Алексей Словеснов - Оптимальный Money Management
Среди различных разделов трейдинга, пожалуй, только money-management поддается математичес кому исследованию. Как это ни покажется странным, вопрос оптимального управления деньгами уже давно решен математиком Келли и известен как критерий Келли. Это не просто один из вариантов управления деньгами - это оптимальное управление.
Вместо предисловия
Среди множества литературы, в том числе и на английском языке, очень трудно найти необходимую информацию, а тем более собрать ее в единое целое. Эго связано в первую очередь с тем, что большинство авторов книг по трейдингу - люди, далекие от математики, и поэтому необходимые формулировки И ДиКаЭаіеЛЬсіВа у них не присутствуют, и найти их зачастую можно только в математических статьях.В данной статье сначала приводится обобщение критерия Келли, а затем показано, как применяется критерий Келли для реальных результатов торговых систем. По возможности опущены многие определения и утверждения, которые будут понятны только людям, хорошо знакомым с математикой, а даны конечные результаты ис-следований.
Критерий Келли обладает рядом свойств для заданной торговой системы с положительным математическим ожиданием. Эго, в частности, - размер капитала неограниченно растет, вероятность разорения игрока стремится к нулю при увеличении числа трендов. Капитал будет расти быстрее, чем при любой другой стратегии управления средствами. На самом деле, делая ставки по критерию Келли, игрок играет оптимально, но только в очень частном случае. Оптимален Критерий Вот В Каких смыслах:
- максимально быстрое достижение капиталом заранее заданной величины;
- достижение максимальной величины капитала после фиксированного числа сделок.
Стандартный критерий
Самая общая формулировка критерия Келли, с которой мне доводилось встречаться, выглядит так:-г„ p-g/w, ft/
где р - вероятность выигрыша, q -вероятность проигрыша, ш - средний выигрыш,
По этому критерию всегда необходимо ставить х„ от размера капитала, т.е. если х„=О.І, то при каждой сделке надо ставить десятую часть капитала. Далее этот критерий будет называться «простым»
Почти нигде не написано, что в такой формулировке критерий Келли предполагает, что в тортовой системе могли быть только результаты -Іхставку (то есть При ставке 0.1 игрок проигрывает десятую часть капитала) или +інхставку (то есть или выигрыш ш или проигрыш -1). А вот для более общего случая, где возможно довольно большое число различных положительных и отрицательных исходов, этот критерий не подходит. Автором были найдены примеры, где такой «простой» критерий не дает оптимального результата, более того, делая ставки по такому критерию в долгосрочной перспективе, трейдер ра-зорится.
Поэтому необходимо обобщить критерий Келли. Опуская теоретические выкладки, приведу лишь результаты такого обобщения, для наглядности демонстрируя после формулировок конкретный пример.
Обобщение критерия
Пусть торговая система дала результаты <и , J- (г т,. п), то есть ft, сделок закончились с результатом о,, ft., сделок закончилисьс результатом аі..... fcn сделок за-
кончились с результатом о . Бели а>0, то сделка (или сделки) была прибыльной, если п <0, то убыточной. Здесь и далее сделки с нулевым результатом отбрасываются, они не влияют на результативность торговой системы, то есть а иО. Будем считалъ, что а, упорядочены по возрастанию, то есть а,«^<...<ал. Также будем считать, что среди испытаний была хотя бы одна убы-точнан сделка (а <0),
Примечание Если ие было ии одной убыточной сделки, то очевидно, что оптимальная игра будет при использовании максимального плеча.
