Случайные величины И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
(2.10), в которой n = 3, p = 0,7: P3(k) = С30,7k0,33-k (k = 0,1,2,3); P3(0) = ^0,70,33 = 0,027, P3(1) = c30,710,32 = 0,189, P3(2) = C^0,720,31 = 0,441, P3(3) = C30,730,30 = 0,343. ?
122. В условиях предыдущей задачи найти наивероятнейшее число лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки.
РЕШЕНИЕ. Наивероятнейшее число k* лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки, подчиняется неравенствам (2.11): np (1 p) ^ k* np + p, в которых n = 3, p = 0,7, т. е.
3 - 0,7 0,3 ^ k* 3 - 0,7 0,7 или 1,8 ^ k* 2,8, откуда k* = 2. Это подтверждается и решением предыдущей задачи. ?
123. Стоимость проезда в автобусе равна 3 руб., месячный проездной билет на автобус стоит 120 руб., а штраф за безбилетный проезд составляет 10 руб.
Петя 24 раза в месяц ездит на автобусе в институт и обратно. Он не покупает проездного билета, никогда не платит за проезд и считает, что вероятность быть пойманным и заплатить штраф равна 0,05.
Сравнить стоимость проездного билета с наиболее вероятной величиной штрафа за 48 поездок.
124. В брокерской конторе для стимулирования прибыльности торговли применяется следующая система премирования сотрудников.
Если сотрудник не достигал установленного дневного уровня прибыли на протяжении более трёх дней за две недели (10 рабочих дней), он теряет свою премию. Вероятность того, что сотрудник выполнит требуемую норму прибыли, составляет 0,85.
Найти число премий, потерянных 100 сотрудниками этой брокерской конторы за год (50 рабочих недель).
125. Найти вероятность появления ровно 5 гербов при 10-кратном бросании монеты.
126. Среди 12 проверяемых ревизором договоров семь оформлены неправильно.
Найти вероятность того, что среди пяти договоров, произвольно отобранных ревизором для проверки, окажутся неправильно оформленными: а) ровно три договора; б) не менее трёх договоров.
127. Что вероятнее: выиграть в бильярд у равносильного противника три партии из четырёх или пять партий из восьми?
128. Что вероятнее: выиграть в бильярд у равносильного противника не менее трёх партий из четырёх или не менее пяти партий из восьми?
129. В течение месяца данная акция может подорожать на 1% с вероятностью 0,7 и подешеветь на 1% с вероятностью 0,3. Предполагая ежемесячные изменения цены независимыми, рассчитать вероятности того, что за три месяца цена акции
возрастет: а) в (1,01)3 раза; б) в 0,99 - (1,01)2 раза.
130. Из 1 000 опрошенных 700 человек поддерживают некоторую правительственную программу.
Найти минимальную численность группы, в которой с вероятностью, не меньшей 0,9, хотя бы один респондент не поддерживает эту программу.
РЕШЕНИЕ. Пусть численность группы равна n. Будем интерпретировать опрос группы из n человек как испытания Бернулли, считая успехом то, что случайно выбранный респондент поддерживает правительственную программу. Согласно статистическому определению вероятности,
вероятность успеха равна p = = 0,7. Пусть событие A состоит в том, что в группе из n че
ловек хотя бы один не поддерживает правительственную программу, тогда событие A означает, что в группе из n человек все n поддерживают эту программу. P{A} = 1 P{A} = 1 Pn (n) =
= {по формуле Бернулли} = 1 СПрп (1 p)0 = 1 pn = 1 0,7n. По условию вероятность P{A} должна быть не меньше 0,9, поэтому 1 (0,7)n ^ 0,9 или (0,7)n ^ 0,1. Чтобы найти минимальное значение n , при котором выполняется это неравенство, будем последовательно подставлять в него числа 1, 2, 3 и т. д., пока неравенство не удовлетворится: (0,7)1=0,7; (0,7)2=0,49; (0,7)3=0,343;
(0,7)4=0,240; (0,7)5=0,168; (0,7)6=0,118; (0,7)7=0,082. Видно, что неравенство (0,7)n ^ 0,1 не выполняется при n = 1,2,..., 6, но выполняется при n = 7, поэтому минимальная численность группы, в которой с вероятностью, не меньшей 0,9, хотя бы один респондент не поддерживает эту программу, равна 7 чел. ?
131. Среди билетов лотереи половина выигрышных.
Найти минимальное число билетов, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету.
