d9e5a92d

Виды синхронизации

Характеристика Ст называется показателем синхронизации или индексом синхронизации. Важно, что характеристика СТ предполагается одной и той же для всех объектов или процессов. Значение Ст может быть скаляром, вектором, матрицей, а также функцией, например частотным спектром процесса, на бесконечном или на некотором конечном, фиксированном или скользящем интервале времени.

Для того, чтобы иметь возможность сравнивать значения характеристики для различных процессов, вводится набор не зависящих от времени вектор-функций Fi : C Mm, i = 1, . . . , k, называемых функциями сравнения.
Определение 5.1. Будем говорить, что имеет место синхронизация процессов х(і)(Т), і = 1, 2,..., k, относительно характеристики СТ и функций сравнения Fi, если существуют вещественные числа (временные или фазовые сдвиги) ті, i =1, k такие, что для всех t 0 выполняются соотношения
Fi (Ct+ті [xi]) = F2 (Ct+T2 Ы) = ... = Fk (Q+Tk [хк]) . (5.1)
Под приближенной синхронизацией (e-синхронизацией) будем понимать случай, когда соотношения (5.1) выполняются лишь приближенно, С ТОЧНОСТЬЮ ДО ?’.
Fi (Ct+т [xi]) - Fj (1Ct+Tj [xj]) I e Vi, j, t 0, (5.2)
а под асимптотической синхронизацией - случай, когда погрешность выполнения соотношений (5.1) со временем исчезает:
lim IFi (Ct+t [xi]) - Fj (Ct+Tj [xj]) 1 = 0,
(5.3)
t-oo
где \ -\ евклидова норма в пространстве Rm. ?
Если задан некоторый оператор усреднения (-)Т на промежутке О 5 Т, то можно ввести понятие синхронизации в среднем как выполнение для всех t 0 соотношений
(Qs'it e, (5.4)
где Qs - некоторая скалярная функция (мера десинхронизации), характеризующая отклонение от синхронного режима. Часто оператор усреднения задают как интегральный оператор (Qs)t = \ JqQs^s, а меру десинхронизации Qs - как средний квадрат отклонения от синхронного режима:
k
Qt = ? |F (Ct+т X]) - Fj (Ct+Tj [XjО I2. (5.5)
i,j = 1
Введение меры десинхронизации является важным применением формального определения. Это дает возможность строить регу-лярнык процедуры синтеза алгоритмов управления синхронизацией: определения управляющих воздействий, создающих в системе синхронный режим или изменяющих его характеристики.

Такие алгоритмы могут быть разработаны, например, на основе метода скоростного градиента, см. [104, 140] и далее в настоящей главе.
Замечание 5.1. Соотношения (5.1) иногда удобнее записывать в виде k 1 равенства Замечание 5.2. Более общим понятием является кратная синхронизация, соответствующая случаю , когда соотношения (5.1) заменяются на а (5.6) переходят в где n, - коэффициенты кратности синхронизации.

Виды синхронизации

Приведенное выше определение охватывает основные встречающиеся типы синхронного поведения процессов. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 5.1. Частотная (гюйгенсова) синхронизация.

Этот вид синхронизации определен для процессов, для которых определено понятие частоты и,, в частности для периодических (колебательных или вращательных) процессов. Характеристикой Ct в этом случае является средняя по промежутку 0 5 Т частота Ct = ut = X t, а условием синхронизации - соотношение
ит = п, и*,
где п, - целые числа (кратности синхронизации); и* - так называемая синхронная частота. Поэтому функции сравнения естественно ввести как F, (иТ) = ит/п,.

