ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ В ДЕЙСТВИИ
Только в силу чистой случайности пущенные им стрелы не попадут в мишень. Поэтому в центре рисунка, на котором изображена мишень, а все .попавшие в нее стрелы представлены в виде точек, будет наблюдаться сильное затемнение.
Картина будет постепенно светлеть в направлении к краям мишени, поскольку здесь места попаданий стрел, напоминающие булавочные уколы, разнесены на большие расстояния.
На мишени для стрел можно нанести шесть концентрических колец одинаковой толщины. Тогда центральный круг - это цель, которую необходимо поразить, а остальные кольцеобразные зоны характеризуют собой пять степеней точности, с которой стрелок пытается попасть в цель.
Наложение этой решетки на следы попаданий стрел позволяет получить своеобразный план в горизонталях. Плотность попаданий в каждое кольцо говорит о весе горизонтали.
В свое время при изучении школьной географии мы познакомились с весьма хитрым приемом, который всегда представлялся неким волшебством. Он заключался в изображении поперечного разреза местности путем проектирования плана в горизонталях. Без всякого сомнения, вы помните, как это делается. Линейка устанавливается на карте, и в месте пересечения линейки с горизонталью делается отметка.
Затем эти отметки проектируются на линию, представляющую собой шкалу в километрах, и записывается весовое значение, чтобы показать форму огибающей поперечного разреза реально существующей территории, с учетом положения холмов и долин. Если повторить этот трюк для случая нашей мишени для стрел, то интервалы между отметками, наносимыми при наложении линейки, будут одинаковыми, поскольку кольца являются концентрическими и имеют одинаковую толщину. При таком способе линия проекции оказывается разделенной на одиннадцать равных частей.
В дальнейшем горизонтали, характеризующие частоту попадания стрел, используются для определения весов.
В результате получается кривая колоколообразной формы, которая является одной из самых важных естественных форм отклонений. Эта кривая так часто встречается в природе, что получила даже название нормальной зависимости.
Часто ее называют также гауссовой кривой по имени крупнейшего математика Гаусса, который исследовал ее математические свойства.
Каким образом все это связывается с оценкой вероятности? В действительности последний шаг в цепочке доказательств совсем простой. Ибо если в данном примере гауссова кривая строится на основании обработки статистических данных по 100 событиям и одно из этих событий попадает в колонку с отметкой 10, то очевидно, что вероятность попадания в эту же колонку десяти событий равняется 0,01 (один шанс из ста).
Тем не менее предположим, что исходя из общего количества ста событий одному из происшедших событий ставится в соответствие число 10 (оно попадает в конец хвоста .распределения), в то время, как двум из них - число 9, четырем - число 8 и тринадцати - число 7 (мы приближаемся к центру плотности распределения). Тогда тоже ясно, что вероятность возникновения события, характеризуемого приписываемым ему значением от семи и выше, определяется как 1+2+4+13=20 из 100 или один шанс из пяти.
Благодаря математическому исследованию этой кривой можно утверждать, что вероятность появления данного события будет заключена между некоторыми двумя специально выбранными пределами. Фактически вероятность того, что любое событие из заданной совокупности событий встретится где-либо под колоколом, равна единице (т. е. оно произойдет наверняка).
Следовательно, вероятность того, что оно произойдет на некотором выделенном участке площади под этой кривой, определяется той частью, которую этот участок составляет по отношению ко всей площади.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ В ДЕЙСТВИИ
Здесь излагается основное положение теории вероятности. Большинство работников промышленности уже познакомились с его применением в этом простейшем виде для статистического контроля качества.
В типичном случае если машина производит деталь заданного размера, то оценка размера детали может быть выполнена с учетом большого количества контрольных выборок, поскольку найденные оценки используются для построения вероятностного распределения. Устанавливая допустимые пределы по обеим сторонам от среднего значения, можно обнаружить, когда машина нуждается в наладке.
Заметим, что эти значения не выбираются произвольным образом. При их выборе исходят из того, что имеется, допустим,
один шанс из двадцати, что они будут превышены. Другими словами, пределы отсекают два хвоста распределения как раз в тех местах, начиная с которых на остающуюся во вне часть распределения приходится 5% выборок. В процессе проведения контроля вскоре становится ясно, попадает ли во вне более 5% выборок.
