Предмет и методология кибернетической физики
Например, в отечественной физической литературе иногда вместо термина управление используется термин контроль, являющийся калькой с английского слова control. В русском языке слово контроль означает проверку, наблюдение с целью обнаружения ошибок, в то время как аналогом английского control является термин управление, давно принятый среди специалистов (например, control theory теория управления, control system система управления и т.д.).
Представляется, что на нынешнем этапе развития кибернетической физики важно активнее общаться и обмениваться информацией специалистам с различным научным багажом.
О применимости кибернетических методов в физике говорилось давно (см. напр. книгу В.Ф. Турчина Феномен науки, написанную в 1970-е годы: В кибернетических понятиях с равным успехом описываются явления физико-химические, биологические, социальные [74]).
О важности применения кибернетических методов в физике говорит, например, наличие в рубрикаторе ГАСНТИ специального раздела: 29.01.77 Математические и кибернетические методы в физике. Однако анализа различных применений кибернетических методов в физике и описания этого направления как единой дисциплины, по-видимому, ранее не проводилось.
Цель настоящей публикации привлечь внимание к быстро развивающейся области исследований физических систем кибернетическими методами, сформулировав и проиллюстрировав примерами некоторые общие принципы, лежащие в ее основе. Автор в полной мере сознает недостатки и неполноту изложения; в решении ряда приведенных задач и примеров сделаны лишь первые шаги, многие интересные направления и исследования лишь упомянуты.
Систематическое изложение огромного множества задач кибернетической физики требует значительного места и времени и является делом будущего.
Предмет и методология кибернетической физики
Как уже было сказано, под кибернетической физикой (коротко киберфизикой) мы понимаем область науки, изучающую физические системы кибернетическими методами. Это значит, что методология киберфизики опирается на методы теории управления, а ее предмет включает задачи управления физическими системами.
Таким образом, чтобы охарактеризовать предмет киберфизики, следует описать классы рассматриваемых моделей объектов управления, целей управления и допустимых алгоритмов управления, а чтобы охарактеризовать ее методологию, необходимо описать основные методы построения алгоритмов управления и типы получаемых результатов. Этому и посвящена данная глава.
Модели объектов управления
Формальная постановка любой задачи управления начинается с выбора модели управляемой системы (объекта управления) и модели цели управления. Даже если модель не дана или неизвестна, она должна быть определена в том или ином виде.
Отличие кибернетических моделей от традиционных для физики и механики моделей динамики состоит в том, что в них явно указываются входы и выходы системы, поскольку это существенно при построении обратных связей. В литературе по управлению физическими системами рассматривается несколько классов моделей. Мы в основном ограничимся рассмотрением часто встречающихся моделей с сосредоточенными параметрами, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями в пространстве состояний:
X = F(x, u), (2.1)
где х = x(t) n-мерный вектор переменных состояния ; X = d/dt производная по времени от х(Т); и = и(Т) т-мерный вектор входов
(управляющих переменных). Компоненты вектора состояния будем обозначать через хь... , хп, а компоненты вектора управляющих воздействий через и1,...,ит. Таким образом, уравнение состояния (2.1) не что иное, как компактная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dXj
dt
FI (xi, х2,..., хп, ul, и2, ... , ит ), 1 1, ,...,м
(2.2)
Интервал времени, на котором рассматривается модель, обычно заранее не определен, поэтому основным требованием к модели является существование (а часто и единственность) решения системы (2.1) с начальным условием х(0) = X. Таким образом, вектор-функция F(х, и) должна удовлетворять условиям, гарантирующим существование и единственность решений системы (2.1) хотя бы на небольшом интервале вблизи начального момента времени Т = О, например, она является непрерывно дифференцируемой.
Важно отметить, что модели типа (2.1) пригодны для описания двух физически различных классов управляемых объектов.
А. Объекты с координатным управлением. Входные переменные представляют некоторые физические величины (силы, моменты, напряженность электрических или магнитных полей и т. д.). Например, модель управляемого осциллятора (маятника) может быть приведена к форме
Jp + др + mgl sin р = и, (2.3)
где р = р(Т) угол отклонения маятника от вертикали (выходная величина); и = и(Т) управляющий момент (входная величина); J, м, I, G, д физические параметры маятника (момент инерции, масса, длина, ускорение свободного падения, коэффициент трения). Описание (2.3) можно преобразовать в форму (2.1), где вектор состояния имеет вид х = ( р, ^)т.