При п, = 1, і = 1,...,k имеем простую (некратную) синхронизацию.
Данный вариант синхронизации может быть распространен на непериодические процессы, если могут быть корректно определены средние частоты. Также можно рассмотреть кусочно-периодический случай, когда множество всех моментов времени разбивается на интервалы Aq = [tq, tq+1), q = 1,2,такие что все движения Уі(- ) периодичны на каждом интервале Aq с частотами иі(t) , представляющими собой кусочно-постоянные функции.
Расширенный вариант синхронизации по Гюйгенсу возникает, если заменить требование точного совпадения средних частот требованием согласования спектров в следующем смысле. Введем положительные функции масштабирования спектров аі(и), f3i(и) для каждой системы Еі, і = 1,...,k. Показатель синхронизации С определим как функцию Ju:
Си (Уі (- )) = а (u)Si (ві (u)u), (5.9)
где Si - спектральная плотность выходного сигнала уі(Т), которая предполагается корректно определенной. Функции сравнения можно ввести, сопоставляя показателю синхронизации С набор значений Си для заданного набора частот. ?
Пример 5.2. Экстремальная синхронизация. Под экстремальной синхронизацией понимается одновременное или с определенной задержкой достижение скалярными процессами х(і)(Т) своих экстремальных значений [75, 103]. Индексом синхронизации в этом случае является Ct = t* (t) - время достижения і-м процессом экстремума на промежутке 0 5 Т. В качестве временных сдвигов ті могут выступать промежутки между моментами достижения первого экстремума і-м и первым процессами.



Для векторных процессов можно рассматривать синхронизацию экстремумов соответствующих скалярных компонентов векторов х(і)(Т) или некоторых скалярных функций от х(і)(Т). Подобный вид синхронизации важен для ряда химических и биологических процессов. ?
Пример 5.3. Фазовая синхронизация.

Системы фазовой синхронизации хорошо известны в радиотехнике и теории связи [50, 53]. Однако в традиционных технических применениях синхронизации подлежат периодические процессы, у которых частоты постоянны или являются периодическими функциями времени. В 1990-х годах в физике возрос интерес к исследованию процессов синхронизации хаотических процессов, что привело к введению обобщенных определений фазы и фазовой синхронизации, охватывающих случай хаотических процессов [211]. Наиболее естественный путь введения понятия фазы для хаотического процесса состоит в рассмотрении хода процесса между моментами пересечения им некоторой поверхности (сечения Пуанкаре).

При этом индексом синхронизации удобно считать значение фазы рт процесса x(t), лежащее в промежутке от О до 2л и определяемое как Ct[x] = pt = 2л t г~г\ + 2 тгп, tnt tn+\ где tn - время пго пересечения траектории процесса с сечением Пуанкаре [211].
При k = 2, выбирая F1(pt) = F2(^t) = pt, получаем синфазную синхронизацию. Если же задать функции сравнения как F1(pt) = pt, F2(^t) = pt + п, то получим противофазную (антифазную) синхронизацию.
Несколько более общее понятие синхронизации получается, если принять в качестве значения индекса синхронизации величину Ct = t*(Т), где t*(t) - последний момент пересечения поверхности, не превосходящий момента t [103]. Этот способ позволяет охватить и случай, когда физически осмысленной фазы ввести не удается из-за значительной нерегулярности процесса. В частности, если в качестве сечения Пуанкаре выбрать поверхность, уравнение которой определяет равенство нулю производной по времени некоторой скалярной функции от процесса, то получим экстремальную синхронизацию (см. выше). ?
Пример 5.4. Координатная синхронизация. С середины 1980-х стало использоваться определение синхронизации взаимосвязанных подсистем как совпадения координат векторов их состояний [11, 141].

Особенно популярным это определение стало после публикации статьи Л.Пекоры и Т.Кэрролла об управлении синхронизацией хаотических систем [196]. Очевидно, координатная синхронизация укладывается в предложенное выше общее определение, если ввести индекс синхронизации Ct(хі) = Хі(t), где через Хі(t) обозначено значение вектора состояния і-й подсистемы в момент времени Т, а функции сравнения взять тождественными: Fi(х) = х, і = 1, ...,k. ?
Пример 5.5. Обобщенная (частичная) координатная синхронизация. Координатную синхронизацию из предыдущего примера часто называют полной или тождественной, подчеркивая необходимость совпадения всех фазовых координат подсистем.

Для практики представляет интерес также случай, когда совпадает лишь часть фазовых координат подсистем или некоторые функции от фазовых координат уі = h(xi) выходы. Соответствующее понятие было введено в [212] и названо обобщенной синхронизацией. Очевидно, обобщенная синхронизация укладывается в вышеописанную схему при выборе Ст(х) = Хі(Т), и Fi(х) = h(x), і = 1,..., К. ?
Пример 5.6. Дискретная синхронизация.