132. В городе работают 1 000 коммерческих банков, из которых 330 допускают нарушения налогового законодательства.
Определить число банков, которые должна отобрать для проверки налоговая инспекция, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, среди них оказался хотя бы один нарушитель законодательства.
133. В условиях задачи 132 налоговая инспекция проводит проверку 12 банков, выбирая их случайным образом.
Выбранные банки проверяются независимо друг от друга. Допущенные в проверяемом банке нарушения могут быть выявлены инспекцией с вероятностью 0,8.
Найти вероятность того, что в ходе этой проверки будет выявлен хотя бы один нарушитель налогового законодательства.
134. Банк имеет пять отделений. Ежедневно с вероятностью 0,3 каждое отделение, независимо от других, может заказать на следующий день крупную сумму денег. В конце рабочего дня один из вице-президентов банка знакомится с поступившими заявками.
Найти вероятности следующих событий: а) поступили ровно две заявки; б) поступила хотя бы одна заявка; в) среди поступивших двух заявок есть заявка от первого отделения.
135. Игральную кость бросают пять раз.
Найти вероятность того, что дважды появится число, кратное трём.
136. Задача о разделе ставки1.
Петя и Маша часто играют в бильярд друг с другом, причём Петя выигрывает в два раза чаще, чем Маша. Исходя из этого, они
оценили свои вероятности победить как для Пети и 3 для Маши и начали турнир на следующих условиях: каждый выигрыш приносит одно очко, Петя для победы должен набрать двенадцать очков, а Маша шесть. После того, как Петя набрал восемь очков, а Маша четыре, игру пришлось прекратить, и победу решили присудить тому, у кого вероятность окончательного выигрыша больше.
Определить, кому присудили победу в этом турнире.
РЕШЕНИЕ. Очевидно, максимальное количество партий, которое осталось сыграть Пете и Маше, равно пяти (либо Петя выиграет три раза, а Маша два раза, либо Маша выиграет один раз, а Петя четыре раза).
Поэтому событие, заключающееся в выигрыше Пети (а значит, проигрыше Маши), состоит в том, что Маша из пяти партий не выиграет ни одной или выиграет всего одну. Поэтому вероятность выигрыша Пети равна вероятности того, что в пяти испытаниях Бернулли, в каждом из которых успех интерпретируется как выигрыш Машей очередной партии
наступит 0 или 1 успех:
(т. е. вероятность успеха в каждом испытании составляет p
1 2 )4
Р{вышрыш Пети} = P{0 или 1 выигрыш Маши из 5 партий}=Р_ (0)+Р_(1) = C_
+C1
112
112 131
= . При этом Р{выигрыш Маши} = Р{выигрыш Пети} = 1 Р{выигрыш Пети} = 1 -= . По-
243 F F J F J F J 243 243
этому в данном случае победу должны были присудить Маше. ?
137. Петя играл с Васей (равносильным противником) в шахматы на приз в 100 руб.: каждый выигрыш приносил одно очко, ничьи не считались. Игра шла до 8 очков. Когда Петя выиграл пять партий, а Вася три, внезапно погас свет, и игру пришлось прекратить.
Как им разделить приз 100 руб.?
138. Задача Банаха. Известный математик Стефан Банах всегда носил с собой
две коробки спичек, в каждой из которых первоначально было n спичек. Каждый раз, когда он хотел зажечь спичку, Банах доставал наугад одну из коробок. Найти вероятность того, что когда он в первый раз вынимал пустую коробку, в другой коробке оказывалось ровно r спичек, где r = 1,2,...,n .
РЕШЕНИЕ. Спички брались всего (2n r) раз, причём n раз из коробки, оказавшейся пустой. Это соответствует n успехам в (2n r) независимых испытаниях, поэтому вероятность
C2
2nr Q
2nr
Р{А} =
139. Вывести формулу Бернулли (2.10).
140. Доказать формулу (2.11) для наивероятнейшего числа успехов в испытаниях Бернулли.
141. Доказать формулу Пуассона (2.12).
142. На лекции по теории вероятностей присутствует 200 человек. Вероятность того, что день рождения случайно выбранного студента приходится на определённый день года, составляет ^6_.
Найти вероятность того, что один человек из присутствующих родился 1 января, и два человека родились 8 марта.
РЕШЕНИЕ. Пусть событие А состоит в том, что случайно выбранный студент родился 1 января,
событие N в том, что к человек из 200 родились 1 января. Тогда по условию p = Р{А}
1 Такая задача возникает при определении доли инвестора, который хочет выйти из незавершенного проекта.