В. Объекты с параметрическим управлением. Входные переменные представляют изменения физических параметров системы, например, u(t) = р р0, где р0 номинальное значение физического параметра р. Пусть, например, маятник управляется путем изменения его длины. Тогда модель вместо (2.3) будет иметь вид
ІСр + дф + mg(l0 + u(T)) sin ф = 0, (2.4)
где Іо начальная длина маятника.
В ряде публикаций предпочитают говорить о вариантах А и В как о существенно различных. Однако с кибернетической точки зрения разница эта непринципиальна, если речь идет о процессах, описываемых нелинейными моделями типа (2.1).
Рассматривать отдельно случаи координатного и параметрического управления имеет смысл, только, если модель управляемого объекта линейна. В этом случае разница заключается в том, что линейная система с линейной обратной связью по координатам остается линейной, а такая же система с линейной обратной связью по параметрам перестает быть линейной (она становится билинейной) и требует применения более сложных методов для анализа и синтеза.
При наличии внешних воздействий необходимо использовать более сложные, нестационарные (time-varying) модели:
X = F(х, и, Т). (2.5)
С другой стороны, многие нелинейные системы могут быть описаны моделями более простыми, чем (2.1), например аффинными по управлению моделями:
х = f (x)+g(x)u. (2.6)
Кроме описания динамики модель объекта управления обязательно должна включать описание измерений (наблюдаемых величин). Пусть наблюдению доступны I переменных у1,...,уп, называемых выходами объекта или наблюдаемыми. Обычно выходы являются функциями переменных состояния системы, а описание измерений задается при помощи I-мерной вектор-функции
У = Н(х). 22
В частности, наблюдению могут быть доступны все переменные состояния, тогда у = х. Запись у = h(x, и) означает, что измерению доступны также входные переменные или некоторые функции от них.
Важным примером наблюдаемой величины является энергия. Например, для маятника (2.3) энергия задается функцией Н = 0.5/(ф)2+ Mgl(l cos ф).
Таким образом, нельзя ограничиться рассмотрением только линейных функций h(x), как часто делается в теории управления. Если явное описание наблюдаемых выходов отсутствует, то будем считать, что все переменные состояния наблюдаемы, т. е. у = х.
Здесь уместно еще раз подчеркнуть, что в самой форме описания наблюдений (2.7) неявно содержится предположение о том, что процесс измерения не влияет на динамику объекта или этим влиянием можно пренебречь. Данное предположение, вообще говоря, не выполнено для процессов микромира, в частности для квантовомеханических процессов, поскольку макроскопический измерительный прибор может существенно влиять на микроскопическую систему, вплоть до ее разрушения.
Каждую такую задачу следует рассматривать отдельно.
Отметим также, что понятие уравнения состояния в теории управления отличается от уравнения состояния в термодинамике. Здесь и далее под состоянием понимается набор переменных, относительно которых динамика исследуемой физической системы может быть описана системой дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений в форме Коши).
Такая трактовка ближе к понятию состояния в квантовой механике, где, например, волновая функция подчиняется уравнению первого порядка в бесконечномерном гильбертовом пространстве. В некоторых случаях требуется рассматривать математические модели в виде дифференциальных уравнений на многообразиях, но такие модели в книге рассматриваться не будут.
В ряде задач управления в физике и других науках удобно описывать динамику объектов дискретными моделями
хк+і = Fk(xk, uk), ук = h(xk), (2.8)
где xk Е Mn, uk Е , yk Е R1, векторы состояния, входов и выходов на К-м шаге процесса, k = 0,1, 2,...,. Дискретная модель задается набором отображений Fk. Перейти к дискретной модели удобно, если даже процесс протекает непрерывно, но измерения выполняются лишь в дискретные моменты времени tk. Тогда xk = x(tk), uk = u(tk), yk = y(tk).
Способы перехода приведены, например, в [6, 7].
Значительное число работ посвящено управлению системами с распределенными параметрами, описываемыми уравнениями с запаздывающим аргументом, уравнениями в частных производных и т. д. Мы будем рассматривать модели распределенных систем по мере необходимости.
Цели управления
Классификацию задач управления удобно проводить по типу целей управления.
Регулирование (стабилизация). Типичная и самая простая цель управления регулирование, часто называемое также стабилизацией или позиционированием.
