношения и обратно пропорционального отношения даёт нам степенное отношение определений величины.
§ 106. Степенное отношение соответствует ступени для-себя-бытия качества. При сложении и при умножении мы имеем дело с различными величинами. Так, например, число 9 выражает то количество, которое находится между числами 8 и 10.
Сравнивая их между собой, мы найдём, что 9 больше 8, но меньше 10. Переход к числу 8 даёт уменьшение, а переход к числу 10, наоборот, даёт увеличение. При умножении число 9 выступает как один из сомножителей, где другим сомножителем выступает любое другое число.
В обоих действиях, и при сложении, и при умножении, участвует несколько различных чисел (величин), и результатом этих действий становится их общая сумма или произведение.
При возведении в степень мы имеем дело уже только с одним числом при полном тождестве его сторон: его численности и его единства (кванта). Так, например, если мы будем возводить в степень число 9, то для этого мы умножим это число само на себя 9 х 9 (квант помножим на его численность) и получим число 81. Если произведём обратное действие, т.е., если извлечём корень квадратный из 81, то получим 9 раз по 9. Если после этого извлечём корень квадратный из 9, то получим 3 раза по 3. И т.д. в обе стороны.
При этом важно обратить внимание на то, что в степенном отношении величина определяет сама себя, исходя из полного единства своих сторон, своей экстенсивной (численность) и интенсивной (квант) определённости. Она увеличивает и уменьшает самою себя, исходя уже только из самой себя. Например, возведение в квадрат числа 3: 3 -9 - 81 - 6561 - 43.046.721 - и т.д., в итоге приводит нас к множеству, которое достигается посредством действия лишь с одним числом (3).
Все другие степени - куб и т.д. -достигаются путём увеличения кратности перемножения числа на самого себя.
Таким образом, действие по возведению в степень и извлечению корня раскрывает способность величин к самоувеличению и самоуменьшению. В степенном отношении величина относится уже только к себе самой и определяет самою себя, без какого-либо участия других величин. А раз так, то, следовательно, находясь на ступени степенного отношения, мы оставляем все другие величины в стороне и сосредотачиваем теперь своё внимание только на какой-то одной величине.
Подобно тому, как на ступени для-себя-бытия качества мы пришли к определению нечто, как исключающему из себя всё иное, так и теперь, на ступени степенного отношения количества, мы пришли только к одной величине, исключающей из себя все другие величины.
§ 106а. Поскольку в степенном отношении одна величина исключает из себя все другие величины, постольку здесь подразумевается уже наличие у неё качественной определённости, но только подразумевается и не более того. Иначе говоря, степенное отношение величины предполагает, что она является величиной какого-то определённого нечто. В этом нечто единство экстенсивной и интенсивной определённости величины становится теперь единством его качественной и количественной определённости.
Экстенсивное определение величины нечто (некоторого предмета) устанавливает теперь границу его качества, а интенсивное определение его величины - границу его количества.
Так, например, экстенсивной границей величины человечества является 6 млрд. человек, с ударением на слове человек, а интенсивной границей - 6 млрд. человек, с ударением на слове миллиарды.
Итак, в степенном отношении величина содержит в себе уже не только количественную определённость, но и, как исключающая из себя все другие величины, указывает на необходимость своего соединения со своей качественной определённостью.
Таким образом, оттолкнувшись от категории для-себя-бытия нечто, мы вышли к категории количества, рассматривая которую, мы последовательно прошли через определения чистого количества, определённого количества и количественных отношений. В степенном отношении мы вновь вернулись к категории для-себя-бытия нечто, но уже как соединяющейся со своей количественной определённостью. Такое непосредственное соединение качественной и количественной определённости в одном нечто даёт нам категорию меры.
Осуществляя любые количественные исчисления, мы на самом деле всегда уже имеем в виду конечной целью такого исчисления определение меры. На это указывает и наш язык, который исподволь называет процедуру определения какого-либо количества измерением. Да и сам наш мир во всём является мерой.
Не случайна, видимо, и этимологическая близость самих этих слов: мир и мера.
Мера
Мера - это качественно определённое количество или количественно определённое качество. Ступени определений меры:
- специфицированное количество;
- специфическая мера;
- реальная мера.
Специфицированное количество
§ 107. Количественная определённость получает свою специфику благодаря добавлению к ней качественной определённости. Числом мы определяем некоторое количество индифферентного качества: 5, 7, 10 единиц, и не важно, чего именно.
В определении специфицированного количества мы имеем простое соединение некоторого количества с определённым качеством: 30 солдат, 25 зёрен, 1000 деревьев.
Специфицированное количество уже представляет собой некоторую меру, но его мерность имеет ещё внешний и произвольный характер, поскольку определяется оно путём простого соединения наименования некоторого предмета с некоторым числом. Проще говоря, определение специфицированного количества способно вместить в себя всё на свете; ему по силам самые несуразные и самые невообразимые комбинации количественной и качественной определённости, вроде таких, как: "Тысяча актов балета" или "Тридцать пять тысяч одних курьеров".
Тот, кто присматривался к ходу умственного развития своих детей, без труда вспомнит, что в возрасте 4-6 лет дети высказывают всякую ерунду, суть которой состоит в появлении у ребёнка способности к определению специфического количества. Они говорят, что где-то в неопределённом месте у них уже есть или скоро будет: миллион шоколадок, сто машинок, тысяча фонариков и т.п. Для взрослых все эти речи, конечно же, несерьёзны, и мы пропускаем их мимо ушей, но они очень серьёзны для самого ребёнка и свидетельствуют о том, что развитие его интеллекта идет в правильном направлении: через освоение определения специфицированного количества к освоению определения меры.
§ 108. Несмотря на всю кажущуюся произвольность определения специфицированного количества, оно, однако, обнаруживает в себе некоторую устойчивость своих сторон. Иначе говоря, в пределах специфицированного количества мы всегда можем обнаружить имманентное единство некоторого количества с присоединённым к нему качеством. 1000-актных балетов, конечно же, не бывает, но 2-4 акта - это норма для одного балета.
Точно так же 35 тысяч курьеров ни при каком министерстве никогда не было, это выдумка гоголевского героя, но какое-то их число при госучреждениях всё-таки существовало и существует.
Через обнаружение имманентного единства количества с качеством мы переходим от определения специфицированного количества к определению специфической меры.
