Фрадков Л. - Кибернетическая физика
Рассмотрены основные положения кибернетической физики - новой научной области, направленной на исследование физических систем кибернетическими методами. Изложены предмет и методология кибернетической физики. Представлены результаты, устанавливающие фундаментальные закономерности преобразования траекторий консервативных и диссипативных систем при помощи обратных связей. Дается обзор применений обратной связи для управления синхронизацией, хаосом, колебаниями в распределенных системах.
Описан подход к построению моделей динамики физических систем на основе методов теории управления (принципа скоростного градиента). Описанные понятия и результаты иллюстрируются примерами новых подходов к классическим задачам о маятнике Капицы, о выбросе из потенциальной ямы, о синхронизации осцилляторов, к задачам об управлении химической реакцией с фазовым переходом и о диссоциации двухатомных молекул.
Предисловие
В книге излагаются некоторые идеи и результаты, относящиеся к области кибернетической физики науки об исследовании физических систем кибернетическими методами. Хотя отдельные публикации в физических журналах, использующие идеи теории управления, появлялись достаточно давно, самостоятельный раздел науки на стыке физики и теории управления начал формироваться лишь в 1990-х годах в связи с бурным ростом таких направлений как управление хаосом и управление квантовыми системами, число публикаций в которых достигло нескольких тысяч.
Впервые делается попытка представить предмет и методологию кибернетической физики, а также решения некоторых ее задач с единых позиций. Основные результаты изложены для двух важнейших классов физических систем: консервативных и диссипативных, для описания моделей которых используется гамильтонов формализм, а для решения может быть применен предложенный ранее автором метод скоростного градиента.
Дается обзор применений обратной связи для управления синхронизацией, управления хаосом, управления колебаниями в распределенных системах. Для перечисленных задач демонстрируются возможности применения общих результатов и устанавливаются границы преобразования свойств систем при помощи обратной связи.
Представлен подход к применению принципа скоростного градиента для построения моделей физических систем.
Описанные понятия и результаты иллюстрируются примерами, содержащими новые подходы к хорошо известным задачам о маятнике Капицы, о выбросе из потенциальной ямы, о синхронизации осцилляторов, об управлении химической реакцией с фазовым переходом, о диссоциации двухатомных молекул.
Книга рассчитана на междисциплинарную аудиторию; для ее чтения достаточно знания основных понятий линейной алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений. Трудность написания подобных книг состоит в том, что ориентация на широкий круг читателей неизбежно идет во вред глубине изложения. Одни места в книге, возможно, не понравятся физикам, другие - кибернетикам.
Автор, сам по образованию математик, не смог удержаться от включения в книгу строгих формулировок и доказательств нескольких основных результатов в наиболее простых вариантах. Для ряда более сложных и громоздких результатов даны ссылки на литературу. Однако область, которой посвящена книга, еще достаточно молода и строгие решения многих задач отсутствуют.
Поэтому в тексте много результатов компьютерных исследований и указаний на нерешенные задачи.
С другой стороны, для удобства читателей-физиков, по ходу изложения поясняются некоторые понятия теории управления. Разумеется, это не заменяет учебника по теории управления для физиков, который, увы, еще не написан.
Поэтому на протяжении всей книги при необходимости даются ссылки на существующие учебники и монографии.
По мнению автора, кибернетическая физика как самостоятельный раздел науки с единым предметом и методологией уже сложилась. Настало время привлечь к новой области внимание научной общественности, прежде всего молодежи, что дало бы новый толчок киберфизическим исследованиям.
Основания к уверенности в этом дают интерес и поддержка, выраженные при выступлениях с лекциями и докладами по материалам будущей книги как перед кибернетическими, так и перед физическими аудиториями в 1998-2003 гг. в 28 университетах и научных центрах, в том числе в университетах Бохума, Вены, Дуйсбурга, Калифорнии (Сан-Диего), Киото, Кумамото, Линчепинга, Мельбурна, Москвы, Потсдама, Принстона, Санкт-Петербурга, Токио, Эйндховена, Южной Калифорнии; в институтах проблем механики РАН (Москва), проблем управления РАН (Москва), Санта Фе (США), CESAME (Мексика), INRIA (Франция), SUPELEC (Франция), RIKEN (Япония); в Центре теоретической физики CNRS (Марсель). Автор благодарен коллегам за приглашения и за поддержку.
