Новоселов А. - Мера возмущенной вероятности
Введение и обозначения
Одной из основных задач теории риска является построение меры риска, монотонной относительно предпочтения на множестве вероятностных распределений [1]. Здесь рассматривается класс мер риска, введенный в [2], [3], и исследуются некоторые свойства элементов этого класса.
Мера возмущенной вероятности первоначально предназначалась для вычисления страховой премии, но может быть использована и в более широком классе задач, включая портфельный анализ.
Обозначим X множество всех вещественных случайных величин, а X+ - множество неотрицательных случайных величин:
X+ = {X ? X| P{X 0} = 1}.
Введем также специальные обозначения для множеств случайных величин, обладающих конечным математическим ожиданием:
X = {X ?X : E|X| то}, X+ = {X ? X+ : E|X| то}.
"Институт вычислительного моделирования СО РАН, 660036, Красноярск, Академгородок, е-іпаіі: , т. (3912) 495382
Пусть, далее, FX(x) = P{X ж}, x G R есть функция распределения случайной величины X G X а SX(x) = P{X x} = 1 FX (x), x G R - ее дополнительная функция распределения.
Пусть д : [0,1] ^ [0,1] - неубывающая функция, причем д(0) = 0,д(1) = 1. Обозначим класс всех таких функций Q. Нетрудно заметить, что всякой д G G соответствует двойственная функция д G G, определенная равенством
Ясно также, что д = д.
В [2] была введена мера риска
р ГО
Jo
а в [3] предложена модификация (2) для распределений на всей вещественной оси R
/О р го
Отметим, что меры риска (2) и (3) зависят только от распределения SX случайной величины X.
Обозначим еще Xg класс случайных величин, для которых значение меры риска (3) при данной функции д конечно:
Xg = {X G X |ng(X)| Щ, (4)
ап- двойственную меру риска, определяемую как
fg(X) = п~(X), X GXj. (5)
Представления математического ожидания
В данном параграфе выведем два полезных представления для математического ожидания.
Лемма 2.1 Для X G X справедливо представление
EX = [ Fx(t) dt W(1 Fx(t)) dt. (6)
Jго J О
Доказательство. Действительно,
EX = / tdFx (t) = / tdFx (t) W tdFx (t). (7)
Jго Jго ДО
Рассмотрим случай |EX | то, в частности, оба интеграла в (7) конечны (доказательство для случая E|X| = то предоставляется читателю, см. упр. 5.1). При этом их хвосты являются бесконечно малыми:
lim f tdFX(t) = 0, lim f tdFX(t) = 0. (8)
A^roJro B^ro J в
Кроме того,
f tdFx (t) Af dFx (t) = AF(A) 0
J O J O
до до
/ tdFx(t) B/ dFx(t) = B(1 - F(B)) 0, .Zb .Zb
что вместе с (8) дает
lim AF (A) = 0, lim B (1 F (B)) = 0.
A O B ^O
Поэтому
/ tdFx(t) = tFX (t)|o / Fx (t)
dt
Fx (t) dt
(9)
ДО до до
/ tdFx(t) = td(1 Fx(t)) = 1(1 Fx(t))| + / (1 Fx(t)) dt
J0 70 J0
до до
= lim t(1 Fx(t)) + / (1 Fx(t)) dt = / (1 Fx(t)) dt
tO J0 J0
Подставив (9), (10) в (7), приходим к утверждению леммы, о
(10)
Лемма 2.2 Для X ? X справедливо представление
EX = / 1Sx1(v) dv.
J0
(П)
Доказательство. С помощью замены переменных v = Sx (t) и интегрирования по частям имеем
/- 0 г-0 f S(0)
Fx (t) dt = (Sx (t) 1) dt = (v 1) dS1(v)
Л ,Zs(0)
/ (1 Fx(t)) dt = Sx(t) dt = vdS1(v)
.Z0 .Z0 .Zs(0)
/- 0 /- S(0)
Подставляя (12) и (13) в (6), приходим к утверждению леммы, о
Свойства меры возмущенной вероятности
Предложение 3.1 Если g(t) = t, то n(X) = EX.
Доказательство. Действительно, в условиях леммы мера риска п имеет вид
п(Х) = [ (SX(t) 1) dt + [ SX(t) dt,
Jж J 0
что по лемме 2.1 совпадает c EX. о
Рассмотрим условия существования интеграла в (3).
Предложение 3.2 X = Xg тогда и только тогда, когда
0 g'(0) то, 0 g'(1) то. (14)
Доказательство. Пусть выполнено (14). Покажем, что X Е X влечет X Е Xg.
Из условия g'(0) то вытекает существование 0 M то и 5 Е (0,1) таких, что g(x) Mx при x Е [0, 5]. Выберем B Е (0, то) так, что SX(t) 5 при t B. Тогда
рж pB рж рж
/ g(Sx(t)) dt = g(Sx(t)) dt + g(Sx(t)) dt B + M Sx(t) dt.
