Модальная логика
Модальная логика исследует логические связи модальных высказываний. Само понятие модальности (от лат. - способ, мера) толкуется как некоторая оценка суждения, или высказывания. Модальная оценка выражается через такие понятия, как: "необходимо", "доказуемо", "возможно", "обязательно", "опровержимо", "разрешено" и т. д., которые выступают функциями. Таким образом, модальное суждение - это характеристика суждения в зависимости от свойства (характера) устанавливаемой им достоверности.
Другими словами, такие суждения различаются силой или степенью выраженной в нем необходимости, с которой предикат принадлежит субъекту.
К обычным логическим операторам, таким, как конъюнкция, дизъюнкция и т. д., добавляются операторы строгой импликации , строгой эквивалентности ^ и совсем новые операторы: необходимости ? ("необходимо что...") и возможности ? ("возможно что..."). Такие понятия возникают в тех сферах мыслительной деятельности, где допускается два вида "истинности". Одна имеет более универсальный и принудительный характер, чем другая. Пример: 2+2=5 противоречит математике, но возможно.
Возможно, чтобы в середине Тихого океана оказался целый материк, возможно, что существует снежный человек.
Формулы модальной логики определяются индуктивно:
1. Всякая пропозициональная буква есть модальная формула.
2. Если Р, РІ, Р2 ... суть формулы, то и их комбинации с логическими союзами также являются формулами.
3. Если Р есть формула, то и пР также формула.
4. Выражение считается модальной формулой тогда и только тогда, когда оно может быть построено в соответствии с предыдущими пунктами (1-3).
Истинными формулами модальной логики являются:
?Р=1^іР (необходимо, что Р равно невозможно, что не-Р)
?Р = і п^ Р (возможно, что Р равно отрицанию Р не необходимо)
РФР (если Р, то возможно, что Р)
?РР (если необходимо, что Р, то Р)
А такие формулы в исчислении высказываний модальной логики не выводятся:
РпР (если Р, то необходимо, что Р)
?РР (если возможно, что Р, то Р)
?Р (возможно, что Р)
1 пР (не необходимо, что Р)
Очень похожие проблемы человеческого мышления обсуждались и в рамках античных культур, и в средневековой схоластической практике, и в нововременной культуре. Уже эпикурейцы рассуждали о вопросах модальной логики. Аристотелю принадлежит открытие ряда правил оперирования с модальными суждениями (А необходимо принадлежит к В, С возможно принадлежит Д и т. д.).
В средние века знали правила умозаключения от суждения о действительности к суждению о возможности и т. д. К примеру, схоласты знали, что "если необходимо, что Х, то Х", "если Х, то возможно, что Х", "необходимо, что Х тогда и только тогда, когда возможно, что не-Х", "возможно, что Х тогда и только тогда, когда не необходимо, что Х". В XIII в. средневековый логик Вильгельм Шервуд, занимаясь некоторыми проблемами модальной логики, насчитывал шесть видов модальных форм: истинно, ложно, возможно, невозможно, случайно, необходимо. Модальными вопросами активно интересовались У. Оккам и Ж. Буридан.
В Новое время особую роль в развитии модальной логики сыграли работы К. Льюса (1883-1964), который смог показать различие между связками, выражающими логическую необходимость, и связками, не выражающими необходимость, а также различие между материальной импликацией и строгой импликацией (1918 г.).
В XVIII в. И. Кант (1724-1804) по признаку модальности разделил все суждения на ассерторические, аподиктические и проблематичные. В суждениях возможности отображается возможность наличия или отсутствия признака у предмета, о котором говорится в суждении. И сегодня в традиционной формальной логике суждения по модальности делятся на три группы: суждения возможности (проблематические), суждения действительности (ассерторические), суждения необходимости (аподиктические).
В проблематических суждениях отображается возможность наличия или отсутствия признака у предмета ("возможно, что на Марсе есть жизнь"). В ассерторических суждениях конструируется наличие или отсутствие признака у предмета ("Московский кремль - одно из красивейших памятников мировой архитектуры"). В аподиктических суждениях отображаются такие признаки, которые имеются у предмета при всех условиях ("общество не может существовать без обмена информацией").
Таким образом, модальность является важнейшим свойством суждений, так как в нем выражается степень существенности признака для данного предмета. При этом необходимо иметь в виду, что в суждениях модальности речь идет строго о действительном положении предмета в мире, и субъективными представлениями и желаниями они не определяются. Аподиктические суждения должны быть обоснованы практикой.