Иногда необходимо рассматривать дискретную во времени координатную синхронизацию, когда точное совпадение выходов имеет место только на некотором дискретном множестве моментов времени {tq}, q = 1,2,.... В этом случае индекс синхронизации С[уі(- )] зависит от набора значений выходов процессов уі = h(xi) в моменты tq и может быть определен как бесконечная последовательность
с [Уі (- )] = {Уі (t1), Уі (t2), ...}.
Вариант дискретной координатной синхронизации встречается, если Cq [Уі ] = tq, где tq - момент времени, в который некоторые координаты или выходы уі(Т) приближаются к заданной точке, либо пересекают заданную поверхность. Другой вариант если значение tq определено как время достижения q-ro локального экстремума сигнала.

Этот вариант является частным случаем экстремальной синхронизации (см. пример 5.2) и сводится к предыдущему, если учесть, что условием экстремума является равенство нулю производной по времени.
Разумеется, должны быть наложены дополнительные условия, обеспечивающие корректную определенность всех вводимых величин. Достаточно потребовать, чтобы каждая траектория пересекала сечение бесконечное число раз и среди моментов пересечений встречались сколь угодно большие t 0. Интересно, что таким образом строится обобщенное определение фазы для непериодического процесса, что позволяет рассматривать фазовую синхронизацию (пример 5.3) как вариант дискретной синхронизации. ?
Другие примеры. Приведенное определение позволяет за счет выбора индекса синхронизации и функций сравнения формализовать различные свойства процессов, которые интуитивно желательно отнести к синхронизации. Например, для определения координатной синхронизации колебательных процессов, протекающих синхронно, но имеющих разную амплитуду (размах) колебаний, можно ввести
индекс синхронизации с нормирующим множителем;
Ct [х]
x(t)
max |x(s)| ’
0 st
Если на один из двух процессов с периодом Т наложен нерегулярный шум, то в качестве индекса синхронизации можно использо-
t
вать скользящее среднее процесса: Ct[x] = f f x(s)ds.
t-т
Наконец, если из процесса вычесть скользящее среднее или функцию от него, то можно исключить влияние временных трендов. На-
t
пример, введение индекса Ct[x]=x(t) j J x(s)ds позволит описать
T t-T
синхронное поведение с точностью до линейного тренда.
Обобщения, Хотя данные определения достаточно общие, они могут быть обобщены далее. Например, можно модифицировать определение так, чтобы охватить задачи, где процессы Хі принадлежат разным функциональным пространствам Хі (например, Хі(Т) е R3 описывается моделью Лоренца, а x2(t) е R2 - уравнением Ван дер Поля).

Для этого вводятся функции предсравнения Fi ; Xi ^ X, переводящие все процессы в одно пространство. После этого равенства, определяющие синхронный режим приобретают вид
FiC+i [Fl(xi)]) = ЩC+,[f2(x2)0 =. ¦¦ = Fk(Ct+i[F*(x*)j). (5.10)
Заметим, что для случая двух процессов (* = 2) функции предсравнения соответствуют спрямляющему преобразованию F, использованному в работе [108]; F = (F1/, F22). При этом, если индекс синхронизации взять как в примере 5.5; Ct(хі) = хі(t), а одну из функций сравнения принять тождественной, то придем к определению работы [108], причем вторая функция сравнения будет играть роль функции синхронизации [108].

