Условные распределения
(3.65)
fxy (x, у) = Е Е Pij.
xj хУг у
Законы распределения каждой из компонент такой двумерной случайной величины (так называемые маргинальные законы распределения) восстанавливаются по таблице распределения (3.63) при помощи формул
рх = xj} = е p, ¦ р{Y = уг} = Е Pij ¦ (3-66)
г j
Двумерная случайная величина называется абсолютно непрерывной, если её функция распределения может быть представлена в виде
у
J fXY (x, у)ву
ж
x
fxy (x,у) = J
ж
(3.67)
dx,
при этом функция fxY (x, у) называется плотностью распределения двумерной случайной величины (X; Y).
Плотность распределения абсолютно непрерывной двумерной случайной величины обладает следующими свойствами:
для всех x, у ? Ж : fxY (x, у) ^ 0; (3.68)
'+ж
J fXY (x, уd
+жJ
(3.69)
= i,
dx
ж ?ж
причём любая функция, обладающая этими свойствами (3.68) - (3.69), является плотностью распределения некоторой абсолютно непрерывной двумерной случайной величины.
Если функция распределения абсолютно непрерывной двумерной случайной величины (X; Y)
д2
dx ду
(x, у), то плотность распределения fXY(x, у)
F
fXY
имеет смешанную частную производную
равна этой частной производной:
д2
dx ду
fXY(x,у)
FXY(x,у).
(3.70)
Если абсолютно непрерывная двумерная случайная величина (X;Y) имеет плотность fxY (х, У), то одномерные случайные величины X и Y также являются абсолютно непрерывными, и их плотности можно рассчитать по формулам
х У
fx (х) = J fXY (х, y)dy, fY (y) = J fXY (х, y)dx . (3.71)
Свойство (3.71) справедливо только для двумерных абсолютно непрерывных случайных величин. В случае n 2 это свойство выглядит существенно иначе.
Напомним, что две случайные величины X и Y называются независимыми, если для всех х, y е Ж.
P{(X х) П (Y у)} = P{X х}P{Y у}, (3.72)
т. е. если для всех х, у е Ж события {X х} и {Y у} независимы.
Для дискретных случайных величин X и Y условие независимости (3.8) эквивалентно условию
P{(X = х) П (Y = у)} = P{X = х}P{Y = у}, (3.73)
а для абсолютно непрерывных случайных величин условию
fXY (х, у) = fX (х)fY (у). (3.74)
Для измерения зависимости случайных величин вводится ковариация случайных величин X и Y
cov(X,Y) = M[(X MX)(Y MY)]. (3.75)
Последняя формула легко преобразуется к виду
cov(X, Y) = M(XY) MX - MY . (3.76)
Ковариация случайных величин обладает следующими свойствами:
cov(X, Y) = cov(Y, X), cov(X, X) = DX, (3.77)
cov(aX, Y) = a cov(X, Y), cov(X + Y, Z) = cov(X, Z) + cov(Y, Z), (3.78)
для независимых случайных величин X и Y cov(X, Y) = 0. (3.79)
Для случайных величин X и Y , имеющих тенденцию изменяться одновременно в одну и ту же сторону, cov(X, Y) 0, для случайных величин X и Y, имеющих тенденцию изменяться одновременно в разные стороны, cov(X, Y) 0.
Дисперсия суммы произвольных (зависимых или независимых) случайных величин рассчитывается по формуле
D(X + Y) = DX + DY + 2cov(X,Y). (3.80)
Ковариация может принимать произвольные вещественные значения, поэтому не вполне пригодна к использованию в качестве меры связи случайных величин. Для этого лучше подходит коэффициент корреляции случайных величин X и Y
M(XY) MX - MY aX aY
cov(X, Y) aX aY
M[(X MX )(Y MY)] aX aY
P(X, Y)
(3.81)
Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:
для любых случайных величин X и Y : 1 ^ p(X, Y) ^ 1; (3.82)
для независимых случайных величин X и Y : p(X, Y) = 0; (3.83)
для линейно связанных случайных величин X и Y = aX + b (a, b е Ж, a ^ 0 ) и только для них:
|p(X, Y )|= 1. (3.84)
Если коэффициент корреляции p(X, Y) = 0, то это не обязательно означает независимость случайных величин X, Y. В этом случае говорят, что данные случайные величины некоррелированны. Из независимости следует некоррелированность, но наоборот не всегда.