Утверждения о вероятности наступления или ненаступления события основаны на исследовании фактов.
Начало серьезного поворота к вопросам модальной логики положили труды С.А. Крипке11. Современные логики делят модальности на такие классы, как: логические и физические, абсолютные и относительные.
Абсолютные и сравнительные модальные понятия. Абсолютные модальные понятия представляют собой положения, характеристики, свойства отдельных объектов (необходимо, возможно, невозможно, возникает, хорошо, плохо). Такие понятия часто обозначают как А-понятия. Сравнительные логические понятия относятся к парам объектов и фиксируют не их свойства, а отношения (лучше, больше, хуже, ближе, ранше).
Причем одну и ту же мысль можно передать и первым и вторым видом: "плохо, что обещание не выполнено" и "лучше не давать обещание, чем не выполнить его". Их обозначают как В-понятия. А- и В-понятия несводимы друг к другу, так как представляют собой разные видения мира. Их способы описания предмета взаимодополняют друг друга. "Хорошо" не определимо через "лучше", понятие "было" не определяется через понятие "раньше" и т. д.
Необходимо отметить, что на сегодня основное внимание уделяется изучению абсолютно модальных понятий. Относительные модальные понятия редко выступают самостоятельным предметом исследований. Из них более подробно изучены аксиологические модальности: "лучше", "хуже", "равноценно" и т. д.
Модальная логика является результатом стремления расширить выразительные возможности логики. В системе двузначной логики фиксируется, что субъект суждения обладает некоторым свойством. В рамках модальных логических систем уточняется специфика связи между субъектом и свойством (является ли связь необходимой или случайной, всегда ли субъект обладает данным свойством, хорошо это или плохо, поддается ли обоснованию (доказательству) принадлежность свойства к субъекту и т. д.). Общая формула модальности: М (S есть Р), или отрицательный вариант: М (S не есть Р).
Понятно, что одно и то же суждение одновременно допускает разные модальные оценки (хорошо, что доказано, что железо - металл).
Таким образом, модальная логика представляет собой совокупность направлений, которые занимаются модальными высказываниями определенного типа. Разновидностями модальной логики считаются многие разновидности неклассической логики. К примеру, теория логической модальности отслеживает закономерности употребления высказываний: необходимо, возможно, случайно; Эпистемическая (теоретико-познавательная) логика изучает суждения, которые содержат теоретико-познавательные понятия, такие, как: "полагает", "сомневается", "верифицируемо", "фальсифицируемо", "непроверяемо", "отвергается" и т. д.; Деонтическая (нормативная) логика исследует логические связи нормативных суждений; Логика оценок занимается аксиологической модальностью, а логика времени - временными длительностями: есть, будет, раньше, позже, одновременно и т. д.; Логика причинности (антологическая, или каузальная, или физическая модальность), которая апеллирует к физическим оценкам предмета мысли: физически необходимо, физически случайно, есть следствие, есть причина, не является ни причиной, ни следствием и т. д.
Тем не менее все модальные понятия объединяют общие формальные свойства: они определяются друг через друга по одной и той же схеме. Так, нечто разрешено, если противоположное не обязательно; возможно, если противоположное не является необходимым; допускается, если нет убеждения в противоположном; случайно то, что не является ни необходимым, ни возможным; безразлично то, что недоказуемо и неопровержимо, и т. д. Точно так же ведут себя сравнительные модальности: "если первое лучше второго, то второе хуже первого". Утверждение "первое причина второго" равносильно утверждению "второе следствие первого". Каждое направление модальной логики имеет собственную версию принципа модальной полноты, который является модальным аналогом закона исключенного третьего. Принцип полноты утверждает, что каждое суждение может быть либо необходимым, либо случайным, либо невозможным.
По аналогии в деотнической логике всякое суждение может иметь значения: или "обязательно", или "нормативно", или "безразлично", или "запрещено".
Кроме того, каждое направление модальной логики имеет собственную версию принципа модальной непротиворечивости (модальный аналог закона непротиворечивости), которая гласит: суждение не может быть как обязательным, так и запрещенным, объект не может быть и хорошим и плохим и т. д.
Модальные понятия разных направлений обладают разным содержанием, но выполняют одну и ту же функцию: уточняют, конкретизируют связь, которая устанавливается в суждении. Правила употребления модальных понятий мало зависят от содержания и целиком определяются данной функцией. Таким образом, указанные правила едины для понятий любых модальных групп и носят сугубо формальный характер.
