Синтез управления синхронизацией

Нахождение функции управления в этом случае называется задачей синхронизации с обратной связью (feedback synchronization).
Простейшей формой обратной связи является статическая обратная связь, где уравнение регулятора выглядит следующим образом:
u(T) = U (хо, хі,...,хк, Т) (5.22)
для некоторой функции U : Rn х Rni,..., Rnk х R ^ Мт.
Более общей формой является динамическая обратная связь по состоянию:
(5.23)
(5.24)
= W(x₀,x_h ... ,x_k,w,t), at
u(t) = U (xo, Х_Ь...,Х_Ь w, t),
где w Е R^; W : RNo x RNl x ... x RNk x R^ x R ^ R^; U : RNo x RNl x
... x RNk x R^ x R Rm.
Во многих практических задачах полная информация о состоянии систем Е₀, Еі,...,Ек недоступна и только некоторые переменные выхода у_і (і = 1,...,г) доступны для использования в законе управления. В случае, когда Е_і - гладкие конечномерные системы, задача синхронизации с обратной связью по выходу может быть поставлена как нахождение уравнений регулятора в виде статической обратной связи
u(t) = U (yi,..., y_r, t)
или в виде динамической обратной связи: (5.25) aw
_df = W(y_u...,y_r,w,t), (5.26) u(t) = U (yi,..., Уг, W, t), (5.27) где w Е R^; y_i Е Rpi; W : Rp1 x ... x Rpi x R^ x R ^ R^; U : Rp1 x ... x Rpi x R^ x R Rm, такой что цель (5.14) достигается в системе (5.21), (5.25) или (5.21), (5.26), (5.27).
Приведенное определение управляемой синхронизации позволяет формально ставить и решать задачи синтеза синхронизирующего управления. Некоторые из них будут рассмотрены далее.

Синтез управления синхронизацией

Для анализа и синтеза систем синхронизации можно использовать известные результаты теории динамических систем и теории управления. Остановимся на задачах асимптотической координатной синхронизации, которую мы будем понимать как выполнение соотношения
lim x₁(t) х₂(t) I = О,
(5.28)
t-оо
где Х\, х₂ - векторы состоянии синхронизируемых подсистем.
Синхронизация и конвергентность. В теории устойчивости динамических систем аналогом свойства (5.28) является конвергентность.

Как известно, система дифференциальных уравнений называется конвергентной [31], если она имеет единственное ограниченное решение, которое глобально асимптотически устойчиво, т. е. все решения системы сходятся к некоторому предельному режиму. Рассмотрим две идентичных системы:
(5.29)
Хі = F(хі, t), Х2 = F(X2, t).
Если x₁(t), x₂(T) - произвольные решения систем, то их можно рассматривать как решения одной и той же системы X = F(х, Т) с разными начальными условиями. Поэтому конвергентность системы X = F(х, Т) влечет асимптотическую координатную синхронизацию идентичных систем (5.29). Стандартным достаточным условием кон-вергентности (а значит, и синхронизации) является [31] равномерная отрицательность всех собственных чисел симметризованной матри
_ т
dF(x,t)
дх
. Это условие интер
цы линеаризованной системы дР^ +
претируется как устойчивость с запасом собственных движений подсистем. Колебательные системы, однако, часто находятся на границе устойчивости или являются неустойчивыми (если колебания хаотические).

В этих случаях и возникает вопрос об управлении синхронизацией.
Синхронизация и стабилизация. Особенности задач управляемой синхронизации проиллюстрируем для частного случая, когда модели синхронизируемых подсистем линейны по состояниям и управлениям:
Х₁ = Лх₁ + f (Т) + Ви₁, (5.30)
Х2 = Лх2 + f (Т) + Ви2, (5.31)
где u₁, и₂ - управляющие воздействия, f (Т) - внешнее воздействие (ограниченная функция времени), матрицы коэффициентов Л, В имеют размеры п х п, п х м, соответственно. В этом случае уравнение для ошибки синхронизации е = х₁ х₂ также линейно:
(5.32)
ё = Ле + B(u₁ и₂)
и задача асимптотической синхронизации подсистем (5.30) и (5.31) сводится к стабилизации (обеспечению асимптотической устойчивости) уравнения ошибки (5.32). Очевидно, динамика ошибки синхронизации зависит от разности управлений и = и₁ и₂, т. е. достаточно рассматривать случай одного управления и синхронизировать подсистемы при помощи линейной обратной связи вида и₁ = Ке, и₂ = 0. При этом на систему (5.31) управление не влияет и ее движения выступают как задающие, эталонные по отношению к движениям системы (5.30). Системы управления с эталонной моделью (systems with reference models) хорошо известны в теории управления (в зарубежной физической литературе такие системы называют системами типа master-slave или drive-response). Для достижения цели синхронизации следует выбирать матрицу обратной связи К так, чтобы матрица А + ВК была устойчива (гурвицева), т. е. чтобы все корни ее характеристического многочлена det(A/ А ВК) имели отрицательные вещественные части.