называется распределённой по двумерному нормальному закону.
При этом её компоненты Хі и Х2 распределены по одномерным нормальным законам с математическими ожиданиями и соответственно и средними квадратичными отклонениями Оі и ^2 соответственно, а параметр p равен коэффициенту корреляции между случайными величинами Хі и Х2.
271. Доказать свойства функции распределения многомерной случайной величины (3.57) - (3.61).
272. Доказать формулу (3.62).
273. Доказать, что функция
Случайная величина, которая задаётся плотностью распределения f ,x2) =
F (х , у) =
sinx-sinу, Хі^0, ®2^0 или Хі +X1 ^1,
0, иначе, т. е. когда одновременно Хі 0, Х2 0 и Хі + Хі і
удовлетворяет всем свойствам (3.57) - (3.6і), но при этом не является функцией распределения случайной величины.
РЕШЕНИЕ. Предположим, что F(хі,х2) описывает некоторую случайную величину (Хі,Х2). Вероятность Р{(0, і Хі і, і) П (0, і ^ і, і)} = F(і, і; і, і) F(0, і; і, і) F(і, і; 0, і) + F(0, і; 0, і) =
= і і і + 0 = і, что противоречит аксиоме неотрицательности вероятности (і.36). Между тем справедливость свойств (3.57) - (3.6і) легко проверить (предоставляем это читателю. ?
274. Двумерная случайная величина (Х; Y) задана функцией распределения
0Х2, 0у2,
иначе.
Sin Х-Sin у,
0,
F (х , у)
Найти Р{(0 Х {)п( ^ Y і)} .
275. Доказать формулу (3.66).
276. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Х; Y):
і 0 і
"0 0, і 0,4.
0,2 0,2 0, і
Составить ряды распределения её компонент Х и Y. Определить вероятность Р{Х Y}.
РЕШЕНИЕ. Вначале составим ряды распределения случайных величин Х и Y. Случайная величина Х принимает значения -і; 0 и і с вероятностями 0,2 = 0 + 0,2; 0,3 = 0,і + 0,2 и 0,5 = 0,4 + 0,і соответственно. Таким образом, эта случайная величина имеет ряд распределения
| Х | -і | 0 | і |
| Р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
| Y | 0 | 1 |
| Р | 0,5 | 0,5 |
277. Двумерная случайная величина (X; Y) задана функцией распределения
Fix у) = I1-2--2-У-2~X-У X 0,y 0,
( , У) I 0, иначе.
Найти плотность распределения этой случайной величины.
278. Двумерная случайная величина (X; Y) задана плотностью распределения
sin(x+y) п , п ^^, Q^x ,
0у
f (x, У)
0, иначе.
Найти функцию распределения этой случайной величины.
279. Доказать, что плотность распределения любой абсолютно непрерывной двумерной случайной величины обладает свойствами (3.68) - (3.69).
280. Доказать, что любая функция, обладающая свойствами (3.68) - (3.69), является плотностью распределения некоторой абсолютно непрерывной двумерной случайной величины.
281. Доказать формулу (3.70).
282. Доказать, что для любых абсолютно непрерывных двумерных случайных величин справедливо свойство (3.71).
Доказательство.
По свойству (3.61) Fx (x) = Fxy (x, +гс) = lim Fxy (x, y) =
у ^+^
| у ^+га |
|
||||||||
| fx(x) рая часть доказывается аналогично. ? |
283. Доказать условие независимости дискретных случайных величин (3.73).
284. Доказать условие независимости абсолютно непрерывных случайных величин (3.74).
285. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X; Y):
-1
0Д5 0,1
0 1
0,3 0,3 .