Это показывает, что определение [108] описывает понятие более общее, чем обобщенная координатная синхронизация (см. пример 5.5), но менее общее, чем понятие синхронизации, введенное выше, в определении 5.1.
Другое обобщение позволяет охватить ряд практических задач, где сдвиги времени ті, і = 1, ...,* не являются константами, хотя и стремятся к постоянным величинам (так называемым асимптотическим фазам). В этом случае вместо оператора сдвига для каждой функции выхода уі(- ) можно рассмотреть операторы репараметризации (замены) времени, определенные следующим образом:
(ап) y(t) = y(t'(t)),
где t[ : Т Т, і = 1,..., К - некоторые непрерывные вместе с обратными отображения (гомеоморфизмы) множества моментов времени в себя, такие что
lim (t'i (t) - t) = Ті . (5.11)
Отметим, что в работе [11] вместо (5.11) предложено более мягкое условие lim (tl(t)/t) = 1, разрешающее сколь угодно большие фазовые сдвиги.
Однако в обобщениях нельзя заходить слишком далеко. Например, нельзя допускать в качестве репараметризаций времени произвольные гомеоморфизмы t(t), как это делается в определении устойчивости по Жуковскому.

Получаемое в таком случае формально свойство не будет отражать интуитивный смысл термина синхронизация: согласованное во времени протекание различных процессов.
В заключение заметим, что приведенное общее определение не только предоставляет терминологический и понятийный аппарат для сравнения и обсуждения различных свойств синхронизации, но и позволяет достичь иных целей, в частности разграничить синхронизацию и не-синхронизацию. Например, в работе [172] синхронизация была определена как уменьшение фрактальной размерности вектора состояния совокупной системы, состоящей из взаимодействующих подсистем по сравнению с суммой размерностей векторов состояний подсистем. В соответствии с введенным выше определением такое свойство не является синхронизацией, поскольку оно определяется через характеристики процессов (размерности), не зависящие от протекания процессов во времени.

Правильнее называть это свойство упорядоченностью, синергией.
Аналогично, нецелесообразно относить к синхронизации свойство коррелированности процессов, выражающееся в близости к еди-ниде коэффициента их взаимной корреляции
q(xu x)
XI

Динамическое определение

Для многих приложений представляет интерес более специализированное и формализованное определение синхронизации, которое в отличие от приведенного выше можно назвать динамическим, поскольку оно опирается на понятие динамической системы, принятое в теории систем [37]. 1
Динамическое определение можно сформулировать следующим образом.
Рассмотрим k динамических систем Е; (I = 1,... ,k), каждая из которых формально описывается шестеркой:
Е; = {Т, U;, X;, Y;, Ф;, Н;}, I = 1,...,k,
где Т - общее множество моментов времени; U;, Х;, Y; - множества входов, состояний и выходов соответственно; ф; : Т х Х; х U ^ X; -отображение переходов; h; : Т х Х; х U; Y; - отображение выходов.
Сначала рассмотрим случай, когда все U; состоят из одной точки, т. е. входы отсутствуют и могут быть исключены из формулировок. Предположим, что дано I функционалов gj: У1 хУ2 х ...х Ук хТ ^ R1, j = 1, .. ,. Здесь У ; представляют множества всех функций на Т со значениями в Y;, т. е. У; = {у : Т Y;}.
Будем считать, что множество моментов времени Т является либо положительной полуосью Т = R1 (непрерывное время), либо множеством натуральных чисел Т = 1,2,... (дискретное время). Для любого т е Т определим ат как оператор сдвига на т, т. е. ат: У; У ; определено как (ату)(Т) = у(Т + т) для любых у е У ; и Т е Т. Обозначим через у;(- ) функцию выхода системы Е;: у;(Т) = h(x;(Т), Т),
t E T, i = 1,. ..,K. Теперь можно дать формальное определение синхронизации. Пусть х(1)(Т) , ..., х(К)(Т) - решения систем Еь ..., Ек с начальными состояниями х(1)(0),...,х(к)(0) соответственно - определены для всех t e Т.
Определение 5.2. Будем называть процессы х(1)(Т),..., x(K)(t) в системах Еь..., Ек синхронизированными по отношению к функционалам g1,... ,gi, если тождества
gjК#1(0,..., ?чУк(- ), Т) = 0, j = 1,..., I, (5.12)
верны для всех t E Т и некоторых т1,..., тк E Т.
Будем говорить, что системы Еь..., Ек приближенно синхронизированы по отношению к функционалам g1,...,gi, если существуют е 0 и т1,..., тк E Т, такие что неравенства
\gj К У1 (¦),... , ОткУи (- ), Т)| е, j = 1,...,1, (5.13)
выполнены для любого t E Т.
Будем также говорить, что системы Е1,..., Ек асимптотически синхронизированы по отношению к функционалам g1,...,gl, если для некоторых т1,..., тк E Т
lim gj (ат У1О,..., Рту (- ), О =0, j = 1,..., I. (5.14)
Приведенное динамическое определение отличается от общего определения 5.1 тем, что оно более специализировано, поскольку содержит указание на математические модели синхронизируемых процессов. С другой стороны, если условие синхронизации задано посредством некоторой характеристики (индекса синхронизации) процесса Ct, то его всегда можно переформулировать в духе определения 5.2, введя функционалы синхронизации как меры различия значений индекса для разных процессов. Покажем это.