Если это действительно имеет место, то машина превышает допустимую вероятность и правильность наладки машины становится под сомнение. Поэтому машину останавливают и производят проверку правильности ее наладки.
Другая точка зрения, о которой нужно сразу же сказать, заключается в том, что соображения, высказанные применительно к физическим предметам, физическим размерам и стоимости, могут быть отнесены также и к людям. Можно ожидать, что распределение людей по возрастам в случайно взятой группе будет соответствовать гауссовой кривой (подчиняться нормальному закону). Распределение людей- по весам также будет характеризоваться нормальной зависимостью; то же самое можно сказать и об их уме?* венных способностях, если их можно оценить. Точность, с которой люди могут изготовлять различные предметы, а также другие простые и важные атрибуты их поведения, оказывается, также может быть охарактеризована подобным образом.
Это дает нам первый ключ к научному решению проблемы человека как элемента.
Люди всегда с убеждением будут говорить, что как бы ни был велик научный прогресс в разработке подходов к решению физических и финансовых ситуаций, человеческие ситуации наверняка окажутся вне пределов подобных рассмотрений. Это - вздор. Ибо неопределенность вносится человеком в ситуацию точно так же, как и естественными параметрами любого другого рода.
Если после отправки товаров конечная цель не достигнута, то не имеет особого значения, произошло ли это из-за того, что снежная буря разрушила товарную платформу на железной дороге, или же клерк по ошибке неправильно указал место назначения. В любом случае материал не попадает тому, кому он предназначался.
В любом случае вероятность того, что это событие не произойдет, может быть оценена.
Теперь мы выяснили причину, почему эта глава называется Удача, риск и преступное намерение. Люди часто действуют с преступными намерениями по отношению к тому, кто пытается достичь цели, хотя движущие ими мотивы могут быть в действительности весьма слабыми.
Да и сами физические предметы, бывает, нападают на несчастного организатора.
Эта книга не является элементарным учебным пособием по статистике, и поэтому мы не будем развивать далее представление о вероятностном распределении. Однако, чтобы избежать какого- либо риска неправильного понимания, следовало бы сказать, что хотя гауссово распределение достаточно хорошо известно в природе и в управлении, оно не: является только единственным встречающимся видом отклонений. Существует много видов распределений, и все они представляют интерес. Некоторые из них сдвинуты в одну сторону, другие являются уплощенными, третьи - заостренными, а один вид распределения характеризуется даже прямоугольной формой.
Такой вид имеет распределение, обусловленное очень большим количеством бросаний игральной кости. На нижней шкале графика шесть интервалов, и в точности одинаковое количество событий в каждой колонке.
ОЦЕНКА ИДЕАЛЬНОГО ОБЪЕМА ЗАПАСОВ
Следующий шаг заключается в том, чтобы определить, какое применение может найти использование вероятностных оценок в сфере управления. Попробуем ответить на такой вопрос. Что такое запас?
По многим причинам на этот вопрос трудно ответить. С практической точки зрения можно заметить, что как в промышленности, так и в торговле, где встречаются различные виды запасов, часто случается, что ни один из организаторов не отвечает за определение их размеров.
Часто оказывается, что, создавая большие запасы, руководитель старается этим скрыть свою нерасторопность.
Запас всегда является как бы буфером между двумя взаимосвязанными группами вероятностей. Рассмотрим две машины - Д ' и Б. Сырье для машины Б поставляется только от машины А. Среднее время, необходимое для изготовления единицы продукции на машине Д, составляет, скажем, 5 ч. Среднее время, необходимое для изготовления одной единицы продукции на машине Д - также 5 ч. Восхитительно, скажут комментаторы, ситуация идеальна.
Нет необходимости делать запасы при движении продукции от А к Б. Такое заключение неправильно и не просто неправильно, а изумительно неправильно.
Как уже было замечено, время, необходимое для изготовления единицы продукции на каждой из машин, будет колебаться в пределах 5 ч. Тогда взаимодействие машин может быть проиллюстрировано на приведенном выше рисунке. Рассмотрим следующий случай (нижняя стрелка на схеме).