Предположим, что опрос n = 200 студентов относительно даты их рождения удовлетворяет условиям, которые накладываются на испытания Бернулли, где успехом единичного испытания считается наступление события A. Тогда, поскольку n = 200 велико, а произведение
np = -265 = 0,548 10, для подсчёта вероятности события N можно воспользоваться формулой
Пуассона: P200 (к) = (’548) е-0,548 и при к = 1 получаем P200(1) = 0,548е-0,548 = 0,317. Пусть
событие M состоит в том, что m человек из 200 родились 8 марта. Тогда в соответствии с формулой умножения вероятностей, P{NПМ} = P{N}P{M|N}, где P{M | N} = Pn(m) вероятность
того, что из (n к) студентов m родились 8 марта. Так как число n к = 200 1 = 199 велико, а 198
(n к)р = 365 = 0,542 10, для расчёта вероятности события М можно вновь воспользоваться формулой Пуассона: Pn _к(m) = 2 е , . При n = 200, к = 1, m = 2 получаем: P{M | N} =
= P199(2) = (0’5^2) е_0,542= 07 086, поэтому искомая вероятность P{N П M} = 0,317 - 0,086 = 0,027 . ?
143. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что число родившихся 1 января и 8 марта не больше двух.
144. Владельцы кредитных карт ценят их и теряют весьма редко вероятность потерять кредитную карту в течение недели для случайно выбранного вкладчика составляет 0,001.
Банк выдал кредитные карты 2 000 клиентам. Найти: а) вероятность того, что за предстоящую неделю будет утеряна ровно одна кредитная карта; б) вероятность того, что за предстоящую неделю будет утеряна хотя бы одна кредитная карта; в) наиболее вероятное число кредитных карт, теряемых за месяц.
145. Один процент стодолларовых купюр составляют фальшивые, сделанные, однако, довольно искусно, так что операционист обменного пункта десятую их часть принимает за настоящие. Каждый день для обмена приносят примерно 200 стодолларовых купюр (всего настоящих и фальшивых).
Определить: а) вероятность того, что среди них есть хотя бы одна фальшивая; б) наиболее вероятное время, за которое оправдает себя детектор валюты, который стоит 100 долл. и определяет все фальшивые купюры как фальшивые.
146. На праздники Петя и Маша отправились в поход на байдарках. Известно, что при прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с вероятностью 0,7, полностью ломается с вероятностью 0,1 или получает серьёзное повреждение с вероятностью 0,2. Два серьёзных повреждения приводят к полной поломке.
Найти вероятность того, что при прохождении 10 порогов байдарка не будет полностью сломана.
Глава 3. Случайные величины И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
§3.1. Определение случайной величины И ЕЁ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Случайной величиной называется числовая функция X(ш), заданная на пространстве элементарных событий О и измеримая относительно а -поля событий S. Далее случайные величины
будут обозначаться прописными латинскими буквами (например, X, Y, Z) или строчными греческими (например, ?, п, Z).
Законом распределения вероятностей случайной величины называется правило, устанавливающее соответствие между значениями этой случайной величины (или множествами значений) и вероятностями того, что случайная величина примет данное значение (или попадёт в соответствующее множество).
Функцией распределения вероятностей (или, короче, функцией распределения) случайной величины X называется функция1
FX(x) = P{X x}, x e Ж. (3.1)
Если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F(х) = Fx (x).
Как числовая функция от числового аргумента x, функция распределения F(x) произвольной случайной величины обладает следующими свойствами:
x ж
x +(Ж)
F(x) является неубывающей функцией, т. е. для любых x 1, x2 e Ж, таких, что x 1 x^ :
zx z x
Для любой случайной величины X и любых чисел x 1, x2 e Ж, таких, что x 1 x2, вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [x 1; x2) можно рассчитать по формуле
P{x 1 ^ X x2} = Fx (x2) Fx (x1). (3.7)
Две случайные величины X и Y называются независимыми, если для всех x, y e Ж
P{(X x) П (Y y)} = P{X x}P{Y y}, (3.8)
т. е. если для всех x, y e Ж события {X x} и {Y у} независимы.
147. Доказать свойства функции распределения (3.2) - (3.6).
РЕШЕНИЕ. Для любого x e Ж : F(x) = P{Xx} e [0; 1] по свойству ограниченности вероятности (1.40).