Поскольку в определении 5.1 выходные (наблюдаемые) переменные процессов не вводятся, можно считать, что пространства Уі идентичны и совпадают с множеством значений индекса C, т. е. Уі = У = C, а функции сравнения отсутствуют (т. е. тождественны). Тогда можно ввести функционалы {gij}, i, j = 1,..., К, например, так:
gij(Xi(- ), Xj(- ), t) = dist(Ct+Ti [Xi], Ct+J [Xj]),
87
где dist - метрика (расстояние между точками) в метрическом пространстве C. Если различие значений индекса измеряется при помощи функций сравнения Fi, а значения индекса Ст зависят от выходных (наблюдаемых) переменных уі, то это отражается на выборе функционалов естественным образом:
gij(у (- ), Уі(- ), Т) = dist(F(С,+п [Уі]), Fj(Ct+V [у])).
Важно, чтобы выбор функционалов и характеристик синхронизации отражал существо соответствующих математических, физических или прикладных задач. В противном случае формализация может быть бесполезна или даже вредна.

Аналогичное верно и для фазовых сдвигов ті, которые в некоторых задачах могут быть фиксированными, а в некоторых - неопределенными. Разумеется, возможность эффективного решения задач синхронизации зависит от выбранных функционалов и характеристик.
Замечание 5.3. Набор функционалов всегда возможно заменить одним функционалом, не меняя существа явления синхронизации. Например, можно выбрать функционал G следующего вида:
і
G(yi (- ) , ..., ук (- ), t) = ^ gf(yi(0,...,y* (- ), t). (5.15)
j=i
Замечание 5.4. При практическом использовании явления синхронизации важно потребовать , чтобы соотношения (5.12) -(5.14) не нарушались (или хотя бы не нарушались значительно), когда некоторые параметры системы изменяются в некоторой области. Другими словами, свойства (5.12)- (5.14) должны обладать некоторой грубостью (робастностью).

Однако при изменении параметров фазовые сдвиги могут измениться, не быть постоянными и даже не стремиться к постоянным величинам. С учетом этих обстоятельств (5.11) можно заменить на условие
lim Т(Т) - Т\ ті,
исключающее, впрочем, неограниченный рост фазовых сдвигов и слишком расширительную трактовку понятия синхронизации (см. обсуждение в конце п.5.1.2). ?
Перейдем к рассмотрению более частных классов синхронных процессов, встречающихся в практических задачах. Во многих задачах множества Uj, X, Yj являются конечномерными векторными пространствами и системы Ej могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями. Сначала рассмотрим простейший случай не связанных между собой систем без входов:
Их.
-L = Fi{Xi,t),
dt
(5.16)
где Fj (j = 1,... ,К) - некоторые векторные поля. Иногда синхронизация может происходить в не связанных между собой системах (5.16) (например, все точные часы синхронизируются в смысле частоты).