0,05 0,1
Здесь случайная величина X описывает доход инвестиционной компании на рынке акций, а случайная величина Y доход на рынке облигаций. Составить ряды распределения её компонент X и Y, а также условный закон распределения компоненты X при условии Y = 2. Выяснить, зависимы ли компоненты X и Y. Найти закон распределения суммарного дохода компании X + Y.
286. Двумерная случайная величина (X;Y) задана плотностью распределения
2 2
f (x, у) = c - e~x ~2хУ-4у . Найти неслучайную постоянную c, плотности распределения случайных величин X и Y, выяснить, зависимы ли маргинальные случайные величины X и Y.
287. Доказать формулу (3.76).
Доказательство. По свойствам математического ожидания cov(X, Y) =M[(X-MX )(Y-MY)] = = M(XY-Y ¦ MX-X- M Y+MX ¦ M Y) =M(XY) - MY ¦ MX -MX-M Y+MX-M Y = M(XY) - MX- MY. ?
288. Доказать свойства ковариации (3.77) - (3.80).
Доказательство. cov(X, Y) = M(XY) - MX ¦ MY = M(YX) - MY ¦ MX = cov(Y, X); cov(X, X) =
= M(X2) - (MX)2 = DX; для независимых случайных величин X и Y cov(X,Y) = M(XY) -
-MX ¦ MY = MX ¦ MY - MX ¦ MY = 0. ?
289. В условиях задачи 276 найти ковариацию случайных величин X и Y. РЕШЕНИЕ. Чтобы найти M(XY), перемножим все возможные значения х ¦, уг и соответствующих вероятностей р^ из таблицы распределения данной случайной величины и произведения
m n m n
сложим: M(XY) = х^угP{(X = x ¦) П (Y = уі)} = x^p^ = 0 ¦ (-1) ¦ 0 + 0 ¦ 0 ¦ 0,1 +
i=1j=1 i=1j=1
+0 ¦ 1 ¦ 0,4 + 1 ¦ (-1) ¦ 0,2 + 1 ¦ 0 ¦ 0,2 + 1 ¦ 1 ¦ 0,1 = 0 + 0 + 0 - 0,2 + 0 + 0,1 = -0,1. MX и MY найдём по рядам распределения случайных величин X и Y , полученным в задаче 276: MX = -1-0,2+0-0,3+1-0,5 = 0,3, MY = 0-0,5 + 1-0,5 = 0,5. Поэтому cov(X, Y) = M(XY) - MX ¦ MY =
= -0,1 -0,3- 0,5 = -0,25. ?
290. Найти ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y, если двумерная случайная величина (X; Y) задана плотностью распределения
Г1 -
sin x -sin у,
0^xп, 0^уп,
иначе.
f (x, у)
0,
291. Доказать свойства коэффициента корреляции (3.82) - (3.84).
Доказательство. Докажем последнее из названных свойств (справедливость первых двух читатель легко проверит самостоятельно). По свойствам математического ожидания и дисперсии
p(X y) = M[X(aX+b)]-MX-M(aX +b) = a(MX2)+bMX-a(MX)2 -b-MX _
’ aXaaX+b VdX 7m[(X+b)2 ]-(aMX+b)2
|-1, а0, I 1 а0,
= aDX+b(MX-MX) _ a-DX
VDX д/а2M(X2)+2abMX+b2 -a2 (MX)2 -2abMX-b2 laHDXI
поэтому |p(X, Y )| = 1. ?
292. В условиях задачи 276 найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y .
РЕШЕНИЕ. Найдём M(X2) = (-1)2 - 0,2 + 02 - 0,3 + 12 - 0,5 = 0,7 и M(Y2) = 02- 0,5 + 12 - 0,5 = 0,5 . Отсюда DX=M(X2 )-(MX )2= 0,7- (0, 3)2= 0,61, D Y = M(Y2) - (MY )2 = 0,5 - (0,5)2 = 0, 25 (MX = 0,3 и
MY = 0,5 были получены в задаче 289). Поэтому aX = VDX = ^/0,61 и 0,78,
aY = VD Y = J0,25 и 0,5. Окончательно получаем p(X, Y) = cov(X,Y) = 0,25 и -0,64. ?