Машина А находится в тяжелом положении. Поступающее к ней сырье имеет брак, это приводит к поломке детали в машине, что-то не в порядке со смазкой и оператор у машины погружен в размышления о домашних неурядицах. Тогда из-за этого неблагоприятного стечения обстоятельств работа продолжается не 5, а 7 ч. Вероятность того, что подобное событие произойдет, мала, однако возможность такого события не исключена.
Одновременно с этим, и также чисто случайно, у оператора машины Б выдался отличный день: сырье идет хорошего качества и бес перебойно, безотказно работает машина и сам оператор чувствует себя превосходно, а на вечер назначил свидание с девушкой. Из-за такого стечения обстоятельств на изготовление одного изделия требуется 3 ч. В данном случае вероятности возникновения обоих событий независимы; сейчас нет оснований думать о том, что они каким-то образом влияют друг на друга - по крайней мере об этом в рассказанной истории не упоминается, хотя в реальной жизни наличие некоторой взаимосвязи - вполне возможная вещь.
Если вероятность возникновения каждого из этих событий равна 0,01, то вероятность того, что оба события появятся вместе, характеризуется величиной 0,0001. Несмотря на столь малую вероятность, одновременное появление обоих событий все же возможно.
Давайте пронаблюдаем, к чему все это приведет. Машина Б закончит свою работу и будет простаивать в течение 4 ч в ожидании появления другого задания.
В этом случае возникает как бы вакуум между машинами, который машина А не в состоянии заполнить. Вот почему машина Б должна иметь запас.
Поясним другой случай (верхняя стрелка на рисунке). Здесь подразумевается, что машине А все время везет, в то время как машину Б преследуют неудачи.
В этом случае изделие будет ожидать машину Б в течение 4 ч, и только после этого начнется его обработка. Такую вещь тоже можно назвать запасом. Следовательно, можно говорить о положительном и об отрицательном запасе между двумя машинами.
Однако, какой бы он ни был, он наверняка существует и изменяется в некоторых пределах.
Вот теперь небольшое размышление поможет понять, почему заключение, в котором отрицается необходимость в создании запаса, было не только неправильным, но и в корне неверным. Как бы много времени ни требовалось машине А для того, чтобы изготовить деталь, ее оператор в состоянии немедленно приступить к работе над следующей деталью (предполагается, что для машины А предусмотрен большой запас). С другой стороны, работа машины Б. может начаться только в том случае, если получено уже изготов-1 ленное изделие. Всякий раз, когда обстоятельства складываются таким образом, что машине Б нечего делать, она просто простаивает и теряет время.
Следовательно, если с машиной Б иногда случаются простои из-за того, что машина А ничего не делает, запас между двумя машинами всегда будет характеризоваться тенденцией к росту. Известно, что на практике это приведет к беспорядку, тем не менее, сам принцип является правильным.
Если два технологических процесса характеризуются одинаковым средним временем выполнения работ и вероятностными распределениями одного и того же вида, то запас между машинами становится бесконечным.
В действительности вызывают удивление предположения, выдвигавшиеся многими в прошлом о том, что сбалансированная система, подобная описанной, могла бы быть идеальной. Мы только что указали на глубокую ошибочность такого предположения.
Следует отметить, что истина не стала достаточно ясной до тех пор, пока математики не разработали метод анализа случаев произвольного взаимодействия двух вероятностных распределений. Это взаимодействие было названо свертыванием.
В связи с этим объем запасов может рассматриваться как свертка входного и выходного распределений.
Тогда, каким же образом организатор достигает понимания ситуации? Ответ опять-таки простой. Задача организатора заключается в том, чтобы выяснить, с какой вероятностью он будет считать достаточным предусмотренный, уровень запасов с учетом бесполезного простоя машины, остановки работы целого отдела, прекращения всей работы, отказа выдать потребителю что-либо из запаса.
Если организатор сможет назвать такую вероятность, то ученый проведет количественную оценку связанных с ней других вероятностей и вычислит объем запасов, который нужно будет предусмотреть организатору, чтобы удовлетворить свои потребности.
Из данного обстоятельства вытекает весьма важное следствие. Значения вероятностей, управляющие поступлением продукции в запас, а также ее расходом, будут изменяться в зависимости от вида и количества продукции.
Любой организатор может отвечать за тысячи различных изделий и, связанные с этим вероятности будут изменяться. Свертка вероятностей также окажется изменяющейся. Тем не менее решение организатора, принятое им с учетом риска, на который он сознательно идет, не может меняться. Он может рассматривать это как предмет, не зависящий от стратегии.