J о J о Jb Jb
Ввиду
ЧТО
существования EX интеграл в правой части этого неравенства конечен, так
0 / g(SX(t)) dt то. (15)
J о
из g'(1) то существование 0 M то и 5 Е (0,1) таких, что
1 Mx при x Е [5,1]. Выбере м A Е (то, 0) так, что бы SX (t) 5 при t A.
Далее,
g(x)
Тогда
/0 р A р 0 р A
[g(Sx(t)) 1] dt = [g(Sx(t)) 1] dt + [g(Sx(t)) 1] dt M Sx(t) dt + A.
-ж Jж JA Jж
Здесь интеграл в правой части также конечен ввиду существования EX, поэтому
- о
[g(Sx(t)) 1] dt то.
-ж as)
Используя (15), (16) в (3), приходим к выводу, что |n(X)| то т0 есть X Е Xg. Импликация X Е Xg =^ X Е X вытекает аналогии но из gf(0) 0 и g'(1) 0.
Таким образом, показано, что при выполнении (14) классы HiXg совпадают. Для иллюстрации обратного приведем примеры распределений, показывающие различие этих классов при нарушении хотя бы одного из условий в (14).
Пусть g(x) = x2, x Е [0,1]. Ясно, что g'(0) = 0. Рассмотрим случайную величину X с дополнительной функцией распределения Sx W = U! + ()
t 0, t 0.
При этом
n(X) = Г SX (t) dt J о
тогда как математическое ожидание X, очевидно, бесконечно, так что X е Xg, X е X. Другие варианты несовпадения X с Xg читателю предлагается рассмотреть самостоятельно (упражнения 5.2, 5.3). о
Для b е R обозначим Wb вырожденную случайную величину: P{Wb = b} = 1, и рассмотрим некоторые элементарные свойства п.
Предложение 3.3 Мера риска п обладает, следующими свойствами:
1. n(Wb) = b, b е R;
2. п(Х + b) = п(Х) + b, b е R X е Xg;
3. п(аХ) = ап(Х), a 0 X е Xg;
4- ng(aX) = ап~(X), a 0 X е Xg, где g(x) = 1 g( 1 x), x е [0,1]. Доказательство. 1. Дополнительная функция распределения Wb имеет вид
1, t b, 0, t b.
Swb (t) =
Из (3) при b 0 имеем
fb
n(Wb) = g( 1) dt = b,
Jo
а при b 0
r 0 r 0
n(Wb) = [g(0) 1] dt = dt = b.
Jb Jb
2. Заметив, что SX+b(t) = SX(tb), t е переменных u = tb
из (3) получаем представление
n(X + b) = f [g(SX(u)) 1] du + f g(SX(u)) du.
Jж Jb
Отсюда нетрудно заметить, что
¦0
g(SX(u)) du
-b
n(X + b)
г 0
n(X) [g(Sx(u)) 1] du +
J b
,0
I du
b
= n(X) +
n(X) + b,
что и требовалось.
3. При а = 0 равенство очевидно. Для а 0 имевм SaX (t) = SX (t/a), t е R, поэтому с помощью замены переменных u = t/a получаем
/0 г оо
[g(SaX (t)) 1] dt + g(SaX (t)) dt
-о J 0
/0 г о
[g(SX(u)) 1] du + a / g(SX(u)) du = an(X),
-о J0
что и требовалось.
4. При а 0 дая почти всех t е R имеем
SaX(t) = P{aX t} = P{X t/a} = 1 Sx(t/a).
Используя снова замену переменных u = t/a, получаем
-Kg (aX )=( [g(Sax (t)) - 1] dt + ( g(Sax (t)) dt
[g(1 - Sx(t/a)) - 1] dt + g(1 - Sx(t)) dt /'О pж
= -a g(SX(u) du - a [g(SX(u)) - 1] du /О p ж
[g(SX(u)) - 1] du + a / g(SX(u)) du = ang(X). Предложение доказано, о
Предложение 3.4 Для меры возмущенной вероятности справедливо представление J 0
Доказательство предоставляется читателю (упражнение 5.4).
Предложение 3.5 Для произвольных g е G, X G Xg справедливо
ng(-X) = -ng(X),
где ng - двойственная мера риска, определенная в (5). Из (3) с помощью элементарных преобразований, (1) и (18) получаем
/0 р ж
[g(Sx(t)) - 1] dt + g(Sx(t)) dt /0 p ж
[g(1 - Sx(-t)) - 1] dt + g(1 - Sx(-t)) dt /0 p ж
[g(Sx(-t))]dt + [1 - g(Sx(-t))].dt Замена переменных u = -t приводит далее к
Kg (-X )=f g(Sx (u)) du +( [g(Sx (u)) - 1] du = - / [g(Sx(u)) - 1] du - ( g(Sx(u)) du = -n^(X) = ng (X),
что и утверждалось, о
Следствие 3.1 Если распределение X симметрично, то
Пд (X) + Пд (X) = 0.