Эпистемическая логика является разделом модальной логики и исследует логические связи суждений, которые включают понятия: "полагает", "сомневается", "убежден", "знает", "отвергает", "разрешимо", "неразрешимо", "доказуемо", "опровержимо" и т. д.
Знание отличается от убеждения и веры. Знание всегда истинно, а убеждение может быть как истинным, так и ложным. Исходя из этого, различают два вида эпистемической логики: логика знания и логика убеждения.
У них разные исходные понятия и разные законы функционирования.
Логика знания имеет несколько вариантов. Наиболее интересным из них является сконструированный австрийским математиком К. Геделем, в котором исходным термином взято понятие "доказуемо". В качестве основных положений можно привести такие утверждения: "если высказывание доказуемо, оно истинно, так как доказать можно только истину, доказательств лжи не существует"; "логическое противоречие недоказуемо"; "логическое следствие доказуемого также является доказуемым"; "если нечто доказуемо, то доказуемо, что оно доказуемо".
Вариантом логики знания является логика истины, которая устанавливает следующие законы знания: "конъюнкция истинна, если и только если все входящие в нее конъюнкты истинны", "если высказывание истинно, то верно, что его отрицание также истинно", и т. д.
В логике убеждений в качестве исходных берутся понятия: "полагает", "убежден", "верит", "сомневается" и "отвергает". Общие положения, которые раскрывают суть логики убеждения: "человек сомневается в чем-то, если он не убежден ни в этом, ни в противоположном"; "человек отвергает нечто, только если он не убежден в противоположном"; "нельзя одновременно верить и сомневаться, быть убежденным и отвергать, сомневаться и отвергать"; нельзя быть убежденным одновременно в чем-либо и в его противоположном".
Логика оценок и норм (деонтическая логика). Логическое исследование различных норм и нормативных понятий осуществляется логикой норм. В ней деонтические понятия рассматриваются как модальные характеристики суждений, в которых говорится о тех действиях, состояниях, которые возникают в результате того или иного действия. С помощью этих понятий все действия, рассматриваемые с точки зрения некоторой системы норм, разбиваются на три класса: обязательные, нормативно безразличные и запрещенные.
К разрешимым относятся действия, которые обязательны или безразличны.
Деонтика - греческое слово со значением долг, правильность, отсюда нормативная логика - это модальность долженствования. Абсолютные модальные понятия - "хорошо", "плохо", сравнительные - "лучше", "хуже", "равноценно". Понятие "логика норм", или "деонтическая логика", является необходимым структурным компонентом тех нормативных высказываний, которые попадают в сферу исследования таких дисциплин, как "Этика", "Право", и всех тех, которые занимаются нормами и нормированием.
Содержательно логика норм выступает как характеристика практического действия с точки зрения определенной системы норм. Нормативный статус действия выражается такими понятиями, как "разрешено", "запрещено", "обязательно", "нормативно безразлично", "должен", "не должен", "может", "необходимо" и т. д. Указанные понятия всегда ориентированы на определенную нормативную систему, которая налагает обязанность, предоставляет разрешение и т. д.
Обязанность является общей характеристикой определенного круга действий с точки зрения принципов морали (обязательно заботиться о близких). Обязательно то, от чего не разрешено воздерживаться, обязательно все, что запрещено не делать. Если пояснение деонтической обязанности (необходимости) построить на противопоставлении-сравнении с другими видами необходимости, можно получить следующую последовательность.
В зависимости от основания утверждения можно выделить три ее вида: логическую, физическую (казуальную, онтологическую) и деонтическую необходимость: логически необходимо все, что вытекает из законов логики; физически необходимо то, что следует из законов природы; деонтически необходимо то, что вытекает из законов или норм, действующих в обществе (то, отрицание чего противоречит этим законам и нормам).
Кроме того, "необходимое" в силу законов логики или законов природы относится к разряду реально существующих, тогда как из обязательности чего-то не следует, что оно имеет место (ведь, принципы морали, правила обычая, ритуала и даже законы государства нередко нарушаются). Так же очевидна связь между этими видами необходимости. Предположительно действие, которое вменяется в обязанность, должно быть логически и физически возможным, так как невозможно сделать то, что противоречит законам логики и природы.
"Разрешение" относится к действию, которое не противоречит системе правовых норм (разрешено ездить на автобусе). Разрешено то, от выполнения чего не обязательно воздерживаться, разрешено все, что не запрещено (однако необходимо отметить, что данный принцип может быть приемлем только в либеральных нормативных режимах. Другие системы деонтической логики его не принимают.
