d9e5a92d

Шеломанов Р. - Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении

Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая:



750 750 756 769 757 767 760 743 745 759
750 750 739 751 746 758 750 758 753 747
751 762 748 750 752 763 739 744 764 755
751 750 733 752 750 763 749 754 745 747
762 751 738 766 757 769 739 746 750 753
738 735 760 738 747 752 747 750 746 748
742 742 758 751 752 762 740 753 758 754
737 743 748 747 754 754 750 753 754 760
740 756 741 752 747 749 745 757 755 764
756 764 751 759 754 745 752 755 765 762


По выборочным данным, представленным в заданиях 1-30, требуется: 1* Построить интервальный вариационный ряд распределения;
Построение интервального вариационного ряда распределения Max: 769
Min: 733
R=769-733=36
H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712
A1= x min - h/2=730,644
B1=A1+h; B2=A2+h 2* Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду:
среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs); Вычисление выборочных характеристик распределения i=(xi- xср)
xср = xi mi/ mi
xср = 751,7539 Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов
Выборочный центральный момент К-го порядка равен
M k = ( xi - x)^k mi/ mi
В нашем примере:

Центр момент 1 0,00
Центр момент 2 63,94
Центр момент 3 -2,85
Центр момент 4 12123,03


Выборочная дисперсия S^2 равна центральному моменту второго порядка:
В нашем примере:
S^2= 63,94
Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:
В нашем примере:
S= 7,996
Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам
Ac = m3/ S^3;
В нашем примере:
Ас =-0,00557
Ek = m4/ S^4 -3;
В нашем примере:
Ek = -0,03442
Медиана Ме - значение признака x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1) /2
Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле
Me= a me +h * ( n/2 - mh( me-1) / m me
где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) - интервала, редшествующего медианому.
В нашем примере:
Me=751,646
Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению признака , которому соответствует наибольшая частота.
Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле
Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m( mo+1)
где мо означает номер модального интервала ( интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.
В нашем примере:
Mo = 751,49476
Так как Хср, Mo Me почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.
Коэффициент вариации Vs = S/ x * 100 %= 3.06%
В нашем примере:
Vs= 1,06% 3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.

Графическое изображение вариационных рядов


Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S) вариационные ряды изображают графически.
Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма для изображения только интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)
Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h, заполнив таблицу 1.4. Интервалы xi Wi Whi Wi/h Ai-bi
1 2 3 4 5
4,97-5,08 5,03 0,02 0.02 0,18
5,08-5,19 5,14 0,03 0,05 0,27
5,19-5,30 5,25 0.12 0,17 1,09
5,30-5,41 5,36 0,19 0,36 1,73
5,41-5,52 5,47 0,29 0,65 2,64
5,52-5,63 5,58 0,18 0,83 1,64
5,63-5,74 5,69 0,13 0,96 1,18
5,74-5,85 5,80 0,04 1,00 0,36
Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i-го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h,.

Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех носительных частот, т.е. единице. Из гистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой. 4* Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.

Анализ графиков и выводы

Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законе распределения.
Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака xi, а по оси ординат накопленные относительные частоты Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .
С кумулятой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x).
В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения.

Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину.

Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.
Приечание: Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе. 5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно.
Расчет теоретической нормальной кривой распределения Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического ряда.
При расчете теоретических частот m^тi за оценку математического ожидания (мю) и среднего квадратического отклонения G нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.= 751,7539; G=S=7,99.
Теоретические частоты находят по формуле: M^i=npi,
где n объем; Pi величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.
Вероятность Pi определяется по формуле Pi=P(aix=bi)=1/2[Ф(t2i)-Ф(t1i)],
Где Ф(t)=2\ 2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx - интегральная функция Лапласа находится по таблице для T2i=bi-x ср.\ S
T1i=ai-x ср.\S Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривой распределения

Интервалы Mi T1 T2 1/2Ф(T1) 1/2Ф(T2) Pi
a(i) b(i)
730,644 735,356 2 -2,640 -2,051 0,4958 0,4798 -0,0080
735,356 740,068 8 -2,051 -1,461 0,4798 0,4279 -0,0260
740,068 744,780 6 -1,461 -0,872 0,4279 0,3078 -0,0601
744,780 749,492 18 -0,872 -0,283 0,3078 1,1103 0,4013
749,492 754,204 35 -0,283 0,306 0,0300 0,6619 0,3160
754,204 758,916 12 0,306 0,896 0,1179 0,3133 0,0977
758,916 763,628 11 0,896 1,485 0,3133 0,4306 0,0587
763,628 768,340 6 1,485 2,074 0,4306 0,4808 0,0251
768,340 773,052 2 2,074 2,664 0,4808 0,4960 0,0076
Pi*n Mi(теор) Mi(теор)/h Mi(теор)накоп
-0,8000 1 0,002 0,0080
-2,5950 3 0,006 0,0340
-6,0050 6 0,013 0,0940
40,1250 40 0,085 0,4953
31,5950 32 0,068 0,8153
9,7700 10 0,021 0,9130
5,8650 6 0,012 0,9716
2,5100 3 0,005 0,9967
0,7600 1 0,002 1,0000
100


Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением. Примечание: Построенные графики находятся в приложениях к работе. 6* Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).

Проверка гипотез о нормальном законе распределения


Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий X^2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.
Значение X^2набл. наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно
к
F^2набл.= (mi-m^тi)
I=1 m^i
Где к число интервалов (после объединения). M^i теоретические частоты.

Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1.6. Таблица 1.6. Вычисление критерия X^2 при проверке нормальности продолжительности горения электролампочек

Интервалы Mi(Практ) Mi(теор) (Mi-Mi(теор))^2 ../Mi(теор)
a(i) b(i)
730,644 735,356 2 2 9 1,29
735,356 740,068 8 5
740,068 744,780 6 13 49 3,88
744,780 749,492 18 21 9 0,43
749,492 754,204 35 25 100 4,01
754,204 758,916 12 21 81 3,89
758,916 763,628 11 12 1 0,08
763,628 768,340 6 5 1 0,14
768,340 773,052 2 2
X^2набл 13,71


Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения xu-квадрат критическое значение X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа.

Затем сравниваем X^2кр. Если X^2 набл.=X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается (не противоречит опытным данным). Если X^2 набл. X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки .
Для нашего примера X^2набл.=13,71, =0,005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9
Так как X^2набл.X^2кр., то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.

Что подтверждают графики и значения моды и медианы.



Содержание раздела