Этот случай будет называться естественной синхронизацией. Однако более важным и интересным представляется случай синхронизации связанных между собой систем. В этом случае модели систем включают входы
Dxj
= Fj (Xj, Uj, t)
(5.17)
Ej :
at
и их следует дополнить моделями взаимосвязей. В некоторых случаях взаимосвязи описываются статическими зависимостями между входами и выходами систем:
(5.18)
Uj : uj Uj (y1 ,..., Уі,т).
В других случаях система взаимосвязей является динамической. Например, в вибрационных установках вибровозбудители связаны через общее несущее тело [14], при синхронизации генераторов электростанций взаимосвязь может быть вызвана общей электрической нагрузкой и т. д. Модель системы с динамическими взаимосвязями имеет вид
' dXj
dt Dx0 , dt
Fj (Xj, T)+ Fj (xo, X1,...,Xk, t), 1 = 1,...,K,
Fo(Xo, X1,...,Xk, t),
(5.19)
где векторное поле Fo описывает динамику связующей системы; Fj -векторные поля, описывающие характер связей.
Как уже отмечалось выше, замечательное и широко используемое явление состоит в том, что синхронизация может присутствовать, т. е. тождество (5.12) может выполняться в системе взаимосвязанных процессов (5.19) без какого-либо внешнего воздействия, т. е. без дополнительных входов. В этом случае система (5.19) называется самосинхронизированной по отношению к функционалам g1,...,gi или индексам С1,...,СК.

Аналогичные определения даются для приближенной и асимптотической самосинхронизации.
Во многих прикладных задачах важно, чтобы связи между системами Еь ..., Ек были слабыми, например, когда уравнения (5.19) могут быть представлены в виде
' dXj
dt Dx0 , dt
Fi(хі, t) + pFi(xo,X1, ...,хк, t), 1 = 1,... ,K, Fo(xo,X1,. ..,xk, t),
(5.20)
где p - малый параметр. Условия самосинхронизации в системах со слабыми взаимодействиями найдены для широкого класса динамических систем (5.20), в частности с периодическими по времени функциями Fi в правых частях [14, 15].
Однако во многих случаях самосинхронизация не наблюдается и встает вопрос: возможно ли приложить дополнительное воздействие, т. е. управление к системе, таким образом, чтобы достигалась цель (5.13) или (5.14)?
Поскольку приведенные до сих пор определения не содержат возможности управления системой, займемся формализацией задач управляемой синхронизации. Предположим для простоты, что все Еі (і = 0,..., К) - гладкие конечномерные системы, описываемые дифференциальными уравнениями с конечномерным входом, т. е.
(5.21)
^ = Fi(xi,t) + Fi(x0,xh ... ,xk,u, t), i=\,...,k, ^ = F0(x0,xi,... ,xk,u,t),
где и = u(t) e Rm - вход (набор управляющих переменных).
Задача управляемой синхронизации по отношению к функционалам gj, j = 1,..., I (соответственно управляемой асимптотической синхронизации по отношению к функционалам gj, j = 1,..., I)
состоит в нахождении управления u(t) и, возможно, от состояний х, Х\,...,хп так, чтобы соотношения при условии, что (5.12) (соответственно (5.13), (5.14)) были выполнены для замкнутой системы. Задача управляемой синхронизации по отношению к характеристикам C1,...,Ck формулируется аналогично.

Таким образом, условия синхронизации (5.12), (5.13), (5.14) превращаются в цель синхронизации.
Замечание 5.5. Так как говорить об управляемой синхронизации имеет смысл лишь в случаях, когда отсутствует самосинхронизация, включение управления приводит к цели (5.12) только по окончании некоторого переходного режима. Поэтому мы будем иметь дело только с асимптотической синхронизацией с обратной связью (5.14). ?
Иногда цель может быть обеспечена без измерения каких-либо переменных системы, например периодическим во времени возбуждением. В этом случае функция управления и = и(Т) не зависит от состояния системы, а задача нахождения такого управления называется задачей разомкнутой (open loop, feedforward) управляемой синхронизации. Для периодических входов подобные задачи рассматриваются в рамках теории вибрационного управления [95]. Еще раньше стали разрабатываться методы анализа вынужденных колебаний нелинейных систем по действием периодического возбуждения, в частности, для изучения явлений захвата частоты и фазовой синхронизации (phase locking).

Соответствующий вид синхронизации был назван принудительной или внешней синхронизацией [14] и изучался многими авторами, см. напр. [46, 50].
Более широкие возможности открываются, если измерению доступен вектор состояния или некоторые функции переменных состояния (выходы) системы.



Содержание раздела