Y J a XY 0,78-0,5
293. Пусть X, Y, Z независимые случайные величины с конечными положи-тельн^іми дисперсиями. Проверить, могут ли случайные величины X + Z и Y + Z быть: а) зависимыми; б) независимыми.
,п, „ X-MX YM
(где X и Y некоторые слу-
294. Доказать, что если X =-, Y =-
JX Y
( )
чайные величины), то р [X ,Y) = р (X ,Y).
295. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X; Y):
| X | ||||
| y\ | 26 | 30 | 41 | 50 |
| 2,3 | 0,05 | 0,12 | 0,08 | 0,04 |
| 2,7 | 0,09 | 0,30 | 0,11 | 0,21 |
296. Петя вычислил ковариацию роста X спортсменов из институтской баскетбольной команды, измеренного в см, и скорости бега Y (тех же спортсменов), измеренной в м. Маша для той же совокупности баскетболистов вычислила кова-
м. Опреде-с
риацию роста X , измеренного в м, и скорости бега Y , измеренной в
лить, в каком отношении находятся эти ковариации.
297. В условиях предыдущей задачи сравнить коэффициенты корреляции, полученные Петей и Машей.
298. Средние квадратичные отклонения случайных величин X и Y равны соответственно 5 и 4. Определить наибольшее возможное значение cov(X, Y).
299. Случайные величины X и Y число появлений событий простейшего потока в интервалах времени (0; t) и (0; t + т) соответственно.
Найти p(X, Y).
РЕШЕНИЕ. Пусть случайная величина Z число появлений событий простейшего потока в интервале (t; t + т). Тогда X - n(At), Y - П (\(t+т)), Z - П(Ат), MX = DX = \t, MY = D Y = \(t + т),
MZ = DZ = Ат. Поэтому по формуле (3.17) M(X2) = DX + (MX)2 = At + (At)2.
Учитывая, что в силу свойства отсутствия последействия простейшего потока случайные величины X, Y и Z независимы, поэтому по формуле (3.15) M(XZ) = MX ¦ MZ = A2tт. Используя (3.81), (3.76) и (3.14), получа
ем, что p(X, Y) =
M(XY)MX ¦MY = M[X (X+Z)]MX ¦MY = MX 2 +M(XZ)MX ¦MY
JX ¦JY
JX ¦(JY
VDx VDY yt+т
300. Ожидаемая доходность первого актива равна 8% со средним квадратичным отклонением 7%, ожидаемая доходность второго актива равна 11% со средним квадратичным отклонением 10%.
Коэффициент корреляции между этими активами составляет 0,7. Найти ожидаемую доходность и среднее квадратичное отклонение портфеля, состоящего на 35% из первого актива и на 65% из второго.
301. Доказать, что компоненты X1 и X2 двумерной нормальной случайной величины (3.85) распределены по одномерным нормальным законам с математическими ожиданиями a1 и соответственно и средними квадратичными отклонениями J1 и J2 соответственно, а параметр р равен коэффициенту корреляции между случайными величинами X1 и X2.
302. Случайная величина (Xy X2) задана плотностью распределения
3)2 0,6(x1
3) (x 2 5)+4(x 2 5)2
1
-e
1,28tt
f (xv x2
5,12
Найти коэффициент корреляции между случайными величинами Xy и X2.
303. Привести пример зависимых, но некоррелированных случайных величин.
304. Доказать, что для нормально распределённых случайных величин условие независимости эквивалентно условию некоррелированности.