Замысел книги родился и развивался в ходе работы автора в лаборатории управления сложными системами Института проблем машиноведения РАН. Ряд исследований выполнен при поддержке
РФФИ (проекты 99-01-00672, 02-01-00765), программы фундаментальных исследований Президиума РАН 19 Управление механическими системами (проект 1.4. Управление колебаниями и хаосом в физико-технических системах), а также Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2257.2003.1).
В книгу вошли некоторые тексты, подготовленные для публикации в Соросовском образовательном журнале по материалам Соросовских лекций в 19992000 гг.
Автор пользуется приятной возможностью выразить благодарность коллегам по совместным работам, идеи и результаты которых нашли отражение в книге, в том числе М.С. Ананьевскому, Б.Р.
Андриевскому, И.И. Блехману, П.Ю.
Гузенко, А.А. Ефимову, А.М.
Кривцову, С.А. Кукушкину, X. Наймейеру, А.В. Осипову, А.Ю.
Погромскому, В.В. Шиегину, А.С. Ширяеву, а также признательность всем, поддержавшим эту работу, и прежде всего Б.Р.
Андриевскому, многолетняя дружба и сотрудничество с которым были всегда радостными и сделали возможным появление многих публикаций, И.И. Блехману, невероятное сочетание мудрости и увлеченности которого делали общение с ним таким притягательным, и своему дорогому учителю В.А.
Якубовичу, открывшему ученикам необъятное кибернетическое пространство.
Автор будет признателен за любые конструктивные замечания и приглашает читателей к дискуссии в Интернете. Адрес легко найти поиском по фамилии автора или названию книги.
Санкт-Петербург, Александр Фрадков
декабрь 2003 г.
Физика и кибернетика
Немного о прошлом
Энциклопедия определяет физику как науку о природе, изучающую простейшие и вместе с тем наиболее общие свойства материального мира. Возраст физики как науки исчисляется тысячелетиями, а ее история уходит корнями в античность: термин физика, означающий в переводе с греческого природу, был введен в обиход Аристотелем. Кибернетика несравненно моложе и имеет признанную дату рождения: публикацию в 1948 г. первого издания книги американского математика Норберта Винера Кибернетика [21].
Н. Винер определял кибернетику как науку об управлении и связи в живом организме, машине и обществе. Мы будем понимать кибернетику как теорию управления в широком смысле, поскольку вопросы связи (передачи информации) в настоящее время принято относить к смежной области информатике, получившей стремительное развитие в конце XX в.
Как физика, так и кибернетика бурно развивались в XX веке и, безусловно, внесли революционные изменения в естествознание. Тем не менее до недавних пор кибернетические термины редко появлялись на страницах ведущих физических журналов, а ее влияние на физические исследования было практически не ощутимо. И не удивительно, поскольку науки весьма непохожи: физика (в частности, механика) является классической описательной (descriptive) наукой, а кибернетика (теория управления) представляет собой, как отмечал Р. Брокетт, в некотором смысле парадигму предписательных (prescriptive) наук [110].
Это значит, что задача физики исследовать и описывать системы, тогда как задача кибернетики преобразовывать их при помощи управляющих воздействий для формирования предписанного поведения.
Справедливости ради следует сказать, что автоматические и автоматизированные системы измерений и управления давно и широко применяются в экспериментальных физических исследованиях, современный физический эксперимент немыслим без автоматики. Однако в экспериментальных исследованиях система управления обычно играет вспомогательную роль, обеспечивая поддержание заранее
заданного режима эксперимента. При этом не возникает качественно нового взаимодействия физики и теории управления, когда при применении кибернетических методов обнаруживаются новые теоретические результаты и качественно новые физические эффекты.
Удивительно то, что ситуация коренным образом изменилась в 1990-х годах с началом бурного развития двух новых областей: управление хаосом и управление квантовыми системами.
Управление хаосом
Показательна история управления хаосом. До 1990 года в научных журналах работ в этой области почти не было.
Однако в 1990 г. появилась статья группы ученых из Мэрилендского университета, США, Э. Отта, Ч. Гребоджи и Дж. Йорке Управление хаосом [192].