Регулирование понимается как приведение вектора переменных состояния объекта х(Т) или вектора выходных переменных у(Т) к некоторому равновесному состоянию х* (соответственно, у*). От времени достижения цели при постановке задачи абстрагируются и задают идеализированную формальную цель управления в виде предельного соотношения
lim х(Т) = х* (2.9)
tx
или
lim у(Т) = у*. (2.10)
tx
При наличии ограниченных возмущений достижение целей (2.9) и (2.10), как правило, невозможно и их следует заменить на приближенные соотношения для верхнего предела ошибки
lim |х(Т) х* |А (2.11)
t^о
или
lim \y(t) у*| А, (2.12)
t-оо
где А величина (параметр) допустимой погрешности. При действии на объект случайных возмущений или помех разумно рассмотреть цели вида
limM\x(t) х*| А (2.13)
tж
или
limM\y(t) у*\ А, (2.14)
tж
где М символ взятия математического ожидания (усреднения).
Сложность достижения целей (2.9)(2.14) возрастает, если желаемое состояние равновесия х* неустойчиво при отсутствии управления. Такой случай типичен для задач управления хаотическими системами.
Возможно также, что без управления состояние х* не является равновесием. Однако это не вносит дополнительных сложностей просто в таком случае управляющее воздействие не должно исчезать при приближении траектории к точке х*.
Слежение. В задачах слежения требуется приблизить вектор переменных состояния объекта управления х(Т) к желаемой функции времени x*(t), т. е.
1іт[х(Т) х* (Т)] = 0, (2.15)
t^о
или вектор выхода у(Т) к желаемой функции времени у*(Т):
lim [у(Т) у*(Т)] = 0. (2.16)
Тх
Желаемый выход у*(Т) может интерпретироваться как задание или командный сигнал. Желаемая функция х*(Т) (или у*(Т)) может быть задана как явная функция времени или измеряться по ходу развития процесса. Она может быть также определена через движение другой, вспомогательной, системы, называемой эталонной моделью или моделью цели.
В последнем случае, задача нахождения регулятора, обеспечивающего достижение цели (2.15) или (2.16), называется задачей управления с эталонной моделью. Типичная задача управления хаосом стабилизация неустойчивого периодического решения (орбиты) также относится к задачам слежения, где х*(Т) Т-периодическое решение свободной (и(Т) = 0) системы (2.1) с начальным условием х*(0) = х*0, т. е. х*(Т + Т) = х*(Т) для всех
Т 0.
Возбуждение (раскачка, раскрутка, разгон) колебаний, В задачах возбуждения колебаний предполагается, что первоначально система находится в состоянии покоя и необходимо привести ее в колебательное движение с заданными характеристиками, причем траектория, по которой должен двигаться фазовый вектор системы, заранее не задана, не известна или не имеет значения для достижения цели. Подобные задачи хорошо известны в электротехнике, радиотехнике, акустике, лазерной технике, вибрационной технике, где требуется запустить процесс генерации периодических колебаний. К этому классу относятся также задачи диссоциации и ионизации молекулярных систем, выброса из потенциальной ямы, хаотизации и другие задачи, связанные с ростом энергии, возможно приводящим к фазовому переходу в системе.
Формально подобные задачи можно свести к задачам слежения, но при этом желаемые движения являются непериодическими, нерегулярными, а целевая траектория x*(t) может быть задана лишь частично.
Задачи возбуждения колебаний удобно формализовать при помощи некоторой скалярной целевой функции G(x), задав цель управления как достижение предельного равенства
lim G(x(t)) = G* (2.17)
t^o
или неравенства для нижнего предела целевой функции
limf-.ooGM0) G,. (2.18)
Во многих случаях в качестве целевой функции естественным образом выступает полная энергия свободной системы Н(х).
Синхронизация, Под синхронизацией будем понимать совпадение или сближение переменных состояния двух или нескольких систем, либо согласованное изменение некоторых количественных характеристик систем. Задача синхронизации отличается от задачи управления с эталонной моделью, поскольку в ней допускается совпадение различных переменных, взятых в различные моменты времени. Временные сдвиги могут либо быть постоянными, либо стремиться к постоянным (асимптотические фазы). Кроме того, во многих задачах синхронизации связи между системами являются двусторонними (двунаправленными).
Это значит, что предельный режим в системе (синхронное решение) заранее не известен.