Из отсутствия запрета логически не вытекает разрешение не только для деспотических нормативных режимов, но для и морально-этических канонов человеческого общежития).
"Запрещено" относится к таким действиям, которые противоречат действующей системе правовых норм (запрещено переходить на красный свет). Нормативное безразличие утверждается относительно неопределенной системы норм (безразлично, как Иван называет свою кошку). Сюда же попадают совокупности требования традиции и обычая.
Безразлично действие, которое не является ни обязательным, ни запрещенным, что разрешено выполнять и не выполнять.
Нормы являются частным случая оценок, что дает основание определить "обязательно" через "хорошо", т. е. действие обязательно, когда оно позитивно. Однако если существуют разные системы норм и нередко они не согласуются и даже противоречат друг другу, то действие, обязательное в рамках одной системы, может быть безразличным или запрещенным в рамках другой системы норм. К примеру, многие обязательные нормы морали безразличны в системе правовых норм или то, что запрещается в рамках одной системы права, может быть разрешено в рамках другой системы права и т. д.
Для полноценного описания этических и правовых теорий, помимо общих логических законов, необходимы специальные законы, которые учитывают своеобразие оценок и норм. Законы логики оценок: "ничто не может быть хорошим и плохим одновременно", "ничто не может быть и плохим, и безразличным", "невозможно быть хорошим и безразличным", "два состояния, логически не совместимых друг с другом, не могут быть оба хорошими или оба плохими". Речь идет о том, что два противоположных состояния не могут быть хорошими или плохими в одном и том же отношении, для одного и того же человека.
Принципиальным является то, что логика устанавливает критерии разумности системы оценок. Основное назначение оценочного рассуждения: предоставить разумные основания для деятельности. Противоречивое рассуждение исключает возможность реализации, отсюда рассуждение, которое требует выполнения невозможного действия, не может считаться разумным.
Особый интерес вызывают законы сравнительных оценок. Они не имеют предметного содержания, ничего не сообщают о тех объектах или их свойствах, которые оцениваются, их задача заключается в разъяснении смысла слов "лучше", "хуже", "равноценно", оформлении правил их употребления: "ничего не может быть хуже или лучше самого себя", "одно лучше второго только в том случае, когда второе хуже первого", "равноценны каждые два объекта, которые не лучше и не хуже друг друга".
Достоин особого внимания и такой спорный момент логики оценок, как принцип переходности, который из-за отсутствия логической очевидности часто отрицается. Принцип звучит следующим образом: "если первое лучше второго, а второе лучше третьего, то первое лучше третьего". Такой порядок не всегда возможно отследить в содержательных примерах.
Если человеку предлагают выбрать между сокращением рабочего дня и повышением зарплаты и он выбирает первое, после ему предлагают выбор между повышением зарплаты и увеличением отпуска, и он выбирает повышение зарплаты, то означает ли это, что, если предложить ему выбрать между сокращением рабочего дня и увеличением отпуска, по закону логики он обязан выбрать сокращение рабочего дня? Будет ли он противоречить себе, если выберет увеличение отпуска?
К противоречию может привести не только проблема принципиальной выгоды, но и простые вопросы предпочтения: если человек предпочитает банан апельсину, апельсин - яблоку, а яблоко - банану, то, что бы он ни выбрал (из предложенных трех), всегда останется плод, который он предпочитает.
В данном случае мы имеем дело с прямой экстраполяцией законов классической логики (в частности, закона транзитивности) на те ситуации, которые ею не охватываются. Выбор, сделанный на основе рассудочных законов, обеспечивает логическую правильность, но абсолютно неразумен. Именно данное противоречие провоцирует отказаться от принципа переходности.
Разумный выбор, по определению, выходит за рамки законов рассудка, так как связан с содержательной стороной ценности, моральным выбором и предпочтением.
Законы логики норм ("действие обязательно только в том случае, если запрещено воздерживаться от него", "действие разрешено, когда оно не запрещено", "от запрещенного обязательно воздерживаются" и т. д.) в реальных системах норм обычно непоследовательны в силу их огромного количества. В них всегда имеются такие нормы, которые отрицают и даже запрещают другие, также входящие в систему нормы. И тем не менее вся система держится на соблюдении требования непротиворечивости нормативного рассуждения.
Непоследовательность и прямая противоречивость систем и теорий не считается основанием для отказа от логического требования непротиворечивости.