F ( ж) = lim F(x) = lim P{Xx} = P{Xж} = P{0} = 0 по свойству (1.40). F(+ж) =
xж xж
= lim F(x) = lim P{Xx} = P{X+ ж} = P{Q} = 1 по аксиоме нормированности вероятности
x+ж x+ж
(1.37). Если x1 x2, то F(x2)=P{Xx2}=P{(Xx1 )U(x1 ^Xx2)}, но поскольку события {X x^} и {x 1 ^ X x2} несовместны, то по аксиоме аддитивности вероятности (1.38) F(x2) = P{Xx1} + P{x^Xx2} = F^) + P{x1^Xx2} ^ F(x1), так как P{x^Xx2} ^0 по аксиоме нормированности вероятности (1.37). F(x 0) = lim F(z) = lim F (x
zx nж ' n
z x
= lim P {x x } = pJ U (x x = P{X x} = F(x). Свойство (3.6) предлагаем читателю
nж У nJ [n=1\ n
доказать самостоятельно. ?
1 Под {X x} понимается {ш : X(ш) x}, т. е. событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение, меньшее чем число x .
30
Найти значение постоянной а, а также P{1 ^ X 2,5}.
152. Определить, может ли функция
0, х 0,
F (х)
1 -1, х е [0; 1),
х
1, х ^ 1
быть функцией распределения какой-либо случайной величины.
153. Пусть X и Y независимые случайные величины, д(х), х е Ж и
h(y), у е Ж некоторые взаимно однозначные функции. Доказать, что случайные
величины U = g(X) и V = h(Y) независимы.
§3.2. Дискретные случайные величины И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Дискретная случайная величина X это случайная величина, принимающая значения из конечного или счётного множества. Закон распределения дискретной случайной величины задаётся чаще всего не функцией распределения, а рядом распределения, т. е. таблицей
148. Доказать формулу (3.7).
149. Функция распределения некоторой случайной величины X имеет вид
| 0, | х 0, |
| сх 2, | 0 ^ х 2 |
| 1, | х ^ 2. |
Найти все возможные значения параметра с.
Решение. Из условия (3.2) следует, что сх2 ^ 0, х е (0; 2], откуда c е
. Из условия (3.5) сле
дует, что производная F'(х) ^ 0, значит, 2сх ^ 0, х е (0; 2], откуда с е[0; 1]. Условия (3.3), (3.4),
(0; -’ 4
(3.6), очевидно, выполнены. Поэтому с е
150. В условиях предыдущей задачи известно, что F(х) непрерывна в точке х = 2. Найти значение постоянной с, а также P{X ^ 1}.
РЕШЕНИЕ. Из условия непрерывности функции F (х) в точке х = 2 следует, что
= -. ?
х=1 4
151. Функция распределения некоторой случайной величины X имеет вид
0, х 2,
2Іх=2 =с-22= 4с = 1, откуда с = 4. р{х^ 1} = 1 - P{X 1} = 1 - F(1) = 1 -Ж-
сх
F (х ) =
(х - а )2
1,
| X | х 1 | х2 | хп | |
| Р | р1 | р2 - | ¦ Рп |
в которой х 1, х 2,..., хп,... расположенные по возрастанию значения дискретной случайной величины X, а ^1, Р2,., рп,. отвечающие этим значениям вероятности. Число столбцов в этой
таблице может быть конечным (если соответствующая случайная величина принимает конечное число значений) или бесконечным.
Очевидно,
Е p, = і (зло
i
Кривой распределения вероятностей дискретной случайной величины X называется при этом ломаная, соединяющая точки (х,; рг) в порядке возрастания.
По ряду распределения дискретной случайной величины можно восстановить её функцию распределения, и наоборот.
Наиболее употребительной числовой характеристикой центра группирования значений случайной величины является математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется число
MX = Е x,p,, (3.11)i
равное средневзвешенному значению случайной величины с весами-вероятностями.
Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает следующими свойствами (здесь X, Y дискретные случайные величины, а c € Ж произвольная (неслучайная) постоянная):
Mc = c; (3.12)
M(cX) = cMX; (3.13)
M(X + Y) = MX + MY; (3.14)
для независимых случайных величин X и Y M(XY) = MX - MY. (3.15)
Наиболее употребительной характеристикой степени вариации значений случайной величины (произвольной, не обязательно дискретной) вокруг центра группирования является дисперсия. Дисперсией случайной величины X называется число
DX = M(X - MX)2, (3.16)
равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.