Как хорошо известно из теории управления, если пара матриц А, В управляема, то выбором матрицы обратной связи К корни характеристического многочлена матрицы А + ВК можно сделать произвольными. При этом легко показать, что если матрица А не имеет правых собственных чисел, т. е. для синхронизации нужно только сдвинуть влево ее собственные числа, лежащие на мнимой оси, то, в силу непрерывной зависимости коэффициентов многочлена от его корней синхронизирующее управление может быть сколь угодно малым (в ограниченной области начальных условий).

Аналогичные выводы верны и в случае и₁ = и₂ = и/2, когда управление воздействует на обе системы. Подобные задачи не типичны для теории управления, поскольку в этом случае желаемое, целевое движение системы не задано.

Тем не менее, задача решается точно так же, поскольку уравнения ошибки совпадают.
Гораздо сложнее оказываются случаи, когда вместо векторов со-
стояния Х\, х₂ наблюдению доступны лишь некоторые выходные переменные у₁ = Схі, у₂ = Сх₂, где С прямоугольная I х ft-матрица. Существующие необходимые и достаточные условия стабилизируемое™ по выходу слишком громоздки и не являются окончательными даже для линейных систем.

Для формулировки простых достаточных условий удобно ввести передаточную матрицу W(А) = С(АІ А)-1 В. Рассмотрим для простоты случай I = т = 1, когда вход и выход скалярны. В этом случае W(А) = Ь(А)/а(А), где В(А), а(А) - многочлены степеней п₁, п, соответственно, причем п₁ п, а(А) характеристический многочлен матрицы А. Модель ошибки может быть преобразована к виду дифференциального уравнения пго порядка а(р)у = Ь(р)и, где р = d/dt - символ дифференцирования. Не умаляя общности, можно считать, что коэффициент а_п при А_п равен единице: а_п = 1.
Простой достаточный критерий стабилизируемости системы обратной связью и = Ку был установлен еще в конце 1940-х годов М.В. Мееровым: стабилизирующее К существует, если многочлен В(А) гурвицев (имеет все корни левее мнимой оси), а величина d=пп₁ (разность порядков знаменателя и числителя передаточной функции), называемая относительной степенью системы равна единице или двум, причем при d = 2 коэффициент при Ап-1 положителен : а_п-1 0. В качестве К можно выбрать достаточно большое по абсолютной величине число, знак которого противоположен знаку коэффициентов В(А) числителя передаточной функции: Ь₀К 0. Отметим, что если d 3 или d = 2, но а_п-1 0, то стабилизация (а значит, и синхронизация) обратной связью по выходу неустойчивых систем невозможна.
Синхронизация и наблюдатели. Больше возможностей для достижения синхронизации возникает при отсутствии структурных ограничений на управление в виде матрицы В у одной из систем.

Пусть, например, одна из систем (ведущая) реализована физически, но недоступна целенаправленному воздействию (управлению), а вторая система реализована в вычислительном устройстве и ее модель может быть задана более или менее произвольно. Вся система может описываться, например, уравнениями
Х₁ = Ax\ + f(Т), y₁ = Cx\, (5.33)
Х₂ = Ax₂ + u(t). (5.34)
Задача управления координатной синхронизацией в этом случае состоит в поиске функции и = U(yi, х₂, t), обеспечивающей в замкнутой системе соотношение (5.28), интерпретируемое как восстановление состояния х₁ системы (5.33) с помощью оценки х₂. Такая задача хорошо известна в теории управления и называется задачей наблюдения, а ее решение дается так называемым линейным наблюдателем
Х2 = Ах2 + К(уі Cx2)+f (t), (5.35)
где К - матрица, подлежащая определению. При этом ошибка наблюдения e(t) = x₁(t) х₂(Т) будет подчиняться уравнению ё = (А-КС)е, а собственные числа матрицы АКС за счет выбора матрицы К могут быть выбраны произвольно при выполнении условия наблюдаемости 5 пары А, С.
Перечисленные выше системы синхронизации, основанные на стабилизации линейного уравнения ошибки, обладают полезными свойствами грубости и робастности. Грубость означает, что поведение системы мало меняется при малых изменениях ее модели, таких как учет неидентичности и нелинейности подсистем, взаимосвязей между ними, различия внешних воздействий и т.д.