Статья вызвала настоящий взрыв публикаций: по данным журнала Сайенс Сайтэйшн Индекс (Science Citation Index), к концу 1990-х годов по этой тематике публиковалось более чем 300 статей в год в рецензируемых журналах, а общее число публикаций перевалило за 3000 (рис.1.1, а). В статье Отта-Гребоджи-Йорке [192] был сделан вывод, что даже малое управление в виде обратной связи, приложенное к нелинейной (хаотически колеблющейся) системе, может коренным образом изменить ее динамику и свойства: - например, превратить хаотическое движение в периодическое.
Работа [192] породила лавину публикаций, в которых иногда экспериментальным путем, а чаще путем компьютерного моделирования, демонстрировалось, как управление (с обратной связью или без нее) может влиять на поведение разнообразных реальных и модельных физических систем. Предложенный в [192] метод стали называть методом OGY по начальным буквам фамилий авторов, а число ссылок на работу [192] к 2002 г. превысило 1300. Большинство публикаций по этой
700 600 500 400 300 200 100 0
Рис. і.і. Динамика публикаций в рецензируемых журналах по темам (а) Управление хаосом; (б) Квантовое управление (данные Science
Citation Index)
теме печатается в физических журналах, а авторы большинства работ представляют физические факультеты и кафедры. Таким образом, новое направление с достаточным основанием можно отнести к сфере физики.
Как ни странно, хотя во многих работах подчеркивалась ключевая роль нелинейности системы в подобных явлениях, аппарат современной теории нелинейного управления, как правило, использовался слабо. Объяснить это можно тем, что возникающие задачи зачастую отличаются от традиционных задач автоматического управления: вместо классических целей управления приведения траектории системы в заданную точку (задача регулирования) и приближения траектории к заданному движению (задача программного управления, задача слежения) ставятся ослабленные цели: создание режимов с частично заданными свойствами, качественное изменение фазовых портретов систем, синхронизация хаотических колебаний и т. п. С другой стороны, предъявляется более жесткое требование малости управляющего воздействия, соответствующее физически ясному условию минимального вмешательства исследователя в естественный ход исследуемого процесса. Впоследствии стало ясно, что подобные постановки важны и интересны не только для хаотических систем, но и для более широкого класса задач управления колебательными процессами.
Это привело к выработке единого взгляда на задачи управления колебаниями и хаосом [6, 140]. Естественным следующим шагом оказалась постановка общей проблемы изучения тех свойств физической системы, которые можно создать или изменить путем воздействия на нее (слабых) обратных связей [82, 127].
Интерес к применению методов кибернетики теории управления для поиска новых физических эффектов имеется в различных областях физики и механики: активное управление вибрациями и шумами, оптимальное управление термодинамическими системами, управление пучками частиц в ускорителях, стабилизация плазмы в задачах термоядерного синтеза. Растет число публикаций в физических журналах, посвященных вопросам управления (рис.
1.2). Особенно бурный рост претерпела за последнее десятилетие область управления молекулярными и квантовыми системами (рис.
1.1, б).
Рис. 1.2. Динамика публикаций в журналах Американского физического общества (Physical Review A,B,C,D,E; Physical Review Letters), имеющих
слово control в названии статьи.
Управление молекулярными и квантовыми системами
Пожалуй, именно в эту область идеи управления проникли раньше всего. История уходит в средневековье, когда алхимики искали способы вмешательства в ход химических реакций в стремлении превратить свинец и ртуть в золото.
Следующую веху установил знаменитый английский физик Джеймс Клерк Максвелл, придумавший в 1871 г. гипотетическое существо, способное измерять скорости отдельных молекул газа в сосуде и направлять быстрые молекулы в одну часть сосуда, а более медленные молекулы в другую. При этом между частями сосуда создается разность температур, что на первый взгляд, нарушает второй закон термодинамики.
Другой знаменитый физик лорд Кельвин назвал это существо Демоном Максвелла и под этим именем демон вошел в учебники по термодинамике. Кажущееся нарушение демоном законов термодинамики позволяет лучше понять и объяснить их.
В XX веке к демону Максвелла обращались М. Смолуховский, Л. Сциллард, Л. Бриллюэн и другие физики, изучая связь между энергией и информацией [174]. За более чем столетний срок существования демон не одряхлел.
Напротив, его активность в последние годы возросла. Он помог человечеству осознать, что любые измерения и вычисления требуют определенных затрат энергии, что привело к идее создания квантовых компьютеров [20, 40, 120].