Для вычисления дисперсии иногда проще использовать формулу
DX = M(X2) - (MX)2 . (3.17)
Для дискретных случайных величин формулы (3.16) и (3.17) принимают вид
DX = Е (хг - MX)2 рг; (3.18)i
DX = Ех,2Р, - (MX)2. (3.19)
соответственно.
Дисперсия дискретной случайной величины обладает следующими свойствами (как и раньше, X, Y дискретные случайные величины, c € Ж неслучайная постоянная):
Dc = 0; (3.20)
D(cX) = c2 DX; (3.21)
для независимых случайных величин X и Y D(X + Y) = DX + D Y. (3.22)
Средним квадратичным отклонением (или стандартным отклонением) случайной величины X называется неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:
оX = WDX . (3.23)
Потоком событий называется последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени (более строго, если вероятность того, что за время At наступит ровно k событий, не зависит от начала отсчёта промежутка At, а зависит только от его длины).
Поток событий называется ординарным, если за малый промежуток времени At наступление двух или более событий маловероятно (т. е. если вероятность наступления двух или более событий за малый промежуток времени At пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события за этот промежуток).
Поток событий называется потоком с отсутствием последействия, если будущее наступление событий не зависит от того, как они наступали в прошлом (т. е. если вероятность наступления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, сколько событий уже наступило к началу этого промежутка, и в какие моменты времени они наступили).
Поток событий называется простейшим, если он обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Интенсивностью потока р называется среднее число событий, наступающих в единицу времени.
Наиболее часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин приведены в табл. 3.1.
| Таблица 3.1 Основные законы распределения дискретных случайных величин_ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
154. Дан ряд распределения (3.9) дискретной случайной величины X . Построить её функцию распределения.
155. Доказать, что функция распределения дискретной случайной величины является ступенчатой (кусочно-постоянной).
156. Дана функция распределения F(X) дискретной случайной величины X. Построить её ряд распределения.
157. Доказать, что для дискретных случайных величин X и Y условие независимости (3.8) эквивалентно следующему условию:
P{(X = ж) П (Y = у)} = P{X = x}P{Y = y}.
| 158. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 15 выигрышей. Количество и размеры выигрышей таковы: | ||||
|
159. В результате анализа счетов 400 инвесторов на фондовой бирже получена следующая информация о количестве сделок за последний месяц:
| X, количество сделок | 0 1 2 3 4 56789 10 |
| Количество инвесторов | 146 97 73 34 23 10 6 3 4 2 2 |
160. В условиях предыдущей задачи найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа сделок.
161. Банк выдал ссуду в 510 000 руб. под 10% годовых сроком на один год под залог дома клиента. В случае, если дом сгорит, разрушится и т. п. (т. е. произойдёт страховой случай), клиент ничего не вернёт банку, поэтому для уменьшения риска банк обязал клиента приобрести страховой полис на 500 000 руб., заплатив за него 10 000 руб.
Дом был оценён экспертами страховой компании в 500 000 руб., а вероятность наступления страхового случая с таким домом в течение года в 0,001. Составить ряды распределения дохода банка X^ и дохода страховой компании Хс/к за год.
Найти ожидаемые доходы банка и страховой компании.
162. Клиент должен вернуть банку кредит до сегодняшнего дня.
Неделю назад он отправил денежный перевод из другого города, который до сих пор не дошёл. Время T прибытия денег оценивается клиентом так:
| T | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Р | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
Определить, что клиенту выгоднее обратиться к детективу или ждать прихода денег.
163. Вечером Пете понадобилось обменять валюту.
Он знает, что из трёх пунктов обмена валюты, расположенных поблизости, в это время работает лишь один, но не помнит, какой именно. Составить ряд распределения числа N обменных пунктов, которые придётся посетить Пете, если считать, что каждый из пунктов
может работать с вероятностью 3. Оценить ожидаемое время T, которое Петя потратит на обмен валюты, если на каждое посещение уходит полчаса.
164. Инвестор рассматривает четыре операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами Qy Q^, Q3 и Q4 с рядами распределения
| Q1 | 5 | 0 | 5 | 10 q2 | 5 | 0 | 5 Q3 | 5 | 0 | 5 | 10 q4 | 5 | 0 | 10 |
| p | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,2, p | 0,1 | 0,4 | 0,5, p | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 0,4, p | 0,1 | 0,7 | 0,2 |