§3.6. Условные распределения
Пусть с помощью таблицы распределения (3.63) задана двумерная дискретная случайная величина (X; Y). Условная вероятность события {Y = уг} при условии {X = x¦} вычисляется, согласно определению условной вероятности (2.1), в соответствии с формулой
P{(X = x3) П (Y = уг)} P{X = x3 }
P{Y = у} | X = xy} =
(3.86)
E pkl'
Таким образом, можно получить условное распределение дискретной случайной величины Y при условии {X = xv}, оно будет задаваться рядом распределения
(3.87)
у¦ P{(X = x-) П (Y = у¦)} E УгР?
M(Y | X = xv) = E угP{Y = уг | X = xv} = E -^-;- = -. (3.88)
P{X = xV }
Для дискретных случайных величин X и Y условные вероятности P{Y = уг | X} и условные математические ожидания M(Y | X) при условии X определяются как случайные величины, принимающие на множестве {x 1, x2, x3,..., xn,...} значения (3.86) и (3.88) соответственно:
| P{Y = уг | | X } | x 1 | x 2 | ¦¦ xn ¦¦¦ |
| p | pi 1 | pi 2 | pm | |
| E pk 1 k |
E pk 2 k |
E pkm k | ||
| M(Y | X) | x 1 | x 2 - | xn | |
| p | E угрг 1 i | E у-p0 ¦ | E f^%pm i | |
| E pi 1 i |
E pi 2 i |
E pin i |
(3.90)
Аналогичным образом определяются условные плотности распределения и условные математические ожидания для абсолютно непрерывных случайных величин. Условная плотность распределения абсолютно непрерывной случайной величины Y при условии {X = x} определяется формулой
fXY(x, у) fXY(x, у)
fY |X=x(у)
(3.91)
(x)
^ у)(іу
XY
а условное математическое ожидание формулой
f yfXY(Х y)dy
(3.92)
M(Y I X = x) = f yfY x=x (y)dy = |-
XY
(x, y)dy
Рассматривая условную плотность Y|x (y) как случайную величину, плотность распределения
которой определяется при каждом y формулой (3.91), получим
(3.93)
(3.94)
(3.95)
(3.96)
(3.97)
(3.98)
M(Y 1 x) = f yfY |X (y)dy ¦
ж
Справедливы следующие результаты:
P{Y = y%} = M(P{Y = y% I X = х^ }) (для дискретных случайных величин);
fy (y) = Mfy|x (y) (для абсолютно непрерывных случайных величин);
формула полного математического ожидания:
MY = M[M(Y | X)].
Справедлива также формула для дисперсии:
D(Y) = M[D(Y | X)] + D[M(Y | X)],
где условная дисперсия определяется формулой
D(Y | X) = M {[Y M(Y | X)]2 | X}.
305. В условиях задачи 276 найти условный закон распределения компоненты X при условии Y = 0.
РЕШЕНИЕ. Условный закон распределения случайной величины X при условии Y = 0 получа-
, r , , P{(X= Х: )n(Y = 0)}
ем с помощью формулы условной вероятности: P{X = х% | Y = 0} =--, т. е.
P{X = 1 | Y = 0} = P{(X=1)n(Y=0)} = -05 = 0, P{X=0|Y=0} = P{(X=)n(Y=)} = .О)! = I, P{X=1|Y=0} =
1 1 ; P{Y=0} 0,5 ' 1 1 ; P{Y=0} 0,5 5 1 1 ;
P{(X=1)n(Y=0)} 0,4 4 T K - -
= p^ =05=5. Таким образом, условный закон распределения случайной величины X
при условии Y = 0 таков:
| о II |
1 0 | 1 |
| Р | 0 1 | 4 |
| 5 | 5 |
307. Доказать справедливость формул (3.94) - (3.97).
308. Расписать формулу полного математического ожидания (3.96) для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин.