В недавних публикациях всерьез обсуждаются вопросы экспериментальной реализации демона Максвелла, в том числе на квантово-механическом уровне [91, 179].
В конце 1980-х начале 1990-х годов успехи лазерной техники привели к появлению сверхбыстродействующих, так называемых фемтосекундных лазеров. Лазеры новых поколений позволяют генерировать импульсы когерентного излучения продолжительностью порядка единиц фемтосекунд (фс) (1 фс = 10_15с ). Продолжительность фемтосекундного импульса сравнима с периодом собственных колебаний молекул, что в принципе делает фемтосекундный лазер средством управления поведением отдельных атомов и молекул. Становится возможным говорить о таких применениях, как изменение естественного хода химических реакций, реализация квантовых компьютеров и др.
Использование методов теории управления открывает новые горизонты в изучении и изменении движения атомов и молекул, определяя как способы, так и возможные границы вмешательства в интимные природные процессы микромира.
Виды управления
Конечно, кибернетические по духу исследования велись в физике и до 1990-х годов. Например, в исследованиях по нелинейной динамике, когда математическая модель системы зависит от ряда параметров, возникает задача о бифуркациях: анализ качественных изменений в поведении системы при изменении ее параметров. При этом параметры, по существу, перестают быть постоянными величинами и превращаются в новые входные переменные. Это отражается и в терминологии: изменяемый (бифуркационный) параметр часто называют управляющим параметром (control parameter).
Задача о бифуркациях - это низшая форма задачи об управлении, а ее решение дает представление о возможностях управления, т. е. о типах поведения, достигаемых при изменении управляющих параметров.
К задачам анализа бифуркаций примыкают задачи оптимизации, где требуется найти значение управляющего параметра, обеспечивающее максимальную или минимальную величину заданного показателя функционирования системы. При этом, как и в задачах о бифуркациях, управляющие параметры являются постоянными во времени: u(t) = const.
Другой класс физических задач связан с изучением свойств системы под действием возмущений, являющихся определенного типа функциями времени: и = и(Т). Это прежде всего спектроскопические исследования, анализ вибраций в механике и акустике, некоторые разделы теории колебаний и волн, где воздействия являются гармоническими: вибрационная механика [15], изучающая поведение и свойства механических систем и материалов при быстроосцилли-рующих воздействиях.
Подобные задачи встречаются и в теории управления. Например, привычные для инженеров частотные характеристики систем управления, выражающие реакцию линейной системы на гармонические сигналы различных частот, содержат в себе информацию о важнейших динамических свойствах системы и позволяют анализировать достаточно сложные системы [6, 69]. Чтобы получить частотную характеристику экспериментально, надо последовательно подавать на систему гармонические воздействия с различными частотами и измерять амплитуды и сдвиг по фазе выходной переменной относительно входной. Другой пример сравнительно новый раздел теории управления вибрационное управление [95, 181], исследующий способы управления системами путем подачи на вход быстроосциллирующего периодического сигнала (функции времени).
Наконец, традиционные законы управления по возмущению (разомкнутое или программное управление) также порождают примеры систем, где воздействие зависит только от времени.
Однако выбор управления в виде и = const или и = u(t) не только не исчерпывает возможностей управления, но и определяет лишь наиболее простые, низшие формы управления. Наиболее широкими возможностями обладает управление в виде обратной связи и = U(х) или и = U(х, Т), использующее (полностью или частично) результаты измерения переменных состояния системы х = х(Т).
Не будет преувеличением сказать, что выдающиеся успехи теории управления за последние полвека связаны именно с разработкой эффективных методов анализа и синтеза систем с обратной связью.
Внутренние обратные связи обнаруживаются во многих физических системах и играют существенную роль в построении модели системы. Но лишь недавно начали изучать внешние обратные связи как эффективное средство исследования систем.
Пожалуй, впервые в физике возможности обратной связи стали систематически исследоваться, как было уже сказано, в связи с задачами управления хаосом. В отличие от традиционных управленческих работ, мотивированных инженерными приложениями, в физических применениях упор делается не на поиск наиболее эффективного способа достижения цели, а на исследование принципиальной возможности ее достижения, на определение класса возможных движений управляемой физической системы.
