Evgeni A. Nurminski - Статическая оптимизация портфеля

Пусть портфель инвестора состоит из ТП бумаг в объемах Qi, Qa,.. . , Qm , стоимость которых на рынке составляет pi,..., р_ш. Тогда его суммарная стоимость

то

і= 1

и доходность:

(21)

где

0^

Гі = = QiPi/P-

Величины х_г > 0 представляют собой доли капитала, вложенные в соответствующие активы и очевидно

Задачу выбора оптимальных пропорций активов для инвестора, избегающего риска, можно сформулировать, как выбор такого набора Х{, что дисперсия доходности (21)( риск ) будет

минимальна. Посчитать дисперсию (21) довольно просто:



где Wij = Е(г-і — En){_rj — E'f'j) = oov — коэффициент ковариации между

доходностями і-го и j -го активов.

Вводя матрицу W = Цаді^ | , дисперсию а¹ (я;) можно представить в виде квадратичной формы



28.05.2005

Ше://Т:\0татическая%20оптимизация%20портфеля.й1ш

зависящей от вектора х — (х-[, , aj_m), являющегося точкой стандартного симплекса

(22)

В зависимости от контекста вектор х будет считаться либо строкой, либо столбцом с тем, чтобы соответствующие опреации имели смысл.

Однако, если, например, среди активов инвестора есть безрисковый ( банковский счет ), то для этого актива все коэффициенты ковариации равны нулю и задача минимизации <т¹ (.г) при ограничениях (22) имеет тривиальное решение: необходимо все средства вкладывать в безрисковый актив. Это решение может давать ( как правило даст ) одновременно и наименьшую доходность, что может не устраивать потенциального инвестора. Г. Марковиц предложил дополнить условие минимума дисперсии требованием обеспечить желаемую доходность, что приводит к задаче



(23)

где р — заданный уровень доходности портфеля.

Эта задача уже является проблемой квадратичного программирования, некоторые методы которого рассмотрены в Приложении.

Следует отметить, что практическое использование этого подхода требует знания ковариационной матрицы W, непосредственно не наблюдаемой. В действительности она может заменяться на эмпирическую ковариационную матрицу, определенную на основе предыдущих наблюдений и последовательно уточняемую с течением времени. Все это превращает (23) в нетривиальную задачу совместной идентификации ( определения W ) и оптимизации ( нахождения х ).

Содержание раздела

---