§3.7. Функции от случайных величин
Пусть дана дискретная случайная величина X, заданная рядом распределения
| X | х 1 | Х2 | хп ''' |
| p | p1 | p2 - | - Рп - |
и монотонная функция у(х). Тогда различным значениям X соответствуют различные значения Y = ^(X), причём вероятности соответствующих значений X = х: и Y = р(х%) одинаковы.
| Y | Ф1) | Ф 2) | Фп) - |
| Р | p1 | Р2 | Рп - - - |
В случае же, когда функция у(х) немонотонна, различным значениям X могут, вообще говоря, соответствовать одинаковые значения Y = p(X), при этом для отыскания вероятностей возможных значений случайной величины Y = p(X) нужно сложить соответствующие вероятности тех возможных значений X, при которых Y = p(X) принимает одинаковые значения:
| Y | у1 = Ф1) | у2 = Ф 2) - | - уп = Фп) - - - | |
| Р | Е Рі | Е Рі - | Е Рі - - - | (3.101) |
| i: Фг )=уг | ¦а . 1~Г т |
¦а . 1~Г т 3 |
fY(у) = fX(Ф)) \Ф/(у)1 - (312)
Если же функция у = р(х) немонотонна, то область возможных значений случайной величины X разбивают на участки монотонности функции р(х), в каждом интервале по формуле (3.102)
рассчитывается соответствующая функция ^(у) = fX(Фг(у)) \Ф'г(у)\, а затем все они суммируются:
fY(у) = Е fy^) - (3.103)
i
Для функции нескольких случайных величин удобнее искать не плотность распределения, а функцию распределения. Например, для функции двух аргументов Z = р(X, Y) функция распределения вычисляется по формуле
FZ ) = JJ fXY (х, у)6х6у. (3.104)
Ф ,у )z
В частности, функция распределения суммы двух случайных величин Z = X + Y равна
z +ж
Fz (z) = JJ fXY (х, у)^хй,у = {замена и = х + у, у = и х} = J J fXY (х, и х)ёх
х+у z
du, (3.105)
ж \ж
поэтому
+ж
fZ(z) = J fXY(х, z х)d'х .
ж
(3.106)
Формула (3.106) называется формулой композиции или формулой свёртки.
309. Случайная величина X Exp(y).
Найти распределение случайной величины Y = e~yX.
Решение. По определению функции распределения Fy (у) = P{Y у} = P{e yX у} =
0, у 0,
= - P{yXln у}, 0^у1, Учитывая, что P{yXln у}=Р {x-In у}=1P {x- ln у} =1P {x-ln у}=
1, у1-
=1FX
- In у )=1
y !
у, получаем окончательно Fy (у)
0 у 0,
у, 0^у1, т. е. Y - R(0; 1). ? 1, у^1,
310. Случайная величина X имеет строго возрастающую функцию распределения F(х).
Найти распределение случайной величины Y = F(X).
311. Случайная величина X ~ N(0; 1). Найти плотность распределения слу-
2 2
чайной величины Y = X (т. е. Y ~ Хі).
Решение. По определению функции распределения,
fy-0'
1 ,
yfy-0
Fy(у) = P{Y y} = P{X2 y} = P{| X\Jy} = P{ -Jy X ?УІ = Ф0
- Фг
1 - 1 f е 2 dt + 1
2п І 2
Jy JY
Ф0Ш -Ф0(-/y) = 2Ф0ш = ^ f е 2 dt = 2
2п 0
- 1 = f
2n J
-Ж
2 dt - 1.
При этом плотность распределения случайной величины Y по свойству (3.27) равна
2 -jy j!
тf е 2 dt -1
y
2. ?
Y (y) = FY (y)
312. Случайная величина X имеет плотность распределения X (х).
Найти плотность распределения случайной величины Y = |1 X\.
РЕШЕНИЕ. Решение сведём в таблицу:
fX(х)
y = Y(x)
\Ф1(У), х = 1
j Ф2 (У)
\Ф2 (y)| = \Ф2 (y)|
Y(y) = ^ fX (ФІ(y)) ШуУ
fX(х)
y = \ 1 - х | х 1 = 1 - y х 2 = 1 + y
1
fY (y) = fX (1 - y) + fX (1 + y), y Y 0.
i
При y 0 Jy(y) = 0, так как Y =|1 X\Y 0. ?