Управление в виде обратной связи обладает значительно большими возможностями и позволяет существенно изменять свойства системы. Иногда это приводит к неприятию подобных методов исследования на том основании, что, подавая воздействие, зависящее от измерений, исследователь якобы изменяет уравнения системы и, значит, исследует другую систему.
На самом деле, в физических задачах воздействия подчиняются серьезным ограничениям, например, должно выполняться требование малости управления. Кроме того, очевидно, что любой эксперимент, связанный с воздействием на систему, что-то в ней изменяет независимо от того, присутствует обратная связь или нет.
Более того, даже простое наблюдение за системой может нарушить естественный ход ее эволюции, что хорошо известно в квантовой механике, но до сих пор не привело к запрету эксперимента как средства изучения природы! Дело физиков, использующих обратную связь как инструмент, учитывать ее влияние на исследуемую систему и не принять мнимые, наведенные эффекты за действительные.
Кибернетическая физика и теория открытых систем
Алгоритмы управления, в частности, обратные связи, могут применяться с целью изучения свойств и возможностей их изменения для разнообразных природных и искусственных систем. Важно, что, хотя и различные на первый взгляд, эти исследования обладают некоторой внутренней общностью.
По-видимому, всю совокупность подобных исследований можно выделить в самостоятельный раздел на стыке физики и теории управления (кибернетики). Этот раздел изучает физические системы кибернетическими методами и может быть назван кибернетической физикой (сокращенно киберфизикой).
Киберфизические исследования основаны на возможности измерять некоторые характеристики состояния системы и использовать их для обратного воздействия на систему (управления). Это значит, что изучаемая система должна иметь возможность обмениваться с внешней средой энергией (веществом) и информацией , т. е. должна быть открытой системой.
При этом информация играет в процессе управления критическую роль. Системы, в которых происходит обмен информацией с внешней средой, называются информационнооткрытыми [36]. Математические модели подобных систем включают входные и выходные переменные.
Именно с такими системами имеет дело кибернетическая физика.
На первый взгляд кажется, что использование информации о системе в алгоритме управления делает систему снова замкнутой, а не открытой. На самом же деле, у алгоритма управления есть параметры, которые можно менять извне, влияя на систему косвенно, через алгоритм. Таким образом, замкнутая алгоритмом управления система остается открытой, но на другом уровне.
Как известно, информационные и термодинамические процессы взаимосвязаны: изменение информации о системе приводит к соответствующему, но противоположному по знаку изменению энтропии. Но нас интересует не это, а то, как можно использовать получаемую информацию и что это может дать для динамики системы.
Взаимоотношения термодинамики и информации уже достаточно изучены [16, 36, 71]. Пора сделать следующий шаг и перейти от изучения процессов передачи информации в физических системах к изучению процессов использования информации.
Среди наиболее интересных и важных проблем изучение закономерностей замыкания системы при помощи алгоритмов управления (обратных связей), что, собственно, и является предметом данной книги.
Следует отметить, что в современной физике находят применение не только методы управления, связанные с активным воздействием на физическую систему. Все чаще применяются и другие кибернетические методы, помогающие эффективно обработать информацию, получаемую в ходе физического исследования и выявить новые свойства систем.
Это, прежде всего, методы оценивания координат и параметров системы. В кибернетике накоплен значительный арсенал методов построения фильтров, наблюдающих устройств, алгоритмов идентификации (оценивания) параметров и структуры системы по измерениям. Получены критерии эффективной работы различных алгоритмов в условиях неточности модели системы и помех измерений, предложены методы синтеза и правила выбора параметров алгоритмов.
Значительное развитие получили методы обучения и распознавания образов, решающие задачи классификации системы или ее состояния, т. е. оценивания координат или параметров с точностью до их принадлежности одному из заданных множеств. Для решения вышеперечисленных задач в кибернетике развиты и применяются как классические подходы на основе теории оптимального и адаптивного управления, так и более поздние, использующие аппарат нечетких множеств и нейронных сетей.
Хотя методам распознавания, оценивания, управления посвящена обширная литература, в том числе многочисленные учебники, в физической научной литературе встречаются публикации, где пе-реоткрываются известные результаты или устанавливаются результаты, легко следующие из известных. Нередки случаи, когда вводятся новые термины для обозначения хорошо известных понятий или придается новый смысл хорошо известному термину.