Более того, можно показать, что если функции, описывающие дополнительные, неучтенные при первоначальном синтезе системы погрешности входят в правые части уравнений системы аддитивно и ограничены по какой-то норме величиной А, то предельная (при Т ^ то) норма ошибки ограничена величиной RA при некотором R 0, не зависящем от А, т. е. имеет тот же порядок, что и возмущающие факторы. Свойство грубости, сопровождающееся количественной оценкой отклонения поведения возмущенной системы от поведения невозмущенной, называется робастностью. Отметим особенность свойств грубости и робастности синхронизированных систем, состоящую в
5 Критерием наблюдаемости пары А, С является условие
rankjC, Ас,..., (А)п-1С} = п.
том, что эти свойства имеют место лишь по отношению к ошибке синхронизации, но не по отношению к поведению каждой из подсистем. Отдельные подсистемы при возмущении могут терять устойчивость и некоторые из их переменных могут неограниченно расти (например, маятники могут перейти во вращательный режим), но отклонение от синхронизма (ошибка синхронизации) будет оставаться ограниченным.
Синхронизация нелинейных систем. В физических задачах наибольший интерес представляет синхронизация сложных движений, возникающих в нелинейных системах.

Опишем коротко некоторые способы решения задач управления синхронизацией нелинейных систем. Для простоты предположим, что имеются две подсистемы, описываемые аффинными моделями:
(5.36)
Хі = M*i)+gi(*i)wi, Х2 = /2(*2)+Ы*2)и2.
Исходные подсистемы не связаны между собой. Поставим задачу координатной синхронизации подсистем: найти алгоритм управления
(5.37)
U = Ui (xi, Х2), i = 1,2,
такой, чтобы обеспечивалась цель управления (5.28). Решение задачи тривиально, если правые части (5.36) можно изменять произвольно и независимо, т. е. если т = n, g_i(x_i) = g₂(x₂) = I_n, где I_n - единичная п х n-матрица. Тогда, взяв, например, u_i = 0, u₂ = K(x_i х₂), где К 0 - коэффициент усиления, получим уравнение ошибки в виде
ё = / (xi(T)) / (xi(T) е) Ке, (5.38)
в котором x_i(t) - заданная функция времени, являющаяся решением первого уравнения (5.36) при u_i = 0. Если матрица Якоби д/
А(х) = (х) ограничена в некоторой области О, содержащей реше-д х
ние системы (5.36), то при достаточно большом К 0 собственные числа симметричной матрицы А(х) + АТ(х) 2КІ_п лежат левее мнимой оси при х е О. При этом система будет обладать свойством конвергентности в О, т. е. все ее траектории, лежащие в О, сходятся при t ^ ж к единственному ограниченному решению. Поскольку e(t) = 0 является таким решением, то к нему и сходятся все траектории. Таким образом, синхронизация двух систем имеет место при усилении взаимосвязи между подсистемами.