Явление синхронизации в системах без управления (самосинхронизация) было описано еще в Х?ІІ-м веке X. Гюйгенсом, изучавшим работу маятниковых часов. В середине ХХ-го века И.И.Блехман открыл и детально исследовал явление самосинхронизации вращающихся роторов [14, 15].
Последняя хорошо изучена и находит применение в вибрационной механике, связи и энергетике [14, 15, 50, 53]. Задачи управляемой синхронизации стали систематически изучаться лишь недавно [136, 140, 187, 196], хотя отдельные работы появлялись и ранее [10, 59].
Общее понимание задач самосинхронизации и управляемой синхронизации было выработано в работах [75, 102, 103] и будет представлено далее, см. гл. 5.
Общей особенностью задач управления возбуждением и синхронизацией колебаний является то, что желаемое поведение однозначно не фиксировано, а его характеристики задаются лишь частично. Например, в задаче возбуждения колебаний могут быть заданы требования лишь на амплитуду колебаний, а частота и форма могут меняться в определенных границах.
В задачах синхронизации часто основным требованием является совпадение или согласованность колебаний всех подсистем, в то время как характеристики движения каждой подсистемы могут варьироваться в широких пределах.
Удобным математическим выражением цели управления в подобных задачах является задание желаемых значений одного или нескольких числовых показателей. В задаче возбуждения колебаний в качестве такого показателя может выступать, например, энергия системы. Формальным выражением синхронного движения двух подсистем с векторами состояния x1 е Rn и х2 е Rn может быть полное или частичное совпадение векторов состояния, например равенство
х1(Т) = x2(t), t 0. (2.19)
Равенство (2.19) выделяет в объединенном пространстве состояний взаимодействующих подсистем некоторое подпространство (диагональ). Таким образом, можно сделать вывод, что в задачах управления в физических системах целевыми множествами часто являются не точки и не одномерные кривые, а многообразия более высокой размерности.
Если требуемое соотношение устанавливается только асимптотически, при t ^ж, то можно говорить об асимптотической синхрони-
задии. Если же синхронизация в системе без управления (при и = 0) отсутствует, или же синхронный режим является либо неустойчивым, либо обладающим слишком узкой областью притяжения, то можно поставить задачу управления синхронизацией как нахождение управляющего воздействия, обеспечивающего синхронный режим.
При этом синхронизация будет выступать в качестве цели управления. Например, цель, соответствующую обеспечению асимптотической синхронизации векторов состояний (фазовых координат) двух систем можно записать в виде:
lim [x\(t) x2(t)] = 0. (2.20)
t^x
Соотношение (2.20) выражает сходимость решений x(t) = {xi(t), x2(t)} в объединенном пространстве состояний двух систем к диагональному множеству. Часто оказывается удобным переписать целевое условие (2.15), (2.16), (2.17), (2.19) или (2.20) в терминах подходящей целевой функции Q(х, Т) как предельное соотношение
lim Q(х(Т), Т) = 0. (2.21)
Например, чтобы привести цель (2.20) к форме (2.21), можно использовать квадратичную целевую функцию Q(x) = |х1 х212. Вместо евклидовой нормы для задания той же цели можно выбрать другую норму, например квадратичную целевую функцию Q(х, Т) = [х х*(Т)]тГ[х х*(Т)], где Г симметричная положительно определенная матрица.
Свобода выбора целевой функции может оказаться полезной при последующем выборе управления.
Модификация предельных множеств (аттракторов) систем.
Этот класс целей включает такие частные виды целей, как:
изменение типа равновесия (например, преобразование неустойчивого положения равновесия в устойчивое или наоборот);
изменение вида предельного множества (например, преобразование предельного цикла в хаотический аттрактор или наоборот; изменение фрактальной размерности предельного множества, и т. д.);
изменение положения и типа точки бифуркации в пространстве параметров системы;
создание (генерация) колебаний с заданными свойствами (например, возбуждение колебаний с заданной частотой, амплитудой, энергией и т. д.).
Задачи подобного типа стали рассматриваться в конце 1980-х годов в работах по управлению бифуркациями [86, 231], а также в работах по управлению хаотическими режимами, о которых мы уже говорили. Э. Отт, Ч. Гребоджи и Дж.
Йорке в своей основополагающей работе [192] и их последователи выявили новый класс целей управления, вообще не предполагающий задания количественных характеристик желаемого движения. Вместо этого задается желаемый качественный тип предельного множества (аттрактора). Например, требуется преобразовать хаотические, нерегулярные колебания в периодические или квазипериодические. С другой стороны, накладывается уже упоминавшееся дополнительное требование малости управления.