Обозначим максимальное плечо, которое дает брокер за L, а общее число сделок за
Обобщенный критерий Келли
выглядит так (здесь приводится только формулировка):
I. Торговая система с исходами
а,, ft, (і т..... п) потенциально
может давалъ доход тогда и только тогда, когда
У <> Л: >0-
Это условие эквивалентно тому, что математическое ожидание торговой системы положительно.Примечание. Неравенство строгое: случай, когда математическое ожидание равно нулю, ведет к разорению игрока в долгосрочной перспективе при любой стратегии игрока,
2. Введем функцию
у*
«1 +**
Известно, что существует и единственно 0<f<-l/a, такое, что E(f) = 0. Оптимальная ставка равна x0=min(f, L). х, - плечо, которое необходимо использовать при оптимальной игре. х5 также позволяет легко вычислить число лотов при заданном текущем ка-пнтале.
3. Максимальный риск в одной сделке равен |й,
4. Средний размер Капитала после I сделок, считая что начальный капитал равен I, при ставке х определяется функцией
G(x.f) Р| (I ч а, т)1* ' * .
Если ставка xe[(0,min(- 1/а,, L)] удовлетворяет условию G(x, І)> 1, то, ставя х, трейдер выигрывает. По этой Же формуле Легко определить и годовую доходность торговой системы, достаточно лишь знать среднее число сделок в год.
5. Пусть есть две торговые системы {о,1, ft,1} и іа,2, ft,2}, с положительными математическими ожиданиями, которые были испытаны на одинаковом интервале времени, пусть первая система сделала P сделок, вторая ?2 сделок, и пусть игрок ставил х' и х2 соответственно. Тогда первая система эффективнее второй, если G'(X'r ?') >G2(x2, !J).
Комментарии
¦решать уравнение Е(х)=0 прихоти дитси с помощью компьютера, гак как при большом числе различных исходов возникает полином большой степени, который, вообще говоря, может не решаться аналитически. Четвертый и пятый пункт критерия оценивают эффективность торговой системы и показывают средний рост капитала. Критерий Келли в такой форме обладает воеми вышеперечисленными достоинствами «простого» критерия, в частности, оптимальности стратегии и нулевой вероятности разорения при большом числе сделок. Обобщенный критерий Келли включает в себя и «простой» критерий как частный случай.Пример. Пусть при тестировании торговой системы было произведено 100 сделок (все с плечом 1:1), среди которых 10 дали результат +20%, еще 30 дали +40%, остальные были проигрышными: 20 сделок по -30% и еще 40 по -10%. Доход и убытки считаются как проценты от размера капитала до сделки. Пусть эта система делает в среднем 30 сделок в год. Для вышеприведенной системы получатся такие параметры. Мы имеем четыре различных исхода, результаты исходов - а|Г а1( о,, ал, a повторялись они fe(, ft,, fe (, ft, раз соответственно (упорядочим а по возрастанию), а,=-0.3, h, = 20, a 0.1, ft, 40, а, 0.2, е 10, а4=0.4, кд=30. В соответствии с первым пунктом критерия проверим, что ожидание системы поло-жительно
= 4 > 0 -
Такая система потенциально может давать прибыль. Составим уравнение:
0.3X2U 0.ІХ40 0.2X10 0.4X30
AfjO - - - I - I --
1 ОП.т 1 0,1* 1 ¦ 0.2л 1 ¦ 0.4л:
1 12 (, А
*1+0.2* 1 + 0.4* 1-0J* 1-0.1*"
В соответствии со вторым пунктом критерия существует единственный корень уравнения E(f) = 0 0 < f < -1 /а, = 10/3 • Численно находим, что f-0.58. Следуя критерию Келли, необходимо всегда делать ставку х„=0.58 от размера Капитала До сделки. Теперь оценим среднюю годовую прибыль торговой системы. Она равна G(0.58, 30) = I .1 1 63х I,232'1х0.82б“х 0.94212 1.409. При начальном капитале 1 - это означает, что годовая доходность системы 40.9%.
Кредитное плечо и критерий Келли
Отношение некоторых трейдеров к кредитному плечу резко отрицательное - это кажется просто удивительным. Кредитное плечо дает трейдеру дополнительные возможности, поэтому торговля с плечом не может быть хуже, чем
без него. Ниже будет показано, как пользоваться обобщенным критерием Келли при существовании плеча.