Поэтому от него требуется назвать только лишь одну необходимую цифру, и наука управления сможет привести в действие всю систему управления запасами с целью оценить отдельные отклонения в случае различных изделий. Весьма возможно, что для выполнения этой работы придется привлечь вычислительную машину.
С ее помощью будет осуществляться сравнение подсчитываемого ею изо дня в день уровня запасов с теоретически вычисленным, распределением свертки вероятностей, результатом чего явится выработка уточненных требований.
Все сказанное позволяет утверждать, что электронная вычислительная машина или любой другой вид вычислительной техники, применяемой при деятельности подобного рода, представляют собой, по сути дела, инструмент принятия решений.
Совершенно не ущемляя репутации организатора, можно сказать, что это путь к свободе, поскольку если можно переложить ни машину благодаря привлечению науки всю тяжесть решении подобного рода, то у организатора освобождается время, а это позволяет ему обратить внимание на более важные предметы, которые не так резко бросаются в глаза.
ПРОБЛЕМА ОЧЕРЕДЕЙ
Итак, механизм свертывания вероятностей является основой почти любого вида деятельности, связанной с управлением и осуществляемой во времени и пространстве. Рассмотрение в качестве иллюстрации случая создания запасов было, возможно, не совсем удачным. Полезнее познакомиться со следующим примером.
Если вещи свалены между какими-то двумя точками и то, что мы видим, нас устраивает, мы называем такое нагромождение предметов запасом. Однако если наблюдаемая картина нам не нравится, то мы говорим об очереди.
По существу очереди представляют собой запасы, от которых стремятся избавиться, а администрация заботится о том, чтобы поддерживать уровни запасов в разумных пределах, не делая их чрезмерно большими. В связи с этим весьма важными представляются задачи, связанные с поиском способов устранения очередей без особых потерь.
Предполагаемые подходы в данном случае аналогичны, а привлекаемая наука не требует от нас каких-то радикально новых мыслей.
Если при пользовании каким-то видом обслуживания совершенно случайным образом возникает очередь, то временные интервалы между прибытием данного клиента и следующего лица являются статистически распределенными в соответствии с хорошо известной моделью. Получающаяся характеристика не является гауссовой кривой, тем не менее с некоторой погрешностью мы можем считать ее нормальной зависимостью. Опять-таки у нас нет никаких соображений относительного того, как долго придется ждать, пока не подойдет следующий клиент, однако необходимо знать, что же будет представлять собой полная модель. Конечно, можно также попытаться построить распределение времени обслуживания, т. е. определить вид зависимости, характеризующей распределение интервалов времени между моментами окончания обслуживания данного и последующего клиента.
Затем можно рассчитать свертку вероятностей и обсудить поведение очереди.
Такая ситуация возникает в тех случаях, когда люди образуют очередь, например около касс в магазине самообслуживания. Колеблющаяся длина очереди перед кассовым аппаратом может описываться сверткой двух вероятностных распределений, одно из которых характеризует прибытие покупателей, а другое окончанием их обслуживания. Тогда можно информировать администрацию о том, какой ожидается максимальная длина очереди. Очевидно, наличие подобных сведений даст возможность организации нормального обслуживания покупателей.
В то же время он может принять решение исходя из допустимой степени риска, считая при этом, что покупатели могут ждать дольше определенного ранее предусмотренного времени. Наверняка' ответ будет меняться в зависимости от дня недели и даже от времени дня.
Проведение операционного исследования приведет к более научному и более эффективному использованию имеющейся в распоряжении рабочей силы.
Необходимо заметить, что по всей вероятности все магазины самообслуживания будут характеризоваться примерно одинаковыми моделями поведения. Поэтому если модель подобного характера однажды разработана, то она может быть использована .в ста различных магазинах.
Иногда предусматривается обслуживание клиентов группами, а не в виде непрерывного потока. Например, подходит автобус, производится посадка пассажиров и автобус уезжает. Тогда очередь на посадку должна ожидать прибытия второго автобуса. Подобное поочередное обслуживание групп пассажиров не изменяет основную науку о ситуации, а просто вводится некоторое усложнение, которое не представит никакой трудности для специалиста операционника.