Развитие методов решения подобных задач стимулировалось новыми применениями в лазерных и химических технологиях, в технике телекоммуникаций, в биологии и медицине [116, 140].
Например, работоспособность лазера, перешедшего в хаотический (многомодовый) режим, можно восстановить введением слабой обратной связи по оптическому каналу. В результате можно повысить мощность излучения при сохранении его когерентности.
Напротив, в процессах химической технологии свойство хаотичности процесса перемешивания в реакторе является полезным, так как способствует ускорению реакции и повышению качества продукта. Следовательно, разумной целью управления является в этом случае повышение степени хаотичности. Наконец, в медицине для лечения некоторых видов сердечной аритмии было предложено использовать электростимуляторы с обратной связью, изменяющие степень нерегулярности сердечного ритма [109, 143] путем подачи стимулирующих импульсов в соответствующие моменты времени.
Поскольку аритмия может выражаться как в повышении, так и в понижении степени хаотичности сердечного ритма по сравнению с индивидуальной нормой пациента, целью управления в этом случае является поддержание заданной степени нерегулярности. Целевые функции, выражающие количественно степень хаотичности, нерегулярности, можно формировать через известные характеристики хаотичности: показатели Ляпунова, фрактальные размерности, энтропии и т. п.
Кроме основной дели управления могут быть заданы дополнительные цели или ограничения; например, требование обеспечить достижение цели при малой мощности управления или малых затратах на управление. Требование малости управленияважно для физических задач, поскольку оно означает, что внешние воздействия не разрушают присущих физической системе внутренних свойств, не осуществляют насилиянад системой.
Это особенно важно в экспериментальных исследованиях, поскольку его нарушение может привести к наблюдению артефактов эффектов, отсутствующих при отсутствии направленного воздействия на систему и не наблюдающихся в естественных условиях.
Математическое выражение требования малости управления заключается в задании ограничения ||и(-)|| А, где ||и(-)|| некоторая норма управляющей функции и(-), а А 0 заданная величина (порог).
Достижение или недостижение цели может зависеть от того, как были заданы начальные условия на систему. Если цель достигается при любых начальных условиях, то говорят о глобальной достижимости цели. В противном случае должно быть задано или определено множество начальных условий О такое, что цель достигается для любого решения x(t) системы (2.1) с управлением при начальных условиях из множества О, т. е. при х(0) = х0 е О.
Интересно отметить, что такие цели, как регулирование и слежение традиционны для теории управления и способы их достижения хорошо изучены. Однако остальные классы целей имеют особенности. Нетрадиционность их заключается в том, что цель определяет поведение систем не полностью, а лишь частично, задавая достаточно широкий класс желаемых или приемлемых траекторий. Такие задачи принадлежат к области так называемого частичного управления, которые хорошо исследованы лишь в специальном случае целей, соответствующих устойчивости замкнутых систем по части переменных [22].
Систематическое же изучение более общих задач началось сравнительно недавно [бі].
Алгоритмы управления
В физических работах часто говорят об управлении системой, если в системе (или ее модели) выделен некоторый параметр, называемый входным, бифуркационным или управляющим параметром, изменение которого приводит к изменению некоторой характеристики поведения системы, называемой выходным параметром. При этом говорят об управляемости системы, если область изменения выходного параметра при допустимых изменениях входного параметра охватывает значения, соответствующие желательным режимам функционирования системы.
Строго говоря, управление в описанном смысле еще является таковым. Это лишь возможность постановки задачи управления, точнее возможность достижения заданного значения выхода при постоянном значении входа.
В действительности подача на объект рассчитанного по величине, но постоянного во времени воздействия может и не привести к достижению желаемой цели. Рассмотрим, например, снова задачу о стабилизации неустойчивого равновесия р = п маятника (2.3), но управляющее воздействие будем считать постоянным.
Из условия равновесия точки р = п следует, что u(t) = 0. Однако из-за неустойчивости равновесия р = п сколь угодно малые отклонения начальных условий или сколь угодно малые возмущения приводят к нарушению цели управления.
Значительно большими возможностями обладает управление, являющееся функцией времени. Если управляющее воздействие (величина или параметр) зависит только от времени: и = u(t), то такое воздействие называется программным или задающим, а способ управления называется управлением по возмущению или по разомкнутому контуру (program control, open loop control, feedforward control).