При этом поведение каждой из систем может быть и оставаться сложным, например, хаотическим. На самом деле для синхронизируемости систем не нужны гладкость правых частей и существование матрицы Якоби: достаточно потребовать выполнения условия Липшица I/(хі) f (х₂)| L|x₁ х₂1 для некоторого L 0.
Аналогичным образом для систем с условием Липшица можно построить и нелинейный наблюдатель, так называемый наблюдатель с большим коэффициентом усиления (high-gain observer)
Х2 = /2(Х2) + К(Х2)(У\ СХ2), (5.39)
где уі = Cxi. Работать такая система будет лишь при определенных ограничениях на L [176].
Оригинальная схема построения наблюдателей в задаче синхронизации нелинейных систем предложена в 1990 г. Л. Пекорой и Т. Кэрроллом [196]. Схема применима, если при разбиении уравнений динамики системы на группы, соответствующие наблюдаемым переменным у₁ и ненаблюдаемым переменным z₁
уі = Fy(уі, zi), (5.40)
Zi = F_z(уі, zi) (5.41)
вторая подсистема (5.41) обладает свойством конвергентности относительно z₁. Тогда можно вектор наблюдаемых переменных у₁ непосредственно ввести в уравнение наблюдателя, имеющего вектор состояния z₂ и описываемого уравнением
(5.42)
Z2 = Fz(уі, Z2).
Из конвергентности следует, что z₁(t)z₂(t) 0 при t и, следовательно, в качестве оценки вектора состояния системы (5.40), (5.41) можно принять вектор (у₁, z₂). Условием работоспособности схемы может служить достаточное условие конвергентности (см.выше): собственные числа матрицы
dF_z{y,z)
дг
dF_z(y,z) dz
равномерно отрицательны при всех у, 2. Это условие легче поддается проверке, чем условие отрицательности условных ляпуновских показателей, предложенное в [196]. Обоснование для более общего случая можно найти в [140].
Интересно, что схему ПекорыКэрролла можно представить как предельный случай наблюдателя с большим коэффициентом усиления, имеющего структуру
У2 = Fy(У2, 22) + К(уі - У2), (5.43)
22 = F_z(у2, 22). (5.44)
Действительно, переписав уравнение (5.43) в виде
?ij2 = eFy(у2, 22) + (уі - У2), (5.45)
где е = 1/К - малый параметр, замечаем, что система (5.43), (5.44) относится к классу сингулярно-возмущенных. При этом вырожденная (редуцированная) система, получаемая при е = 0 и описывающая медленные движения имеет вид у₁ = у₂, 2₂ = F₂(у₁,2₂) т. е. совпадает с (5.42).

Поскольку система быстрых движений (5.43) асимптотически устойчива при достаточно большом К 0, ее решение у₂(Т) близко к у₁(Т) при достаточно больших К 0 и Т О, т. е. динамика наблюдателя (5.43), (5.44) определяется динамикой вырожденной системы (5.42).
Пример 5.7. Схема ПекорыКэрролла многократно применялась к передаче сообщений с помощью хаотических сигналов. В пионерской работе К. Куомо, А. Оппенгейма и С.Строгаца [117] используется передатчик сигналов на основе системы Лоренца, уравнения которой после масштабирования приведены к виду
!U = а(? и),
V = ги ? 20uw, (5.46)
W = 5uv Bw
При выборе параметров а =16, г = 45.6, В = 4.0 система обладает хаотическим поведением.
Уравнения приемника взяты в соответствии со схемой Пекоры-Кэрролла в виде
!Us = (v_s u_s),
v_s = ru v_s 20uw_s, (5.47)
W_s = 5uv_s bw_s.
Уравнения (5.47) похожи на (5.46), за исключением того, что правая часть (5.47) зависит не от своей переменной состояния u_s, а от переменной и, которая таким образом может рассматриваться как поступающий на приемник выходной сигнал передатчика. Система (5.46), (5.47) укладывается в схему ПекорыКэрролла при у = и, z = (v, w).
При помощи функции Ляпунова вида V = V(е₂, е_з) = 0.5е| + 4е| в работе [117] дано простое доказательство того, что системы (5.46) и (5.47) синхронизируются, т. е. невязка между их соответствующими переменными состояния асимптотически стремится к нулю. Для доказательства выписываются уравнения ошибки
(5.48)
ё = е2 20иез, ёз = 5ие2 Ьез,
и вычисляется производная функции V в силу системы (5.48). Вычисления показывают, что
V = е₂(е₂ 20ие_з) + 4е_з(5ие₂ Ье_з) == е| 4Ье|. (5.49)
Таким образом, V kV, где k = min{2, 2Ь} 0 независимо от величины сигнала и = u(t) и переменные ошибки е₂(Т), е_з(Т) сходятся к нулю экспоненциально. Поскольку ё₁ = а(е₂ е₁), а 0, переменная е₁ также сходится к нулю экспоненциально т. е. (5.47) является асимптотическим наблюдателем для (5.46).
Для передачи двоичного сигнала коэффициент b передатчика (5.46) изменялся, принимая значение b = 4.4, соответствующее двоичной единице, тогда как исходное значение b = 4.0 означало двоичный нуль. При изменении величины b в (5.46) до b = 4.4 в системе (5.47) резко возрастает уровень сигнала рассогласования е = и u_s, что позволяет установить факт передачи полезного сигнала. ?
Синхронизация и метод скоростного градиента. Для синтеза систем синхронизации можно применять и метод скоростного градиента, см. п. 2.4.2.
Пусть управляемая система описывается уравнениями (5.36). Введем целевой функционал
Q(x) = ^\xi -х₂\2 (5.50)
и вычислим скорость его изменения в силу уравнения системы:
Q(x) = (xi - *2)T(/i + g1U - /2 - G2U2).
Затем вычислим скоростной градиент:
0Q
ди₁
dQ_
ди₂
= (Хі - Х2)Тgl,
= (Хі - Х2)Тg2, и выпишем алгоритм скоростного градиента для функционала (5.50):
(5.51)
ui = -у(хі - Х2)Тgi(xi),
U2 = -Y(X2 - Xi)Tg2(X2).
Как было замечено в [124], частными случаями алгоритма (5.51) являются описанные выше схемы. Например, алгоритм синхронизации линейной обратной связью (5.38) получается, если положить g₁(x₁)= І_п, g₂(x₂) = 0, y = К, наблюдатель с большим коэффициентом усиления (5.39) получается, если положить g₁(x₁) = 0, g₂(x₂)= g₂C, Y = К, а схема Пекоры-Кэрролла (5.42) для случая, когда выход у₁ входит в (5.42) линейно (F_z(у₁, z₂) = /(z₂)+y₁ g(z₂)) получается, если положить g1(X1) = 0, g2(х2) = gC, Y = 1.
Условия, при которых алгоритм (5.51) обеспечивает синхронизацию, вытекают из общих теорем о достижении цели в системах на основе алгоритмов скоростного градиента [61, 80, 140].