Тот же самый эффект получается при производстве групп изделий в промышленности, если учитывать запасы, используемые- при осуществлении внутренних технологических процессов, а также во многих других ситуациях.
Теперь зададим такой вопрос: какой запас должен быть предусмотрен в магазине для продажи розничных товаров? Имеется очередь подлежащих реализации товаров, которые было бы более правильно назвать просто запасом. Существует очередь покупателей, ожидающих обслуживания. В данном случае организатор сталкивается с массой проблем, однако, все они поддаются разрешению с привлечением теории, некоторые элементы которой мы только что обсуждали.
Объем и интенсивность продажи определяют путь, используя который организуется обслуживание очереди покупателей.
Результаты этого процесса, рассмотренные совместно с распределением времени прибытия товаров, определяют момент, когда запасы должны быть возобновлены. Частота поступления требований на определенные менее ходовые размеры, цвета и моды характеризует потребность в создании запасов таких непопулярных (с точки зрения организатора) товаров.
Все эти вещи могут быть рассмотрены с позиций теории вероятности. Кроме того, для научной организации торговли необходимо регистрировать и те требования покупателей, которые не могут быть удовлетворены.
Однако всегда ли осуществляется сбор этой информации?
Проблемы подобного рода возникают повсеместно и в промышленности и в торговле. Довольно часто, как выясняется, администрация идет по пути принятия неправильных решений. Она пытается ориентироваться на необходимость создания запасов наиболее ходовых товаров, рассматривая продукцию, пользующуюся меньшим спросом, как 'предмет специального производства. К чему это может привести?
При выборе ходовых товаров и, скажем, одного изделия, не пользующегося особым спросом, возникает сложная ситуация, а именно: задерживается поставка всей партии товаров из-за необходимости изготовления неходового изделия. Единственное изделие изготовляется под нажимом и служит препятствием выполнению производственной программы.
Такая организация запасов требует больших затрат времени и приводит к потере магазином хорошей репутации.
Подобный подход к решению проблемы часто исключает из рассмотрения путь, представляющийся более разумным. Речь идет об уменьшении запасов ходовых товаров с тем, чтобы поддерживать запасы всех видов продукции хотя бы на минимальном уровне.
Однако берегитесь: подобные выводы, полученные на основании опыта, частных случаев, не могут рассматриваться как обобщения.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ВЫЧИСЛЕННЫЙ РИСК
Все сказанное в предыдущих параграфах представляет собой основу, используя которую ученые производят оценку случайности и риска и соглашаются также с некоторой трактовкой преступных намерений. Вместе с тем, не приходит ли вам в голову, что если производство автомобилей на предприятии срывается из-за невыполнения плана заводом, выпускающим оси, что весьма вероятно может произойти умышленно или почти умышленно, то сам факт невыполнения плана может рассматриваться как событие, вероятность появления которого (если говорить о распределении потока событий) за весьма длительный интервал времени мала? Тогда, что стоят все эти разговоры о человеческом элементе? Стоит создавать запасы осей или же нет?
Во всяком случае, обоснованный ответ зависит от свертки двух предполагаемых вероятностных распределений, включающих очень длительный интервал времени в дальнем хвосте входного распределения. Будучи построена на основании распределений, полученных с учетом имеющихся фактов, вероятность свертки может быть рассчитана, и это позволит изложить примерно такую точку зрения: Вы должны ожидать возможного прекращения выпуска продукции о течение интервалов времени длительности от x до v один раз в каждые z месяцев. Ежегодные потери, связанные с подобными остановками в работе производства, характеризуются такой-то и такой-то суммами для x и v соответственно. Создавая запасы такого-то и такого-то объема, вы смогли бы обеспечить продолжение выпуска продукции в половине этих случаев при стоимости такой-то.
В случае создания запасов большего объема непрерывность производственного процесса будет гарантирована в девяти случаях из десяти или .в девяносто случаях из ста (или в любых других пропорциях). Что вы будете делать? После этого на сцене появляется организатор. Он задает либо числовые значения некоторых параметров, создавая тем самым количественную основу, либо неопределенность в решениях, обоснованность которых как раз и 'доказывается с помощью операционного исследования.
При подобном подходе приходится иметь дело с действительно вычисленным риском.