Доказательство непосредственно вытекает из предложения 3.5, поскольку X и -X имеют одинаковые распределения, о
Вычисление и оценивание
В данном параграфе рассмотрим метод вычисления меры возмущенной вероятности для дискретного распределения, а также метод ее статистического оценивания по наблюдениям.
Пусть распределение случайной величины X сосредоточено в конечном числе точек:
P{X = xk} = pk, k = pi 0,...,pn 0, pi + ... + Pn = 1- (19)
Без ограничения общности можно считать, что точки xk расположены в порядке возрастания: xi x2 ... xn.
Предложение 4.1 Значение меры возмущенной вероятности для распределения (19) может, быть вычислено по формулам
П / П \
(20)
п(X) = Z g Zpm (xs- xs-i)
s=i \k=s )
где x0 = 0, или
(21)
g Zpm - g I Z Pk
\k=s ) \k=s+i
(X) = Z xs
s=i
где пустая сумма Y3k=n+i pk полагается равной 0.
Доказательство. Пусть г - номер, такой, что xr 0 xr+i. Из (3) с учетом (19) вытекает
П9 (X)
(x2 - xi) ... +
(xr xr-i)
\k=r
\k=2
(0 xr) + g pk ) (xr+i 0)
.k=r+i
\k=r+i
+g ( Z pk ) (xr+2 xr+i) + ... + g I Z pk) (xn xn- i).
\k=r+2 J \k=n )
Нетрудно заметить, что слагаемые, порождаемые -1 в квадратных скобках, дают в сумме xi = g(1)(xi xo), поэтому окончательно получаем
n9(X) = xi + Zg Zpm (xs xs-i) = Yl,g Zpm (xs xs-i)
s=2 \k=s
s=i \k=s
что и требовалось.
Для доказательства (21) используем (17), заметив, что
SXi(v) = xk, v e \ J2 pk Z pk ) k =1...n.
Неоднозначность в задании S3-1 в точках ^ Рк никак не влияет на значение интеграла в (17), поэтому функции S3-1 можно приписать в этих точках произвольные конечные значения. Имеем
пд(X)
xng(pn) + xn-i(g(pn + Рп-1) - g(pn))
+... + xi(g(l) - g(Pn + ... + P2))
= Zx
s=1
Zpm - g I Z pk
\k=s
ik=s+1
что и требовалось, о
Отметим, что эквивалентность (20) и (21) можно доказать с помощью правила суммирования по частям, содержащегося в следующей лемме.
Лемма 4.1 Пусть a1,... ,an и b1,... ,bn - произвольные вещественные числа. Тогда
n n
Z as(bs - bs-1) = Z bs(as - as+1),
s=1 s=1
где полагается a0 = bn+1 = 0.
Доказательство - упражнение 5.6.
Приведем еще один простой способ статистического оценивания ng по выборке наблюдений. Пусть X1, ...,Xn - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с тем же распределением, что и X, а X(1),..., X(n) -соответствующие порядковые статистики. Тогда, используя эмпирическое распределение, приписывающее точкам X1,..., Xn вероятности 1/n, в формулах (20), (21), получаем
(22)
(23)
7Г,
(X ) = ? gf^+A (X(s) - x(s-1))
s=1 4 n /
n
EXw
s=1
Упражнения
Упражнение 5.1 Доказать лемму 2.1 для случая. E|X| = то.
Упражнение 5.2 Пусть g(x) = Дх, x Е [0,1], а случайная величина X имеет дополнительную функцию распределения
(1 + t)-2,
0,
t 0, t 0.
Доказать, что X Е X но X Е Xg.
Упражнение 5.3 Построить примеры несовпадения классов X и Xg ввиду нарушения условий g'(1) 0 и g'(1) то. (Указание. Для построения таких примеров необходим,о обеспечить специфическое поведение SX (t) при t ^ -то).
Упражнение 5.4 Доказать предложение 3.4 методом, примененным ? лемме 2.2.
Упражнение 5.5 Вывести формулы вычисления меры возмущенной вероятности для дискретных распределений, сосредоточенных на множестве всех неотрицательных целых чисел N и множестве всех целых чисел Z:
N = {0,1, 2,...}, Z = {..., -2,-1, 0,1, 2,...}.
Упражнение 5.6 Доказать правило суммирования по частям,(лем,м,а 4-1) и показать с его помощью эквивалентность формул (20) и, (21).
Список литературы
[1] Новоселов А.А. (2000) Основные понятия теории риска. Лекция для студентов КГУ по курсу ’Теория риска’,
[2] Wang, S. (1996) Premium calculation by transforming the layer premium density. ASTIN Bulletin, 26, pp.
71-92.
[3] Young V.R. (1999) Discussion of Christofides’ Conjecture Regarding Wang’s Premium Principle. ASTIN Bulletin, 29, 2, 191-195.