Адаптивная синхронизация

Постановка задачи

Во многих случаях динамика синхронизируемых систем зависит от неизвестных параметров, недоступных при синтезе алгоритма син-хронизадии. В таких случаях для управления синхронизацией можно использовать законы адаптивного управления.

Следуя [6, 124, 136], изложим общую постановку задач адаптивного управления синхронизацией и схему решения для двух подсистем на основе метода пассификации. Рассмотрим N взаимосвязанных подсистем, описываемых уравнениями вида
Хі = Fi (xi,..., Xn , и, ?, t) і = 1,..., N, (5.52)
где ? Е - вектор неизвестных параметров. Пусть задана неотрицательная целевая функция Q(х₁,... ,x_N, t), малые значения которой соответствуют достижению синхронного режима.

Выбор целевой функции определяется желаемым типом синхронизации. Например, целевая функция может быть выбрана в виде (5.5), (5.15) или (5.50). Задача состоит в том, чтобы найти алгоритм адаптивного управления вида
и = U(Х1,... ,Xn, t, ?),
где ? Е - вектор настраиваемых параметров и алгоритм адаптации вида
? = ?(Х1,... ,Xn, t, ?),
так, чтобы цель управления
lim Q (х₁(Т),..., x_N (t), t) = 0 (5.53)
достигалась для всех ? Е Е, где Е - множество допустимых значений ?.
Отметим, что поскольку правые части F_i в (5.52) различны, поставленная задача охватывает случай неидентичных подсистем, представляющий наибольший интерес в задачах управления синхронизацией.