313. Случайная величина X ~ R
. Найти плотность распределения слу-
чайной величины Y = cos X.
314. X1,X2,...,Xn независимые случайные величины, равномерно распределённые на отрезке [0; 1]: X- ~ R (0; 1), i = 1,2,..., n. Найти функцию распределения случайной величины X = max{X1, X2,., Xn }.
Решение. Fx(х) = P{Xх} = P{max{X1,X2,...,Xn}х} = P{(X1х)n(X2х)n - - - п(Хпх)} =
0, х 0, хп , х е [0; 1],
1, х 1. ?
n n
= {независимость} = П P{Xi х} = П FX. (х)
i=1 i=1 !
315. X1, X2,..., Xn независимые случайные величины, каждая из которых
[ах, х е [0; 1],
имеет плотность распределения f (х) = 1 q х ^ [q; 1] Найти плотность распределения случайной величины X = min{X1, X2,., Xn } .
2
316. Доказать, что R = Tk -
317. Случайные величины Xi N(ai, Oi), X2 ~ N(a2, 02) - Найти закон рас
пределения случайной величины X = Xi + X2 -
РЕШЕНИЕ. Математическое ожидание суммы a = MX = M(Xi + X2) = MXi + MX2 =
= ai + a2, 02 = DX = D(Xi + X2) = DXi + DX2 + 2 cov(Xi, X2) = о . + о 2 + 2^i^2 - Применим формулу композиции (3.i06) к двумерной нормальной случайной величине (3.85):
fX(x) = fZ(z) = J XiX2 (x 1, x xi ')dxi =
x, a^ (xi ai)(xxi a2) xx, an
ii
.^i ^2
2p-
2(iP 2)
0i02
dx.t
2nJ i p20.02
При замене u = xi a., v = x a, vu=xxi a2, а числитель показателя экспоненты (без зна-
(xi a i) (xxi a 2)
xxi a2 ^
2p
минус)
ка
запишется
так:
0^2
u vu + (vu)'
2 2 2 2 2 uо 2uv(p0i02 + oi) + v Oi
+ ¦
Oi 2 o^ o~o,
2 2 i O2
J2
2 2 2 2
vo. (po2 + о.) v Oi (po2 + Oi) 22
uo--±-----i-2-i--+ v Oi
O j O2 i
vo i (po 2 + о. )
v2 -2 -p
uo
'22 Oi O2
'22 o i O2
vo. (po2 +o. )
ill) -22_2~
e 2(} J e 2(1p )Oi 02 du. Сдечав новую
Подставляя, получим: X (x) =
2nJ i p2o.02
vo. (po2 + о. )
uo
odu
замену переменных t =
dt =
получаем окончательно
o1Ji p
O1O^Jl p
1l v\2 +^ t2
1 J e 2 dt = 1
1 / v \2
1 lxa\2
fX(x) =^T~e 2^O \J2no
aa. +0^2,
-e 2\ о
e 2\о! =
где
-n/2 n
V2no
V2no
1
2 2 1 2 1 2 Ik
о = оi + O2 + 2po.O2 - U
318. Случайные величины X¦ распределены по нормальному закону:
Xi ~ N(ai;оi), a^ неслучайные постоянные (i 1,2,...,n). Найти закон
n
распределения случайной величины X = ^ c-X-.
i=1
319. Автомат заполняет банки кофе.
Масса кофе и масса банки распределены нормально со средними 500 г, 50 г и средними квадратичными отклонениями 8 г, 6 г соответственно. Какова вероятность того, что масса готовой к продаже банки будет меньше 540 г?
320. Случайная величина X. распределена равномерно на отрезке [1; 3], а случайная величина X2 распределена равномерно на отрезке [2; 6].
Найти плотность распределения случайной величины X = X. + X2.
321. Троллейбусы движутся с интервалом 8 мин, поезда метро с интервалом 2 мин.
Определить закон суммарного времени ожидания транспорта случайно выбранным пассажиром, пользующимся, чтобы добраться на работу, троллейбусом и метро (без пересадок в метро).