Рассмотрим торговую систему, которая при тестировании на 100 сделках дала следующие результаты. 10 сделок дали результат + 10% , еще 30 дали +20%, остальные были проигрышными: 20 еде-лок по -15% и еще 40 по -5% (проценты от размера капитала до сделки]. Пусть при тестировании использовалось плечо 1:5, и пусть брокер дает максимальное плечо 1:200 (такое довольно редко, но встречается).
Для применения результатов критерия необходимо все результаты привести к плечу 1. В данном случае надо просто поделить все выигрыши и проигрыши на 5. Итак, результаты модифицированной торговой системы будут следующие. 10 сделок дали результат +2%, еще 30 дали +4%, остальные были проигрышными: 20 сделок по -3% и еще 40 по -1%. Заметим, что хотя выигрыши и проигрыши поделились на 5, математическое ожидание осталось тем же. Применим обобщенный критерий, как показано выше.
Примечание. Если разные сделки использовали разное кредитное плечо, то необходимо вое сделки привести к плечу 1.
Выпишем измененные параметры торговой системы: а, = -0.03, fe,=20, а, 0,01, /¦:, 40. а3 0,02, fe5=10, аа=0.04, fea=30. Матожи-дание больше нуля. Составляя уравнение Е(() = 0 и решая его численно на интервале (О, 3333), получаем, что f=x0>»5.83. Пусть на счете находится $100,000, а минимальный лот - 10,000 базовой валюты (будем считать, что залог не зависит от валютной пары и всегда равен $50, так как плечо 200). Следовательно, необходимо открываться Ю0000хх0/10000 = ч8.Ч лота.
Трейдер может открыться на 58 и на 59 лотов. Чтобы выяснить, что лучше, надо использовать пятый пункт критерия. 58 лотам соответствует х,=5.8, а 59 лотам соответствует ха=5.9. Сравнивая средний капитал, после одной сделки при различных ставках получаем, что С(х]Г I)>G(x,, I) -следовательно, лучше открываться ?) логами.
Дополнительные замечания. Для применения критерия необходимо набрать большую статистику, протестировать торговую систему, получить параметры {а,, fc,), после этого найти х„. Но дело в том, что после новой сделки получаются уже немного другие параметры, поэтому необходимо опять делать перерасчет. Лучше всего уже иметь готовую программу и просто дописывать новые данные и новый размер капитала. Если система была недостаточно протестирована, то х„ может сильно меняться, что, в свою очередь, может оказать отрицательное влияние на размер капитала.
Оценка эффективности торговых систем
Имея торговую систему, трейдер еще до использования ее на реальном счете должен знать, приносит ли она прибыль. На этот вопрос ответ уже известен: система приносит прибыль тогда и только тогда, когда матожидание системы больше нуля. А что делать, когда есть две системы с положительными матожиданиями? Как сравнить, какая из них эффективнее? Ответ на этот вопрос опять дает критерий. Под эффективностью понимается размер капитала после большого числа сделок, ведь вероятность разорения равна нулю в долгосрочной пер-спективе,Для начала скажу, что если есть две системы с одинаковым мат-ожиданием, то это не значит, что они имеют одинаковую эффективность. Кроме того, есть примеры, когда матожидание у первой системы больше, чем у второй, а при этом она менее эффективна.
Для начала необходимо обе системы привести к одному временному периоду. Необходимо получить результаты тестирования за один период или привести их к одному периоду. Надо так изменить параметры систем, чтобы они отвечали результатам торговли за один и то же период, например, за год. Пятый пункт критерия показывает, как сравнить две системы.
Казалось бы, что уже все тонкости выяснены, и все понятно. Но за кадром осталось еще несколько упущенных моментов. Основной из них состоит в том, что критерий Келли оптимизирует только одну торговую систему и не затрагивает более общий случай, когда несколько систем должны торговать одновременно, т.е. приходится выбирать, как распределять капитал по торговым системам.
Алексей Словеснов