Адаптивная синхронизация двух подсистем

Далее рассмотрим более подробно случай двух подсистем: N = 2, х_і Е со скалярным управлением и Е R1 и зададим естественную цель синхронизации:
lim |x₁(t) х₂(t) I = 0.
t^-ж
Вычтем уравнение второй системы из уравнения первой и предположим, что в полученном уравнении для вектора ошибки можно выделить линейную и нелинейную части и представить модель ошибки в следующем виде:
n
е = Ле + В ^ ?іф_;(х₁, х₂, Т) + Bu, (5.55)
;=i
где Л - постоянная n x n-матрица; В постоянный n-мерный вектор; ?_і - постоянные, но неизвестные коэффициенты, а функции ф_; известны и измеряемы. Таким образом, предполагается наличие линейной и согласованной параметризации: как неизвестные параметры так и управление входят в уравнение ошибки линейно и, кроме того, пропорционально постоянному вектору В (например, нелинейности и управление входят только в одно из уравнений системы).
Модель ошибки (5.55) охватывает как традиционный для теории управления случай, когда управление входит только в одну из подсистем (5.52), так и случай, когда управление может воздействовать на обе подсистемы. В последнем случае предельное движение управляемой системы (синхронный режим), вообще говоря, неизвестно, даже если ошибка приблизилась к нулю.
Пусть измерению доступны, кроме функций ф_;(хі, х₂, Т), выходные переменные у_і = Сх_і, і = 1,2. Алгоритм адаптивного управления может быть выведен, а достижение цели установлено методом скоростного градиента. Зададим основной контур управления в виде
N
и = ?о (уі - У2) + ^?; ф; (Хі, Х2, Т), (5.56)
І = 1
где ?о, ?_; - некоторые настраиваемые параметры. Выбор такого закона управления мотивируется надеждой на то, что он в принципе способен решить задачу, поскольку существуют такие значения настраиваемых параметров ?_;, і = 1, ...,N, что цель управления достигается. Действительно, если выбрать
?_и = ?;, і = 1,... ,N, (5.57)
то при подстановке выбранных значений настраиваемых параметров ?_;* и управления и в уравнение ошибки (5.55) все нелинейности исчезнут, уравнение примет вид
(5.58)
ё = [А ?₀ВС] е.
и, если существует ?_0# такое, что уравнение (5.58) асимптотически устойчиво, то закон (5.56), (5.57) в принципе обеспечивает синхронизацию. Однако в любом случае воспользоваться таким законом нельзя, так как он зависит от неизвестных параметров.
Для синтеза алгоритма адаптации воспользуемся методом скоростного градиента. Учитывая, что система содержит линейную по е часть, выберем квадратичную целевую функцию Q(е) = е Ре, е = х₁ Х2, где Р = Р 0 - некоторая симметричная положительноопределенная матрица. Вычисляя скорость изменения введенной функции в силу системы (5.55), а затем градиент от скорости по настраиваемым параметрам, получим
Q = ет Рё = ет Р
Ае + В ?і + Ви
і=і
= е‘Р [А ?оВС] е + е1PBJ2 ?і)^
і=і
BQ т_{пв/ 4} BQ т тэг = ~e РВ(У' ~ У*) ду = РВіРі-д?о В?і
Для применимости алгоритма нужно, чтобы все величины в алгоритме управления были доступны измерению. По предположению, функции _і(х₁, х₂, Т) доступны измерению.

Осталось обеспечить измеряе-мость величины е РВ, являющейся линейной комбинацией переменных ошибки по состоянию системы. Очевидно, эта величина является измеряемой, когда она представляет собой линейную комбинацию переменных ошибки по выходу системы: е РВ = (у₁ у₂) g = е С g для некоторого числа g, что эквивалентно соотношению РВ = С g. Если это соотношение выполнено, то алгоритм адаптации, получаемый по методу скоростного градиента в дифференциальной форме принимает вид
(5.59)
(5.60)
ёі = Yi(Yi У2)Рі(хі, Х2, Т), і =1, ...,N, ?о = Yo(Yi Y2)2,
где Yi, i = 1,...,N - коэффициенты адаптации, величина которых произвольна , а знак совпадает со знаком g.
В более общем случае, если выходы являются I-мерными векторами, то g Е Ш1 и алгоритм адаптации имеет вид
? = -Yig (Yi - У2)?і (хі, Х2, t), і = 1,...,N, (5.61)
А. Т
00 = -Yo[g (Yi - У2ЖУ1 - У2) (5.62)
где Yi 0, i = 1,... ,N.

Условия достижения цели синхронизации

Для вывода условий работоспособности предложенной схемы понадобятся некоторые определения и результаты из теории управления.
Определение 5.3 [80]. Линейная система X = Ах+Ви, у = Сх с передаточной матрицей W(А) = С(ХІ - А)-1 В, где и, у Е Ш1 и А Е C называется минимально-фазовой если многочлен ^(А) = det(AI -A)det W(А) гурвицев. Система называется гипер-минимально-фа-зовой если она минимально-фазовая и матрица С В = 1іт_А^_то AW (А) симметрична и положительно определена. ?
Заметим, что для I = 1 система п-го порядка гипер-минималь-нофазовая, если числитель ее передаточной функции - гурвицев многочлен степени п - 1с положительными коэффициентами, что эквивалентно случаю D = 1 в условиях Меерова.

Содержание раздела

---